专题18 排列组合与二项式定理（经典问题全归纳）（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习资料聚焦排列组合与二项式定理核心考点，按“必备知识-命题预测”架构梳理两个计数原理、排列组合定义、二项式定理等基础知识点，通过考情精解、知能框架构建、题型攻坚及真题训练，帮助学生突破分组分配、系数计算等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用题型分类突破策略，如排列组合中“平均分组”题型，通过实例引导学生明确分组与分配区别，培养数学思维与模型意识。设置基础巩固、真题演练分层练习，配合方法总结，确保有限时间内高效复习，助力学生掌握解题规律，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题18排列组合与二项式定理（经典问题全归纳） 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点一 排列组合 必备知识 知识点1两个计数原理 知识点2排列、组合的定义 知识点3排列数、组合数的定义、公式、性质 命题预测 题型01 相邻与不相邻问题综合 题型02 特殊元素与特殊位置优先 题型03 定序问题 题型04 隔板法 题型05 平均分组与不平均分组 题型06先分组后分配 考点二 二项式定理 12 必备知识 知识点1二项式定理 知识点2二项式系数的性质 命题预测 题型01 求指定项的系数 题型02 由项的系数确定参数 题型03 三项展开式的系数问题 题型04 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型05 系数最值问题 命题轨迹透视 从近三年高考试题来看，排列组合与二项式定理内容常出现在选择题或填空题中，分值一般为4-5分，难度中等偏易，属于“中低档题型”。主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，以及排列与组合的基本概念与计算。二项式定理部分重点考查展开式的通项公式、特定项系数、常数项等，偶尔会与赋值法结合考查系数和问题。易错点在于是否区分排列与组合、是否考虑特殊位置或特殊元素、二项式展开式中项的系数与二项式系数的区别。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 排列组合 上海卷T9，5分 上海卷T12，5分 二项式定理 上海卷T4，4分 上海卷T6，4分 上海卷T10，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，结合有关知识背景、数学文化等命制有关排列、组合的试题，同时对用二项式定理解决特定项系数问题也是必考内容。复习二项式定理时,需要区分项的系数与二项式系数. 考点一 排列组合 1.（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 【答案】288 【解析】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 2.（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 【答案】9 【解析】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；    第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 知识点1两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m＋n　种不同的方法； （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m×n　种不同的方法. 知识点2排列、组合的定义 排列的 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 并按照一定的　顺序　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的 定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点3排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的　个数　 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的　个数　 公式 ＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝ ＝＝ 性质 ＝n！，0！＝1 ＝1，＝，＋＝ 题型01 相邻与不相邻问题综合 1．一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有 种． 【答案】60 【解析】首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位，包括两端，从5个空位中选出3个空位，对3人进行全排列，即得不同的坐法共有种. 2．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 【答案】2016 【解析】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有，共有种站法． 3．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法. 4．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 【答案】B 【解析】环排问题线排策略，增加一个凳子．九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种．甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 题型02 特殊元素与特殊位置优先 5．有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 【答案】36 【解析】已知3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有种． 6．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有 种． 【答案】50 【解析】当1号实验室有1人时，分配方案有种；当1号实验室有2人时，分配方案有种；当1号实验室有3人时，分配方案有种，可得不同的分配方案共有种． 7．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 【答案】5160 【解析】①当与同行，与也同行时，有种种植方案；与不同行时，有种种植方案；②当与不同行时，有种种植方案.故不同的种植方案有（种）. 8．有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ． 【答案】50 【解析】先求出两名女生不能相邻的站法有种； 若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间， 则满足题意的站法有种， 所以满足条件的站法种数为种. 题型03 定序问题 9．在6名女同学与5名男同学中，选3名男同学和3名女同学，使男女相间排成一排，不同的排法总数为 A. B. C. D. ​ 【答案】A 【详解】男女生相同，则分两类排法：“男女男女男女”与“女男女男女男”，且两类排法数相同。 每类排法都可以分两个步骤： 第一步，先排男生，从5名男同学中选3位排在男生位置上，有 ​种方法； 第二步，再排女生，从6名女同学中选3位排在女生位置上，有种方法； 由分步计数原理可得，有种排法。 故两类共有 ​种排法。 故选：A． 10．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件． 【答案】210 【解析】若1，3，5，7的顺序不定，有(种)排法，所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的，所以共有(个)七位数符合条件. 14．6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？ 【解析】（种）. 题型04 隔板法 11.20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【解析】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 12.现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 【答案】D 【解析】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种. 故选：D 13.某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（   ） A．105种 B．455种 C．120种 D．560种 【答案】A 【解析】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板， 这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额， 则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等． 因为隔板插入方法共有种，所以名额的分配方案共有105种． 故选：A. 题型05 平均分组与不平均分组 14.赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为 ． 【答案】 【解析】将4人平均分为两组，每组两人，共种分法， 再将两组人分配到A，B两个场馆，因此共种分法， 小赵与小周分到同一个场馆的分法有2种； 故小赵与小周分到同一个场馆的概率为． 15.将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、，所以不同的分组方法种数为. 16.从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 【答案】C 【解析】从5名学生中选择4人，共有种，将4人分成两组，共有种，再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有种，则不同的人员安排共有种． 题型06先分组后分配 17.基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为 ． 【答案】150 【解析】先将五门课程分成，，和，，这两种情况，再安排到三个学年中， 则共有种选修方式． 18.已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种． 【答案】 【解析】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 19.某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团必须有人参加，则这5个同学中有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 .（用数字作答） 【答案】180 【解析】根据题意，先将5个同学分成4组，为，有种分法， 再从只有1人的组中选1人参加“舞动青春”社团，有种， 其余3组同学分配到另外3个社团，有种分法， 则不同的方法数为种. 20.甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．150 D．240 【答案】B 【解析】第一步，从六名学生中选名，分配给甲指导，有种不同的方法， 第二步，将剩余名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有种不同的方法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有种. 故选：B. 21.为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（   ） A．20种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】B 【解析】分类计数：第一类：仅甲乙两人在一组，此时不同的安排方案有：种； 第二类：甲乙再加一人在一组，此时不同的安排方案有：种， 根据分类计数加法原理，则不同的安排方案共有种， 故选：B 考点二 二项式定理 1．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】由通项公式， 令，得，可得项的系数为. 2．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【答案】10 【解析】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 3．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 . 【答案】49 【解析】二项式的通项为， 二项式的通项为， ， ，若，则为奇数， 此时， ，又为奇数，的最大值为49. 知识点1二项式定理 二项式定理 （a＋b）n＝　an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn　（n∈N*） 二项展开式的通项 Tk＋1＝　an－kbk　，它表示展开式的第　k＋1　项 二项式系数 　　（k＝0，1，…，n） 【提醒】（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 知识点2二项式系数的性质 题型01 求指定项的系数 1．的展开式中的系数为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 【答案】C 【解析】由二项展开式的通项公式：，令，得.即展开式中的系数为24. 2．已知，则的值是（   ） A．20 B．80 C．160 D．240 【答案】C 【解析】展开式的通项为，又，所以，故. 3．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 【答案】B 【解析】四项中不存在，对于其余部分展开式中的系数为，展开式中的系数为，展开式中的系数为，展开式中的系数为， 4．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】D 【解析】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得，令可得的展开式中各项系数和为. 题型02 由项的系数确定参数 5．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则 ． 【答案】 【解析】由二项式定理可知，的系数为，的系数为，由题可得，即，所以，而且，解得． 6．若的展开式中第4项为160，则 . 【答案】 【解析】的展开式中第4项为，所以，解得. 7．已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为 . 【答案】 【解析】 ， 解得，则，即，因此实数的值为. 题型03 三项展开式的系数问题 8．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 【答案】924 【解析】的展开式中常数项是. 9．展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式中含项的为，则其系数为. 10．的展开式中项的系数为 （用数字作答） 【答案】 【解析】的展开式中的项为， 所以的展开式中项的系数为. 11．的展开式中含的项的系数为 ； 【答案】 【解析】因， 所以含的项为， 故含的项的系数为. 题型04 两个二项式乘积展开式的系数问题 12．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】220 【解析】在展开式中含项分别为， 所以在的展开式中，含的项为， 所以所求系数为220. 13．的展开式中项的系数是 ． 【答案】 【解析】由二项式展开式的通项为， 则的展开式中项为 所以的展开式中项的系数为. 14．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】8 【解析】对于，其展开式的通项为：， 易知，中不含项， 故令，则 要得到与，需要与（）中的相乘，即， 所以的系数为8. 15．二项式的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【答案】 【解析】因为展开式的通项为， 令，得，则对应的项为， 令，得，则对应的项为. 故二项式的展开式中的常数项为. 题型05 系数最值问题 16．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（    ） A．42 B．35 C．28 D．21 【答案】B 【解析】展开式的通项为，，即，解得，故展开式中共有8项，所以展开式中间两项的系数最大，最大值为. 17．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】在的展开式中，第一项的系数为：；第二项的系数为：； 第三项的系数为：；第四项的系数为：；第五项的系数为：； 第六项的系数为：.所以第五项的系数最大，为. 18．（2026天津实验中学一调）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【答案】7 【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中的系数为. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18排列组合与二项式定理（经典问题全归纳） 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点一 排列组合 必备知识 知识点1两个计数原理 知识点2排列、组合的定义 知识点3排列数、组合数的定义、公式、性质 命题预测 题型01 相邻与不相邻问题综合 题型02 特殊元素与特殊位置优先 题型03 定序问题 题型04 隔板法 题型05 平均分组与不平均分组 题型06先分组后分配 考点二 二项式定理 12 必备知识 知识点1二项式定理 知识点2二项式系数的性质 命题预测 题型01 求指定项的系数 题型02 由项的系数确定参数 题型03 三项展开式的系数问题 题型04 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型05 系数最值问题 命题轨迹透视 从近三年高考试题来看，排列组合与二项式定理内容常出现在选择题或填空题中，分值一般为4-5分，难度中等偏易，属于“中低档题型”。主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，以及排列与组合的基本概念与计算。二项式定理部分重点考查展开式的通项公式、特定项系数、常数项等，偶尔会与赋值法结合考查系数和问题。易错点在于是否区分排列与组合、是否考虑特殊位置或特殊元素、二项式展开式中项的系数与二项式系数的区别。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 排列组合 上海卷T9，5分 上海卷T12，5分 二项式定理 上海卷T4，4分 上海卷T6，4分 上海卷T10，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，结合有关知识背景、数学文化等命制有关排列、组合的试题，同时对用二项式定理解决特定项系数问题也是必考内容。复习二项式定理时,需要区分项的系数与二项式系数. 考点一 排列组合 1.（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 2.（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 知识点1两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m＋n　种不同的方法； （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m×n　种不同的方法. 知识点2排列、组合的定义 排列的 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 并按照一定的　顺序　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的 定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点3排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的　个数　 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的　个数　 公式 ＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝ ＝＝ 性质 ＝n！，0！＝1 ＝1，＝，＋＝ 题型01 相邻与不相邻问题综合 1．一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有 种． 2．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 3．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 题型02 特殊元素与特殊位置优先 5．有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 6．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有 种． 7．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 8．有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ． 题型03 定序问题 9．在6名女同学与5名男同学中，选3名男同学和3名女同学，使男女相间排成一排，不同的排法总数为 A. B. C. D. ​ 10．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件． 14．6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？ 题型04 隔板法 11.20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 12.现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 13.某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（   ） A．105种 B．455种 C．120种 D．560种 题型05 平均分组与不平均分组 14.赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为 ． 15.将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 16.从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 题型06先分组后分配 17.基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为 ． 18.已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种． 19.某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团必须有人参加，则这5个同学中有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 .（用数字作答） 20.甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．150 D．240 21.为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（   ） A．20种 B．24种 C．30种 D．36种 考点二 二项式定理 1．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ． 2．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 3．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 . 知识点1二项式定理 二项式定理 （a＋b）n＝　an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn　（n∈N*） 二项展开式的通项 Tk＋1＝　an－kbk　，它表示展开式的第　k＋1　项 二项式系数 　　（k＝0，1，…，n） 【提醒】（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 知识点2二项式系数的性质 题型01 求指定项的系数 1．的展开式中的系数为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 2．已知，则的值是（   ） A．20 B．80 C．160 D．240 3．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 4．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 题型02 由项的系数确定参数 5．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则 ． 6．若的展开式中第4项为160，则 . 7．已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为 . 题型03 三项展开式的系数问题 8．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 9．展开式中含项的系数为 ． 10．的展开式中项的系数为 （用数字作答） 11．的展开式中含的项的系数为 ； 题型04 两个二项式乘积展开式的系数问题 12．在的展开式中，的系数为 ． 13．的展开式中项的系数是 ． 14．在的展开式中，的系数为 ． 15．二项式的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 题型05 系数最值问题 16．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（    ） A．42 B．35 C．28 D．21 17．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 18．（2026天津实验中学一调）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1/2 学科网（北京）股份有限公司 $