专题19 概率与统计经典选填题全归纳（含赛制等问题）（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题19概率与统计经典选填题全归纳（含赛制等问题） 目录 01 析·考情精解 02 破·题型攻坚 考点 概率与统计经典选填题全归纳 真题动向 必备知识 知识点1普通的众数、平均数、中位数及方差 知识点2频率直方分布图下的频率 知识点3频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 知识点4线性回归直线方程： 知识点5相关关系 知识点6古典概型 知识点7互斥事件与概率的加法公式 知识点8相互独立事件与概率的乘法公式 知识点9条件概率 知识点10全概率公式 命题预测 题型01 统计基础 题型02 统计估计 题型03 统计图表 题型04 古典概型 题型05 条件概率 题型06 全概率公式 题型07 相互独立事件的概率 题型08 相关关系 题型09 离散型随机变量的均值 题型10 赛制问题 命题轨迹透视 统计知识主要考查:抽样方法、样本数字特征、统计图表，相关关系等,以选择题、填空题形式命题,难度较小，分值4分。 概率主要考查古典概型、独立事件的概率，条件概率、全概率公式，离散型随机变量的分布列、期望、方差、以填空题，选择题为主，分值在5分 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 统计 上海卷T13，5分 上海卷T13，5分 上海卷T14，5分 概率 上海卷T6，4分 上海卷T8，8分 上海卷T9，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，预计将延续从实际问题中抽象出概率统计模型的考查方式，难度保持中等，可能会增加数据的复杂性和条件的隐蔽性，对考生的逻辑思维和数据处理能力要求进一步提高。 考点 概率与统计经典选填题全归纳 1．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望 ． 【答案】 【解析】由题设有. 2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85 【解析】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 3．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为 ； 【答案】946 【解析】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为. 因为中位数与平均数相等，所以, 所以2020年GDP总额：. 4．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】因为相互独立，故， 故选：B. 5．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【解析】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误.故选：C. 6．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（    ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 【答案】C 【解析】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确； 由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势， 所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误. 故选：C 知识点1普通的众数、平均数、中位数及方差 ①众数：一组数据中，出现次数最多的数。 ②平均数：常规平均数： 加权平均数： ③中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 ④方差： 知识点2频率直方分布图下的频率 ①频率 =小长方形面积：；频率=频数/总数 ②频率之和：；同时 ； 知识点3频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 ①众数：最高小矩形底边的中点。 ②平均数： ③中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时的值。 ④方差： 知识点4线性回归直线方程： 其中： , 线性回归直线方程必过样本中心； 知识点5相关关系 相关系数： 的常数正相关；负相关 知识点6古典概型 设试验是古典概型，事件的概率，其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点7互斥事件与概率的加法公式 ①如果事件与事件不能同时发生，即，则称事件与互斥（或互不相容）． ②当与互斥时，，即． ③概率的加法公式：对任意两个事件与，有，即． 知识点8相互独立事件与概率的乘法公式 ①对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称独立． ②当事件与相互独立时，． ③概率的乘法公式：对任意两个事件与，若，则． 知识点9条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ②概率的乘法公式：对任意两个事件与，若，则． 注：当与相互独立时，，即． ③条件概率的性质：为样本空间，设，则 （1）； （2）如果与是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 知识点10全概率公式 一般地，设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，1，2，…，，则对任意的事件，有， ． 题型01 统计基础 1．在国际经合组织主持的国际学生评估项目（Program for International Student Assessment，简称PISA）研究中，上海15岁初中生多次获得全球第一.2024年上海近600所学校的约4000名学生代表全市各类中学约12.8万名15岁初中生参加测试，某研究人员想利用2024年PISA的数据库考察上海市15岁初中生的数学成绩.在该研究人员的研究中，总体是 . 【答案】全市各类中学约12.8万名15岁初中生的数学成绩. 【解析】由题意，此项研究中，统计总体为全市各类中学约12.8万名15岁初中生的数学成绩. 2．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 （以下摘自随机数表第7行）． 39832776    39918535    32591131     40469235     04982212    20671263 【答案】11 【解析】从随机数表第9个数字开始向右读，，（舍去），（舍去），，，（舍去），11……， 则第4支水笔的编号为． 3．某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是 【答案】 【解析】根据题意，可得抽取的专业技术人员的人数是人. 4．浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取 人. 【答案】45 【解析】由题意得，因为加登山的人数占总人数的， 所以参加登山的人数为人，参加跑步的人为1500人. 又由得，高三年级参加跑步的人数为人. 根据分层抽样的方法，应抽取的跑步总人数为人， 所以高三年级应抽取人. 题型02 统计估计 5．样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为 ． 【答案】 【解析】因为，所以样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为. 6．已知数据，，，，的方差是4，则，，，，的方差为 ． 【解析】由题意可得，， 则，. 7．行知中学毛老师对高三年级数学“智力大冲浪”很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为125､､121､､127（单位：分）.若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为 .（用数字作答）. 【答案】2 【解析】因为125､､121､､127的中位数为124，可知中必有一个为124， 不妨设， 又因为平均数为：，解得：，符合题意， 可得该样本的标准差为：. 8．已知18个整数的中位数为5，第75百分位数也为5，那么这18个数中，5的个数的最小可能值为 . 【答案】6 【解析】由题意，将18个整数由小到大排列，中位数为第9位和第10位数的平均数， 又，则第75百分位数为第14位数，故第14位数是5， 故第9位和第10位数也是5，所以5的个数的最小可能值为6个. 9．