假期作业六 椭圆-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

=0022 假期作业六椭 《思维整合室 知识梳理 1.椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平 为 面内的两个定点F,F2 M点的 椭圆的焦点 轨迹为 MF+MF2|=2a 椭圆 为 2a>|F1F2| 椭圆的焦距 2.椭圆的标准方程和几何性质 yt Az B2 图形 b& B 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) ≤x≤ ≤x≤ 范围 ≤y≤ ≤y≤ 对称轴： 对称性 对称中心： 性 AL A 质 A2 A2 顶点 B B B2 B2 长轴A1A2的长为2a 轴 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=c∈ a a,b,c a2= 的关系 敏而好学，不耻下问。 圆 完成日期： 月 日 自测自查 1.F1,F2|FF2 2.2+y a2+=1 a? 621 -a a-b b 一bb一aa坐标轴 原点（-a,0) (a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a) （-b,0)(b,0)(0,1)b2+c2 要点记忆 求椭圆的标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定α2，b2的 值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭 圆的标准方程，结合已知条件求出a,b;若 焦点位置不明确，则需分焦点在x轴和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A-0,B>0,AB) 【《技能提升台 技能提升 1设点P是葡圆导+ .2 -=1(a>2)上的一点， F,F2是椭圆的两个焦点，若|FF2|= 4√3，则|PFI+|PF2|= () A.4 B.8 C.42 D.47 2.椭圆+×=1(a>b>0)上任意一点到两 a 62 焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c,若d1,2c, d,成等差数列，则椭圆的离心率为() A.2 15 飞壑快乐慨阴 3.已知椭圆C的焦点为F（一1,0)，F2(1,0),过 F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|= 2F,B1,|AB引=|BFI,则C的方程为() A.号+y= B-=1 c+-i D.+= 4已知椭圆写+苔-1，R,为两个袋点，0 为原点，P为椭圆上一点，cos∠FPF2= 号，则PO1= ) A号 B.30 2 c D.③5 2 5.已知椭圆C十y=1(m>0),则“m=2” 是“椭图C的离心率为号的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设椭圆十6 +=1的左、右焦点分别为F、 F2,点P在椭圆上，且满足PF1·PF2=9, 则|PF|·|PF2I的值是 () A.14 B.17 C.20 D.23 7.(多选)如图，F为椭圆 B + =1(a>b>0) 的右焦点，过F作x轴 的垂线交椭圆于点P, 点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，若△OAB的面积是△OPF面 积的号倍，则该椭圆的离心率是 ) A.15 B. 2√5 5 5 .1 000-□ 8(多选)设椭圆C:置+号-1的左，右焦点 3 分别为F,F2,P是椭圆C上的动点，则下 列说法正确的是 ( ) A.|PF|+|PF2|=4 B.椭圆C的离心率e=2 1 C.△PFF2面积的最大值为2√3 D.以线段FF2为直径的圆与直线x十y一2 =0相切 9.若椭圆的焦点在y轴上，长轴的长为4，离 心率。-，则其标准方程为 10.已知直线1与椭圆后+苦-1在第一象限 交于A,B两点，l与x轴、y轴分别交于 M,N两点，且|MA|=|NB|,|MN|= 2√3，则1的方程为 山已知麓图号+芳=1(a>6>0),纸点 F1（-c,0),F2(c,0),c>0,若过F1的直 线和圆(x一c)+y=相切，与椭圆的第 一象限交于点P,且PF2⊥x轴，则该直线的 斜率是 ,椭圆的离心率是 12.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1,F2在 x轴上，且过点A(一4,3).若FA⊥F2A, 求椭圆的标准方程。 6· 三0022 y2 13.已知椭圆C:x2十一1(a之b>0)的左、右 焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一点， ∠FPF2=120°，|PF1I=2+√3，|PF2|= 2-√5. (1)求椭圆C的方程； (2)求点P的坐标. 14.