专题24 概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题24 概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题） 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点 概率与统计解答题全归纳 3 真题动向 必备知识 知识1统计图表与数据提取 知识2数据的数字特征 知识3变量间的相关关系与线性回归 知识4独立性检验 知识5相互独立事件 知识6条件概率 知识7全概率公式 知识8离散型随机变量的分布列、期望与方差 知识9正态分布 命题预测 考向1随机变量的分布列与期望 考向2条件概率、全概率公式 考向3二项分布与超几何分布 考向4正态分布 考向5统计图表与数字特征 考向6（非）线性回归方程 考向7独立性检验 考向8竞技中的概率问题 考向9概率统计的决策问题 考向10概率统计与数列的结合 考向11概率统计与导数的结合 命题轨迹透视 近三年全国卷中，统计概率解答题位置灵活，2025年全国Ⅱ卷曾作为压轴题。核心考查线性回归、独立性检验、离散型随机变量分布列与期望方差，二项分布、超几何分布为高频模型。 题目均结合实际情境，要求准确提取数据、判断模型类型，规范计算并解读结果。重点检验数据分析、逻辑推理与运算能力，不侧重复杂公式推导，更强调基础方法在实际问题中的灵活应用。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 概率与统计解答题全归纳 一卷T15，13分 二卷T19，17分 II卷T18，17分 甲卷T17，12分 甲卷T19，12分 乙卷T17，12分 I卷T21，12分 II卷T19，12分 2026命题预测 2026年全国卷中，统计概率解答题大概率位于中间大题位置，偶有压轴可能。将紧扣实际背景命题，大概率融合统计图表，考线性回归或独立性检验，概率部分聚焦离散型随机变量分布列，二项、超几何分布为主要考查模型，需结合数字特征分析实际意义，侧重知识综合应用与解题步骤规范。 考点 概率与统计解答题全归纳 1．（2025·全国二卷·高考真题，19，17分）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【答案】(1)， (2) (3)证明过程见解析 【分析】 【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 2．（2025·全国一卷·高考真题，15，13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【分析】 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 3．（2024·全国甲卷·高考真题，17，15分）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】 【详解】（1）根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，18，17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 5．（2023·全国甲卷·高考真题，19，12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)（i）；列联表见解析，（ii）能 【分析】 【详解】（1）试验组样本平均数为： （2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数， 由原数据可得第11位数据为，后续依次为， 故第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；列联表见解析，（ii）能 【分析】 【详解】（1）依题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 故. （2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 7．（2023·全国乙卷·高考真题，17，12分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求，； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】(1)，； (2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【分析】 【详解】（1）， ， ， 的值分别为: ， 故 （2）由（1）知:，，故有, 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，21，12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，19，17分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【分析】 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 知识1统计图表与数据提取 频率分布直方图 核心定义：横轴为样本数据，纵轴为，小矩形面积=对应组的频率，所有小矩形面积之和为1，频率=频数/样本容量。 数据计算：①众数为最高矩形底边中点的横坐标；②中位数是将直方图面积平分为左右各0.5的横坐标，需通过组距、频率计算具体位置；③平均数为各小矩形面积×对应组中值的和，是直方图的“重心”。 知识2数据的数字特征 1．集中趋势特征数 平均数：算术平均数，若数据分组则用加权平均数，反映数据整体平均水平，易受极端值影响，常需先计算再用于后续分析。 中位数：将数据从小到大排列，奇数个数据取中间值，偶数个数据取中间两个数的平均值，不受极端值影响，常与平均数结合分析数据分布特征。 众数：一组数据中出现次数最多的数，可反映数据的集中点。 2．离散程度特征数 极差：，计算简单，反映数据的变化范围，常作为离散程度的初步判断指标。 方差：，加权方差需结合各组频率计算，方差越大，数据波动越大，稳定性越差。 标准差：，与原数据单位一致，常要求计算方差或标准差，并根据结果分析数据稳定性（如比较两组数据的波动情况）。 3．百分位数 定义：第百分位数表示一组数据中至少的数据小于或等于它，至少的数据大于或等于它，常用四分位数（25%、50%、75%）。 计算步骤：①将数据从小到大有序排列；②计算（为数据个数）；③若不是整数，取大于的最小整数对应的数；若是整数，取第和第个数的平均值。 知识3变量间的相关关系与线性回归 1．相关系数与线性相关判断 相关系数：计算公式，核心意义为刻画两个变量的线性相关程度。 结论：；为正相关，为负相关；越接近1，线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱。 2．线性回归方程 基本形式：一元线性回归方程，其中为斜率，为截距。 核心公式：，。 性质：回归直线必过样本中心点，可用于检验计算是否正确，或结合中心点求参数。 预测应用：求出回归方程后，代入自变量的取值，预测因变量的估计值，常要求结合实际意义分析预测结果。 3．残差与拟合效果分析 残差：（观测值-预测值），残差和为0，残差图可检验模型合理性（残差点均匀分布在横轴附近，无明显规律，说明线性回归模型合适）。 相关指数：，越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好；一元线性回归中，常要求计算并评价拟合效果。 4．非线性回归转化 解题思路：若两个变量呈非线性相关（如指数、对数相关），通过变量替换转化为线性回归问题，如取对数得，令，则转化为与的线性回归。 知识4独立性检验 1．分类变量与2×2列联表 分类变量：取值为不同类别变量（如性别、是否患病、是否达标），常结合实际背景给出列联表，或要求根据数据补全列联表。 2×2列联表核心形式： 总计 总计 2．卡方检验公式与计算 核心公式：。 3独立性判断与结论表述 步骤：①计算的观测值；②对比临界值（如，，，题目一般会给出）；③得出结论：若，则有的把握认为两个分类变量有关；若，则没有足够的把握认为两个分类变量有关。 知识5相互独立事件 定义：事件的发生与否对事件发生的概率无影响，反之亦然，即，。 核心公式：①乘法公式：；推广：相互独立的事件；②独立事件的对立事件仍相互独立，如与、与均相互独立。 知识6条件概率 1．定义与含义 条件概率：已知事件发生的条件下，事件发生的概率，记为，反映事件发生对事件发生的影响。 2．核心计算公式 公式1：（），适用于所有情况，中常结合古典概型、相互独立事件求和。 公式2：古典概型下，其中为事件包含的基本事件数，为事件同时发生的基本事件数。 知识7全概率公式 1．适用场景 求复杂事件的概率，该事件的发生可由若干个互不相容的简单事件（完备事件组）引发，即事件的发生依赖于的发生，中常表现为“分情况讨论求概率”。 2．核心条件 设样本空间为，为的一个完备事件组，满足：①两两互斥，即（）；②并集为，即；③（）。 3．核心公式 ，即复杂事件的概率=各简单事件的概率×在发生条件下发生的条件概率之和。 知识8离散型随机变量的分布列、期望与方差 （一）离散型随机变量的分布列 1．定义与形式：列出随机变量的所有可能取值，及对应取值的概率，形式为： … … 2．核心性质：①（）；② （二）常见离散型随机变量的分布 1．二项分布（） 适用场景：次独立重复试验（伯努利试验），每次试验只有两种结果（成功/失败），每次成功的概率均为（），表示次试验中成功的次数。 概率公式：（），其中为组合数。 数字特征：期望，方差。 2．超几何分布（） 适用场景：从有限个物件（含个指定种类物件）中不放回抽取个，表示抽到指定种类物件的次数。 概率公式：（），需准确识别（总体数）、（指定种类数）、（抽取数）。 数字特征：期望。 核心区别：二项分布为有放回抽样，超几何分布为不放回抽样；当总体数很大时，超几何分布可近似为二项分布。 （三）离散型随机变量的期望与方差 1．数学期望（均值，） 定义公式：。 核心性质：①（为常数）；②（为常数）；③特殊分布直接套用公式（二项分布、超几何分布）。 2．方差（）与标准差（） 定义公式：（适用于所有离散型随机变量，非特殊分布用此公式）。 核心性质：①（为常数）；②（为常数，注意系数平方）；③特殊分布直接套用公式。 实际意义：反映随机变量取值的稳定程度，方差越小，取值越稳定，常要求比较两个随机变量的方差，分析稳定性。 知识9正态分布 1．核心表示：连续型随机变量服从正态分布，记为，其中为均值，为方差，。 2．正态曲线的性质：①关于直线对称；②在处取得峰值；③越小，曲线越“瘦高”，分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，分布越分散。 3．3σ原则：①；②；③。 考向1随机变量的分布列与期望 1．（2024·吉林辽源·二模）某行业举行专业能力测试，该测试由A，B，C三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立.当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C项测试成绩合格，且A，B两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C项测试成绩不合格，且A，B两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分.甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表: 测试项 A B C 频数 16 15 10 用频率估计概率. (1)试估计甲的A项测试成绩合格的概率； (2)设X表示甲获得的认定分，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）因为甲的A项测试成绩合格的频率为， 所以估计甲的A项测试成绩合格的概率为. （2）设甲的专业能力A，B，C三项测试成绩合格分别为事件， 由频率估计概率，可得， 根据题意，随机变量X的所有可能取值为10，5，2，0， 因为， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 2 5 10 P 所以X的数学期望为. 2．（2025·云南普洱·一模）为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； (2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”， ， 则， 所以甲11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为； （2）由题意可知的所有可能取值为， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 6 所以. 3．（2025·江苏淮安·三模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响． (1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求； (2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）的取值为3,2,0,对应的概率分别为，，. 的取值为2,0，对应的概率分别为，. 当时，取2或0都满足， 此时概率为. 当时，取2或0都满足， 此时概率为. 当时，只有满足， 此时概率为. 根据互斥事件概率的加法公式，可得. （2）的可能取值为0,2，3，4，5. . . . . . 的分布列如下表所示： 0 2 3 4 5 可得. 4．（2024·河南驻马店·二模）在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束. 