假期作业八 抛物线-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

三0022 假期作业八抛物 《(思维整合室 知识梳理 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线(F￠ )的 的点的轨迹叫做抛物线 叫做抛物线的焦点， 叫做抛物 线的准线 2.抛物线的标准方程(p>0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 自测自查 1.距离相等定点定直线 2. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y'=2px (号0) x=- 卫 y'=-2px (-号0) x=号 x2=2py (0,) y=- x2=-2py 0,-) y=号 21 线 驽马十驾，功在不舍。 完成日期： 日 要点记忆 判断焦点位置及开口方向的记忆口诀 焦点要看一次项，符号确定开口方向； 如果y是一次项，负时向下，正向上； 如果x是一次项，负时向左，正向右. 《技能提升台 技能提升 1.已知抛物线的准线方程为x=一7，则抛物 线的标准方程为 ) ( A.x2=-28y B.y2=28x C.y2=-28x D.x2=28y 2.已知抛物线的标准方程y=4x,则它的准 线方程是 () A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1 3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜 率为1的直线交抛物线于A,B两点，若线 段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的 准线方程为 ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 4.已知抛物线y=2px(p>0)的准线经过点 (一1,1)，则该抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在 C上，若M到直线x=一3的距离为5，则 |MF|= () A.7 B.6 C.5 D.4 火壁饶乐假朋 6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点 A(0,2)且与抛物线C有唯一公共点的直 线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 7.(多选)已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点M(m,一2)到焦点的距离 为4，则m的值可能为 () A.-4 B.-2 C.4 D.2 8.(多选)已知抛物线C:y2=2px的焦点为 F,点P(9,6)在C上，直线PF交C于另一 点Q,则 () A.C的准线方程为x=1 B直线PQ的斜率为是 C.|FQ|=2 D,线段PQ的中点的横坐标为幻 9.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点 A(0,2),若线段FA的中点B在抛物线上，则 点B到该抛物线准线的距离为 10.已知抛物线：y2=2px(p>0).若第一象限 的A,B两点在抛物线上，焦点为F,AF =2,|BF|=4,|AB=3,则直线AB的斜 率为 11.应用抛物线和双曲线的 光学性质，可以设计制造 反射式天文望远镜，这种 0 望远镜的特点是镜筒可 以很短而观察天体运动 又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种 反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中 心截口示意图)所示.其中，一个反射镜 POQ弧所在的曲线为抛物线，另一个反 ·22 00M-= 射镜MO,N弧所在的曲线为双曲线的一 个分支.已知F,F2是双曲线的两个焦点， 其中F2同时又是抛物线的焦点，且∠NF,F =45,tan∠NEE,=4,△NF,F,的面积为 10,|O1F2|=8,以FF2的中点O为原点， FF2所在直线为x轴，建立平面直角坐标 系，则抛物线方程为 12.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦 点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线 上的一点，且|AM=√17，|AF|=3,求此 抛物线的标准方程。 三0022 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线C与直线L1:y=一x的一个交点 的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程； (2)不过原点的直线12与L1垂直，且与抛 物线交于不同的两点A,B,若线段AB的 中点为P,且|OP|=IPB|,求△FAB 的面积. ·2 富二教学卧) 14.在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹 为曲线C.①点P到F(2,0的距离比P 到y轴的距离大；②过点合0的动 圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径.在① 和②中选择一个作为条件 (1)选择条件： ,求曲线C的方程； (2)设直线y=k(x一2)(k≠0)与曲线C相 交于M,N两点，若|MN|=2√I0,求实数 k的值. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个 解答计分. 高考冲浪 1.(2025·全国一卷，10)设抛物线C:y2=6x的 焦点为F,过F的直线交C于A、B两点，过A 作直线1：x=一 的垂线垂足为D,过F作垂 直于AB的直线交1于E,则 () A.AD=AF B.AE=AB C.1AB≥6 D.|AE·IBE≥18 2.(2025·全国二卷，6)设抛物线C:y2=2px (p>0)的焦点为F,点A在C上，过点A作 C的准线的垂线，垂足为B,若直线BF的方 程为y=一2x十2，则|AF|= () A.3 B.4C.5 D.6三0022 +y1y2=-1, 化简后可得到(m2+1)y1y2-3m(y1十y2)+10=0, 所以3b2(m2+1)-12m262+10(b2m2-1)=0,化简 b2m2+362-10=0, 所以b2=一 101 又m≠茶，所以6头0 10b2 2+3362+1,得b≠3，所以b ∈03U(3,9 ,又b>0,故b的取值范围是(0，w3)U 〔， 高考冲浪 1.D[由题知b=7a,则c=√7+1a=2√2a,所以离心率e =C=2√2，故选D.] 2.解析：由题知：|AF2|=5,|AF1|=13,|F1F2|=2c= √132-52=12，解得c=6,|AF1|-AF2|=2a=8,解得 a=4,所以e台-是 答案：》 假期作业八抛物线 技能提升台技能提升 1.B 2.A[因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以其准线方程 为x=一1.] 3.B4.B 5.D[因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为 x=一2，点M在C上， 所以M到准线x=一2的距离为MF, 又M到直线x=-3的距离为5， 所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.] 6.C[由抛物线的方程为y2=4x,知F(1,0).当过点A的 直线斜率不存在，即直线与y轴重合时，满足直线与抛物 线C有唯一公共，点.当过点A的直线斜率为0时，直线方 程为y=2,满足直线与抛物线C有唯一公共，点.当过点A 的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx十2，由 y,x十2，得关于c的方程k2x2十(4-4)x十4=0，令 {y2=4x, 4=(4-4)2-4X4X2=0,解得6=号，此时满足条件 的直线有1条.综上，过，点A与抛物线C有唯一公共点的 直线有3条.] 7.AC 8.BD[对于A,点P(9,6)在抛物线C上，18=36，解 得p=2,故C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),准线方 程为=-1，A错误；对于B,直线PQ的斜率&-日 子，B正确；对于C,直线PQ的方程为y=至(x-1D,联 立抛物线方程得 =x-1D·解得9：或 y2=4x, y=6, 92即Qg,-3),故1FQ=g+=号+1 3 1 9十9 9,C错误；对子D,线段PQ的中点的赞坐标为2 号，D正确] ·4 0g反1o,号 11.解析：不妨设F1(-c,0),F2(c,0),N(x0,yo)(x0>0,yo >0).由tam∠NFF=子，∠NFR=45,则有 y0=1 千。子'解得=号c%=号c,又5a月 y0=c一x0, 名RPl0=号c=10,解得e=5,0,P=8,则有 O1(-3,0),故抛物线方程为y2=32(x十3). 答案：y2=32(x十3) 12.解：设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0), 设Ao,由题可知M0,一号) :AF1=3,0+号-3 1AM=6+(o+号)=1n, x6=8,代入方程x6=2py0,得 8=2p(3-号)，解得p=2或p=4。 .所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 13.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，一8)， .(-8)2=2p×8. .2p=8,.抛物线方程为y2=8x. (2)由直线l2与l1垂直，可设直线l2:x=y十m, A(x1y1),B(x2y2),且直线l2与x轴的交点为M. 由Y=8x,n得y-8y-8m=0, x=y+m, △=64+32m>0, .m>-2.y1+y2=8,y1y2=-8m, ∴12==m2. 64 由题意可知OA⊥OB,即x1x2十y1y2=m2-8m=0, ∴m=8或m=0(舍)，.直线2：x=y十8，M(8,0). 故S△AB=SAM十SAA=2·FM·b1-zl =3√(y1+y2)2-4y1y2=24√5. 14.解：(1)选①：设P(z,,由题意PF到-x+2, /-}+=1x1+, 整理可得y2=x十x|,即y2=2x(x>0) 或y=0(x≤0)， 所以曲线C的方程为y2=2x(x>0)或y=0(x≤0). 选②：过P作y轴的垂线，垂足 为H,交直线x=一合于点P, H P P 设动圆的圆心为E,半径为r,则 点E到y轴的距离为r, 在梯形OFPH中，由中位线性 质可得PH=2r-2, 所以Pp1=2-2+号=2， 又PF=2r,所以|PP'=|PF, 由抛物线的定义知，点P是以F(侵0）为焦点的抛 物线， 所以曲线C的方程为y2=2x. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=k(x-2)代入y2 =2x, 飞密快乐假期 消去y整理得2x2-2(2k2+1)x十4k2=0. 则4=4(22+1)2-42·42>0，西1十x2-228+D 2 =42+2 k2 x1x2=4, 故|MN|=√1+k2|x1-x2| =√1+k√/（x1十x2)2-4x1x2 =V1+2/462+2)2 4 16=2√10， 化简得(1+2)(16k2十4)=40k,解得2=1（负值舍 去)，故k=士1. 高考冲浪 1.ACD[l恰为抛物线的准线，由 抛物线定义可知A选项正确.设 ∠AFx=0,连接AE易知△ADE D ≌△AFE,.∠DAE=∠FAE= 合∠PAD-号，时IAE=A 0 s2 E 0’ (1-cos 0)cos2 B IABI-1AFI+IBFI=1-cos0 D 十中B部。递项B错天 ABl=2≥2p=6,选项C正确】 AE·|BE= 卫 (1-cos 0)cos (1+cos 0)cos 2 、0 0+π 18 sin0≥18， 选项D正确.故本题正确选项为ACD.] 2.C[由直线y=-2x+2知F(1,0),所以号-1，p=2所 以抛物线方程为y=4x,准线为x=一1，所以B(一1,4)，所 以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以AF=号+ xA=1+4=5.] 假期作业九等差数列及其前n项和 技能提升台技能提升 1.B 2.B[设{an}的公差为d,由a5=7,a10=2,得 a士4d解得a=11,所以S4=14a1+14X13d= la1+9d=2, {d=-1, 2 14×11-7×13=63.] 3.B[图为S22%-2026a,+a223》=2026, 2 所以a1十a2026=2, 又a3十a2024=a1十a2026=m,所以m=2.故选B.] 4.ca=∈[2小 ∴ag=2a-1=号∴a=2a2-1=号∈[0,2） 5 6 5 a4=2ag=7,同理a5=号 3 5 5.C[由题意得an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n 1,Sm+3-Sm=aa+1十am+2十an+3=60,即3(n+1)-1十 3(n+2)-1+3(n+3)-1=60,解得n=5.] 6.D[根据题意知，数列2,5,9,14,20,27，…，满足bm-1= am-am-1=n十1(n≥2)，所以b6=a7-a6=8.] 7.AD[设am=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),因为d>0, 所以数列{an}是递增数列，A为真命题. 同理an十3nd=4dn十(a1-d)是递增数列，D为真命题. 若{an}的首项a1=一3，d=1,则an=n-4, ·4 00M-□ 此时nan=n2-4n不单调，则B为假命题. 若等差数列{an}满足a,=,则2：=1为常数，C错.因此 A,D正确；B,C错误.] 8.ACD[由已知可得G,=1+2a2++20a=2, n 所以a1十2a2十…十2n-1an=n·2",① 所以n≥2时，a1十2a2十…十2n-2am-1 =(n-1)·2"-1,② 得n≥2时，2m-1am=n·2m-(n-1)·2n-1 =(n+1)·2n-1, 即n≥2时，an=n十1， 当n=1时，由①知a1=2,满足an=n十1. 所以数列{an}是首项为2、公差为1的等差数列，故A 正确， 显然该等差数列是递增数列，故B不正确， 所以Sn=nn,+3》,所以S=n十3， 2 2 故S20=2029,故C正确 -2026 2 =(品)”6，=（品）”(a+1D,复设是最大项， 则有≥b+1令 bk-1≤bk 品) k+1 ·(k+1)≥ 9 ·(k+2) k-1 →8k9, (品.+≥（品） ·k 因此数列{bn}有最大项，故D正确，故选ACD.] 9.解析：由a2+a6=2,可得a1十d+a1+5d=2,因为a1 -2,可求出d=1,由数列的前n项和公式得S10=-2× 10+10×00-1D×1=-20+45=25. 2 答案：25 10.解析：由题可知从第1圈到第9圈的石板数形成等差数 列{an},且首项a1=9,公差d=9, 则第7圈的石板数为a7=9十6×9=63，前9圈的石板 总数为S,=9×9+9X8×9=405.故答案为63,405. 2 答案：63405 11.解析：设等差数列{an}的公差为d, Sa-na1+u(nDd, 2 受=a+a-0·号-号+a号) 六兼列}是以-1为首项，号为公差的等差数列， n 、S2026_S2025=d=1,解得d=2; ·2026202521 Sn≥Sg,a6=a1十4d=a1+8≤0， {a6=a1+5d=a1+10≥0， 解得-10≤a1≤-8， 即a1的取值范围为[-10，一8]. 答案：[-10，-8] 12.解：(1)设等差数列{am}的公差为d.因为a6=a2+4d,所 以10=22+4d,得d=-3,所以a1=a2-d=25,所以an =28-3n. (2)因为{an}是等差数列，所以a2,a4,a6,…,a20也是等 差数列，公差为2d,所以a2,a4,…,a20是首项为a2=22, 公差为-6的等差数列，共有10项，则a2十a4十a6十… +a20=10X22+9X10×(-6)=-50. 2