假期作业十一 导数的有关概念及其计算-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

快乐假期 假期作业十一导数的有关概 《思维整合室 知识梳理 1.导数的概念 (1)定义：称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时 变化率lim f(x,+△x)-f(xo）=1im △y △x 4x0△x 为函数y=f(x)在x=xo处的导数，记作 或y'|x,即f(xo)=lim △y A+0△x 1imfx+△x)-f(x） △x→0 △x (2)几何意义：函数f(x)在点xo处的导数 f'(x)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 (xo,f(xo))处的切线的斜率（瞬时速度就 是位移函数s(t)对时间t的导数).相应 地，切线方程为 (3)函数f(x)的导函数： 称函数f'(x)=lim f(x,十△x)-f(xo》为 △x f(x)的导函数： 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=x"(n∈Q*) f(x)= f(x)=sin x f'(x)= f(x)=cos x f'(x)= f(x)=a" f'(x)= f(x)=e" f(x)= f(c)=logac f(x)= f(z)=In x f(x)= ·30 900-= 念及其计算 业精于勤，荒于嬉。 完成日期： 月 ◇ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'= (2)[f(x)·g(x)]'= （g(x)≠0). 4.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= f(u),u=g(x)的导数间的关系为yz′= ,即y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数的乘积. 自测自查 1.(1)f(x)(2)y-f(x,)=f(x)(x-x) 2.0 nx"-1 cos x -sinx a"In a e* 113.(If()±g) xln a x (2)f(x)g(x)+f(x)g'(x) (3)f(g)-fg'(） Lg(x) 4.y′·uz 要点记忆 1.深刻理解“函数在一点处的导数”“导函数” “导数”的区别与联系. (1)函数f(x)在点xo处的导数f(xo)是一个 常数， (2)函数y=f(x)的导函数，是针对某一区间 内任意点x而言的.如果函数y=f(x)在 区间(a,b)内每一点x都可导，是指对于区 间(a,b)内的每一个确定的值x。都对应着 一个确定的导数f(xo).这样就在开区间 (a,b)内构成了一个新函数，就是函数 f(x)的导函数f'(x).在不产生混淆的情 况下，导函数也简称导数 三0022 2.曲线y=f(x)“在点P(x,yo)处的切线”与 “过点P(xo,y)的切线”的区别与联系 (1)曲线y=f(x)在点P(x,y)处的切线是指P 为切点、切线斜率为k=f(x)的切线，是唯 一的一条切线。 (2)曲线y=f(x)过点P(x,yo)的切线，是指 切线经过点P.点P可以是切点，也可以不 是切点，而且这样的直线可能有多条. 《技能提升台 技能提升 1.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+△x)上的 平均变化率A义等于 △x A.4 B.4+2△x C.4+2(△x)2 D.4x 2.已知f(x)=xlnx,若f'(xo)=2,则x 等于 () A.e2 B.e c. D.1n2 3.已知曲线y=ae+xlnx在点(1，ae)处的 切线方程为y=2x十b,则 () A.a=e,b=-1 B.a=e,6=1 C.a=e1,b=1 D.a=e1,b=-1 4.曲线y=2sinx十cosx在点（π，一1）处的切 线方程为 () A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0 5.若函数f(x)=bln(ex)+x2-b的图象在 点M(1,1)处的切线与直线2x一y+6=0 垂直，则b“= () A.、25 B.0 4 c 5 D.2 ·3 高二数学为 6.设函数f(x)=e 十f(1)x,则f1= A是 B. c号 n 7.(多选)曲线y=x3十x一2在P点处的切线平 行于直线y=4x一1，则切线方程为( A.y-4x B.y=4x-4 C.y=4x-8 D.y=4x-2 8.(多选)下列求导运算不正确的是() A.(x+2/=1+ 1 B.(log2x)′= xIn 2 C.(3r)'=3x·log3e D.(x2cos x)'=-2xsin x 9.曲线y=21nx在点(1,0)处的切线方程为 10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线 y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过 点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点 A的坐标是 11.