已知椭圆E芳+芳=1a>6>0)的-个顶 点为A(0,1),焦距为23. (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭 圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC 分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时， 求k的值 。1 二数学恐 高考冲浪 1.(2024·新课标Ⅱ卷，5)已知曲线C:x2+y2 =16(y>0),从C上任意一点P向x轴作 垂线段PP',P为垂足，则线段PP的中点 M的轨迹方程为 () A若+片-1>0》R若+营-100) c6+若-I>0)D若+写-1>0) 2.(2024·新课标I卷，16)已知A(0,3)和 P3,引为椭闲C号+苦=1a>6>0)上 两点。 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线1交C于另一点B,且 △ABP的面积为9，求1的方程.飞密快乐假期 14.解：(1)圆C1的方程可化为(x -2)2+(y-3)2=4, 则圆心C1(2,3),半径为2， 由(3-2)2+(5-3)2>4，可知 点P在圆C1的外部，作出圆C 及过，点P的切线如图所示， 由图可知，过点P的切线l的斜 率存在，设1的方程为y一5= 201234x k(x-3),即kx-y十5-3k=0, 则圆心C到直线1的距离为2-3+5-3=2，解得 √1+k k=0或质=-亭，所以直线1的方程为4红十3y一27=0 或y=5. (2)由十-4红-6+9=0， {x2+y2+2x-4y-4=0, 两式相减得直线AB的方程为6.x十2y一13=0， 则圆心C到直线AB的距离d=12+6-13-=V0 √40 4 所以AB=2√4-dP=36 2 高考冲浪 1.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b十c=0,直线a.x十by 十c=0恒过P(1,一2)，当PCLAB时，|AB取得最小值，此 时|PC=1,AB|=2√5-PC2=4.] 2.B[与直线y=√3x十2距离为1的直线为l1:y=√3x十4 和2：y=3x,圆心M(0,一2)到l1的距离为d1= 1二2-4=3，到l2的距离为d?= -2 =1.依 √12+(3)2 12+(3)2 题可知圆与1,2的交点总个数为2，据草图可知圆应与 L2相交，与L1相离，故1<<3，选B.门 假期作业六椭圆 技能提升台技能提升 1.B2.A3.B 4.B[设∠EPF=20,0<0K受， 所以Sar,R=b2 n ZF,PF2=6an. 2 由cos∠f1PF2=cos20=cos20-sin20_1-tan20_3 cos2 0+sin2 0 1+tan20 5' 郎得am0=子， 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 所以，Sa职，=XIF:FalXlypl-2×2BX1pl =6×7,解得：呢=3， 即3=9×(1-音)=号，因此0P川-√3+% +号-选R] 5.A[1-m受得m=2:由e=-m=9, 1_2 2’得 m>1, (0<m<1, m=名所以m=2”是“箱圆C的离心率为号”的充分不 必要条件.] 6.D[设m=|PF1l,n=|PF2|,∠F1PF2=0,由题意得 mncos0=9.易知a=5,b=4,c=√a2-b2=3,则|F1F2 =2c=6,m十n=2a=10,由余弦定理可得cos0= m2+n2-F1F212 2mn -,所以(m+n)2-2mn-36=2 nncos0 =18,即100-2mn-36=18,解得mn=23,即PF1|· 1PF2|=23.] ·4 900-= 7.BD 1 SACAB=2 ab, 1。.b2 SAOPF=2c· a :△OAB的面积是△OPF面积的号倍， -5×2c>2a2=5hc, :.ab=2 a +后 “后=2或号 1 8,AB[?满国C的方短为号+ 3=1,…a=2,b=3,c= 1,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4,故A正确； 离心率e==,故B正确；△PF,P:的面教S△，E =FPp=y,而0≤lp5,△PFE 面积最大值为√3，故C错误； F1(-1,0),F2(1,0),F1F2=2,.以线段F1F2为直 径的圆的方程为x2十y2=1,其圆心为(0,0)，半径为1，又 直线方程为x十y一2=0，∴.圆心到直线的距离d= 1-2L=2>1, √+I 以线段F1F2为直径的圆与直线x十y一2=0相离，故 D错误.] 9.￥+x2-1 10.解析：取AB的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以 IME=NE,设A(x1y),B(x2y2),可得十2× x1十x2 头-器=一合：中kE“kg=一合设直线AB:y=红 x1-x2 +m,0,m>0,◆x=0y=m,◆y=0,2=-g,所 (云受)所以x三=-=-会=- 2 2k 又·MN|=2V5,即|MN|=√m2+(W2m)2=2√3，即 m十2m=12,m=2,所以直线1的方程为)=一号十2. 