假期作业七 双曲线-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

三0022 13.解：(1)由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=4, .a=2. 在△PFF2中，由余弦定理可得 IFF212=PF112+PF212-2PF1IPF2 lcos 120, 42=156=9西：8=a2-2=49-, 故指同C的方程为号+42=1 (2)设，点P(m,n),由题意可知m>0. :SarR,=2PF,lPF,lsim120=2×(2+B× 2-×9号×2xX1mm=±得 10 1 寄点P的坐标代入椭圆C的方程可得"m十与 =1,解得 45,故，点P的坐标为45，-）或45， m= 5 (5，-10(510 ,b=1, a=2, 14.解：(1)依题意可知：2c=2√3，解得b=1, (a2=b2+c2, c=√3， 故柄圆E的方程为+y-1. (2)由题可设直线方程为：y一1=k(x十2)，B(x1,y1), C(x2,y2）, 1y-1=k(x+2), 联立直线和椭圆E方程：{ 可得(1+42)x +(162+8k)x+16k2+16k=0,由△>0可得(16k2+8k)2- 4×(1+42)(16k2+16k)>0, 解得<0， 根据韦达定理可得十x2=二(1662+8) 1+42 1.x2=16k2+166 1+429 直线AB的斜率为B=一二 ,AB的直线方程为： x1 y=y11 x十1，令y=0,可得点M的横坐标 xM=1一y1 同理可得点N的横坐标xN一一2 x2.则有 IMNI= x1 1-y1-y2 -k(x1+2)-k(x2+2) 1 kx2十2x1十2 1 x2(x1十2)-x1(x2+2) x1x2十2(x1十x2)+4 1 2√/(x1+x2)2-4x1x2 =2, x1x2十2(x1十x2)+4 代入韦达定理式子可得 /-(16k2+8k) 2 1+4k2 4X16k2+16k 1+4k2 =2, 16k2+16k +2 -16k2-8k +4 1+4k2 1+4k2 化简可得 2√64(2k2+k)2-4×16(k2+k)(1+42) 1 1+42 =2, 16k2+16k+-32k2-16k+4牛16k 1+4k2 1+42 1+42 即 生/4k4+43+k2-4k4-4k3-2-6 =2,可得 √-k 1 两边辛方则有日=子，解得及=一4故 2 k的值为一4. 高二数学 高考冲浪 1.A[设P点坐标为(x',y),中点M坐标为(x,y),则x =x,y=2y,代入圆的方程为x2+4y2=16,化为标准方 程为后+学-1y>0.] 2.解：1)由已知得b=3,将点P3,是)及6=3代入C,得 a2十4X32=1,则Q2=12,所以c2=a2-2=3, 9+9 所以C的离心率e=S=B=1 a 252· (2)由已知得SABP=合PA·dB-A=吉 √9+(3-)×da-A=9,则dgm=12,5, 5 3 3一 kAP=3 =-分，l0:y=一号x十3，设过点B且与 1 PA平行的直线为1'y=- 2x+m, 因为dB-A=125,所以13m-125,则m=-3或 5 + 5 9(舍去)，所以1：y= 1 2x3 联立1：y=-分x-3和C方程号 多十}=1，得=0 =-3,所以B0,-3》减B(3,) 当B坐标为(0，一3)时，l:y= 2x3: 当B坐标为(3，一2)时，：y=x 1 假期作业七双曲线 技能提升台技能提升 1.D2.C BD由=，则十1计 a2 解得b=2, 渐近线y=一2x与圆无法相交， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, 则圆心(2,3)到渐近线的距离 d=12×2-3=5 √22+1 5 所以孩长1AB1=2V一正-2日-45故连D] 5 4. 5.D[由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y=名，与 抛物线方程组成方程组p= a,消去y得，x2-bx （y=x2+1, a 十1=0，△= a -4=0,即（径） =4,所以e 2 a ）=5.] 6.A[如图，设|PF1|=m,lPF2 =n,则m>n>0.由双曲线定义 知，m一n=4.又mn=12,故m= 6,n=2.由于点P在以F1F2为 直径的圆上，所以PF1⊥PF2, 1 故tan∠PFF2=3' 从而tan∠POF2=tan2∠PFF2 打 快乐假期 7.ACD[将双曲线方程化为标准式可得芒-兰-1.