某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 . 【答案】或 【解析】当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，解得， 当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以， 解得，与范围不符，故排除 当时，将数据进行排列，得到， 因为这组数据的中位数和平均数相等，所以， 解得，经检验，和均符合题意. 10.设矩形的长为a，宽为b，其比满足，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598  0.625  0.628  0.595  0.639 乙批次：0.618  0.613  0.592  0.622  0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，以下结论中正确的是（天） A．甲批次的总体平均数与标准值更接近； B．乙批次的总体平均数与标准值更接近； C．接近程度相同； D．接近程度不能确定． 【答案】A 【解析】甲批次的平均数为，乙批次的平均数为． 故甲批次的总体平均数与标准值更接近，故选：A． 题型03 统计图表 11．某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为 ． 【答案】 【解析】由题意得得分数据分别为， 则平均数为. 12．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图．已知甲班级15名学生成绩的中位数为，乙班级15名学生成绩的第60百分位数为，则 【答案】 【解析】甲班级学生成绩为：，则； 乙班级学生成绩为：， 因为，所以，故. 13．某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为 ． 【答案】120 【解析】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 14．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则 .    【答案】 【解析】由茎叶图可知，甲的最低得分为6分，由甲得分的极差为32，可知，甲的最高得分为，所以的值为8，乙得分的众数为26，所以的值为6，所以. 15.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 【答案】86.25 【解析】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为86.25分． 16.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为：、、、、，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是（    ） A．5 B．8 C．13 D．17 【答案】C 【解析】产品数量在的频率为， 故这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是. 故选：C 题型04 古典概型 18．从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为 . 【答案】 【解析】根据题意，从集合中随机抽取2个不同元素作为， 有共6种， 其中只有，即有意义， 所以使得 有意义的概率为. 19．某校从四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，则学生A被选中的概率为 . 【答案】/ 【解析】从四名学生中随机选两人分别去参观甲、乙两个工厂是有顺序的． 从四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂所得的基本事件有： ， ，共12个． 记“学生被选中”为事件， 事件包含的基本事件有，共6个． 所以由古典概型概率公式得. 20．掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，样本空间为，，，故， 由古典概型的概率公式可得. 21．在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素，则事件“任意选择一个点，满足点到原点的距离”的概率为 . 【答案】 【解析】由于，且， 所以符合的共有（个）， 则，即， 按点的坐标将其分类讨论： 若，则或3,4,5,6，有5个点； 若，则或3,4,5,6，有5个点； 若，则或2,4,5,6，有5个点； 若，则或2,3,5,6，有5个点； 若，则或2,3,4,6，有5个点； 若，则或2,3,4,5，有5个点； 所以共有（个）点， 满足点到原点的距离的概率为. 22．一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是 ． 【答案】 【解析】掷两次骰子的试验有个基本事件， 向上的一面出现的点数至少有一次是6点的事件含有的基本事件为： ，共11个， 所以向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率. 题型05 条件概率 23．某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则 ． 【答案】 【解析】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 24．某个班级有42名学生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名团员，女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于 . 【答案】 【解析】由题设，知，， 所以. 25．甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为 . 【答案】/0.375 【解析】设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件， ，， 所以所求概率为. 26．甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ． 【答案】 【解析】从甲袋中取1个红球，从乙袋中取1个黄球的取法有， 从甲袋中取1个黄球，从乙袋中取1个红球的取法有， 则两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为. 27．一批灯泡中有60%来自甲厂，40%来自乙厂，已知两个厂产品的正品率分别是88%和90%.从中随机抽取1个，取得正品的概率为 . 【答案】0.888 【解析】由全概率公式可知，所求为. 28．某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 【答案】0.162 【解析】依题意，成绩是优秀的概率为. 29．某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是 ． 【答案】/ 【解析】设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 题型07 相互独立事件的概率 30．某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ． 【答案】 【解析】该学生是男生的概率是. 31．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 ． 【答案】/ 【解析】记事件为“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以． 32．甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8，0.5，已知两人是否投中互不影响，则两人中至少有一个人投中的概率为 . 【答案】/ 【解析】由事件的相互独立性可知：两人都没有投中的概率为， 所以两人中至少有一个人投中的概率. 33．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 【答案】 【解析】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 34.甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 【答案】/0.06 【解析】记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 题型08 相关关系 35．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图． 