假期作业十二 导数的应用(一)-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

=0022 假期作业十二 导数的 〈《思维整合室 知识梳理 1.函数的单调性 在某个区间(a,b)内，如果f(x) 0,那 么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果 f(a) 0,那么函数y=f(x)在这个 区间内单调递减： 2.函数的极值 (1)判断f(x)是极值的方法， 一般地，当函数f(x)在点xo处连续时， ①如果在xo附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x)是极大值； ②如果在xo附近的左侧 ,右侧 ,那么f(xo)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤， ①求f(x); ②求方程 的根； ③检查(x)在方程 的根的左右两 侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在 这个根处取得 ;如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a, b们上必有最大值与最小值， (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的 最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减， 则 为函数的最大值， 为 函数的最小值， (3)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可 导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值 的步骤如下： 非学无以广才，非志无以成学。 应用（一） 完成日期： 月 日 ①求f(x)在(a,b)内的 ②将f(x)的各极值与 进行比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值 自测自查 1.><2.(1)①f(x)>0f(x)<0 ②f(x)<0f(x)>0(2)②f(x)=0 ③f(x)=0极大值极小值3.(2)f(a) f(b)f(a)f(b)(3)①极值②f(a),f(b) 要点记忆 1.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况， 是在局部对函数值进行的比较；函数的最值表 示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个 区间上的函数值进行的比较 2.f(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上 单调递增的充分不必要条件， 3.对于可导函数f(x),f(x)=0是函数 f(x)在x=x处有极值的必要不充分 条件. 《《技能提升台 技能提升 1.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图 所示，则函数y=f(x)的图象可能是() 33 壁快乐假期 2.当x=1时，函数f(x)=alnx十b取得最大 值一2，则f(2)= A.-1 B- c D.1 3.函数f(x)=xlnx的单调递减区间是(） A.(-∞，0) B(日+a) c(-∞，3) D.(0,2) 4.函数f(x)=x3一3x在闭区间[一2,2]上的 最大值和最小值分别是 () A.1,-1 B.2,-2 C.4,-14 D.4,-4 5.已知函数f(x)=x3+3a,x2+bx十a2在x= 一1处有极值0，则f(1)= () A.6 B.12 C.24 D.12或24 6.若不等式1nz≤是+b≤e(a,b∈R)对任意 的x∈[1，]恒成立，则。的最小值为 A.-3e cn D.3e-3In 3 7.(多选)若函数f(x)=alnx++(a≠0) 既有极大值也有极小值，则 ( A.bc0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 8.(多选)给出下面四个命题，其中正确的是 ) A.函数y=x2一5x+4(x∈[一1,3])的最 大值为10，最小值为-号 B.函数y=2x2-4x+1(x∈(2,4))的最大 值为17，最小值为1 3 S00-= C.函数y=x3-12x(x∈[-3,3])的最大值 为16，最小值为一16 D.函数y=x3-12x(-2<x<2)无最大值， 也无最小值 9.设a∈(0,1)，若函数f(x)=a+(1十a)x 在(0，十∞)上单调递增，则a的取值范围是 10.函数f(x)=x3十x2-5x十2的图象与直 线y=k恰有三个不同的交点，则实数k的 取值范围是 11.函数f(x)=一2 x十2 ·e2的单调递增区间为 若a∈[-名.0小则函数gx) (x一2)e一a(x十2)的零点的取值范围是 12.已知函数f(x)=2+nx,<是，求函 数f(x)在[。，c]上的最大值和最小值。 =0022 高二教类为) 13.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=士1 14.已知函数f(x)=x2+ax-lnx. 