即x十√2y-2√2=0. 答案：x十√2y-2√2=0 11.255 5 5 12.解：设所家精周的标准方权为号+芳=1。>0》。 设焦点F1(-c,0),F2(c,0): F1A⊥F2A,.F1A·F2A=0, 而F1A=(-4+c,3),F2A=(-4-c,3), ∴.(-4+c)·（-4-)+32=0, .c2=25,即c=5..F1(-5,0),F2(5,0). .2a=AF+AF21 =√(-4+5)2+32+√(-4-5)2+32 =√10+√90=4√10. ∴.a=2√10， ∴.b2=a2-c2=(2√10)2-52=15. 所表精国的标准方程为需+盖-1， 三0022 13.解：(1)由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=4, .a=2. 在△PFF2中，由余弦定理可得 IFF212=PF112+PF212-2PF1IPF2 lcos 120, 42=156=9西：8=a2-2=49-, 故指同C的方程为号+42=1 (2)设，点P(m,n),由题意可知m>0. :SarR,=2PF,lPF,lsim120=2×(2+B× 2-×9号×2xX1mm=±得 10 1 寄点P的坐标代入椭圆C的方程可得"m十与 =1,解得 45,故，点P的坐标为45，-）或45， m= 5 (5，-10(510 ,b=1, a=2, 14.解：(1)依题意可知：2c=2√3，解得b=1, (a2=b2+c2, c=√3， 故柄圆E的方程为+y-1. (2)由题可设直线方程为：y一1=k(x十2)，B(x1,y1), C(x2,y2）, 1y-1=k(x+2), 联立直线和椭圆E方程：{ 可得(1+42)x +(162+8k)x+16k2+16k=0,由△>0可得(16k2+8k)2- 4×(1+42)(16k2+16k)>0, 解得<0， 根据韦达定理可得十x2=二(1662+8) 1+42 1.x2=16k2+166 1+429 直线AB的斜率为B=一二 ,AB的直线方程为： x1 y=y11 x十1，令y=0,可得点M的横坐标 xM=1一y1 同理可得点N的横坐标xN一一2 x2.则有 IMNI= x1 1-y1-y2 -k(x1+2)-k(x2+2) 1 kx2十2x1十2 1 x2(x1十2)-x1(x2+2) x1x2十2(x1十x2)+4 1 2√/(x1+x2)2-4x1x2 =2, x1x2十2(x1十x2)+4 代入韦达定理式子可得 /-(16k2+8k) 2 1+4k2 4X16k2+16k 1+4k2 =2, 16k2+16k +2 -16k2-8k +4 1+4k2 1+4k2 化简可得 2√64(2k2+k)2-4×16(k2+k)(1+42) 1 1+42 =2, 16k2+16k+-32k2-16k+4牛16k 1+4k2 1+42 1+42 即 生/4k4+43+k2-4k4-4k3-2-6 =2,可得 √-k 1 两边辛方则有日=子，解得及=一4故 2 k的值为一4. 高二数学 高考冲浪 1.A[设P点坐标为(x',y),中点M坐标为(x,y),则x =x,y=2y,代入圆的方程为x2+4y2=16,化为标准方 程为后+学-1y>0.] 2.解：1)由已知得b=3,将点P3,是)及6=3代入C,得 a2十4X32=1,则Q2=12,所以c2=a2-2=3, 9+9 所以C的离心率e=S=B=1 a 252· (2)由已知得SABP=合PA·dB-A=吉 √9+(3-)×da-A=9,则dgm=12,5, 5 3 3一 kAP=3 =-分，l0:y=一号x十3，设过点B且与 1 PA平行的直线为1'y=- 2x+m, 因为dB-A=125,所以13m-125,则m=-3或 5 + 5 9(舍去)，所以1：y= 1 2x3 联立1：y=-分x-3和C方程号 多十}=1，得=0 =-3,所以B0,-3》减B(3,) 当B坐标为(0，一3)时，l:y= 2x3: 当B坐标为(3，一2)时，：y=x 1 假期作业七双曲线 技能提升台技能提升 1.D2.C BD由=，则十1计 a2 解得b=2, 渐近线y=一2x与圆无法相交， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, 则圆心(2,3)到渐近线的距离 d=12×2-3=5 √22+1 5 所以孩长1AB1=2V一正-2日-45故连D] 5 4. 5.D[由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y=名，与 抛物线方程组成方程组p= a,消去y得，x2-bx （y=x2+1, a 十1=0，△= a -4=0,即（径） =4,所以e 2 a ）=5.] 6.A[如图，设|PF1|=m,lPF2 =n,则m>n>0.由双曲线定义 知，m一n=4.又mn=12,故m= 6,n=2.由于点P在以F1F2为 直径的圆上，所以PF1⊥PF2, 1 故tan∠PFF2=3' 从而tan∠POF2=tan2∠PFF2 打