假期作业三 直线方程和两条直线的位置关系-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

快乐假期 假期作业三 直线方程和两条直： 〈《思维整合室 知识梳理 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线与x轴相交时，x轴 直线 方向之间所成的角叫做这条直 线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规 定它的倾斜角为 (2)倾斜角的范围为 2.直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的 叫 做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 表示，即k= ,倾斜角是90°的直线 没有斜率， (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P(x1),P2(x2y2)(x1≠x2)的 直线的斜率公式为=一少=y一2 x2一x1x1一x2 3.直线方程 名 几何关系 方程 局限性 称 点斜式 过点(x0,y), 不含 斜率为 的直线 斜 斜率为，纵截 不含 距为b 的直线 过两点（x1, 两 y1),（x2,y2), 不包括 (x1≠x2,y1≠ 的直线 y2) 8 c000-= 学然后知不足，教然后知困。 线的位置关系 完成日期： 月 日 续表 截 在x轴、y轴上 不包括 的截距分别为 和 a,b(a,b≠0) 的直线 般 4.两直线的位置关系 斜截式 一般式 y=k1x+b1 A1x+B1y十C1=0(A+B≠0) 程 y=k2x+b2 A2x+B2y十C2=0(A经+B%≠0) ≠0 交 (肖A0时记为≠卧) =0 (当B1B2≠0时， 直 记为会·盘=一0 =0， =0, ≠0 或 ≠0 且 行 (当A2B2C2≠0时， 记为%-是8) 5.三种距离 (1)两点间的距离： 平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距 离公式d(A,B)=AB= (2)点到直线的距离： 点P(x1,y1)到直线l:Ax+By+C=0的 距离d= (3)两条平行线间的距离： 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax十 By十C2=0间的距离d= 三022 自测自查 1.(1)正向向上0°(2)[0°，180) 2.(1)正切值tana 3.y一y=k(x一x)垂直于x轴y=kx +b垂直于x轴 y一y1=x一x1 垂 y2一y1C2一C1 直于坐标轴十名=1垂直于坐标轴 a 过原点Ax+By+C=0(A,B不全为0) 4,≠：AB,-A,B1=一点或1： -1 AA2+B B2 k=k2 6162 A B2-A2B B2C-B C2 A B2-A2 B AC2-A2Ci 5.(1W(x1-x2)2+(y-y2)2 (2)Az+By:+Cl (3)1C-C2 √A+B √A2+B 要点记忆 (1)求直线方程的一般方法. ①直接法：根据已知条件，选择适当的直线 方程形式，直接写出直线方程.选择时，应 注意各种形式的方程的适用范围，必要时 要分类讨论， ②待定系数法，具体步骤为： ⅰ.设所求直线方程的某种形式； ⅱ.由条件建立所求参数的方程（组）； 川.解这个方程（组），求出参数； Ⅳ.把参数的值代入所设直线方程， (2)在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率 是否存在，两条直线都有斜率时可据条件 进行判断，若无斜率，要单独考虑. (3)运用两平行直线间的距离公式时易忽视两 方程中的x,y的系数分别相等这一条件. 〈《技能提升台 技能提升 1.下列说法中，正确说法的个数是 () ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何 一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90° 的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有 一条 A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，直线11,2，山3的斜率分别为1，k2,k3,则 ( 0 A.k1<k3<k2 B.k3<k<k C.k<k2<kg D.kg<k,<k 3.已知直线3x+2y-3=0和6.x+my+1=0 互相平行，则它们之间的距离是 () A.4 B.213 13 c最压 D./13 4.经过点A(3,2),且与直线4x+y一2=0平 行的直线方程为 ( A.4x+y+2=0 B.4x+y-14=0 C.x-4y-12=0 D.x-4y-14=0 5.