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率； (2)记该队获得奖品的总个数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】 【详解】（1）原先装有2个，3个，4个玩具所在的盒子记为编号，“取到编号为的盒子”记为事件， “该队仅有乙获得奖品”记为事件，则 . （2）的可能取值为0，1，2，3， ① ②取到一个奖品，若其来自3号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数为4种，2种，1种． 取到一个奖品，若其来自4号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数共有3种． 所以. ③取到两个奖品，若其都来自4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为2种，1种，1种. 取到两个奖品，若其来自3号和4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为4种，3种，2种． 所以. ④取到三个奖品，取到3号盒子1次，4号盒子2次，对应的基本事件数共3种，所以. 所以分布列为： 0 1 2 3 . 5．（2025·辽宁丹东·二模）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)分布列见解析. 【分析】 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 考向2条件概率、全概率公式 6．（2025·湖北襄阳·一模）甲同学进行投篮测试，投中的概率为0.6，且每次投篮结果相互独立.测试时，甲同学有三次投篮机会，投中一次后将通过测试并结束，若连续三次不能投中，则结束测试并判为不通过. (1)求甲同学在最后一次投篮才通过测试的概率； (2)记为甲同学测试结束时投篮的次数，求的分布列和数学期望： (3)求在通过测试的情况下，甲同学只投篮了一次的概率. 【答案】(1)0.096 (2)分布列见解析，1.56 (3) 【分析】 【详解】（1）设事件为第次投中， 则甲同学最后一次投篮才通过的概率为： （2）的所有可能取值为：. ， ， 则的分布列为： 1 2 3 0.6 0.24 0.16 . （3）设事件：甲同学通过测试，事件：甲同学只投篮了一次， 则， ，则在通过测试的情况下，甲同学只投篮了一次的概率： . 7．（2025·辽宁抚顺·一模）某公司使用一个由1台主服务器和3台备用服务器组成的系统运行关键业务.每台服务器正常工作的概率均为0.9（实际生活中服务器可靠度通常在0.9以上，为便于计算我们在此取0.9），且各服务器运行状态相互独立.该系统正常工作必须同时满足以下两个条件： ①主服务器正常工作； ②至少2台备用服务器正常工作. 否则判定为故障. (1)记为备用服务器正常工作的台数，求的分布列及期望； (2)求系统正常工作的概率； (3)若已知系统发生故障，求此时主服务器正常工作的概率.（结果精确到0.1） 【答案】(1)分布列见解析，2.7 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2，3，则， 所以， ， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 所以. （2）设事件“系统正常工作”， 则 . （3）设“系统发生故障”，“主服务器正常工作”， 则， ， 所以. 8．（2025·福建龙岩·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 【答案】（1）①分布列见解析，；②；（2）节目参加者换门更好，答案见解析 【分析】 【详解】（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为， 所以， 即，，，，，，， 得到的分布列为 0 1 2 3 4 5 期望为， ②依题意，样本比例为，现要求， 得，即，， 所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为 . （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，， 所以，， 则， 因此不换门选中汽车的概率是， 换门选中汽车的概率是， 故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍. 9．（2024·贵州铜仁·二模）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）（1）设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下3种情况： 第一种：第一场､第二场结果都为负； 第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负； 第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负. ∴. （2）设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功， 由题意知， . 所以， 所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为. 10．（2025·江西宜春·一模）某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标准版占比，旗舰版占比．根据历史数据：一是标准版手表的好评率为（好评定义为评分4星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．二是旗舰版手表的好评率为，且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为． (1)随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率； (2)随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结果用分数表示） (3)平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件的概率． 【答案】(1)0.84 (2) (3)0.774 【分析】 【详解】（1）解定义事件：用户购买的是标准版手表，， ：用户购买的是旗舰版手表，， ：用户给出好评，：用户给出非好评，， ：用户申请售后维权，：用户未申请售后维权， 随机用户给出好评的概率 ； （2）售后维权分“好评后维权”和“非好评后维权”，需结合型号拆分： ； 所以； 所以该用户购买的是标准版手表的概率； （3）， 得． 所以符合优惠券发放条件的概率是0.774． 考向3二项分布与超几何分布 11．（2025·山西阳泉·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． （2）的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 （3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 12．（2025·广东河源·三模）某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 【分析】 【详解】（1）设事件：抽取的是本地会员，， 则事件：抽取的是外地会员，， 事件：会员对商品质量满意，，， 所以. （2）由（1）可知，单次抽取会员满意的概率，不满意的概率为， 的所有可能取值为0，1，2. 则，， ，， 0 1 2 所以. 13．（2025·陕西西安·三模）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”． (1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； (2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生， 所以，， 由条件概率公式可得； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 14．（2025·黑龙江鹤岗·三模）“彼此有了三分酒，便猜拳赢唱小曲儿”——这一幕出自《红楼梦》第六十三回《寿怡红群芳开夜宴》，描绘的是酒意微醺后的贾宝玉等人行令助兴的生动场景．这里的“猜拳”，正是中国传统酒令中极为常见的一种互动游戏，而现代最广为人知的猜拳形式之一，便是石头剪刀布．石头剪刀布的规则如下：两人同时出拳，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，相同则平局．一般来说，人类在出拳时会有不自觉的偏向性．甲乙二人的最近60次出拳如下表． 出拳情况 石头 剪刀 布 甲 30次 20次 10次 乙 15次 30次 15次 用频率估计概率，假设两人每次出拳相互独立. (1)若甲乙二人进行一次猜拳，估计甲获胜的概率； (2)若甲乙二人进行三次猜拳，记平局的次数为X．估计随机变量X的分布列和数学期望； (3)若甲乙二人以如下规则进行一轮“无平局猜拳游戏”：持续进行若干次猜拳，直到其中一方获胜才停止，将该次猜拳的获胜方记为本轮游戏的胜者.直接写出甲本轮游戏获胜的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 (3) 【分析】 【详解】（1）用频率估计概率，则由题每次出拳甲出石头、剪刀、布的概率分别为，，， 每次出拳乙出石头、剪刀、布的概率分别为，，， 设事件“甲乙进行一次猜拳，甲获胜”，则； （2）用频率估计概率，每次出拳甲出石头、剪刀、布的概率分别为，，， 每次出拳乙出石头、剪刀、布的概率分别为，，， 因此每次出拳平局的概率为， 由题的取值范围有， 且，， ， 因此，的分布列为 0 1 2 3 故的数学期望为； （3）由（1）知，甲获胜的概率为，由（2）知，平局的概率为， 故在一局中，分出胜负的概率为， 所以在分出胜负的条件下甲获胜的概率为. 15．（2025·四川成都·一模）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭， 事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭， ，， 所以， 所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为， 的可能取值为0，500，1000，1500，2000， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 500 1000 1500 2000 （3）带动家庭可以拿到100元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到200元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到300元奖励的概率为， 该带动家庭可以拿到的奖励为 （元）. 16．（2025·广西贵港·模拟预测）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， 的分布列为： ∴. （3）由题意得，，              ∴的分布列为： ∴. 17．（2025·四川达州·模拟预测）杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，得到如下数据： (1)从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率； (2)杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求的分布列和数学期望； (3)杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个模块达到90分以上，则该轮测试记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评． 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)20 【分析】 【详解】（1）由题知其数学成绩不低于120分的人数为7人， 故其数学成绩不低于120分的概率为. （2）由题知其数学成绩不低于135分的人数为4人，的取值可能为0,1,2,3. ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 期望. （3）设甲同学在一轮测评中合格为事件A， 则， 又甲同学在轮测评中合格的次数Y满足， 则期望，解得， 所以至少要进行20轮测评. 考向4正态分布 18．（2025·安徽黄山·二模）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【答案】(1) (2)可靠性为,变差了 【分析】 【详解】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. 19．（2024·黑龙江佳木斯·二模）某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 【答案】(1)，88分 (2)分布列见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）由图可知， 解得. 因为， 则成绩由高到低的前分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则记为“优秀”的最低分数为88分. （2）样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的个人中，来自的人数为，来自的人数为，来自的人数为， 则的所有可能取值为1，2，3，4． ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 方法一：. 方法二：服从参数的超几何分布，故. （3）由题意得，， 由，所以， 所以 ， 所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的概率约为0.8186， 故，所以. 20．（2025·河南信阳·模拟预测）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1)0.8186 (2)分布列见解析，1 【分析】 【详解】（1）因为零件的直径服从正态分布，所以， 则， 即. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 由题意知的所有可能取值为   故，， ，， ， 故X的分布列为 0 1 2 3 4 ∵满足二项分布，的数学期望为. 21．（2025·陕西安康·模拟预测）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1)17 (2)0.004 【分析】 【详解】（1）根据题意，把男性样本记为，其平均数记为； 把女性样本记为，其平均数记为，则， 记总样本数据的平均数为， 则，总样本数据的平均数为17. （2）根据题意，由（1）知，所以， 所以， 设抽取的3位参与者中，脂肪含量均小于12.2%的人数为， 易得， 故， 故3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004. 22．（2025·广东梅州·一模）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为， 则样本平均数估计值， 可得. 由，则，， 因为，所以 . （2）设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则； 可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为； 由，两边取对数可得； 因为，， 所以，由为正整数，所以的最大值为. 考向5统计图表与数字特征 23．（2025·广东潮州·三模）某校举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 (1)求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；求X的分布列及与的值； (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 【答案】(1)；估计概率为 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，所有组频率和为1，组距为1，因此： 解得； 观众评分不小于9的频率为，用频率估计概率，得评分不小于9的概率为. （2）5名专家中，评分不小于9分的共有4人，小于9分的共1人。 从5名专家中选3人，（评分不小于9分的人数）的可能取值为： 因此的分布列为： 2 3 期望计算： ； 对于：观众评分不小于9的概率为，， 因此： （3） （专家评分平均数； 观众评分平均数 . 方案一：（N 为观众人数，N 很大），近似为 =8.8； 方案二：） 【点睛】本题以比赛评分为背景，综合考查频率分布直方图的性质、超几何分布与二项分布的分布列及期望计算，并用加权平均思想比较两种评分方案的结果大小. 24．（2025·河南平顶山·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 25．（2025·海南海口·二模）在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标．某公司的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28． (1)求样本的第40百分位数，平均数和方差； (2)若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品．用样本数据估计总体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数不少于2个的概率； (3)该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为24.4，方差为1．若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为应选择哪个批次的电池？请说明你的理由 【答案】(1)24，24.5，3.5 (2) (3)B批次，理由见解析 【分析】 【详解】（1）把样本数据按从小到大的顺序排列：22，23，23，24，24，26，26，28， 因为，所以样本的第40百分位数取第4个数据，为24． 样本的平均数为， 方差为． （2）样本数据中超过24的有3个，故从样本中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为， 用样本数据估计总体数据，所以从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为， 故所求概率为． （3）虽然B批次产品的平均值比A批次降低了， 但B批次产品的方差比A批次降低了，说明B批次电池的质量更好， 所以应选择B批次的电池． 26．（2025·福建宁德·三模）某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按，，，，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若从评分在内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ，∴； （2）估计用户评分的平均数为: ； （3）样本在，的人数分别为2，8， 利用分层抽样从的用户中随机抽取5人， 则在，的人数分别为1，4, 从中抽取的1人记为，从中抽取的4人记为1，2，3，4， 则从5人中随机抽取2人的样本空间， 记“这2人来自不同评分区间”为事件A，则有,,共4个基本事件， ∴. 27．（2025·河南郑州·模拟预测）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由. (2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列. 【答案】(1)强化训练后跳水队成绩有所提高，理由见解析； (2)分布列见解析. 【详解】（1）强化训练后跳水队成绩有所提高，理由如下： 强化训练前：平均数约为， 由题中图1知频率最大的一组是，所以众数约为； 强化训练后：平均数约为， 由题中图2知频率最大的一组是，所以众数约为. 所以强化训练后的平均数与众数均大于强化训练前，即强化训练后跳水队成绩有所提高. (也可以比较中位数，强化训练前的中位数位于区间，强化训练后的中位数位于区间，前者小于后者) （2）由题中图2可知强化训练后的跳水队中优秀学员（得分80分以上（含80分））的频率为， 则非优秀学员的频率为， 从强化训练后的跳水队中共抽取5名，则这5名学员中优秀学员的人数为，非优秀学员的人数为， 从这5名学员中随机选出3人，这3名队员中优秀人数的可能取值为， 且，，， 所以的分布列如下. 1 2 3 考向6（非）线性回归方程 28．（2025·江苏常州·二模）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示. 年份 年份代码 (1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱） . (2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）； (3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求? 附：相关数据：，，，. 相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，. 【答案】(1)图见解析，，线性相关很强 (2) (3)符合研发要求 【分析】 【详解】（1）折线图如下： 由题意得：， ， ， ， ，与线性相关很强. （2）由题意得：， ， 关于的回归直线方程为. （3）年对应的年份代码，则当时，， 预测年用在“芯片”上的研发费用约为（万元）， ，符合研发要求. 29．（2025·湖北荆州·一模）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】(1)模型②， (2)①；②，． 【分析】 【详解】（1）由散点图知，卵数随温度的变化是按指数形式变化，而非线性变化，因此模型②更合适， 令，则，由所给参考数据得，， ，因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为. （2）①依题意，， 求导得 ， 令，得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值，当时，， 每年需要人工防治的概率，且服从二项分布， 所以，. 30．（2024·广东深圳·模拟预测）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 【答案】(1)，管理时间与土地使用面积线性相关 (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）由题意得，， 所以， 可得， 则， 所以管理时间与土地使用面积线性相关. （2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望. 31．（2024·广东湛江·二模）2024年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得40金、27银、24铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩.在男子100米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以46秒40的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军. 以下是近10届奥运会男子100米自由泳项目冠军成绩记录（单位：s），如表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 冠军成绩 48.63 49.02 48.74 48.30 48.17 47.21 47.52 47.58 47.02 46.40 (1)求上表中冠军成绩的极差与中位数； (2)根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们的相关程度（精确到0.01）； (3)求冠军成绩关于年份代码的经验回归方程（精确到0.01）. 附：参考公式：样本相关系数，经验回归方程中，. 参考数据：，. 【答案】(1)极差为；中位数为 (2)，有较强的线性相关性； (3). 【分析】 【详解】（1）成绩由小到大排列为：， 所以冠军成绩的极差为；中位数为. （2）依题意，， 所以样本相关系数， 由，得年份代码与冠军成绩有较强的线性相关性. （3）依题意，，， 则， 所以冠军成绩关于年份代码的经验回归方程. 32．（2024·甘肃天水·二模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 参考数据：，， ． 参考公式：相关系数． 【答案】(1)12亿元，650亿元 (2) (3)710亿元 【分析】 【详解】（1）平均每年的研发投入为 ， 平均每年的营业额为. （2）将所给数据代入相关系数计算公式得 ． 其中， 所以． （3）由题意知，回归直线过样本中心点， 即，解得． 所以回归方程为． 将代入回归方程，得， 故预测该公司今年的营业额为710亿元． 33．（2025·广东阳江·二模）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为. 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； (2)（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 【答案】(1)吨. (2)残差表见解析；，拟合效果较好. 【分析】 【详解】（1）根据题中数据可知，， 将样本中心点的坐标代入经验回归方程得 ，解得， 所以经验回归方程为. 当时，， 即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨. （2）（i）由经验回归方程可得 ，； ，； ，； ，； ，. 所以残差表如下： 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 （ii）由上数据可知， ， 所以决定系数，与1比较接近， 所以拟合效果较好. 考向7独立性检验 34．（2025·湖南株洲·二模）为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 (1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异 【分析】 【详解】（1）解：根据统计表格中的数据，可得甲部门的职工熟练使用AI工具的概率为； 乙部门的职工熟练使用AI工具的概率为． （2）解：零假设为：甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 根据列联表中的数据，计算可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据拒绝原假设， 即认为甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 35．