假期作业九 等差数列及其前n项和-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

受快乐假期 假期作业九等差数列 〈《思维整合室 知识梳理 1.数列的概念 (1)数列：按照一定 排列的一列数称 为数列. (2)项：数列中的 叫做这个数列的项。 2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项a与 之间 的关系可以用一个式子来表示，那么这个公 式叫做这个数列的通项公式， 3.等差数列的定义 如果一个数列从第 项起，每一项与 它的前一项的差等于 ,那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的 ,公差通常用字母d表示. 4.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则 其通项公式为an= 若等差数列{an}的第m项为am,则其第n 项a,可以表示为an= (2)等差数列的前n项和公式 S.=na十a）- 2 .(其中n∈N*, a1为首项，d为公差，an为第n项) 5.等差数列及前n项和的性质 (1)若a,A,b成等差数列，则A叫做a,b的等 差中项，且A= (2)若{an}为等差数列，当m十n=p十q, (m,n,p,q∈N*). (3)若{an}是等差数列，公差为d,则a,a+m, a+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的 等差数列 ·2 及其前n项和 (4)数列Sm,S2m一Sm,S3m一S2m,…也是等差 数列. (5)S2m-1=(2n-1)an. 自测自查 1.(1)顺序(2)每一个数2.序号n 3.2同一个常数公差 4.(1)a1+(n-1)dam+(n-m)d (2)na+n(n Dd 2 5.(1)a十b 2 (2)am十an=ap十ag(3)md 要点记忆 等差数列的解题技巧 (1)首项a1和公差d是解决等差数列问题的 两个基本量，等差数列的问题一般可以转 化为首项a1和公差d的关系问题. (2)利用等差中项公式可简化解题的过程， (3)在等差数列中，灵活运用等差数列的性质 可简化计算. (4)等差数列的通项公式及前n项和公式，共 涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就 能求另外两个，体现了方程的思想. 〈《技能提升台 技能提升 1.已知数列1，√3，√5，√7，…，√2n-1,则35是 它的 ) A.第22项 B.第23项 C.第24项 D.第28项 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a=7, a10=2,则S14= A.49 B.63 C.70 D.126 三0022 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2o26= 2026,且a3十a2024=m,则m= () A.1 B.2 C.2024 D.2026 2an,(0≤a<2), 4.数列{an}满足an+1 6 若a=号，则a,等于 B号 c多 D月 5.在等差数列{an}中，已知a1=2,d=3,Sn+3 一Sn=60,则n的值为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 6.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高 阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见 的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16，从 第二项起，每一项与前一项的差组成新数列 2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列，则称 数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二 阶等差数列{an},其中前几项分别为2,5,9， 14,20,27,记该数列的后一项与前一项之差 组成新数列{bn},则b。= () A.5 B.6 C.7 D.8 7.(多选)下面是关于公差d>0的等差数列 {an}的四个命题，其中正确的是 ( ) A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列a}是递增数列 n D.数列{am十3nd}是递增数列 8.（多选)对于正项数列{an},定义Gn= a+2a+4a,十…+2'a为数列(a,}的 “匀称值”.已知数列{an}的“匀称值”为Gm =2”,前n项和为Sn,则下列关于数列{am》 的描述正确的是 ·2 富二数类) A.数列{an}为等差数列 B.数列{an}为递减数列 c8-2 2 D.若b.=（0)广·a则数列b)有最大项 9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1= 2,a2十a=2,则S1o= 10.中国古代建筑中包含 许多与9相关的设 计.例如，北京天坛圜 丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最 高层的中心是一块天心石，围绕它的第一 圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前 一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ,前9圈的石板总数为 11.已知等差数列{an}的首项为a1,前n项和 为5活8-0器=1，且55，则 a1的取值范围为 12.已知{an}是等差数列，其中a2=22,a6=10. (1)求{an}的通项公式； (2)求a2+a4十a6+…十a2o的值 火曼快乐假期 S00-= l3.若数列{an}满足a+m=an十d(m∈N”, 14.