当m 15 m m >0时，双曲线号一兰-=1表示焦点在工轴上的双向线， 15 m 且2-品--品此时顶点丝标为 (土√0小离近线方程为)=士5，焦距2=源离 心率+号-中百-喜m<0时，双线号 m 示焦点在y轴上的双曲线，且2 m 一=一此时顶点丝标为0，士√厂)延线 方程为y=士√5x,焦距2c= 26,离心率e1+ b2 √一m a2 √十日=面编上可得，随m的支化而变化的是项点 5 坐标、焦距和离心率.] 8ABD[:双曲线渐近线方程为y=士3x, .双曲线渐近线与x轴夹角为30°或150° 又F为右焦点，P是双曲线上一点， .0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°. ∴∠POF不可能为60°.] 9.x2-y2=1 10.解析：双曲线y2+℃=1的渐近线方程为 m ±产n士9，故m=- √-m 答案：一3 1.解析：过F且斜率为名的直线1：y=名（红十），新近线 l2:y -bt, a w=b(x十c) 联立 (y-ha b y= at, 得B(台)由FB1=3FAI, 得A(警)： 81281a0=1,得g=81 点A在双曲线上，于是25cb2c2 a2=241 所以离心率e=36 4 答案3 2.解：①)若所求的双曲线方程为元一岁1@>0,6>0。 期背代入用后参-L 又点A1,)在双由线上， 有品=1，由此得<0，不合题离，合未 若所水的双有线方整为号-草-1公06>0 同上方法解得b2=9, 双曲线方复为需一号-1 ·46 900-= y2 z2 (2)设所求双曲线方程为若一茶-1a>0,6>0), :点(3，-42②)（是5）在双南线上， 点的坐标满足方程， 329=1, 由此得 a262 ,32m-9n=1, n一京，则方程组化为 1 令m= 25m 810=1, 16 1 解此方程组得 m=16' 1 n一g 六a2=16,b2=9,故所求双曲线方程为是 1691. 13.解：：a=1,b=√3，c=2, 直线1过点F2,且倾斜角为45°， .直线l的方程为y=x一2， 代入双曲线方程，得2x2十4x一7=0. 设A(x1y1),B(x2y2), ·-名<0， ,.A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上. 1十=-2到=-名 .|AB|=√1+1|x1-x2 -Exa+2-a-2x-22-4(名)=6 4.解：1)因为e=2,即2，所以=4 因为a2=1,所以c2=4. 因为a2+b=c2,所以2=3，所以b=3(负值舍去). (2)因为△MA2P为等腰三角形， ①若MA,为底，则点P在直线x=一号与P在第一象 限矛盾，故舍去， ②若A2P为底，则MP=MA2,与MP>MA2矛盾， 故舍去. ③若MP为底，则MA2=PA2, 设P(x0y0),x0>0,y0>0. 则√(x0-1)2+(0-0)2=3,即(x0-1)2+y02=9, 又因为x02贺=1， 3 得(-102+(-D×号=9，得1x,2-6-32=0, 得x0=2,y0=2√2，即P点坐标为P(2,2√2). (3)由A1(-1,0),A2(1,0),设P(x1,y),Q(x2y2),则 R(-2,g),设直线1：x=my-2(m>6）片 联立 x=m一2m6'得(62m2-1)y2-4b2my+ /x2y2 2≈1 462m 3b2=0,则 1+2-62m2-1' 3b2 y1·26m2-1 A1R=(-x2十1，-2)，A2P=(x1-1,y),又由A1R·A2P =1,得(-x2十1)(x1-1)-y1y2=1, 即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3) 三0022 +y1y2=-1, 化简后可得到(m2+1)y1y2-3m(y1十y2)+10=0, 所以3b2(m2+1)-12m262+10(b2m2-1)=0,化简 b2m2+362-10=0, 所以b2=一 101 又m≠茶，所以6头0 10b2 2+3362+1,得b≠3，所以b ∈03U(3,9 ,又b>0,故b的取值范围是(0，w3)U 〔， 高考冲浪 1.D[由题知b=7a,则c=√7+1a=2√2a,所以离心率e =C=2√2，故选D.] 2.解析：由题知：|AF2|=5,|AF1|=13,|F1F2|=2c= √132-52=12，解得c=6,|AF1|-AF2|=2a=8,解得 a=4,所以e台-是 答案：》 假期作业八抛物线 技能提升台技能提升 1.B 2.A[因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以其准线方程 为x=一1.] 