假期作业一 空间向量及其运算-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

=-0022 假期作业一空间 《思维整合室 知识梳理 1.空间向量的概念 (1)相等向量 的向量叫做相等向量 (2)共线向量或平行向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在 的直线互相 ,那么这些向量叫 做共线向量或平行向量，如a平行b记 作： 2.两个向量的夹角 (1)若a,b是两个非零向量，则其夹角记为 ,范围是 (2)若(a,b〉=90°，则称a与b ,记作： 3.公式：a·b= 4.性质：(1)a·e= (其中e为单位 向量) (2)若a⊥b,则a·b= ,反之也 成立 (3)a2= 5.坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3）. (1)a+b= a-b= λa= a·b= (2)设A(x1y1,之1)，B(x2y2,z2), 则AB= (3)向量平行的坐标表示 a∥b(b≠0)台 或当b与三条坐标轴都不平行时， a∥b台→ 向量及其运算 (4)向量垂直的坐标表示 a⊥b曰 (5)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a= b|= cos(a,b〉= 三 (6)空间两点间的距离公式 设A(x1y1,之)，B(x2y2,之2)，则 ABI= 自测自查 1.(1)大小相等且方向相同(2)平行或重合 a∥b2.(1)(a,b〉[0，π](2)垂直a⊥b 3.lallb cos 0 4.(1)lal cos 0 (2)0 (3)a·a5.(1)(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3)(Aa,kaz,Aa3) a1b十a2b2十ab(2)(x2-Gy2-yz-x) (3)(a1,a2,ag)=λ(b1,b2,bg） a1_a2_as 61 b2 b3 (4)a1b1十a2b2十a3b3=0(5/a+a十a √/匠++ a·b a1b1十a2b2十a3b3 ab√a+a话+aG++6 (6/2-x1)2+(y2-y)2+(22-z1)2 要点记忆 空间向量数量积运算与运算律 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分 配律及数乘结合律，不满足以下两条， (1)消去律：由a·b=b·c不能推出a=c,即 向量不能约分 (2)乘法结合律：(a·b)c=a(b·c)不一定成 立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的 向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向 量，但c与a不一定共线 飞空快乐限期 《技能提升台 技能提升 1.在△ABC中，若∠C=90°，A(1,2,-3k), B(一2,1,0)，C(4,0,-2k),则k的值为() A.√10 B.√10 C.2√5 D.士10 2.设O是△ABC的外心，则AO,BO,C0是 () A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量D.起点相同的向量 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一 点0，都有0Mi=z0i+号Oi+号0花，则x 的值为 () A吉 B c D.0 4.若向量a=(2,2,3),b=（-1,2,1),c=(0, 1,1),则a·(b十c)= A.5 B.8 C.10 D.12 5.我国古代数学名著《九章 算术》中，将底面为矩形 且一侧棱垂直于底面的 四棱锥称为阳马.如图所 示，已知四棱锥PAB B CD是阳马，PA⊥平面ABCD,且PE=4 PC,若AB=a,AD=b,AP=c,则BE= A.5 1 5 4a-4b+4c 5 ，1 5 B.4a+4b- 4 C. 3 16- D.-3 a+b+ 4 4 6.在三棱锥A-BCD中，M为AC的中点，若 MN=2ND,则BN= () A.合BA+后BC+BD B.BA+3BC+2ED S00- c号Bi+号BC+Bi D.号BA+号BC+号Bò 7.(多选)已知三条直线1,2，l3的一个方向 向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c= (一3,12，一9)，则下列说法错误的是() A.41⊥12，但l1与l3不垂直 B.11⊥l3,但L1与L2不垂直 C.l2⊥l,但12与1不垂直 D.11,l2,l3两两互相垂直 8.(多选)以下四个命题中，不正确的是() A若O-2Oi+}O成，则P,A,B三点 3 共线 B.△ABC是直角三角形的充要条件是AB· AC=0 C.设{a,b,c}是空间一个基底，则{a十b,b十c, c十a}构成空间的另一个基底 D.|(a·b)cl=a·|bl·|cl 9.在空间四边形ABCD中，AB·CD+BC. AD+CA·BD= 10.在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cosx十1， 2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中 x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则 x的值为 1.若A0,2号)B(1,-1,含)，C(-21,号)是 平面a内的三点，设平面a的法向量a =（x,y,之)，则x:y:之= 12.如图，已知平行四边形ABCD,从平面ABCD 外一点O引向量OE=k OA,OF kOB,OG= D kOC,OH=kOD. (1)求证：四点E,F, G,H共面； =0022 富二教学) (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH. 14.