设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令b, d是不等于0的常数)对任意n∈N*恒成 =+”,记S.,T.分别为数列{a,b.》 立，则称{an}是周期为m、周期公差为d的 an “类周期等差数列”.已知在数列{an}中， 的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an} a1=1,an十am+1=4n+1(n∈N). 的通项公式； (1)求证：{an}是周期为2的“类周期等差 数列”，并求a2,a2o26的值； (2)若{bn}为等差数列，且Sg9一T9=99, 求d. (2)若数列{b,}满足bn=a+1-an(n∈N), 求{bn}的前n项和Tn 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），5)等差数列{an}的 前n项和为Sn,若S。=1,则a3十a,= ( A.-2 B子 C.1 2.(2024·新课标Ⅱ卷，12)设Sn为等差数列 {an}的前n项和，若a3十a4=7,3a2十a5=5, 则S10= ·26·飞密快乐假期 消去y整理得2x2-2(2k2+1)x十4k2=0. 则4=4(22+1)2-42·42>0，西1十x2-228+D 2 =42+2 k2 x1x2=4, 故|MN|=√1+k2|x1-x2| =√1+k√/（x1十x2)2-4x1x2 =V1+2/462+2)2 4 16=2√10， 化简得(1+2)(16k2十4)=40k,解得2=1（负值舍 去)，故k=士1. 高考冲浪 1.ACD[l恰为抛物线的准线，由 抛物线定义可知A选项正确.设 ∠AFx=0,连接AE易知△ADE D ≌△AFE,.∠DAE=∠FAE= 合∠PAD-号，时IAE=A 0 s2 E 0’ (1-cos 0)cos2 B IABI-1AFI+IBFI=1-cos0 D 十中B部。递项B错天 ABl=2≥2p=6,选项C正确】 AE·|BE= 卫 (1-cos 0)cos (1+cos 0)cos 2 、0 0+π 18 sin0≥18， 选项D正确.故本题正确选项为ACD.] 2.C[由直线y=-2x+2知F(1,0),所以号-1，p=2所 以抛物线方程为y=4x,准线为x=一1，所以B(一1,4)，所 以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以AF=号+ xA=1+4=5.] 假期作业九等差数列及其前n项和 技能提升台技能提升 1.B 2.B[设{an}的公差为d,由a5=7,a10=2,得 a士4d解得a=11,所以S4=14a1+14X13d= la1+9d=2, {d=-1, 2 14×11-7×13=63.] 3.B[图为S22%-2026a,+a223》=2026, 2 所以a1十a2026=2, 又a3十a2024=a1十a2026=m,所以m=2.故选B.] 4.ca=∈[2小 ∴ag=2a-1=号∴a=2a2-1=号∈[0,2） 5 6 5 a4=2ag=7,同理a5=号 3 5 5.C[由题意得an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n 1,Sm+3-Sm=aa+1十am+2十an+3=60,即3(n+1)-1十 3(n+2)-1+3(n+3)-1=60,解得n=5.] 6.D[根据题意知，数列2,5,9,14,20,27，…，满足bm-1= am-am-1=n十1(n≥2)，所以b6=a7-a6=8.] 7.AD[设am=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),因为d>0, 所以数列{an}是递增数列，A为真命题. 同理an十3nd=4dn十(a1-d)是递增数列，D为真命题. 若{an}的首项a1=一3，d=1,则an=n-4, ·4 00M-□ 此时nan=n2-4n不单调，则B为假命题. 若等差数列{an}满足a,=,则2：=1为常数，C错.因此 A,D正确；B,C错误.] 8.ACD[由已知可得G,=1+2a2++20a=2, n 所以a1十2a2十…十2n-1an=n·2",① 所以n≥2时，a1十2a2十…十2n-2am-1 =(n-1)·2"-1,② 得n≥2时，2m-1am=n·2m-(n-1)·2n-1 =(n+1)·2n-1, 即n≥2时，an=n十1， 当n=1时，由①知a1=2,满足an=n十1. 所以数列{an}是首项为2、公差为1的等差数列，故A 正确， 显然该等差数列是递增数列，故B不正确， 所以Sn=nn,+3》,所以S=n十3， 2 2 故S20=2029,故C正确 -2026 2 =(品)”6，=（品）”(a+1D,复设是最大项， 则有≥b+1令 bk-1≤bk 品) k+1 ·(k+1)≥ 9 ·(k+2) k-1 →8k9, (品.+≥（品） ·k 因此数列{bn}有最大项，故D正确，故选ACD.] 9.解析：由a2+a6=2,可得a1十d+a1+5d=2,因为a1 -2,可求出d=1,由数列的前n项和公式得S10=-2× 10+10×00-1D×1=-20+45=25. 2 答案：25 10.解析：由题可知从第1圈到第9圈的石板数形成等差数 列{an},且首项a1=9,公差d=9, 则第7圈的石板数为a7=9十6×9=63，前9圈的石板 总数为S,=9×9+9X8×9=405.故答案为63,405. 2 答案：63405 11.解析：设等差数列{an}的公差为d, Sa-na1+u(nDd, 2 受=a+a-0·号-号+a号) 六兼列}是以-1为首项，号为公差的等差数列， n 、S2026_S2025=d=1,解得d=2; ·2026202521 Sn≥Sg,a6=a1十4d=a1+8≤0， {a6=a1+5d=a1+10≥0， 解得-10≤a1≤-8， 即a1的取值范围为[-10，一8]. 答案：[-10，-8] 12.解：(1)设等差数列{am}的公差为d.