（2024·安徽滁州·模拟预测）为研究某市高三年级学生身高和性别的关系，随机抽取了名高三年级学生，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 (1)求列联表中的、的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人，其中不低于的人数记为，求的期望． (2)依据小概率值的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关． 附：， 【答案】(1)，， (2)有关 【分析】 【详解】（1）由题意，，， 样本中抽取的不低于的学生的频率为， 将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人， 其中不低于的人数记为，则，所以． （2）零假设为高三年级学生的身高与性别无关， 由（1）可知， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该市高三年级学生的身高与性别有关． 36．（2025·四川德阳·一模）为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率． 是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 (1)如果事件与事件无关，证明：； (2)已知： （i）填写表格剩余内容； （ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值． 附：，． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）表格见解析（ii）40 【分析】 【详解】（1）设列联表中四个格子的人数分别为 ：满足事件且满足事件的人数； ：满足事件但不满足事件的人数； ：不满足事件但满足事件的人数； ：不满足事件且不满足事件的人数； 则总人数．若事件与事件无关，则有 ， 整理得．又，代入得 . 代入计算公式 . （2）（i）．由已知，用频率估计得满足事件且的人数等于不满足事件但满足的人数， 设均为．又满足事件的合计为，故，解得， 即. 不满足事件且不满足事件的人数为，即．由总人数得 . 于是填写完整的表格如下： 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 （ii）．由（i）中数据计算： 则， ，所以. 依题意，在时，临界值，要判断事件与事件有关，需， 即. 由于为正整数，且表格中所有人数均为整数，是10的倍数．故有效问卷数的最小值为40． 37．（2025·广东江门·二模）为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)关注“蒙超”赛事与性别有关 (2)分布列见解析，1 【分析】 【详解】（1）零假设：关注“蒙超”赛事与性别无关， 经过计算. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能认为关注“蒙超”赛事与性别有关. （2）由分层抽样知抽取男性市民4人，女性市民2人， X的取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 所以. 38．（2024·湖北黄石·二模）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； (2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关联； (2)0.28. 【分析】 【详解】（1）零假设为番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联， 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）令使用无土栽培的单株番茄产量为，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为， 抽到的2株番茄总产量为，则， 则 ， 所以抽到的2株番茄总产量大于的概率为0.28. 考向8竞技中的概率问题 39．（2024·湖北荆门·模拟预测）在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组. (1)若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 【答案】(1)获得冠军概率为，获得冠军的概率为 (2)传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制对强队更有利. 【分析】 【详解】（1）在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为.     依题意，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为.     所以在传统的淘汰赛赛制下获得冠军概率为，获得冠军的概率为. （2）在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， 在双败赛制下，讨论进入胜者组、败者组两种情况， 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利， 后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为， 因此获得冠军的概率为， ， 由，得，，若为强队，则，此时， 即，因此，获得冠军的概率更大， 若为强队，即时，双败赛制对强队更有利. 40．（2025·吉林四平·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． （2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． （3）时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． 41．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答，比赛规定；甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分，选手初始分数为0分，假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． (1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； (2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)，分布列见解析 【分析】 【详解】（1）解：设事件“两轮比赛累计得分不低于20分”， 由已知该选手正确回答甲类问题的概率为， 所以． 所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为． （2）解：的所有可能取值为． ， ， 的分布列为 10 50 70 的数学期望． 42．（2025·四川绵阳·模拟预测）云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． (1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； (2)设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况： ①直接获胜，其概率为； ②常规时间战平后点球获胜，其概率为， 所以甲单场获胜的概率为， 则三场比赛恰有两场获胜的概率为. （2）解：甲单场比赛的积分有3种情况： 单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为； 单场比赛积0分，其概率为， 设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为， 可得，， ，， ，， 所以随机变量分布列为： 0 2 3 4 5 6 则期望为. 43．（2025·四川遂宁·一模）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． (1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； (2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望； (3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）设事件“两轮比赛累计得分不低于20分”， 由已知该选手正确回答甲类问题的概率为， 所以． 所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为． （2）的所有可能取值为． ， ， 的分布列为 10 50 70 的数学期望． （3）． 每轮选甲、乙的概率均为，因此，两轮都选甲的概率为，两轮都选乙的概率为，先甲后乙的概率为，先乙后甲的概率为. 两轮都选甲： 的可能取值为 . 两轮都选乙： 的可能取值为 故. 先甲后乙： 由（2）可知，， 先乙后甲： 同理可得， 故， 所以. 44．（2025·安徽淮北·二模）2026年第23届男子足球世界杯赛， 由美国、加拿大和墨西哥三国联合承办. 赛制如下:第一阶段为小组赛， 先将48支球队分为12个小组， 每组4支球队. 同一小组中， 每两支球队均要踢一场球， 根据赛制选出32支球队小组出线，参加第二阶段比赛.第二阶段为淘汰赛，根据赛制将出线的32支球队分成16组，每组2支球队踢一场球，胜者晋级；晋级的16支球队又分成8组，每组2支球队踢一场球，胜者晋级，依次类推，直至产生前四名.第三阶段为排位赛，进入前四名的球队分成两组，每组的2支球队踢一场球，胜者晋级决赛，再踢一场球，争夺冠军；而失败的2支球队也要踢一场球，争夺季军. (1)第23届男子足球世界杯总共进行多少场比赛? (2)一球队为了在比赛中变换阵型，将原本在左边锋、左前卫、左后腰和左后卫位置的4名球员交换位置， 则这4名球员至少有3名不在自己对应位置上的概率为多少? (3)假定、、、四支球队被分至同一小组，依据过往比赛记录可得，球队战胜 球队的概率为，踢成平局的概率为；球队战胜C球队的概率为，踢成平局的概率为；球队战胜D球队的概率为，踢成平局的概率为.按照积分规则，获胜可积3分，平局可积1分，失败则积0分，试求A球队在小组赛结束后的积分的分布列和数学期望. 【答案】(1)104 (2) (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）①第一阶段12个小组，每组4支球队两两比赛，共有场； ②第二阶段从32支球队淘汰到产生前四名，共有场； ③第三阶段，共有场； 所以比赛总场数为场. （2）若有3名球员不在自己对应位置上； 若有4名球员不在自己对应位置上； 则4名球员至少有3名球员不在自己对应位置上的概率为. （3）A球队在小组三场比赛结束后的积分X可能取值为：， 其中：0分(三负)、1分(一平两负)、2分(两平一负)、3分(一胜两负或三平)、 4分(一胜 一平 一负)、5分(一胜两平)、6分(两胜一负)、7分(两胜一平)、9分(三胜)， 则有：； ； ； ； ； ； ； ； ； 所以随机变量X的分布列为 期望． 考向9概率统计的决策问题 45．（2024·云南昆明·三模）某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值； (3)记净成本为，以净成本期望值为决策依据，求净成本期望值最低时的备件数． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）可取，由题设中的数据可得： ，， ， ，， 故的分布列为： （2）因为，而， 故的最小值为. （3）若，则， 若，则， 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 综上，净成本期望值最低时的备件数. 46．（2024·四川广元·模拟预测）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示： 95 126 187 P 0.5 且的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示： 0 1 2 41.2 117.6 204.0 (1)求的值； (2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得， 解得． （2）的可能取值为41.2，117.6，204， ， ， ， 所以Y的分布列为 Y 41.2 117.6 204 P 可得， 由，得， , 解得， 即当选择投资有机蔬菜项目时，p的取值范围是，投资回报率最大． 47．（2024·广东汕头·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，      . （2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是 48．（2025·四川眉山·三模）一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作. (1)当时，求一天内制冰厂不亏本的概率； (2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考： 方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元. 方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为元.请从期望损失最小的角度判断如何决策？ 