处取得极值 (1)若a=1,求函数y=f(x)的最小值； (1)f(1)和f(一1)是函数f(x)的极大值 (2)若函数y=f(x)在[1,2]上单调递减， 还是极小值？ 求实数a的取值范围. (2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线， 求此切线方程. 高考冲浪 1.（多选)(2024·新课标I卷，10)设函数 f(x)=(x-1)2(x-4),则 () A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 2.（多选)(2024·新课标Ⅱ卷，11)设函数 f(x)=2x3-3ax2+1,则 () A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对 称轴 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x) 的对称中心 ·35·三0022 假期作业十一导数的有关概念及其 计算 技能提升台技能提升 1.B2.B3.D4.C 5.C[由题意知fx)=号r2+bn,所以f(x)=ax十 1a=2, b f)=号+ln1=1, t, 1b=- 5则b= 2 ()°-9 6.B[因为fx)=1+f(1)品，所以f) ee+2rz=a+2fz,故fD (x+1)2 =aFD+2fD,解得f)=-是] e 7.AB 8.ACD 9.解析：“y-是切线斜率=y1=1=2, .切线的方程为y-0=2(x-1),即2x一y一2=0. 答案：2x-y-2=0 10.解析：设点A(x0%),则0=lnx0.又y=1, 当x=0时，y=1, xo 点A在南线y=nx上的切线为)y0-,x, 即y-lnx0=x-l, x0 代入点(-e,-1),得-1-lnx0=二e-1, 即xoln zo=e, 考查函数H(x)=xlnx,当x∈(0，l)时，H(x)<0, 当x∈(1，十oo)时，H(x)>0, 且H'(x)=lnx+1,当x>1时，H'(x)>0,H(x)单调 递增， 注意到H(e)=e,故xoln zo=e存在唯一的实数根xo= e,此时yo=1, 故，点A的坐标为A(e,1). 答案：(e,1) 11.解析：依题意得，y'1x=0=-5e5x|x=0=一5， 因此所求的切线方程是y一3=一5x, 即5x十y-3=0. 答案：-55x+y-3=0 12.解：(1)y=6.x3+2x2-3x-1, ∴y=18x2+4x-3. 1 (2)y=-sin 2cos 2-x-sin x, ∴y=1-2osx 80y左十左2-a 1十 1 2 13.解：(1)：y=xlnx(x>0),y=1lnx+x·1=lnx +1,∴.y'=lnx+1(x>0). (2)由(1)得k=y|x=1=l1n1+1=1. 当x=1时，y=0,.切点为(1,0)，.切线方程为y一0= 1×(x-1),即y=x-1. ·5 富二数学 7 14.解：(1)方程7x-4y-12=0可化为y=4x-3。 当x=2时，y=分又了)=a x2 b 1 于是 2a-2=2'解 a十名工解行{二3：放) x (2)设P(x00)为曲线上任一点，由了x)=1+是 可得曲线在点P(xo,y0)处的切线方程为 y=(+水xo,即 令t0,得)=一，从而得切线与直线工=0的交点里 标为(0一品》： 令y=x,得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐 标为(2x0,2x0), 所以曲线在点P(xo,y0)处的切线与直线x=0,y=x所 围点的三角形面椒为合一只引2=6 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 高考冲浪 1.A[f(x) _(e+2 cos)1+x)-（e+2sin）·2延，所以f(0) (1+x2)2 =3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1 =3(x一0)，即3x一y十1=0，切线与两坐标轴的交点分 1 别为(0,1)，(3,0所以切线与两坐标轴所国成的三 角形的面积为号×1X-日] 2.解析：由题知y=(er十x)'=e十1，当x=0时，切线斜率 k=2, 刻切线方程为y=2z+1y=nx+1D十a'= 2,得x=-号y=2×（-号)+1=0，y=ln(x+1)+a 的切点(0小 即0=n(2+1)十a,故a=n2 答案：ln2 假期作业十二导数的应用（一） 技能提升台技能提升 1.D 2Br-兰-品由巴知件062 {f(1)=a-b=0, 所以a=b=一2，即f(x)=-2+名 xx2 所以广②)=-号+层=-合故速B] 3.D 4.B[f(x)=3x2-3,由f(x)=0,得x=±1. 又因为f(-2)=-2,f(-1)=2, f(1)=-2,f(2)=2. 故fmax（x)=2,fmin(x)=-2.] 蜜快乐假期 5.C[由f(x)=x3+3a.x2+bz+a2,得f(x)=3x2+6a.x 十b.因为f(x)在x=一1处有极值0，所以 D0中{61-0解得88或 {f(-1)=0, 13-6a+b=0, a=2当a=1,时，f(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥ {b=9.3{b=3 0,则f(x)在R上单调递增，函数无极值，舍去. 