关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为 ． 【答案】 【解析】由散点图可知，所以. 36．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）． 【答案】 【解析】由条件可得，，， 一定在回归方程上，代入解得， ， ， ， ， 37．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【解析】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 题型09 离散型随机变量的均值 38．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ． 【答案】 【解析】，则，由，得，则． 39.马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此， ． 【答案】2 【解析】由题意，设“？”对应的概率为a，则“！”处对应的概率为， 则． 40．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为 ． 【答案】/ 【解析】由题意的所有可能取值为：1，2，， 的所有可能取值为：3，4，5，， 所以. 41．某商家开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得、、三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元．设随机变量表示获得赠品完全相同的顾客人数，则的期望是 ． 【答案】 【解析】由题意得所有可能取值为0，2，3 题型10 赛制问题 42．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ； 【答案】 【解析】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 43．甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 【答案】875 【解析】甲连胜两局后，乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲分得奖金元才公平. 44．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 【答案】 【解析】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 45．现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为 .（用最简分数表示答案） 【答案】 【解析】显然比赛3局甲赢得胜利的概率; 比赛4局甲赢得胜利的概率; 比赛5局甲赢得胜利的概率, 所以甲赢得胜利的概率为. 46．A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛，A、B先进行一局决胜负，负者下，由C挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者接受第三人的挑战，依次举行.假设三人水平接近，任意两人的对决胜负都是五五开，已知三人共比赛了3局，则三人各胜一局的概率为 ． 【答案】/0.25 【解析】设A、B比赛A获胜为事件M，A、C比赛C获胜为事件N，C、B比赛B获胜为事件Q， 且M、N、Q相互独立，则， 设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D， 则 . 47．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ． 【答案】0.236 【解析】设为独孤队第局取胜， 由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，， 所以独孤队取胜的概率 ． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19概率与统计经典选填题全归纳（含赛制等问题） 目录 01 析·考情精解 02 破·题型攻坚 考点 概率与统计经典选填题全归纳 真题动向 必备知识 知识点1普通的众数、平均数、中位数及方差 知识点2频率直方分布图下的频率 知识点3频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 知识点4线性回归直线方程： 知识点5相关关系 知识点6古典概型 知识点7互斥事件与概率的加法公式 知识点8相互独立事件与概率的乘法公式 知识点9条件概率 知识点10全概率公式 命题预测 题型01 统计基础 题型02 统计估计 题型03 统计图表 题型04 古典概型 题型05 条件概率 题型06 全概率公式 题型07 相互独立事件的概率 题型08 相关关系 题型09 离散型随机变量的均值 题型10 赛制问题 命题轨迹透视 统计知识主要考查:抽样方法、样本数字特征、统计图表，相关关系等,以选择题、填空题形式命题,难度较小，分值4分。 概率主要考查古典概型、独立事件的概率，条件概率、全概率公式，离散型随机变量的分布列、期望、方差、以填空题，选择题为主，分值在5分 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 统计 上海卷T13，5分 上海卷T13，5分 上海卷T14，5分 概率 上海卷T6，4分 上海卷T8，8分 上海卷T9，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，预计将延续从实际问题中抽象出概率统计模型的考查方式，难度保持中等，可能会增加数据的复杂性和条件的隐蔽性，对考生的逻辑思维和数据处理能力要求进一步提高。 考点 概率与统计经典选填题全归纳 1．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望 ． 2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 3．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为 ； 4．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 5．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 6．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（    ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 知识点1普通的众数、平均数、中位数及方差 ①众数：一组数据中，出现次数最多的数。 ②平均数：常规平均数： 加权平均数： ③中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 ④方差： 知识点2频率直方分布图下的频率 ①频率 =小长方形面积：；频率=频数/总数 ②频率之和：；同时 ； 知识点3频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 ①众数：最高小矩形底边的中点。 ②平均数： ③中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时的值。 ④方差： 知识点4线性回归直线方程： 其中： , 线性回归直线方程必过样本中心； 知识点5相关关系 相关系数： 的常数正相关；负相关 知识点6古典概型 设试验是古典概型，事件的概率，其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点7互斥事件与概率的加法公式 ①如果事件与事件不能同时发生，即，则称事件与互斥（或互不相容）． ②当与互斥时，，即． ③概率的加法公式：对任意两个事件与，有，即． 知识点8相互独立事件与概率的乘法公式 ①对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称独立． ②当事件与相互独立时，． ③概率的乘法公式：对任意两个事件与，若，则． 知识点9条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ②概率的乘法公式：对任意两个事件与，若，则． 注：当与相互独立时，，即． ③条件概率的性质：为样本空间，设，则 （1）； （2）如果与是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 知识点10全概率公式 一般地，设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，1，2，…，，则对任意的事件，有， ． 题型01 统计基础 1．