曲线y=e5x+2在点(0,3)处的导数为 ,在点(0,3)处的切线方程为 12.求下列各函数的导数. (1)y=(2x2-1)(3x+1). (2)y=x-sin 飞空快乐 一+1 《3)y1-E1+/ 13.已知函数y=xlnx(x>0). (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的图象在x 方程. 000= 14.设函数(x)=ax-2,曲线y=fx)在点 (2,f(2)处的切线方程为7x一4y-12=0. (1)求f(x)的解析式； (2)求证：曲线y=f(x)上任一点处的切线 与直线x=O和直线y=x所围成的三角形 面积为定值，并求此定值， =1处的切线 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），7)设函数f(x)= e十2sinx,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 1+x2 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A君 B号 C. D 2.(2024·新课标I卷，13)若曲线y=e+x 在点(0，l)处的切线也是曲线y=ln(x+1) 十a的切线，则a= ·32·三0022 假期作业十一导数的有关概念及其 计算 技能提升台技能提升 1.B2.B3.D4.C 5.C[由题意知fx)=号r2+bn,所以f(x)=ax十 1a=2, b f)=号+ln1=1, t, 1b=- 5则b= 2 ()°-9 6.B[因为fx)=1+f(1)品，所以f) ee+2rz=a+2fz,故fD (x+1)2 =aFD+2fD,解得f)=-是] e 7.AB 8.ACD 9.解析：“y-是切线斜率=y1=1=2, .切线的方程为y-0=2(x-1),即2x一y一2=0. 答案：2x-y-2=0 10.解析：设点A(x0%),则0=lnx0.又y=1, 当x=0时，y=1, xo 点A在南线y=nx上的切线为)y0-,x, 即y-lnx0=x-l, x0 代入点(-e,-1),得-1-lnx0=二e-1, 即xoln zo=e, 考查函数H(x)=xlnx,当x∈(0，l)时，H(x)<0, 当x∈(1，十oo)时，H(x)>0, 且H'(x)=lnx+1,当x>1时，H'(x)>0,H(x)单调 递增， 注意到H(e)=e,故xoln zo=e存在唯一的实数根xo= e,此时yo=1, 故，点A的坐标为A(e,1). 答案：(e,1) 11.解析：依题意得，y'1x=0=-5e5x|x=0=一5， 因此所求的切线方程是y一3=一5x, 即5x十y-3=0. 答案：-55x+y-3=0 12.解：(1)y=6.x3+2x2-3x-1, ∴y=18x2+4x-3. 1 (2)y=-sin 2cos 2-x-sin x, ∴y=1-2osx 80y左十左2-a 1十 1 2 13.解：(1)：y=xlnx(x>0),y=1lnx+x·1=lnx +1,∴.y'=lnx+1(x>0). (2)由(1)得k=y|x=1=l1n1+1=1. 当x=1时，y=0,.切点为(1,0)，.切线方程为y一0= 1×(x-1),即y=x-1. ·5 富二数学 7 14.解：(1)方程7x-4y-12=0可化为y=4x-3。 当x=2时，y=分又了)=a x2 b 1 于是 2a-2=2'解 a十名工解行{二3：放) x (2)设P(x00)为曲线上任一点，由了x)=1+是 可得曲线在点P(xo,y0)处的切线方程为 y=(+水xo,即 令t0,得)=一，从而得切线与直线工=0的交点里 标为(0一品》： 令y=x,得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐 标为(2x0,2x0), 所以曲线在点P(xo,y0)处的切线与直线x=0,y=x所 围点的三角形面椒为合一只引2=6 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 高考冲浪 1.A[f(x) _(e+2 cos)1+x)-（e+2sin）·2延，所以f(0) (1+x2)2 =3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1 =3(x一0)，即3x一y十1=0，切线与两坐标轴的交点分 1 别为(0,1)，(3,0所以切线与两坐标轴所国成的三 角形的面积为号×1X-日] 2.解析：由题知y=(er十x)'=e十1，当x=0时，切线斜率 k=2, 刻切线方程为y=2z+1y=nx+1D十a'= 2,得x=-号y=2×（-号)+1=0，y=ln(x+1)+a 的切点(0小 即0=n(2+1)十a,故a=n2 答案：ln2 假期作业十二导数的应用（一） 技能提升台技能提升 1.D 2Br-兰-品由巴知件062 {f(1)=a-b=0, 所以a=b=一2，即f(x)=-2+名 xx2 所以广②)=-号+层=-合故速B] 3.D 4.B[f(x)=3x2-3,由f(x)=0,得x=±1. 又因为f(-2)=-2,f(-1)=2, f(1)=-2,f(2)=2. 故fmax（x)=2,fmin(x)=-2.]