当8=6时，r)=82+12x+9,令r)0,得4 一1或x=一3，经检验x=一1和x=一3都为函数的极 值点.综上，6=8所以f(1)=3+12+9=24.] 1b=9, 6.A[圆为nx≤号+bCe,ae[,],所以<a 十a≤xe,所以问题可转化为求直线y=bx十a的纵截距 a的最小值.先考虑不等式右半边，设f(x)=xe2,则 f)=e6+1D>0,所以f)左z[,号]上单消逆 增，所以)在x1,]上的图象“上四”，所以直线 y=bx十a与f(x)的图象相切时，切，点横坐标越大，纵裁 距想小，令切点横坐标为受，则切点为（受，昌e)切线 斜率为号c,切线方程为y=(停-星)下西考感不 等式左*边对于y=6(停-）当y=0时，=品 <l,即这条切线与g(x)=xlnx的图象无交点.g'(x)= 1nz+1,g()的图象在（停8（受）)处的切线斜率为 血号+1，在1，g(D)处的切线斜率为1，均小于直线y= e(侵一)的鲜率，所以可令克线y=6c十a在 (停，号十口)处与了()的图象相交，在1,6十o)处与 g(x)的图象相交，此时a取最小值，此时直线方程为y= -(x-1)十0=3e(x-1),裁距为-3e.] 7.BCD[由题可知f()的定义战为(0，十∞)，f()=是 -白_2c=0z2-br-2c,由函教f(r)既有极大值也有 x2 x3 x3 极小值，知f(x)在(0，十∞)上有两个不等实根，令h(x) =ax2-bx-2c,则h(x)在(0，十o∞)上有两个不等实根， rb2+8ac>0, △>0， 所以x1十x2>0,即 b>0, (x1x2>0, -2c☑0. 、a b2+8ac>0, 所以{ab>0, 所以b与a同号，c与a异号，故bc0,所 ac<0, 以A错误，B,C,D正确.故选BCD.] 8.ACD[由二次函数的图象和性质可知A正确，B错误， 因为函数y=2x2一4x十1在(2,4)上单调递增，并且x≠ 2,x≠4，所以无最大值、无最小值；对于C,f(x)=3x2一 12=3(x十2)·(x-2),令f(x)=0得x=2或x=一2， 所以x=2和x=一2是函数f(x)在[一3,3]上的两个极 值，点，且f(2)=一16，f(一2)=16，又f(x)在区间端点的 函数值为f(3)=一9，f(一3)=9，比较以上函数值，可得 f(x)max=16,f(x)min=一l6,所以C正确.对于D,由C 知，y=x3一12x在(-2,2)上单调递减，故在（一2,2）上无 最大值也无最小值，正确.] ·52 00-= 9.解析：由函数的解析式可得∫(x)=alna十(1十a) ln(1十a)≥0在区间(0，十∞)上恒成立， 剥a+o)rn1+a≥-alna,即（告）广> no在区间0，+o0)上楼成立， 故(e）°-1≥-n+a,而a+1e12》, In a a 故ln(1+a)>0, 故nCat1)≥-lha即a(a+1)≥1， 10<a<1, 10<a<1, 故51≤4<1， 2 结合题高可得实数a的取值花调天[，) 答案：[52，） 10.解析：f(x)=x3+x2-5.x十2，(x)=3x2+2x-5, 由x)=0,得2=-号或x=1 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 2 1 3 (1,+∞) f'(z) + 0 0 f(x) 习 229 -1 27 根据上表与右图知，当x=一 时 Y229 27 函数取得极大值且极大值为 v=k (）器当=1时画鼓取 得极小值且极小值为f(1)=一1. 01 根据题意结合图形可知的取值 范周为(-1，器} 答案：(-1，罗) 229Y 11.解析：易知f(x)的 个y 定义域为（一∞， -2)U(-2,+∞)， f(x)=x-2 e x+2 f(x)= e -2 +22 x+2 (e)'= y=a [+e 4 (z+2)2.因为f(x)≥0在(-∞，-2)U(-2,+0) = 上恒成立，所以f(x)的单调递增区间为（一∞，一2）， (-2,十∞).令g(x)=(x-2)e-a(x十2)=0，得a= 要号.#函数g)-（红-2》e-a红+2)的率点问 题，#化为责线y⅓与面数于)-号图象的交点 的横坐标问题.作出直线y=a与函数f(x)的大致图象， 如图所示.当x<一2时，f(x)>0.因为f(一1)= 胃+1=-是<0f2)=2=0,所以当a -1-2 e [80]时，克线ya与南线f)=号交成的 横坐标范围是[一1,2].故函数g(x)的零点的取值范围 是[-1,2]. 答案：(-∞，-2)，(-2，十∞)[-1,2] 三0022 12.解：因f(x)=1二工+k1nx, x f(x)=二x-9-）+é=红1 x21 1若≤0，则在[合e]上恒有f)<0, 所以f)在[日]小上单调递减， 所以fm=e-l号+ne=是+-1， fx)s=f(日)e-k-1. (2)若>0，由<日得>e, 则工一友 所以在[日e]小上单调递减。 所以fx)m=f(e)=1e+lne=】+k-1, e fs=f()）=e-e-1 综上所述，当<&时，x)m=是十k-1, f(x)max=e-k-1. 13.解：(1)f(x)=3ax2+2bx-3, 依题意，f(1)=(-1)=0,即3a+26-3=0, 13a-2b-3=0, 解得6所以f)=x3-3x, 1b=0. f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令f(x)=0,得x=-1或1. 