在国际经合组织主持的国际学生评估项目（Program for International Student Assessment，简称PISA）研究中，上海15岁初中生多次获得全球第一.2024年上海近600所学校的约4000名学生代表全市各类中学约12.8万名15岁初中生参加测试，某研究人员想利用2024年PISA的数据库考察上海市15岁初中生的数学成绩.在该研究人员的研究中，总体是 . 2．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 （以下摘自随机数表第7行）． 39832776    39918535    32591131     40469235     04982212    20671263 3．某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是 4．浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取 人. 题型02 统计估计 5．样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为 ． 6．已知数据，，，，的方差是4，则，，，，的方差为 ． 7．行知中学毛老师对高三年级数学“智力大冲浪”很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为125､､121､､127（单位：分）.若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为 .（用数字作答）. 8．已知18个整数的中位数为5，第75百分位数也为5，那么这18个数中，5的个数的最小可能值为 . 9．某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 . 10.设矩形的长为a，宽为b，其比满足，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598  0.625  0.628  0.595  0.639 乙批次：0.618  0.613  0.592  0.622  0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，以下结论中正确的是（天） A．甲批次的总体平均数与标准值更接近； B．乙批次的总体平均数与标准值更接近； C．接近程度相同； D．接近程度不能确定． 题型03 统计图表 11．某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为 ． 12．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图．已知甲班级15名学生成绩的中位数为，乙班级15名学生成绩的第60百分位数为，则 13．某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为 ． 14．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则 .    15.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 16.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为：、、、、，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是（    ） A．5 B．8 C．13 D．17 题型04 古典概型 18．从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为 . 19．某校从四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，则学生A被选中的概率为 . 20．掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为 ． 21．在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素，则事件“任意选择一个点，满足点到原点的距离”的概率为 . 22．一颗质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，若掷两次骰子，则向上的一面出现的点数至少有一次是6点的概率是 ． 题型05 条件概率 23．某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则 ． 24．某个班级有42名学生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名团员，女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于 . 25．甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为 . 26．甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ． 27．一批灯泡中有60%来自甲厂，40%来自乙厂，已知两个厂产品的正品率分别是88%和90%.从中随机抽取1个，取得正品的概率为 . 28．某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ； 29．某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是 ． 题型07 相互独立事件的概率 30．某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ． 31．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 ． 32．甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为0.8，0.5，已知两人是否投中互不影响，则两人中至少有一个人投中的概率为 . 33．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 ． 34.甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 题型08 相关关系 35．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图． 关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为 ． 36．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）． 37．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 题型09 离散型随机变量的均值 38．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ． 39.马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此， ． 40．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为 ． 41．某商家开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得、、三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元．设随机变量表示获得赠品完全相同的顾客人数，则的期望是 ． 题型10 赛制问题 42．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ； 43．甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 44．甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 45．现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为 .（用最简分数表示答案） 46．A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛，A、B先进行一局决胜负，负者下，由C挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者接受第三人的挑战，依次举行.假设三人水平接近，任意两人的对决胜负都是五五开，已知三人共比赛了3局，则三人各胜一局的概率为 ． 47．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1/2 学科网（北京）股份有限公司 $