直线y十2=5(z一43)的倾斜角及在y 3 轴上的截距分别是 () A.否6 B答，6 c56 D-6 6.已知三角形三个顶点分别为A(一5,0)， B(3,一3)，C(0,2),则BC边上中线所在直 线的方程是 () A.x-13y+5=0 B.x-13y-5=0 C.x+13y+5=0 D.x+13y-5=0 飞密快乐假期 7.(多选)到直线3x一4y+1=0的距离为3， 且与此直线平行的直线方程是 () A.3x-4y-14=0 B.3x-4y+4=0 C.3x-4y+16=0D.3x-4y-16=0 8.(多选)已知点A(一2，一1)，B(a,3),且|AB =5,则a的值可以是 ) A.1 B.-5 C.-1 D.5 9.已知点M(1,4)到直线l:mx十y一1=0的 距离为3，则实数m= 10.过点A(3,一2)和B(1,2)的直线方程的截 距式为 11.已知直线ax+4y-2=0和2x-5y十b=0 垂直，交于点A(1,m),则a= b= ,m= 12.已知直线1：2x-(a-1)y-2=0,l2:(a十 2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R). (1)若l1⊥l2,求实数a的值； (2)若11∥12，求11，l2之间的距离. 。1 900-= 13.已知直线l:3x一y+3=0.求： (1)点P(4,5)关于直线1的对称点的 坐标； (2)直线x一y一2=0关于直线1对称的直 线方程。 14.过A(一4,0)，B(0,一3)两点作两条平行 线，分别求满足下列条件的两条直线方程. (1)两条平行线间的距离为4； (2)这两条平行线分别绕A和B旋转，使 它们之间的距离取最大值. 高考冲浪 1.(课标Ⅲ卷，8)点(0，一1)到直线y=k(x十 1)距离的最大值为 () A.1 B.√2 C.√3 D.2 2.(天津卷，12)已知直线x一√3y+8=0和圆x +y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB引= 6,则r的值为三0022 所以Ⅲ·AC0:>2-%-2=0, n·A1B1=0-y2=0, 令x2=√2，则y2=0,z2=2,可得平面A1B1C的一个法 向量n=(√2,0,2). 设平面A1B1C与平面AB1C的夹角为0，则cos0= |m·n=5 mn5’ 故平面A1B,C与平面AB1C的夹角的余弦值为压 5 高考冲浪 1.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,AD,BCC平面ABCD,所 以PA⊥AD,PA⊥BC.又AD⊥PB,且AP∩BP=P, AP,BPC平面PAB,所以AD⊥平面PAB.在△ABC中，因 为AC=2,BC=1,AB=√3，所以AC2=BC2+AB2,即AB BC,又AP⊥BC,且AP∩AB=A,AP,ABC平面PAB,所以 BC⊥平面PAB.因此，AD∥BC,又AD中平面PBC,BCC平面 PBC,所以AD∥平面PBC (2)过D点作DE∥PA,则DE ⊥平面ABCD,以D为坐标原 点，分别以DA,DC,DE所在的 直线为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系.设DA=m,DC= n,其中m2+n2=4,则A(m, 0,0),C(0,n,0),P(m,0,2), 所以AP=(0,0,2),CP=(m, -n,2),DC=(0,n,0). 设平面APC的法向量为n=(x,y,之)，则 {mx-y十2z=0,令x=n,则y=m,所以n=(n,m,0)； (2z=0, 设平面DPC的法向量为v=(xy,z),同理可得v=(2,0,一m. 因为二面角APCD为锐二面角，所以其余弦值为牙，因 此 7=|cos(n,)1= m2+4十，解得m=V,即 2n AD=√3. 2.解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AB. 又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD, 又ABCPAB,故平面PAB⊥平面PAD. (2)易知AB,AD,PA两两垂直，以A为坐标原点，AB方 向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，AP方向为之轴 正方向建立空间直角坐标系，易得A(0,0,0),B(√2,0， 0),C(√2,2,0)，D(0,√3+1,0)，P(0,0,W2). （i)设球心O(x,y,z),由OB=OC=OD=OP可得 (x-√2)2+y2+x2=(x-√2)2+(y-2)2+x2 (x-√2)2+y2十x2=x2+(y-√3-1)2十z2,解得y=1, (x-√2)2+y2+z2=x2+y2+(x-√2)2 x=之=0，显然点O(0,1,0)为直线AD上的点，ADC平面 ABCD,所以点O(0,1,0)在平面ABCD上. (i)AC=(W2,2,0),PO=(0,1,-√2)，直线AC与PO所 成角的余弦值等于cos(AC,PO)》=AC·Pg 2 IACIIPOI 6X3 ② 3 假期作业三直线方程和两条直线的位 置关系 技能提升台技能提升 1.B2.A3.D4.B 5.B[由直线y叶2-9(x-4③可得元针摩k=9设支 3 线的倾斜角为0，则tan0=3 31 ·4 高二数学 因为0e[0,x,所以0=否，即领斜角为答.