因为a6=a2+4d,所 以10=22+4d,得d=-3,所以a1=a2-d=25,所以an =28-3n. (2)因为{an}是等差数列，所以a2,a4,a6,…,a20也是等 差数列，公差为2d,所以a2,a4,…,a20是首项为a2=22, 公差为-6的等差数列，共有10项，则a2十a4十a6十… +a20=10X22+9X10×(-6)=-50. 2 三0022 13.(1)证明方法一：由am十an+1=4n十1，am+1十am+2 =4(n+1)+1,相减得a+2-am=4(n∈N*), 所以{an}是周期为2、周期公差为4的“类周期等 差数列”， 由a1十a2=5,a1=1,得a2=4, 所以a2026=a2+(2026-2)×2=4+4048=4052. 证明方法二：由am十an+1=4n十1，an+1十an+2=4(n十 1)+1,相减得an+2-am=4(n∈N*), 所以{an}是周期为2、周期公差为4的“类周期等差 数列”， 从而{an}的奇数项和偶数项分别是公差为4的等差 数列， (2n一1(n为奇数)， 所以am={2n(n为偶数)： 所以a2026=2026X2=4052. (2)解：由bm=an+1一am,bm+1=am+2一an+1, 得bn+1十bn=an+2一an=4, 当n为偶数时，Tm=(b1十b2)十(b3十b4)十…十(bn-1十bn) =4X号-2m: 当n为奇数时，Tm=b1十(b2十b3)十(b4+b5)十…十 (bn-1+b,)=3+4×,1=2m十1. 2 袋上所送，不-a为的商数， 14.解：(1)因为3a2=3a1十a3,故3d=a3=a1+2d,即a1= d微a=,所以6=”安28，=D,n nd 2 -m(3》,又因为S+T,=21,即3X4d+3X5=21, 2d 2 _2d 即2d-7d+3=0,故d=3或d=号（合），故{a}的通 项公式为an=3n. n2+n (2)易知bm=a1+(n-1)d1 所以=品afaa2a 12 因为{bn}是等差数列，所以2b2=b1十b3, 所以12=12十2 ai+d a1+2d a' 整理得(a1-2d)(a1-d)=0.所以a1=2d或a1=d. 当a1=d时，an=nd,a1=d>l. 于是6，-"宁8-D4,工-法》。 2d 而5-T0=9,所以501-}=1， 解得4-弱支d=-1合去). 当a=2d时a,=a+1d.6,==a= an 故Sn=nn十3)d,Tn=n1卫D,又Sg-T9=99, 2 2d 即99×102d_9X100=99,即51d2-d-50=0, 2 2d 所以d=一（会）或4=1合)蜂上可知d=認 高考冲浪 1.D[由Sn=a1n+nn2Dd得Sg=9a1+36d=1,a1 2 十4d=日，as十a=2a,=2(a1十4d0=号. 2.解析：设am=a1十(n-1)d,则由条件得2a1十5d=7,4a1 +7d=5,解得a1=-4,d=3, 则S10=5(2a1+9d)=95. 答案：95 ·4 高二数学) 假期作业十等比数列及其前n项和 技能提升台技能提升 ,A[由题得@u88,a1=合g=2,a,=专×2 a1g4=8,1 =32.] 2.D 3.D[根据题意可知{an}的通项公式为an=3m, 当an=32026时，n=2026,故选D.] 4.B[由韦达定理，可得a2·a2o25=2,由等比数列性质 可得an·a2027-n=2,n∈[1,2026]，n∈N*. 设S=log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2026, 2S=log2a1+log2a2 026 log2a2+log2a2 025+.+ log2a2 026+l0g2a1, 得2S=log2(a1·a2026·a2·a2025·…·a2026·a1) =1og222026=2026→S=1013.故选B.] 5.A[由于数列{an}的后7项构成等比数列，所以ag= a5g,即192=12q4,解得q4=16.由于{an}为递增数列， 因此q=2,a5=a3q2,得a3=3,又a1=1,且前3项成等差 数列，所以a2=2,故数列{an}的所有项的和为1十2十 31-22)=384.] 1-2 6.D[设等比数列{an}的公比为q,则an=a1q-1,Tn= Tn+1 aig-w=a1学，于经-（会）八，学， ’T 2n g 2·g,当9≠1时，2·g不是常 数，此时数列工)不是等比数列，则甲不是乙的充分条 2n 件：若}为等比数列，令首项为1，公比为p,则 2 2n p-,T.=201·(2p)-1,于是当n≥2时，a,=T。 2b1·(2p)n-1 2b1·(2p)m-=2p,而a1=T1=261,当61≠p时，{a,}不 是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不 充分也不必要条件.门 7.ABD[对于A,因为等比数列中的各项都不为0，所以A 不正确；对于B,因为等比数列的公比不为0，所以B不正 确；对于C,若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0， 根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确； 对于D,只有当a,b,c都不为0时，a,b,c才成等比数列， 所以D不正确.故选ABD.] 8.AD[因为a1=1,则a1+a2=2,a2=1,又a2十a3=4,a3 =3,同理a3十a4=23,a4=5,故A正确； 而2=1,23=3，故{an}不是等比数列，B错误； a1 a2 a1十a2十…十a2021 =a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2020+a2021) =1+22+24+…+2020=1+41-41o10)=41o1-1 1-4 3 -202-1,C错误； 3 a1十a2+…+a2022 =(a1十a2)+(a3十a4)+…+(a2o21十a2022) =21+23++22021=2(1-4101)_2×41011-2 1-4 3 -2028-2,故D正确.] 3 9