假期作业五 直线、圆的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

=0022. 假期作业五直线、圆的 《思维整合室 知识梳理 1.直线与圆的位置关系（半径r,圆心到直线的距 离为d) 相离 相切 相交 图形 0 0 方程 △ 0 △0 0 量 观点 化 几何 d d 观点 2.圆与圆的位置关系（两圆半径为”， r2,d=OO2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图 02 02 (02 形 0 0 01 的关系 自测自查 1.<= >> =< 2.d>r1+r2d=r1+r2r1-r2<d<r +r d=lr-ra d<In-ral 要点记忆 判断直线与圆的位置关系的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半 径x的大小关系判断： (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程 组的解的个数来判断. 富二数恐) 运筹帷幄之中，决胜千里之外。 立置关系 完成日期： 夕 日 (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过点与圆 的位置关系判断，但有一定的局限性，必须 是过定点的直线系， 《技能提升台 技能提升 1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3 的距离为 () A.1 B.2 C.√2 D.2√2 2.已知点P(4,4)和以C为圆心的圆(x一1)2 +y2=4,则|CP|= () A.√41 B.4√2 C.5 D.3 3.若圆x2+y2+4x-2y一a2=0截直线x+y 十5=0所得弦的长度为2，则实数a=() A.±2 B.-2 C.±4 D.4 4.直线x十y十2=0分别与x轴、y轴交于A, B两点，点P在圆(x一2)2十y2=2上，则 △ABP面积的取值范围是 () A.[2,6] B.[4,8 C.[√2,3W2] D.[2√2,3√2] 5.在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从点 M(一4，一2)出发，爬到y轴后又爬到圆 C:(x+2)2+(y一2)2=1上，则它爬行的最 短路程是 A.213-1 B.4 C.8 D.2√/10-1 6.由动点P向圆M:(x十2)2+(y+3)2=1引 两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若四 边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方 程为 () A.(x+2)2+(y+3)2=4 B.(x+2)2+(y+3)2=2 C.(x-2)2+(y-3)2=4 D.(x-2)2+(y-3)2=2 飞曼快乐慨阴 7.(多选)圆x2+y2一2x=0和圆x2+y2+4y =0的位置关系不可能是 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 8.（多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出 定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直 线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉 线”.若△ABC满足AC=BC,顶点A(0, 1),B(2,一1)，且其“欧拉线”与圆M:(x一 4)2+y2=x2相切，则下列结论正确的是 () A.题中的“欧拉线”方程为x一y一1=0 B.圆M上的点到直线x一y=0的最小距离 为号 C.若圆M与圆x2+(y-一a)2=8有公共点， 则a∈[一4,4幻 D.若点(x,y)在圆M上，则￥的最大值 是3v红 41 9.直线x一y=2被圆(x一4)2十y=4所截得 的弦长为 10.写出与圆x2+y2=1和(x一3)2+(y一4)2 =16都相切的一条直线的方程： 11.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y= a对称的直线与圆(x十3)2+(y十2)2=1有公 共点，则a的取值范围是 12.已知圆C:x2+(y-2)2=5,直线l:mx一 y+1=0. (1)求证：对任意的m∈R,直线l与圆C总 有两个不同的交点； (2)若圆C与直线l相交于A,B两点，求 弦AB的中点M的轨迹方程. 00-= 13.已知两圆M:x2+y2=10和N:x2+y2+ 2x+2y-14=0. (1)求两圆的公共弦所在的直线方程； (2)求过两圆交点且圆心在x十2y-3=0 上的圆的方程 14.已知圆C1:x2十y2-4x-6y十9=0. (1)过点P(3,5)作圆C1的切线1，求直线1 的方程； (2)若圆C2:x2+y2+2x一4y-4=0与圆 C1相交于A,B两点，求|AB. 