当x=0时，y +2=3×(二43)=一4，得y=-6,所以直线在y轴上 的截距为一6.] 6.C[B(3,-3),C(0,2),∴BC中点的坐标为D (空，2）中D(侵》则BC边上的中线应过 1 A(-50D(侵)两这，由两点式，得言。 13 2 +5,整理得x十13y十5=0.] 8+5 7.AC 8.AB 9.0或子10.受+￥=1 11.10-12-2 12.解：(1)由l1⊥l2,得2(a十2)-(a-1)(2a+1)=0,即 2a2-3a-5=0,所以(2a-5)(a十1)=0，解得a=-1 (2)由l1∥l2,得2(2a+1)=-(a-1)(a+2),即a2+5a =0,解得a=0或a=-5.当a=0时，l1:2x十y一2=0， 4:2x+y+3=0,则41,2之间的距离为3-（-2) W22+12 =√5； 当a=-5时，l1:x+3y-1=0,l2:x十3y-1=0,此时两 直线重合，舍去. 综上，若l1∥12，则l1,2之间的距离为√5. 13.解：设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称，点 为P(x',y). m·=-13=-1,@ 又PP的中点在直线3x-y十3=0上， 3×x-y十+3=0.② 2 2 x'= -4x+3y-9 ，③ 联立①②，解得 5 by-3x+4y+3 ④ 5 (1)把x=4,y=5代入③④，得x=-2,y=7, ∴.P(4,5)关于直线1的对称点P'的坐标为（一2,7）. (2)用③④分别代换x一y一2=0中的x,y,得关于1对 称的直线方程为二4虹+3y-9_3x+4y+3-2=0, 5 5 即7x十y十22=0. 14.解：(1)当两直线的斜率都不存在时，方程分别为x= 一4，x=0,满足题意； 当两直线的斜率都存在时，设方程分别为y=k(x十4)与 y=kx-3,即kx-y十4k=0与kx-y-3=0, 由题意得十=4，解得=，所以所求的直线方程 √R2+1 分别为7x-24y+28=0,7x-24y-72=0. 综上，所求的直线方程为7x一24y十28=0,7x一24y一 72=0或x=一4，x=0. (2)由(1)知，当两直线的斜率都存在时，d=46+3, √/k2+1 d2=162+24k+9,.(d2-16)k2-24k+d-9=0, k2+1 k∈R,.A≥0，即d4-25d2≤0，.d2≤25， .0<d5, 4 ∴dmax=5,此时k=3 当两直线的斜率都不存在时，d=4,.dmax=5, 此时两直线的方程分别为4x一3y十16=0,4x一3y一9=0. 飞壁快乐傻期 高考冲浪 1.B[由直线y=(x+1)过定点（一1,0），要使距离最大， 则当y=k(x十1)与(0,1)和（一1,0）的连线垂直时可得最 大距离为(0,1)和(-1,0)两，点之间的距离d= /(0+1)2+(1一0)2=2，故选B.] 2.解析：因为圆心(0,0)到直线x一√3y十8=0的距离d= 8 =4,由弦长公式l=2√2-d2可得6= √/1+3 2√2-42，解得r=5. 答案：5 假期作业四圆的方程 技能提升台技能提升 1.C2.C3.B 4.A[设圆的一般方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0(D2十 E2-4F>0),:过坐标原，点，则F=0,即x2+y2+Dx十 Ey=0,令x=0,则y2+Ey=0,.y=-E=3,.E=-3. 令y=0,则x2+Dx=0,x=-D=2,D=-2..所求 圆的方程为：x2+y2-2x-3y=0.] 5.B[设所求圆的方程为x2十y2-一2x十4y十m=0,由该圆 过点(1，-1)，得m=4,所以所求圆的方程为x2+y2一2x 十4y+4=0.] 6.C[如图所示，当直线AO与圆相切时，y A为切，点，此时∠AOC最大，连接CA, 易得ACLAO.由x2+y2-4x十2=0→ (x-2)2+y2=2,即C(2,0),AC=√2， 0 所以sin∠A0C-竖，得∠A0C-子] 7.AD[因为(0,0)在(x-m)2+(y十m)2 =4的内部，则有(0一m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m <√2.] 