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，每台设备能正常工作的概率为：， 所以一天内制冰厂不亏本的概率为； （2）若不采取措施，设总损失为，当前每台设备能正常工作的概率为0.6， 故元； 设方案1、方案2的总损失分别为，， 采用方案1，更换3台设备的部分零件，使得每台设备能正常工作的概率为0.85， 故元； 采用方案2，对设备进行维护，使得每台设备能正常工作的概率为0.75， 故元， 又，且， 因此，从期望损失最小的角度，当时，可以选择方案1或2； 当时，选择方案2； 当时，采取方案1. 49．（2025·湖北武汉·模拟预测）某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲､乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）. (1)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立. ①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率； ②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用） 【答案】(1)（万件） (2)①0.6；②乙方案. 【分析】 【详解】（1）年销量的平均数（万件）. （2）①该产品的销售利润为15元/件， 由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万， 所以年销售利润不低于270万的概率. ②设甲方案的年销售量为X万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望， 所以甲方案6年的净利润的期望值为（万元）. 设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为 Y 12 16 20 P 0.05 0.35 0.6 所以乙方案的年销售量期望（万件）， 所以乙方案6年的净利润的期望值为（万元）， 因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值， 所以企业应该选择乙方案. 考向10概率统计与数列的结合 50．（2025·江苏南通·三模）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. (1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. (2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； (3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望． 【答案】(1)； (2)①，；②将“第次首次结束”的事件拆解为两种互斥的状态转移场景，利用互斥事件的概率加法公式，推导得到数列的递推关系. (3) 【分析】（1）三枚骰子的总基本事件数，利用三枚骰子点数和的对称性，枚举点数和≥12的所有基本事件数，代入古典概型概率公式计算. （2）游戏“连续两次点数和≥12才结束”的规则，判断第1次投掷无法满足结束条件得，再利用独立事件概率乘法公式计算第2次首次结束的概率； （3）从状态0、状态1出发到游戏结束的期望步数、，根据马尔可夫链的状态转移规则，建立关于、的线性方程组，通过消元法解方程组，得到即为随机变量的数学期望. 【详解】（1）同时掷三枚均匀的六面骰子，每枚骰子有6种等可能的结果， 因此总基本事件数为. 三枚骰子的点数和范围为，且满足对称性： 点数和为的情况数，与点数和为的情况数完全相等. 枚举点数和≥12的所有基本事件数： 点数和为12：25种； 点数和为13：21种； 点数和为14：15种； 点数和为15：10种； 点数和为16：6种； 点数和为17：3种； 点数和为18：1种. 满足“点数和≥12”的基本事件总数为：. 由古典概型的概率公式得. （2）①由题意，表示从状态0开始，第次掷骰子后游戏首次结束的概率. 对于：游戏结束的充要条件是“连续两次点数和≥12”，仅进行1次投掷无法满足“连续两次”的要求，因此第1次投掷后不可能首次结束，故. 对于：第2次投掷后首次结束，需满足第1次、第2次的点数和均≥12（状态转移为：状态0→状态1→状态2）. 由于两次投掷相互独立，得. 故，. ②证明：设事件为“第次掷骰子后游戏首次结束”，则. 事件可分解为以下两个互斥事件的和： 事件：第一次掷骰子点数和小于12，且后续次投掷中游戏首次结束 第一次点数和小于12的概率为，根据游戏规则，点数和小于12时， 此前的连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第次首次结束， 等价于从初始状态0出发，在后续次投掷中首次结束，该事件的概率为， 由独立事件的概率乘法公式，. 事件：第一次掷骰子点数和大于等于12、第二次掷骰子点数和小于12，且后续次投掷中游戏首次结束 第一次点数和大于等于12的概率为，第二次点数和小于12的概率为；根据游戏规则，第二次点数和小于12时，连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第次首次结束，等价于从初始状态0出发，在后续次投掷中首次结束，该事件的概率为. 由独立事件的概率乘法公式，. 由于事件与事件互斥，，得： . （3）由题意，随机变量表示从开始（状态0）到游戏结束的投掷次数，因此. 根据马尔可夫链的状态转移规则，建立线性方程组： 从状态0出发：投掷1次骰子（步数+1），以概率转移到状态1，以概率留在状态0， 因此， 从状态1出发：投掷1次骰子（步数+1），以概率转移到状态2（游戏结束，剩余期望步数为0）， 以概率回到状态0，因此， 对第一个方程化简：， 将式(1)代入第二个方程，=可得：， 展开得，移项合并得 所以，解得： 将式(2)代入式(1)，得：， 将代入，计算得：. 因此，随机变量的数学期望. 51．（2025·山西大同·二模）某篮球教练带领、两名篮球运动员训练篮球的接球与传球.首先由教练第一次传球给、中的某位运动员，然后该运动员再传回给教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了运动员，且教练第次传球传给运动员的概率为. (1)若， （ⅰ）求，； （ⅱ）求的表达式. (2)若.证明： 【答案】(1)（i）；；（ii）. (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）（i），，. （ii）由已知可得递推关系， 化简得：，设，解得， 所以，， 又因为， 是以为首项，为公比的等比数列， ，. （2），，化简得：， 设，解得， 所以， 从而得到的表达式：， 因为，所以单调递减且大于零， 从而                                52．（2025·辽宁阜新·模拟预测）11分制乒乓球单打比赛的规则如下：在每球中，赢球方得1分，输球方不得分.当比赛双方打成后，每球均需交换发球权，直到一方得分领先对手2分时，该局比赛结束，得分多的一方在该局获胜.现有甲､乙两人进行单打比赛，假设发球方赢得该球的概率均为，且各球得分情况相互独立.已知在某局比赛中，前20个球恰好打成，第21个球由甲发球. (1)记事件“甲在该局获胜，且甲得分不超过13分”为，当时，求； (2)设，记事件“在后又打了个球，该局比赛结束”为，“乙在该局获胜”为，求； (3)记事件“该局比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数”为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由比赛规则可知，当双方打成后，若又打了个球比赛结束，则必为偶数， 不妨设，且将个球依次记为，以下将，这两球称为一轮，其中. 事件对应两种情况： （1）第1轮中甲连赢2球； （2）第1轮中甲､乙双方各赢1球，第2轮中甲连赢2球， . （2）在每一轮中：乙连赢2球的概率记为；甲､乙双方均各赢1球的概率记为， 则， 当时，乙获胜，即在第1轮中乙连赢2球， 此时，， 当时，乙获胜，即在前轮中，每轮甲､乙双方均各赢1球， 在第轮中，乙连赢2球， 此时，， 时，， ∴当时，. （3）由（2）中结果可得甲连赢2球的概率为， 故甲或乙连赢2球的概率为. 比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数， 则有如下情形: （1）双方比分为或，此时概率为； （2）双方比分为或，比赛结束前有两轮平局， 故此时概率为； （3）双方比分为或，比赛结束前有4轮平局， 故此时概率为； （4）双方比分为或，比赛结束前有6轮平局， 故此时概率为； （5）双方比分为或，比赛结束前有8轮平局， 故此时概率为； ， ，命题得证. 53．（2024·河北衡水·模拟预测）有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂1次，每次分裂生成1个细胞的概率为，生成2个细胞的概率为，生成3个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立．假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞．记1个细胞分裂n(n∈N*)次后共有m(m∈N*)个细胞的概率为． (1)求、; (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得， 若第二次分裂出现个细胞，有两种情况： 第一种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞分裂成个； 第二种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞各分裂成个. 所以； 若第三次分裂出现个细胞，有两种情况： 第一种情况：第二次个细胞分裂成个细胞； 第二种情况：第二次个细胞每个细胞各分裂为个. 所以. （2）第次分裂后只有个细胞，则这次分裂中， 有次由个细胞分裂成个细胞，有次由个细胞分裂成个细胞； 设第次由个细胞分裂成个细胞， 后面的次都是由个细胞分裂成个细胞； ； 则. 54．（2024·浙江杭州·二模）箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为. (1)求取球一次分别取到黄球､白球的概率 (2)现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求的分布列； （ii）求的数学期望. 【答案】(1)，； (2)（i）分布列见解析；（ii）. 【分析】 【详解】（1）依题意，取球一次取到黄球的概率，取到白球的概率. （2）（i）的可能取值为：， 由（1）得，，，， 所以的分布列为 0 1 2 （ii）的数学期望， 因此， 两式相减得， 所以 . 55．（2024·广西来宾·二模）围棋棋盘上共有361个交叉点，围棋术语称之为361目，两人玩围棋，谁占的目数多谁赢．因为目数不能均分，故先落子的一方占便宜．为解决这一问题，规定比赛结束后先落子的一方贴给后落子的一方目．抽签猜得黑棋的一方先落子．即便这样先落子的一方还是占些便宜．甲、乙两个围棋选手水平相当，据以往比赛经验，他二人执黑先落子的一方获胜的概率是，后落子一方获胜的概率是，没有平局．甲、乙两人再次比赛，并规定：当其中一人赢的局数比另一人多两局时，比赛结束．第一局由抽签结果是甲执黑先落子，以后每局交替执黑先落子．设第局结束的概率为． (1)求的值； (2)求的表达式及； (3)求甲、乙两人比赛结束时比赛局数的数学期望． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）因为第一局结束后，双方比分只能是或，差为1，不满足“差两局”的结束条件，所以． 第二局结束后，需要一方连胜两局，差为2，当甲连胜两局：第一局甲先，甲赢的概率为 ，第二局乙先，甲赢的概率为，概率为；当乙连胜两局，第一局甲先，乙赢的概率为，第二局乙先，乙赢的概率为，概率为，则 （2）当为奇数时，每局后比分差变化为，奇数局结束后差必为奇数，即为1或，无法得到2，比赛不可能结束，此时． 当为偶数时，前局每两局都是平局， 前两局是平局的概率为， 所以， 故 当为偶数时，， 当为奇数时，，所以， 故. （3）若前两局是1：1，其概率为， 从此刻开始直到比赛结束，进行局数的期望与0：0开始进行局数的期望相同， 所以， 解得． 考向11概率统计与导数的结合 56．（2025·山东聊城·二模）学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为． (1)当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率． (2)若． ①求最终拿到编号不小于的奖品的概率； ②用表示出期望． (3)当时，证明：期望． 【答案】(1)， (2)①，；②答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）拿到编号为1的奖品，，即至少有一次抽到1，所以. 拿到编号为2的奖品，，即没有抽到1，且至少有一次抽到2， 没有抽到1的概率为，没有抽到1且全抽到3的概率为， . 所以拿到编号1的盲盒对应奖品的概率是，拿到编号2的盲盒对应奖品的概率是． （2）①拿到编号不小于，，即每次抽到的编号都大于等于. 所以，. ②因为事件与事件互斥，所以， 即 所以随机变量的期望 （3）， 随机变量的期望 . 设，，， 当时，，等号成立； 当时， ，等号成立； 当时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 设， 因为， 所以，所以. 综上所述，. 57．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值且，使得，请说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）当时，， 则，解得， 由题意，得， ， . 由全概率公式，得 . （2）假设存在，使 又. 