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PB, PD的中点，PA=AB=1,BC=2. (1)求证：EF∥平面ABCD: (2)求证：平面PAD⊥平面PDC 13.已知向量a=(1,1,0),b=(一1,0，c),且 1a+b=√5. (1)求c的值； (2)若a十b与2a一b互相垂直，求实数 的值. 高考冲浪 1.(2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0,1),b= (2,x),若b⊥(b一4a),则x= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k), a∥b,则k的值为 ·3·三0022 参考 假期作业一空间向量及其运算 技能提升台技能提升 1.D2.C3.A 4.C[b+c=(-1,2,1)+(0,1,1)=(-1,3,2),又.a= (2,2,3),.a·(b+c)=(2,2,3)·(-1,3,2)=-2+6+ 6=10.] 5.D[根据向量线性运算原则求解即可. 曲题意，PE-P心-ac-A)=心-}A正- 4 +a0)-炉-名+b子，n店-A店-A的 1 4 =a-c, →1。 则B龙-P啦-P店=a+}b-子c-a-0)= 4a十 4 6.A[因为M为AC的中点，所 以BM=2(BA+BC).又因为 M=2Ni,所以M=号Mò N-- -号(B防-B,所以B成=D B成i+M=号BD+子B成- 号ò+×号i+ò=耐+成+号筋.] 7.BCD[,a·b=0,a·c≠0，b·c=0,只有A正确， BCD错误. 8.ABD[只有C正确.] 9.010.号或号11.2：3：(-0 12.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ..AC=AB+AD, :EG=OG-OE=k·OC-k·OA=k(OC-OA) =kAC=k(AB+AD) =k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE =EF+Ei,∴E,F,G,H共面； (2)证明：：EF=OF-OE=k(OB-OA)=k·AB, 又EG=k·AC,.EF∥AB,EG∥AC,又AB∩AC=A, 所以，平面ABCD∥平面EFGH. 13.解：(1)a+b=(1,1,0)+(-1,0,c)=(0,1,c), 所以a+b=√1+c2=√5，解得c=士2. (2)当c=2时，ka十b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k一1，k, 2),2a-b=(2,2,0)-（-1,0,2)=(3,2,-2), 因为a十b与2a-b互相垂直，所以3(k-1)十2k-22= 0,解得=了 当c=一2时，a+b=(k,k,0)+(一1,0，一2)=(k一1， k,-2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2). 因为ka+b与2a一b互相垂直，所以3(k-1)+2k-22= 7 0,解得=5 综上=子 14.(1)证明：以，点A为原，点，AB所在直线为x轴，AD所在 直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0), D(0,2,0),P(0,0,1).点E,F分别是PB,PD的中点， 01,号)(z0} 1 11 富二数学岁 答案 F龙=（合，-10Bi= (-12,0,F店=-号Bd, 即EF∥BD. E 又BDC平面ABCD,EF 平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD. (2)证明：由(1)可知AP={ (0,0,1),AD=(0,2,0), DC=(1,0,0), 因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0, AD·DC=(0,2,0)·(1,0,0)=0, 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. 又AP∩AD=A,AP,ADC平面PAD,所以DC⊥平面 PAD.因为DCC平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC 高考冲浪 1.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2 4x=0,解得x=2.] 2.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 答案：15 假期作业二立体几何中的向量方法 技能提升台技能提升 1.A2.D3.C 4.C[当二面角A-BD-C为锐角时，其大小为〈n1,n2）= 哥：当二面角ABDC为能角时，其大小为一m,) x-号-经] 5.D 6.D[依题意，PA,PB,PC两两垂 直，建立如图所示的空间直角坐 标系.设PA=PB=PC=2,则 P(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1), 则PE=(1,1,0),PF=(0,1,1), AF=(-2,1,1). 设平面PEF的法向量为n=(x,y,之)， 则：PEx十y0令工=1，可得平面PEF的一个法 1n·PF=y+z=0, 向量n=(1,-1,1). 设直线AF与平面PEF的夹角为0，则sin0=ln,A nAF 及后=票0e引&m0=-(得 7.ABC 8.ABC[以D为原点，分别以DA, 8外D DC,DD1的方向为x轴、y轴、之轴的 正方向建立如图所示的空间直角坐 标系. 由题意知，A(1,0,0),B(1,1,0),E DA-- (0,2）C0,1,0,01.