8.ABC[可知直线mx十2ny-4=0过圆心(2,1)， 有2m十2n-4=0,即n=2-m, 则mn=m·(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1.] 9.(1,2)10.(x-2)2+(y+1)2=411.√26+2 12.解：方法一：设圆的方程为x2+y2十Dx十Ey十F=0(D2+ E2-4F>0)① 将P,Q的坐标分别代入①， 得02+00。品 令x=0,由①得y2+Ey+F=0,④ 由已知y1一y2=4V3,其中y1y2是方程④的两根. .(y1-y2)2=(y1十y2)2-4y1y2=E2-4F=48,⑤ tD=-2, D=-10, 联立②③⑤解得E=0,或E=-8, F=-12,F=4. 故所求方程为x2十y2-2x-12=0或x2十y2-10x- 8y+4=0. 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y一1=0. .所求圆的圆心C在直线x一y一1=0上，设其坐标为 (a,a-1).又圆C的半径长r=|CP|= √/(a-4)2+(a+1)2.① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4√3，而圆心C到y 轴的距离为a. r=2+色，代入D并特两瑞平方得心2-6十5 2 =0,解得a1=1,a2=5,.r1=√13，r2=√37. 故所求圆的方程为(x-1)2十y2=13或（x一5)2十 (y-4)2=37. 13.解：(1)根据题意，直线l1与l2:3x一2y-1=0平行， 则直线山的斜率为号，又直线么过原点，所以直线1的 方程为3x一2y=0. ·4 90M= (2)直线1的方程为3x-2y=0,直线l2:3x-2y-1= 0,所以1与2间的距离为 |0+11 =1=13 32+(-2)2√13131 (3)设圆心C(a,b). 由于直线1：3x-2y=0平分圆C,所以圆心在直线1 上，即3a-2b=0.① 又|CA|=|CB, 所以有√(a-1)2+(b-3)2=√/(a-2)2+(b-2)2.② 联立①②，解得a=2,b=3. 所以|CA|=√(2-1)2+(3-3)2=1. 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 14.解：原方程化为(x-2)2十y2=3, y y=kx 表示以点C(2,0)为圆心，以√3为 半径的圆」 (1)设义=k,即y=kx, 由图可知当直线y=kx与圆相切 时，斜率取最大值和最小值， Rt△AOC中，tan∠AOC= √22-3 =5, 故飞的最大值为√，由对称性知的最小值为一√. 故义的最大值为√，最小值为一√3 (2)设y-x=b,即y=x十b, 当y=x十b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小 值，此时2-0+b=5,即6=-2士6. √2 故y一x的最大值为一2十√6，最小值为一2-√6. (3)x2十y2表示圆上点与原点距离的平方，由图知x2十 y2的最大值为(0C1+3)2=(2+√3)2=7+4√5. 最小值为(OC-√3)2=(2-√3)2=7-4√3. 高考冲浪 1.B[由题可知，圆的方程可化为(x一2)2+ y2=5,故圆心B(2,0),A(0,-2),如图，设 切，点为M,N,AB=2√2，BM=√5，故 AM=,m∠MA-铝- 2√2 cos∠MBA=5 ,sina=sin(π-a)=sin,∠NBM=sin2 2√2 ∠MBA=2X5×5=E.] 222√24· 2.解析：x2+(y-2)2=m十4，r2=元=1，由题意m十4=1 →m=-3. 答案：一3 3.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(一1,1)，D(4,2),圆过其 中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点为 圆心，圆心到任一点的距离为半径. (1)若圆过A,B,C三点，则圆心在直线x=2,设圆心坐标 为(2，a),则4+a2=9+(a-1)2→a=3,r=√4+a2= √13，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. (2)若圆过A,B,D三，点，同(1)设圆心坐标为(2，a),则 4十a2=4+(a-2)2→a=1,r=√4+a2=√5，所以圆的方 程为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)若圆过A,C,D三点，则线段AC的中垂线方程为y= x十1，线段AD的中垂线方程为y=-2x十5，联立得 4 x=3’ /16+49=w65 7r/9+9 31 y=3’