得， 化简得 即 令 则 因为，所以在上存在，使得 所以即 且在为正，在为负 从而在为增函数，在为减函数 所以当时， 即不存在值，使得 58．（2025·山西吕梁·模拟预测）在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 【答案】(1)（i）分布列见解析；（ii） (2) 【分析】 【详解】（1）（i）由题意可知，，则的可能取值为， 则；； ；， ∴分布列为 0 1 2 3 （ii）设事件表示“比赛恰好进行4场”，事件表示“甲队获胜”. 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为. 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜，概率为. 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜，概率为. ∴甲队获胜的概率为. 甲队获胜且比赛恰好进行4场的概率为. ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为. （2）甲队本次比赛的成长值得分的可能取值为3，2，1，0. ； ； ； . ∴ . 令， 则， ∵，∴， 再令， ，判别式， 的两根为，， 由可得，则在上单调递减，则， 所以时，，， 因此函数在上单调递增， 又，当趋近于1时，，则， 故的取值范围是. 59．（2025·江苏泰州·三模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【答案】(1)分布列见解析，80.8 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 【分析】 【详解】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， ． 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：． （2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为： ； 优惠券成本的期望为 ． ∴ ． （ⅱ） 令．解得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； ∴在内存在唯一极大值点， 又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 60．（2025·四川雅安·二模）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 【答案】(1)①；②一局定胜负对小明更有利，理由见解析 (2)，函数在上的单调递增；意义见解析 【分析】 【详解】（1）①根据题意，比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4，所以三局比赛相互独立，且小明每局输的概率为0.6， 所以小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率为； ②根据题意，一局定胜负时，小明赢得比赛的概率为， 三局两胜时，小明赢得比赛有两种情况： 情况一：前两局获胜，概率为， 情况二：前两局胜一局，输一局，第三局获胜，其概率为， 根据互斥事件的加法公式，所以在“三局两胜”的赛制下， 小明获胜的概率为， 因为，所以从小明的角度考虑，一局定胜负对小明更有利； （2）“五局三胜”的赛制下，小明获胜有以下几种情况： 情况一：前三局获胜，概率为， 情况二：前三局胜两局输一局，第四局获胜，则， 情况三：前四局胜两局输两局，第五局获胜，则， 所以小明赢的概率为： ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以函数在上的单调递增； 现实意义：在“五局三胜”的比赛中，小明每局获胜的概率越大，他最终获胜的概率就越大，即小明实力越强，他获胜的可能性就越大. 61．（2025·江苏宿迁·二模）某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 【答案】(1)平均数为123；第60百分位数为125 (2)分布列见解析；方差为 (3) 【分析】 【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； 因为， 故第百分位数落在内，设其为，则， 解得，故第百分位数为. （2）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为， 又，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为. （3）的可能取值为， ， ， ， 故， 令，设，则， 因为，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，取最大值． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题） 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点 概率与统计解答题全归纳 3 真题动向 必备知识 知识1统计图表与数据提取 知识2数据的数字特征 知识3变量间的相关关系与线性回归 知识4独立性检验 知识5相互独立事件 知识6条件概率 知识7全概率公式 知识8离散型随机变量的分布列、期望与方差 知识9正态分布 命题预测 考向1随机变量的分布列与期望 考向2条件概率、全概率公式 考向3二项分布与超几何分布 考向4正态分布 考向5统计图表与数字特征 考向6（非）线性回归方程 考向7独立性检验 考向8竞技中的概率问题 考向9概率统计的决策问题 考向10概率统计与数列的结合 考向11概率统计与导数的结合 命题轨迹透视 近三年全国卷中，统计概率解答题位置灵活，2025年全国Ⅱ卷曾作为压轴题。核心考查线性回归、独立性检验、离散型随机变量分布列与期望方差，二项分布、超几何分布为高频模型。 题目均结合实际情境，要求准确提取数据、判断模型类型，规范计算并解读结果。重点检验数据分析、逻辑推理与运算能力，不侧重复杂公式推导，更强调基础方法在实际问题中的灵活应用。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 概率与统计解答题全归纳 一卷T15，13分 二卷T19，17分 II卷T18，17分 甲卷T17，12分 甲卷T19，12分 乙卷T17，12分 I卷T21，12分 II卷T19，12分 2026命题预测 2026年全国卷中，统计概率解答题大概率位于中间大题位置，偶有压轴可能。将紧扣实际背景命题，大概率融合统计图表，考线性回归或独立性检验，概率部分聚焦离散型随机变量分布列，二项、超几何分布为主要考查模型，需结合数字特征分析实际意义，侧重知识综合应用与解题步骤规范。 考点 概率与统计解答题全归纳 1．（2025·全国二卷·高考真题，19，17分）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 2．（2025·全国一卷·高考真题，15，13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 3．（2024·全国甲卷·高考真题，17，15分）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，18，17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 5．（2023·全国甲卷·高考真题，19，12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 6．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 7．（2023·全国乙卷·高考真题，17，12分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求，； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，21，12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，19，17分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 知识1统计图表与数据提取 频率分布直方图 核心定义：横轴为样本数据，纵轴为，小矩形面积=对应组的频率，所有小矩形面积之和为1，频率=频数/样本容量。 数据计算：①众数为最高矩形底边中点的横坐标；②中位数是将直方图面积平分为左右各0.5的横坐标，需通过组距、频率计算具体位置；③平均数为各小矩形面积×对应组中值的和，是直方图的“重心”。 知识2数据的数字特征 1．集中趋势特征数 平均数：算术平均数，若数据分组则用加权平均数，反映数据整体平均水平，易受极端值影响，常需先计算再用于后续分析。 中位数：将数据从小到大排列，奇数个数据取中间值，偶数个数据取中间两个数的平均值，不受极端值影响，常与平均数结合分析数据分布特征。 众数：一组数据中出现次数最多的数，可反映数据的集中点。 2．离散程度特征数 极差：，计算简单，反映数据的变化范围，常作为离散程度的初步判断指标。 方差：，加权方差需结合各组频率计算，方差越大，数据波动越大，稳定性越差。 标准差：，与原数据单位一致，常要求计算方差或标准差，并根据结果分析数据稳定性（如比较两组数据的波动情况）。 3．百分位数 定义：第百分位数表示一组数据中至少的数据小于或等于它，至少的数据大于或等于它，常用四分位数（25%、50%、75%）。 计算步骤：①将数据从小到大有序排列；②计算（为数据个数）；③若不是整数，取大于的最小整数对应的数；若是整数，取第和第个数的平均值。 知识3变量间的相关关系与线性回归 1．相关系数与线性相关判断 相关系数：计算公式，核心意义为刻画两个变量的线性相关程度。 结论：；为正相关，为负相关；越接近1，线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱。 2．线性回归方程 基本形式：一元线性回归方程，其中为斜率，为截距。 核心公式：，。 性质：回归直线必过样本中心点，可用于检验计算是否正确，或结合中心点求参数。 预测应用：求出回归方程后，代入自变量的取值，预测因变量的估计值，常要求结合实际意义分析预测结果。 3．残差与拟合效果分析 残差：（观测值-预测值），残差和为0，残差图可检验模型合理性（残差点均匀分布在横轴附近，无明显规律，说明线性回归模型合适）。 相关指数：，越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好；一元线性回归中，常要求计算并评价拟合效果。 4．非线性回归转化 解题思路：若两个变量呈非线性相关（如指数、对数相关），通过变量替换转化为线性回归问题，如取对数得，令，则转化为与的线性回归。 知识4独立性检验 1．分类变量与2×2列联表 分类变量：取值为不同类别变量（如性别、是否患病、是否达标），常结合实际背景给出列联表，或要求根据数据补全列联表。 2×2列联表核心形式： 总计 总计 2．卡方检验公式与计算 核心公式：。 3独立性判断与结论表述 步骤：①计算的观测值；②对比临界值（如，，，题目一般会给出）；③得出结论：若，则有的把握认为两个分类变量有关；若，则没有足够的把握认为两个分类变量有关。 知识5相互独立事件 定义：事件的发生与否对事件发生的概率无影响，反之亦然，即，。 核心公式：①乘法公式：；推广：相互独立的事件；②独立事件的对立事件仍相互独立，如与、与均相互独立。 知识6条件概率 1．定义与含义 条件概率：已知事件发生的条件下，事件发生的概率，记为，反映事件发生对事件发生的影响。 2．核心计算公式 公式1：（），适用于所有情况，中常结合古典概型、相互独立事件求和。 公式2：古典概型下，其中为事件包含的基本事件数，为事件同时发生的基本事件数。 知识7全概率公式 1．适用场景 求复杂事件的概率，该事件的发生可由若干个互不相容的简单事件（完备事件组）引发，即事件的发生依赖于的发生，中常表现为“分情况讨论求概率”。 2．核心条件 设样本空间为，为的一个完备事件组，满足：①两两互斥，即（）；②并集为，即；③（）。 3．核心公式 ，即复杂事件的概率=各简单事件的概率×在发生条件下发生的条件概率之和。 知识8离散型随机变量的分布列、期望与方差 （一）离散型随机变量的分布列 1．定义与形式：列出随机变量的所有可能取值，及对应取值的概率，形式为： … … 2．核心性质：①（）；② （二）常见离散型随机变量的分布 1．二项分布（） 适用场景：次独立重复试验（伯努利试验），每次试验只有两种结果（成功/失败），每次成功的概率均为（），表示次试验中成功的次数。 概率公式：（），其中为组合数。 数字特征：期望，方差。 2．超几何分布（） 适用场景：从有限个物件（含个指定种类物件）中不放回抽取个，表示抽到指定种类物件的次数。 概率公式：（），需准确识别（总体数）、（指定种类数）、（抽取数）。 数字特征：期望。 核心区别：二项分布为有放回抽样，超几何分布为不放回抽样；当总体数很大时，超几何分布可近似为二项分布。 （三）离散型随机变量的期望与方差 1．数学期望（均值，） 定义公式：。 核心性质：①（为常数）；②（为常数）；③特殊分布直接套用公式（二项分布、超几何分布）。 2．方差（）与标准差（） 定义公式：（适用于所有离散型随机变量，非特殊分布用此公式）。 核心性质：①（为常数）；②（为常数，注意系数平方）；③特殊分布直接套用公式。 实际意义：反映随机变量取值的稳定程度，方差越小，取值越稳定，常要求比较两个随机变量的方差，分析稳定性。 知识9正态分布 1．核心表示：连续型随机变量服从正态分布，记为，其中为均值，为方差，。 2．正态曲线的性质：①关于直线对称；②在处取得峰值；③越小，曲线越“瘦高”，分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，分布越分散。 