3.B4.B 5.D[因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为 x=一2，点M在C上， 所以M到准线x=一2的距离为MF, 又M到直线x=-3的距离为5， 所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.] 6.C[由抛物线的方程为y2=4x,知F(1,0).当过点A的 直线斜率不存在，即直线与y轴重合时，满足直线与抛物 线C有唯一公共，点.当过点A的直线斜率为0时，直线方 程为y=2,满足直线与抛物线C有唯一公共，点.当过点A 的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx十2，由 y,x十2，得关于c的方程k2x2十(4-4)x十4=0，令 {y2=4x, 4=(4-4)2-4X4X2=0,解得6=号，此时满足条件 的直线有1条.综上，过，点A与抛物线C有唯一公共点的 直线有3条.] 7.AC 8.BD[对于A,点P(9,6)在抛物线C上，18=36，解 得p=2,故C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),准线方 程为=-1，A错误；对于B,直线PQ的斜率&-日 子，B正确；对于C,直线PQ的方程为y=至(x-1D,联 立抛物线方程得 =x-1D·解得9：或 y2=4x, y=6, 92即Qg,-3),故1FQ=g+=号+1 3 1 9十9 9,C错误；对子D,线段PQ的中点的赞坐标为2 号，D正确] ·4 0g反1o,号 11.解析：不妨设F1(-c,0),F2(c,0),N(x0,yo)(x0>0,yo >0).由tam∠NFF=子，∠NFR=45,则有 y0=1 千。子'解得=号c%=号c,又5a月 y0=c一x0, 名RPl0=号c=10,解得e=5,0,P=8,则有 O1(-3,0),故抛物线方程为y2=32(x十3). 答案：y2=32(x十3) 12.解：设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0), 设Ao,由题可知M0,一号) :AF1=3,0+号-3 1AM=6+(o+号)=1n, x6=8,代入方程x6=2py0,得 8=2p(3-号)，解得p=2或p=4。 .所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 13.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，一8)， .(-8)2=2p×8. .2p=8,.抛物线方程为y2=8x. (2)由直线l2与l1垂直，可设直线l2:x=y十m, A(x1y1),B(x2y2),且直线l2与x轴的交点为M. 由Y=8x,n得y-8y-8m=0, x=y+m, △=64+32m>0, .m>-2.y1+y2=8,y1y2=-8m, ∴12==m2. 64 由题意可知OA⊥OB,即x1x2十y1y2=m2-8m=0, ∴m=8或m=0(舍)，.直线2：x=y十8，M(8,0). 故S△AB=SAM十SAA=2·FM·b1-zl =3√(y1+y2)2-4y1y2=24√5. 14.解：(1)选①：设P(z,,由题意PF到-x+2, /-}+=1x1+, 整理可得y2=x十x|,即y2=2x(x>0) 或y=0(x≤0)， 所以曲线C的方程为y2=2x(x>0)或y=0(x≤0). 选②：过P作y轴的垂线，垂足 为H,交直线x=一合于点P, H P P 设动圆的圆心为E,半径为r,则 点E到y轴的距离为r, 在梯形OFPH中，由中位线性 质可得PH=2r-2, 所以Pp1=2-2+号=2， 又PF=2r,所以|PP'=|PF, 由抛物线的定义知，点P是以F(侵0）为焦点的抛 物线， 所以曲线C的方程为y2=2x. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=k(x-2)代入y2 =2x,快乐假期 假期作业七双 《思维整合室 知识梳理 1.双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与 F1,F2为双曲线 平面内的两个定点 M点的 的 F1,F2 轨迹为 为双曲 =2a 双曲线 线的焦距 2a<|FF2 2.