若x∈(-∞，-1)U(1,十∞)，则f(x)>0, 故f(x)在(-∞，一1)和(1，十∞)上是增函数； 若x∈(-1,1)，则f(x)<0, 故f(x)在(-1,1)上是减函数. 所以，f(-1)=2是极大值；f(1)=一2是极小值. (2)曲线方程为y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上。 设切点为M(xo,yo),则点M的坐标满足y0=x8-3xo, 因f(x0)=3(x6-1), 故切线的方程为y-y0=3(x6-1)(x一x0）. 注意到点A(0,16)在切线上，有 16-(x8-3.x0)=3(x6-1)(0-x0). 化筒得x8=一8，解得x0=一2. 所以，切点为M(-2,-2),切线方程为9x-y十16=0. 14.解：(1)若a=1,则f(x)=x2+x-lnx,x>0. 六f(x)=2x+1-1-22+x-1_2x-D(z+D f(x)在(0，）上单调适减，在（合+∞）上单调逆 fm=f(）-n+n2 (2由巴知得f)=2z十a-<0在[1,2]上恒成立， ∴a≤-2x在[1,2]上恒成立.令gx)=-2红，x∈ [1,2],则8(x)=--2<0,gx)在[1,2]单洞逆 减，g(x)min=g(2)=- 名a≤一子，即实数a的取 7 值范国为(0，一引 高二数半 高考冲浪 1.ACD[首先有f(x)=(x-1)2(x-4), 则f(x)=3(x-1)(x一3)， 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 为极小值，点，故A正确； 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x, 故f(x2)<f(x),故B错误； 对于C有，当1<x<2时，得1<2x-1<3且f(1)=0, f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故C正确； 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增，f(2一x)> f(x)成立，故D正确.■ 2.AD[求导得f(x)=6x(x-a),于是A正确，当a>1 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1一a3<0,所以必 有三个零点；B错，a<0时x=0应为极小值点；C错，任 何三次函数不存在对称轴；D正确，当a=2时f(x)= 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 假期作业十三导数的应用（二） 技能提升台技能提升 1.B2.C3.B4.A 5.C[f(x)=f(2-x)+4x-4,求导得f(x)=-(2-x)+ 4,即f(x)十f(2一x)=4①.因为f(x)为R上的奇函 数，则f(-x)=-f(x),求导得f(x)=f(一x),所以 f'(x)是R上的偶函数，所以f(2一x)=f(x-2),结合 ①式可得，f(x)十f(x-2)=4,所以f(x-2)+f(x-4)= 4,两式相减得f(x)=f(x一4)，所以f(x)是周期为4 的周期函数，所以f(2025)=f(1).由①式，令x=1,得 f(1)=2,所以f(2025)=f(1)=2.] 6.A[f()=(x+m+1De-n(+1x>0.图为函 数f(x)=(x十m)e2-n(lnx十x)的图象在点(1，f(1) 处的切线方程为y=（2e一2)x十1-e,所以 f0)=(m士2)e-2n=2e-2,解得m=0所以f(x) {f(1)=(m+1)e-n=e-1, 1n=1, =xe-1nx-,则f(x)=(x十1)e2-1-1=(z+1) (e-子）令g)=c-子(e>0,则g)=e+是 >0(x>0),所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递增.又 g合)=6-2<0，g(1)=e-1>0,则存在m (21使得g()=0,即存在∈（合1使得 (xo)=0,则e=1,故xo=ln是=-1no.当0<< x0时，f(x)<0,当x>x0时，f(x)>0,所以函数f(x) 在(0，xo)上单调递减，在(x0,十∞)上单调递增，所以 f(x)min=f(xo)=xoe2。-lnxo-x0=l.又因为不等式 f(x)≥a恒成立，所以a≤1，所以a的最大值为1.] 7.BD 8.ABC 9.解析：设上底的一半为x,高为h,则h=√2一x2梯形面积 S=(r+x)=-2x2-r+r -,令S=0得 √2-x2 x=?.当x∈(0，)时，S>0,S单调递增，当x∈ (2,r）时S<0,S单调递减.S在x=2时取得最大 值所以梯形面积最大时，梯形的上底长为下· 答案：r 10.解析：f(x)=3x2-a≥0在[1，+o∞)上恒成立， 即a≤3.x2在[1，十∞)上恒成立，所以a≤3. 答案：3 11.解析：，总利润y(万元)与营运年数x之间的关系式为 y=-x2+12x-25, 平均利润兰=-x一2+12=-(+)+12， (2-1+◆-1+5=0，得x=5 ∴运营5年的年平均利润最大，最大利润为2万元. 答案：52 3