3．3σ原则：①；②；③。 考向1随机变量的分布列与期望 1．（2024·吉林辽源·二模）某行业举行专业能力测试，该测试由A，B，C三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立.当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C项测试成绩合格，且A，B两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C项测试成绩不合格，且A，B两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分.甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表: 测试项 A B C 频数 16 15 10 用频率估计概率. (1)试估计甲的A项测试成绩合格的概率； (2)设X表示甲获得的认定分，求X的分布列和数学期望. 2．（2025·云南普洱·一模）为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； (2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 3．（2025·江苏淮安·三模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响． (1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求； (2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望． 4．（2024·河南驻马店·二模）在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现场摆放着三个外观完全相同的盒子，分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规则如下：先由其中一人随机抽取一个盒子打开，若该盒子中的手办个数多于2个，则从该盒中获取1个手办作为奖品（此时该盒中的手办个数减少1个），否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束. 现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖. (1)求该队仅有乙获得奖品的概率； (2)记该队获得奖品的总个数为，求的分布列及数学期望. 5．（2025·辽宁丹东·二模）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 考向2条件概率、全概率公式 6．（2025·湖北襄阳·一模）甲同学进行投篮测试，投中的概率为0.6，且每次投篮结果相互独立.测试时，甲同学有三次投篮机会，投中一次后将通过测试并结束，若连续三次不能投中，则结束测试并判为不通过. (1)求甲同学在最后一次投篮才通过测试的概率； (2)记为甲同学测试结束时投篮的次数，求的分布列和数学期望： (3)求在通过测试的情况下，甲同学只投篮了一次的概率. 7．（2025·辽宁抚顺·一模）某公司使用一个由1台主服务器和3台备用服务器组成的系统运行关键业务.每台服务器正常工作的概率均为0.9（实际生活中服务器可靠度通常在0.9以上，为便于计算我们在此取0.9），且各服务器运行状态相互独立.该系统正常工作必须同时满足以下两个条件： ①主服务器正常工作； ②至少2台备用服务器正常工作. 否则判定为故障. (1)记为备用服务器正常工作的台数，求的分布列及期望； (2)求系统正常工作的概率； (3)若已知系统发生故障，求此时主服务器正常工作的概率.（结果精确到0.1） 8．（2025·福建龙岩·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 9．（2024·贵州铜仁·二模）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为分，每场比赛胜则加分，负则减分，平则积分不变；当积分达到分（淘汰出局）或分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为. (1)比赛终止时小明积分为分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率. 10．（2025·江西宜春·一模）某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标准版占比，旗舰版占比．根据历史数据：一是标准版手表的好评率为（好评定义为评分4星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．二是旗舰版手表的好评率为，且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为． (1)随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率； (2)随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结果用分数表示） (3)平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件的概率． 考向3二项分布与超几何分布 11．（2025·山西阳泉·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 12．（2025·广东河源·三模）某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 13．（2025·陕西西安·三模）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”． (1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； (2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 14．（2025·黑龙江鹤岗·三模）“彼此有了三分酒，便猜拳赢唱小曲儿”——这一幕出自《红楼梦》第六十三回《寿怡红群芳开夜宴》，描绘的是酒意微醺后的贾宝玉等人行令助兴的生动场景．这里的“猜拳”，正是中国传统酒令中极为常见的一种互动游戏，而现代最广为人知的猜拳形式之一，便是石头剪刀布．石头剪刀布的规则如下：两人同时出拳，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，相同则平局．一般来说，人类在出拳时会有不自觉的偏向性．甲乙二人的最近60次出拳如下表． 出拳情况 石头 剪刀 布 甲 30次 20次 10次 乙 15次 30次 15次 用频率估计概率，假设两人每次出拳相互独立. (1)若甲乙二人进行一次猜拳，估计甲获胜的概率； (2)若甲乙二人进行三次猜拳，记平局的次数为X．估计随机变量X的分布列和数学期望； (3)若甲乙二人以如下规则进行一轮“无平局猜拳游戏”：持续进行若干次猜拳，直到其中一方获胜才停止，将该次猜拳的获胜方记为本轮游戏的胜者.直接写出甲本轮游戏获胜的概率． 15．（2025·四川成都·一模）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 16．（2025·广西贵港·模拟预测）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 17．（2025·四川达州·模拟预测）杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，得到如下数据： (1)从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率； (2)杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机选出3人，记为选出获得奖励的学生人数，求的分布列和数学期望； (3)杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个模块达到90分以上，则该轮测试记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评． 考向4正态分布 18．（2025·安徽黄山·二模）某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 19．（2024·黑龙江佳木斯·二模）某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 20．（2025·河南信阳·模拟预测）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望. 参考数据: 若随机变量，则，，. 21．（2025·陕西安康·模拟预测）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 22．（2025·广东梅州·一模）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 考向5统计图表与数字特征 23．（2025·广东潮州·三模）某校举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 (1)求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；求X的分布列及与的值； (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 24．（2025·河南平顶山·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 25．（2025·海南海口·二模）在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标．某公司的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28． (1)求样本的第40百分位数，平均数和方差； (2)若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品．用样本数据估计总体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数不少于2个的概率； (3)该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为24.4，方差为1．若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为应选择哪个批次的电池？请说明你的理由 26．（2025·福建宁德·三模）某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按，，，，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若从评分在内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率. 27．（2025·河南郑州·模拟预测）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由. (2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列. 考向6（非）线性回归方程 28．（2025·江苏常州·二模）年月日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.年，全国芯片研发单位相比年增加家，提交芯片数量增加个，均增长超过倍.某芯片研发单位用在“芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比（）如表所示. 年份 年份代码 (1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数，并推断与线性相关程度；（已知：，则认为与线性相关很强；，则认为与线性相关一般；，则认为与线性相关较弱） . (2)求出与的回归直线方程（保留一位小数）； (3)请判断，若年用在“芯片”上研发费用不低于万元，则该单位年芯片研发的总费用预算为万元是否符合研发要求? 附：相关数据：，，，. 相关计算公式：①相关系数；在回归直线方程中，，. 29．（2025·湖北荆州·一模）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 30．（2024·广东深圳·模拟预测）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 31．（2024·广东湛江·二模）2024年巴黎奥运会，中国体育代表团共获得40金、27银、24铜，金牌数创下中国代表团境外奥运会最佳战绩.在男子100米自由泳决赛中，中国小将潘展乐游出中国速度，以46秒40的成绩打破世界纪录斩获金牌，这也是中国游泳队首次夺得该项目的奥运冠军. 以下是近10届奥运会男子100米自由泳项目冠军成绩记录（单位：s），如表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 冠军成绩 48.63 49.02 48.74 48.30 48.17 47.21 47.52 47.58 47.02 46.40 (1)求上表中冠军成绩的极差与中位数； (2)根据表中的样本数据计算年份代码与冠军成绩的样本相关系数，并推断它们的相关程度（精确到0.01）； (3)求冠军成绩关于年份代码的经验回归方程（精确到0.01）. 附：参考公式：样本相关系数，经验回归方程中，. 参考数据：，. 32．