双曲线的标准方程和几何性质 图形 B B2 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 范围 对称轴： 对称轴： 对称性 对称中心： 对称中心： 顶点坐标： 顶点坐标： 顶点 A A 性 A2 A2 质渐近线 离心率 e= ,e∈ 线段A,A2叫做双曲线的实轴， 它的长|A1A2|= 实、虚轴 线段BB2叫做双曲线的虚轴，它 的长|BB2|= a,b,c间 c2= (c>a>0,c>b>0) 的关系 18 0M= 曲线 自测自查 1.IIMF|-|MF2I|焦点|FF2 a28-1 x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a坐标轴 原点坐标轴 原点（一a,0) (a,0)(0,-a)(0,a) y=±bxy=±gx (1,+∞) a 2 26 a2+62 要点记忆 待定系数法求双曲线标准方程的步骤 判 →利用性质判断焦点的位置 设出双曲线的标准方程■ 利用已知构造关于参数的方程（组）】 解方程（组）得标准方程 当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两 种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论， 也可设双曲线方程为m.x2-ny2=1(mn>0), 直接求得。 《技能提升台 技能提升 1.已知双曲线y1@>0)的离心率是6 则a= A.√6 B.4 C.2 D.Z 三0022 2.双曲线x2-义=1的离心率大于2的充分 m 必要条件是 () Am>号 B.m≥1 C.m>1 D.m>2 3已知双曲线C若芳=1(a>0,6>0)的离 心率为√5，C的一条渐近线与圆(x一2)2+ (y一3)2=1交于A,B两点，则|AB= ( A号 B2 C.3⑤ 5 D.46 5 4.渐近线方程为x士y=0的双曲线的离心 率是 () 马 B.1 C.2 D.2 5设双曲袋号蒂=1。>0,6>0》的渐近线 a 与抛物线y=x2十1相切，则该双曲线的离 心率等于 () A.√5 B.2 C.6 D./5 6巴知月R,分别是双曲线髻-芳 =1(6>0) 的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，且点 P在以F,F2为直径的圆上，若|PF1|· |PF,|=l2,O为坐标原点，则tan∠POF2= () A. B.4 c号 D青 7.(多选)已知双曲线的方程为5mx2一my=5 (m∈R,m≠0)，则随m的变化而变化的是 () A.顶点坐标 B.渐近线方程 C.焦距 D.离心率 高二数米恐 8.(多选)已知F是双曲线 y2=1(a>0) a 的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C 上一点，则∠POF的大小可能是 () A.15° B.25% C.60 D.165° 9.设双曲线C的两个焦点为（一√2,0），（√2， 0),一个顶点是(1,0)，则C的方程为 10.已知双曲线y+=1的渐近线方程为y 上3x,则m= 山.已如双面线 =1(a>0,b>0)的左焦 点为P,过F且斜率为品a的直线交双曲线 于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点 B(x2y2),且x1<0<x2,若|FB|=3|FA, 则双曲线的离心率是 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程： 1a=:经过点A1,g (2)焦点在y轴上，且过点(3，一4√2)， 9 飞曼快乐假阴 900 13.已知双曲线3x2-y2=3,直线1过右焦点 (2)若6=26 F2,且倾斜角为45°，与双曲线交于A,B两 ,△MA,P为等腰三角形，且 点.问A,B两点是否位于双曲线的同一支 点P在第一象限，求点P的坐标； 上，并求弦AB的长 (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交P于 点R,若A1R·A2P=1,求b的取值范围. 14.(2024·上海卷，20)已知双曲线rx-芳 =1,(b>0),左、右顶点分别为A1,A2,过点 M一2,0)的直线交双曲线于P、Q两点. (1)若T的离心率为2，求b; 高考冲浪 1.(2025·全国一卷，3)已知双曲线C的虚轴 长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 () A.√2 B.2 C.7 D.2√2 2.(2024·新课标卷，12)改双曲线C:名 三1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B 两点.若|FA|=13,|AB|=10,则C的离 心率为 ·20·