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷，12)已知b是a,c的等差 中项，直线ax十by十c=0与圆x2十y2十4y -1=0交于A,B两点，则|AB引的最小值为 () A.1 B.2 C.4 D.2√5 2.(2025·全国一卷，7)已知圆x2+(y+2)2 =r2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为1 的点有且仅有两个，则的取值范围是 () A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞)三0022 所以周的方程为(-专)+(-子)广-臣 (4)若圆过B,C,D三点，则线段BD的中垂线方程为 y=1,线段BC中垂线方程为y=5x一7，联立得 8 y=1, 所以圆的方程为（一）'+(y一1)-9， 8〉 25 答案：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5 =169 25 假期作业五直线、圆的位置关 技能提升台技能提升 1.C2.C3.A 4.A[直线x十y十2=0分别交x轴、y轴于A,B两点， .A(-2,0),B(0,-2),∴|AB|=2√2，点P在圆(x-2)2 十y2=2上，.圆心为(2,0)，设圆心到直线的距离为d,则d =12+0+2=22.故点P到直线x十y十2=0的距离d的 √2 范国是[E,3见，则Saur=号ABld∈[2,61.] 5.A[由圆C:(x+2)2+(y-2)2 =1,得圆心C(一2,2)，半径r=1, 易得点M(一4，一2)关于y轴的 对称，点为M(4,-2), 如图，所求的最短路程即为M到 圆C上的点的最短距离CM-,M M =√/(4+2)2+(-2-2)2-1=2 √13-1.] 6.B[因为四边形APBM为正方形，且MA=MB=1,所 以MP=√2，故动点P的轨迹是以M为圆心，W2为半径的 圆，其方程为(x十2)2+(y十3)2=2.] 7.ABD[圆x2十y2一2x=0的标准方程为(x一1)2+y2=1, 圆心为(1,0)，半径为1，圆x2十y2十4y=0的标准方程为 x2十(y十2)2=4，圆心为(0，-2)，半径为2..圆心距d =√/(1-0)2+(0+2)2=√5<1+2=3，且√5>2-1=1， .两圆相交.门 8.ABD[由题意，△ABC的“欧拉线”即AB的垂直平分 线，A(0,1),B(2,-1),AB的中点坐标为(1,0)，kAB 201,则AB的垂直平分线方程为y=x一1， x-y-1=0,故A正确；，“欧拉线”与圆M:(x一4)2十 y2=r2相切，且圆心M(4,0)到直线x-y-1=0的距离 为40-3,7=3Y,则国M的方崔为（红 √I十I 4)2+y2=号，国心M4,0)到直线x-y=0的距离为d =4一0=22，则圆M上的点到直线x一y=0的最小 W1+1 距离为d-7-2反-8-号长B正确：苏圈M:( 2 02+y2=号与周2+(y-a)2=8有公共点，则2E- </4-0+0-@<2+3,解得-<0 2 2 <,敢C错民：六的几何意义为园M上的点（红，》 与定点P(一1,0)连线的斜率，当过P(一1,0)的直线与圆 M相切，且直线的斜率为正时，取得最大值.设过点 ·43 富二学都) P(-1,0)与圆M相切的直线方程为y=k(x十1)，即kx 十=0，由-3，解得=士3 √2+1 2 的最大值是3y厘，故D正确.] 41 9.2√2 10.解析：由图可得，两圆外 切，且均与直线l1:x=一1 相切.另过两圆圆心的直 线1的方程为y=号，可 43 得1与11交点为 P(1,-号)由切线定 3-202345678王 71-2 理得，两圆另一公切线2 过点P,设2：y叶专-(x十1)，由点到直线距离公式可 4 好3解特k甲2义7界，另由于 7 √R2+1 两圆外切，因此在公切点处存在公切线1？与1垂直，解 答案=-1，或=7积或)=-十〔答对 7 其中之一即可) 1山.解析：因为=“23，所以AB关于直线y=公的对称 直线为(3-a)z-2十2a=0,所以13(a-3)+4+2al≤1，整 √4十(3-a)2 理可得12a2-2a十6≤0，解得日≤a≤是 答案：[日】 12.(1)证明：因为直线l:mx-y十1=0恒过定，点N(0,1), 且点N(0,1)在圆C:x2+(y-2)2=5的内部， 所以直线1与圆C总有两个不同的交点. (2)解：由题知C(0,2),设动点M(x,y), 当x=0时，M(0,1)； 当x≠0时，由垂径定理，知INMC, 所以y二2.y1=-1, 整理得2+（是）}户=子又0,10满足此方程， 所以费A的中点M的轨蓬方想是2+()》广=是。 13.解：(1)方法一： 由x2+y2-10, {x2+y2+2x+2y-14=0, 得x=。1或x=3, (y=3, 0y=-1. 故两圆的交点为A(-1,3),B(3,一1)， 由直线方程的两点式可得公共弦所在的直线方程为 x+y-2=0. 方法二：由x十y2=10, {x2+y2+2x+2y-14=0, 消去二次项得x十y一2=0，即为公共弦所在直线的方程. (2)由两圆方程可得圆心连线为y=x,由圆的性质所求 圆的圆心在y=x上， 由{计2)3=0，得x=y=1,故所求圆的圆心C1,D, 由y=x, 半径r=|AC1=√（-1-1)2+(3-1)2=2√2， ∴.所求圆的方程为(x-1)2+(y一1)2=8. 飞密快乐假期 14.解：(1)圆C1的方程可化为(x -2)2+(y-3)2=4, 则圆心C1(2,3),半径为2， 由(3-2)2+(5-3)2>4，可知 点P在圆C1的外部，作出圆C 及过，点P的切线如图所示， 由图可知，过点P的切线l的斜 率存在，设1的方程为y一5= 201234x k(x-3),即kx-y十5-3k=0, 则圆心C到直线1的距离为2-3+5-3=2，解得 √1+k k=0或质=-亭，所以直线1的方程为4红十3y一27=0 或y=5. (2)由十-4红-6+9=0， {x2+y2+2x-4y-4=0, 两式相减得直线AB的方程为6.x十2y一13=0， 则圆心C到直线AB的距离d=12+6-13-=V0 √40 4 所以AB=2√4-dP=36 2 高考冲浪 1.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b十c=0,直线a.x十by 十c=0恒过P(1,一2)，当PCLAB时，|AB取得最小值，此 时|PC=1,AB|=2√5-PC2=4.] 2.B[与直线y=√3x十2距离为1的直线为l1:y=√3x十4 和2：y=3x,圆心M(0,一2)到l1的距离为d1= 1二2-4=3，到l2的距离为d?= -2 =1.依 √12+(3)2 12+(3)2 题可知圆与1,2的交点总个数为2，据草图可知圆应与 L2相交，与L1相离，故1<<3，选B.门 假期作业六椭圆 技能提升台技能提升 1.B2.A3.B 4.B[设∠EPF=20,0<0K受， 所以Sar,R=b2 n ZF,PF2=6an. 2 由cos∠f1PF2=cos20=cos20-sin20_1-tan20_3 cos2 0+sin2 0 1+tan20 5' 郎得am0=子， 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 所以，Sa职，=XIF:FalXlypl-2×2BX1pl =6×7,解得：呢=3， 即3=9×(1-音)=号，因此0P川-√3+% +号-选R] 5.A[1-m受得m=2:由e=-m=9, 1_2 2’得 m>1, (0<m<1, m=名所以m=2”是“箱圆C的离心率为号”的充分不 必要条件.] 6.D[设m=|PF1l,n=|PF2|,∠F1PF2=0,由题意得 mncos0=9.易知a=5,b=4,c=√a2-b2=3,则|F1F2 =2c=6,m十n=2a=10,由余弦定理可得cos0= m2+n2-F1F212 2mn -,所以(m+n)2-2mn-36=2 nncos0 =18,即100-2mn-36=18,解得mn=23,即PF1|· 1PF2|=23.] ·4 900-= 7.BD 1 SACAB=2 ab, 1。.b2 SAOPF=2c· a :△OAB的面积是△OPF面积的号倍， -5×2c>2a2=5hc, :.ab=2 a +后 “后=2或号 1 8,AB[?满国C的方短为号+ 3=1,…a=2,b=3,c= 1,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4,故A正确； 离心率e==,故B正确；△PF,P:的面教S△，E =FPp=y,而0≤lp5,△PFE 面积最大值为√3，故C错误； F1(-1,0),F2(1,0),F1F2=2,.以线段F1F2为直 径的圆的方程为x2十y2=1,其圆心为(0,0)，半径为1，又 直线方程为x十y一2=0，∴.圆心到直线的距离d= 1-2L=2>1, √+I 以线段F1F2为直径的圆与直线x十y一2=0相离，故 D错误.] 9.￥+x2-1 10.解析：取AB的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以 IME=NE,设A(x1y),B(x2y2),可得十2× x1十x2 头-器=一合：中kE“kg=一合设直线AB:y=红 x1-x2 +m,0,m>0,◆x=0y=m,◆y=0,2=-g,所 (云受)所以x三=-=-会=- 2 2k 又·MN|=2V5,即|MN|=√m2+(W2m)2=2√3，即 m十2m=12,m=2,所以直线1的方程为)=一号十2. 即x十√2y-2√2=0. 答案：x十√2y-2√2=0 11.255 5 5 12.解：设所家精周的标准方权为号+芳=1。>0》。 设焦点F1(-c,0),F2(c,0): F1A⊥F2A,.F1A·F2A=0, 而F1A=(-4+c,3),F2A=(-4-c,3), ∴.(-4+c)·（-4-)+32=0, .c2=25,即c=5..F1(-5,0),F2(5,0). .2a=AF+AF21 =√(-4+5)2+32+√(-4-5)2+32 =√10+√90=4√10. ∴.a=2√10， ∴.b2=a2-c2=(2√10)2-52=15. 所表精国的标准方程为需+盖-1，