（2024·甘肃天水·二模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 参考数据：，， ． 参考公式：相关系数． 33．（2025·广东阳江·二模）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为. 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量 (吨) 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 (1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量； (2)（i）完成上述残差表； （ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01) (附：残差，决定系数) 考向7独立性检验 34．（2025·湖南株洲·二模）为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 (1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 35．（2024·安徽滁州·模拟预测）为研究某市高三年级学生身高和性别的关系，随机抽取了名高三年级学生，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 (1)求列联表中的、的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人，其中不低于的人数记为，求的期望． (2)依据小概率值的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关． 附：， 36．（2025·四川德阳·一模）为研究事件与事件的关系，某机构进行了一次随机抽样调查，共回收有效问卷份，调查结果按是否满足事件和事件分类统计，得到如下列联表（表中数字对应相应情况的人数），用频率估计概率． 是否满足事件 是否满足事件 满足事件 不满足事件 合计 满足事件 不满足事件 合计 (1)如果事件与事件无关，证明：； (2)已知： （i）填写表格剩余内容； （ii）已知依据小概率值的独立性检验，可以判断事件与事件有关，求有效问卷数的最小值． 附：，． 37．（2025·广东江门·二模）为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 38．（2024·湖北黄石·二模）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； (2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 考向8竞技中的概率问题 39．（2024·湖北荆门·模拟预测）在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组. (1)若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 40．（2025·吉林四平·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 41．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答，比赛规定；甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分，选手初始分数为0分，假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． (1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； (2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望． 42．（2025·四川绵阳·模拟预测）云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． (1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； (2)设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 43．（2025·四川遂宁·一模）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． (1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； (2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望； (3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小. 44．（2025·安徽淮北·二模）2026年第23届男子足球世界杯赛， 由美国、加拿大和墨西哥三国联合承办. 赛制如下:第一阶段为小组赛， 先将48支球队分为12个小组， 每组4支球队. 同一小组中， 每两支球队均要踢一场球， 根据赛制选出32支球队小组出线，参加第二阶段比赛.第二阶段为淘汰赛，根据赛制将出线的32支球队分成16组，每组2支球队踢一场球，胜者晋级；晋级的16支球队又分成8组，每组2支球队踢一场球，胜者晋级，依次类推，直至产生前四名.第三阶段为排位赛，进入前四名的球队分成两组，每组的2支球队踢一场球，胜者晋级决赛，再踢一场球，争夺冠军；而失败的2支球队也要踢一场球，争夺季军. (1)第23届男子足球世界杯总共进行多少场比赛? (2)一球队为了在比赛中变换阵型，将原本在左边锋、左前卫、左后腰和左后卫位置的4名球员交换位置， 则这4名球员至少有3名不在自己对应位置上的概率为多少? (3)假定、、、四支球队被分至同一小组，依据过往比赛记录可得，球队战胜 球队的概率为，踢成平局的概率为；球队战胜C球队的概率为，踢成平局的概率为；球队战胜D球队的概率为，踢成平局的概率为.按照积分规则，获胜可积3分，平局可积1分，失败则积0分，试求A球队在小组赛结束后的积分的分布列和数学期望. 考向9概率统计的决策问题 45．（2024·云南昆明·三模）某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值； (3)记净成本为，以净成本期望值为决策依据，求净成本期望值最低时的备件数． 46．（2024·四川广元·模拟预测）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示： 95 126 187 P 0.5 且的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示： 0 1 2 41.2 117.6 204.0 (1)求的值； (2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率） 47．（2024·广东汕头·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 48．（2025·四川眉山·三模）一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作. (1)当时，求一天内制冰厂不亏本的概率； (2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考： 方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元. 方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为元.请从期望损失最小的角度判断如何决策？ 49．（2025·湖北武汉·模拟预测）某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲､乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）. (1)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立. ①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率； ②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用） 考向10概率统计与数列的结合 50．（2025·江苏南通·三模）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. (1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. (2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； (3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望． 51．（2025·山西大同·二模）某篮球教练带领、两名篮球运动员训练篮球的接球与传球.首先由教练第一次传球给、中的某位运动员，然后该运动员再传回给教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了运动员，且教练第次传球传给运动员的概率为. (1)若， （ⅰ）求，； （ⅱ）求的表达式. (2)若.证明： 52．（2025·辽宁阜新·模拟预测）11分制乒乓球单打比赛的规则如下：在每球中，赢球方得1分，输球方不得分.当比赛双方打成后，每球均需交换发球权，直到一方得分领先对手2分时，该局比赛结束，得分多的一方在该局获胜.现有甲､乙两人进行单打比赛，假设发球方赢得该球的概率均为，且各球得分情况相互独立.已知在某局比赛中，前20个球恰好打成，第21个球由甲发球. (1)记事件“甲在该局获胜，且甲得分不超过13分”为，当时，求； (2)设，记事件“在后又打了个球，该局比赛结束”为，“乙在该局获胜”为，求； (3)记事件“该局比赛结束时，甲､乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数”为，证明：. 53．（2024·河北衡水·模拟预测）有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂1次，每次分裂生成1个细胞的概率为，生成2个细胞的概率为，生成3个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立．假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞．记1个细胞分裂n(n∈N*)次后共有m(m∈N*)个细胞的概率为． (1)求、; (2)求． 54．（2024·浙江杭州·二模）箱中装有大小相同的黄､白两种颜色的乒乓球，黄､白乒乓球的数量比为. (1)求取球一次分别取到黄球､白球的概率 (2)现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过次，以表示取球结束时已取到白球的次数. （i）求的分布列； （ii）求的数学期望. 55．（2024·广西来宾·二模）围棋棋盘上共有361个交叉点，围棋术语称之为361目，两人玩围棋，谁占的目数多谁赢．因为目数不能均分，故先落子的一方占便宜．为解决这一问题，规定比赛结束后先落子的一方贴给后落子的一方目．抽签猜得黑棋的一方先落子．即便这样先落子的一方还是占些便宜．甲、乙两个围棋选手水平相当，据以往比赛经验，他二人执黑先落子的一方获胜的概率是，后落子一方获胜的概率是，没有平局．甲、乙两人再次比赛，并规定：当其中一人赢的局数比另一人多两局时，比赛结束．第一局由抽签结果是甲执黑先落子，以后每局交替执黑先落子．设第局结束的概率为． (1)求的值； (2)求的表达式及； (3)求甲、乙两人比赛结束时比赛局数的数学期望． 考向11概率统计与导数的结合 56．（2025·山东聊城·二模）学校社团准备了编号1到的个盲盒，不同的编号对应不同的奖品（编号越大，奖品越好）．规则如下：参与者有放回地抽取盲盒次，一次抽取一个盲盒，抽到的编号最小的盲盒对应的奖品即为最终奖品，设获得的奖品对应的盲盒编号为． (1)当，时，求最终拿到编号1的奖品的概率和拿到编号2的奖品的概率． (2)若． ①求最终拿到编号不小于的奖品的概率； ②用表示出期望． (3)当时，证明：期望． 57．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值且，使得，请说明理由. 58．（2025·山西吕梁·模拟预测）在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 59．（2025·江苏泰州·三模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 60．（2025·四川雅安·二模）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响. (1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4. ①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率； ②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由. (2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义. 61．（2025·江苏宿迁·二模）某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩． (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $