专题15 圆锥曲线综合问题1（离心率问题全归纳）（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线离心率核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚系统架构知识，通过考点梳理构建椭圆与双曲线几何性质联系，结合方法指导与真题训练，帮助学生突破离心率求解难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料创新整合定义法、正弦定理等十种题型，以数学思维引导学生将几何条件转化为等量关系，如焦点三角形双角度型问题中利用正弦定理构建离心率方程，培养逻辑推理与几何直观能力。分层设置真题与模拟题训练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生应考能力。

专题15圆锥曲线综合问题1（离心率问题全归纳） 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点 离心率问题 真题动向 必备知识 知识1椭圆的几何性质 知识2双曲线的几何性质 命题预测 题型一 定义法求解离心率 题型二 用正弦定理求解离心率 题型三 用余弦定理求解离心率 题型四 用双余弦定理求解离心率 题型五 利用点差法求离心率 题型六 焦点三角形双角度型求离心率 题型七 利用几何性质求离心率 题型八 坐标法求解离心率 题型九 椭圆和双曲线共焦点型离心率问题 题型十 离心率的取值范围问题 命题轨迹透视 1、圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上。 离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e的方程或不等式。 2、从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入圆锥曲线的几何性质之中。 命题常通过以下形式呈现： 几何条件转化型： 题目给出诸如“焦点三角形”、“渐近线夹角”、“直线与曲线位置关系”等几何条件，要求学生将其转化为关于 的等量关系，进而求解。 方程思想型： 通过直线与圆锥曲线联立，结合韦达定理，利用弦长、向量垂直、面积等条件构建方程。 不等式求范围型： 题目条件隐含不等关系（如存在某交点、构成锐角三角形等），最终需求离心率的取值范围。 2026命题预测 预计在2026年高考中，离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性。其考查可能更加侧重于：与平面几何的结合： 深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系。与向量的结合： 利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。与函数、不等式的结合： 将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。 探索创新情境： 在相对新颖的图形或条件设置下，考查学生转化与化归的核心能力。复习中必须强化数形结合思想，熟练运用定义、方程、不等式等主要工具。 考点 离心率问题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 6．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． ,7.（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 9.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 10.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 知识1椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a),_ B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0) 离心率 e＝(0<e<1) 【知识拓展】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 知识2双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 【知识拓展】1.双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． 2.等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. 3.双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． 4.焦点到渐近线的距离为b. 题型一 定义法求解离心率 1．已知焦点在x轴上的椭圆以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线有公共点，则C的离心率的取值范围是 ． 2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型二 用正弦定理求解离心率 5.已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 题型三 用余弦定理求解离心率 8.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，，且，，则椭圆的离心率为 . 9.已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 10.已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是 ． 题型四 用双余弦定理求解离心率 11.已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 12.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设的离心率为，则 . 13.已知双曲线的左、右焦点分别是点，点是右支上的一点，以为直径的圆交右支于另一点，若，则的离心率为 ． 14.如图，已知分别为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为 . 题型五 利用点差法求离心率 15.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为k的直线l交E的两条渐近线于A，B两点，且，则（    ） A． B． C． D． 16.斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 17.过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型六 焦点三角形双角度型求离心率 18.已知、分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 19.设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 20.已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 22.已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型七 利用几何性质求离心率 23.已知、、分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为 . 24.已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为 . 25.已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 26.已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型八 坐标法求解离心率 27.已知椭圆上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点，，则椭圆的离心率为 . 28.已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 29.已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 30.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 题型九 椭圆和双曲线共焦点型离心率问题 31．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 32．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是 . 33．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十 离心率的取值范围问题 34.已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是 . 35.已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 . 36.已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是 . 37.已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38.已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15圆锥曲线综合问题1（离心率问题全归纳） 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点 离心率问题 真题动向 必备知识 知识1椭圆的几何性质 知识2双曲线的几何性质 命题预测 题型一 定义法求解离心率 题型二 用正弦定理求解离心率 题型三 用余弦定理求解离心率 题型四 用双余弦定理求解离心率 题型五 利用点差法求离心率 题型六 焦点三角形双角度型求离心率 题型七 利用几何性质求离心率 题型八 坐标法求解离心率 题型九 椭圆和双曲线共焦点型离心率问题 题型十 离心率的取值范围问题 命题轨迹透视 1、圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上。 离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e的方程或不等式。 2、从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入圆锥曲线的几何性质之中。 命题常通过以下形式呈现： 几何条件转化型： 题目给出诸如“焦点三角形”、“渐近线夹角”、“直线与曲线位置关系”等几何条件，要求学生将其转化为关于 的等量关系，进而求解。 方程思想型： 通过直线与圆锥曲线联立，结合韦达定理，利用弦长、向量垂直、面积等条件构建方程。 不等式求范围型： 题目条件隐含不等关系（如存在某交点、构成锐角三角形等），最终需求离心率的取值范围。 2026命题预测 预计在2026年高考中，离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性。其考查可能更加侧重于：与平面几何的结合： 深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系。与向量的结合： 利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。与函数、不等式的结合： 将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。 探索创新情境： 在相对新颖的图形或条件设置下，考查学生转化与化归的核心能力。复习中必须强化数形结合思想，熟练运用定义、方程、不等式等主要工具。 考点 离心率问题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，因此，而，所以.故选：A 2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，所以， 即，所以，故选：B． 3．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，，于是，则，即.故选：D 4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即.故选：A 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意，设、、， 则，，， 则，则.故选：C. 6．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设而不求：设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义：设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：，故 所以椭圆的离心率，故选A. ,7.（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 8.（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选A 9.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 10.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】方法一：依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 知识1椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a),_ B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0) 离心率 e＝(0<e<1) 【知识拓展】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 知识2双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 【知识拓展】1.双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． 2.等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. 3.双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． 4.焦点到渐近线的距离为b. 题型一 定义法求解离心率 1．已知焦点在x轴上的椭圆以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线有公共点，则C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 椭圆焦点在轴上，椭圆短半轴长为，长半轴长为3， 圆的方程为，即该圆的圆心为，半径为， 直线的一般方程为， 设原点到直线距离为，则， 又直线与圆有公共点，，， ，，当且仅当时取最大值，． 2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为， 可得，即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 3.已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由椭圆的定义得，又， 故，当且仅当时，等号成立， 则，故，， 所以C的离心率为，故选：B 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，则，由椭圆的对称性可知，， 由椭圆的定义可知， 因为，所以，即， 得（舍去）， 则，在中，， 所以在中，由余弦定理得，得， 所以的离心率. 故选：C 题型二 用正弦定理求解离心率 5.已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 【答案】 【解析】 设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 由正弦定理得. ∵，∴，∴. ∵，，∴，∴. 又∵， 所以，两边除以并化简得， ∴或（舍去），则. 6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 7.已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设，则，又， 则，得，即， 又， ， 由正弦定理得， 设， 则，即， 又，所以， 所以离心率. 故选：D. 题型三 用余弦定理求解离心率 8.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】 因为，所以. 又，所以或， 当时， ，与矛盾，舍去. 所以，所以 ， 设，由正弦定理得， 故，所以， 又，所以，所以. 9.已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是 . 【答案】 【解析】 设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 由正弦定理得. ∵，∴，∴. ∵，，∴，∴. 又∵， 所以，两边除以并化简得， ∴或（舍去），则. 10.已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是 ． 【答案】 【解析】  椭圆的左右焦点分别为， ，，， 抛物线以为焦点， ，解得，抛物线方程为， 在中，由正弦定理得， ，，解得， ，， 在抛物线上，， 由椭圆的焦半径公式得：，，解得， 则， ，整理得，解得， 又，． 题型四 用双余弦定理求解离心率 11.已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】如图所示，设的中点为， 因为，，所以， 设，则，由可得，所以， 在中，①， 在中，②， 在中，③， 由①②③联立解得，， 所以在中，解得， 12.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设的离心率为，则 . 【答案】/ 【解析】分析可知：过点的直线与双曲线的左支交于A，B两点，如图所示. ，∴设，则. 由双曲线定义可知，. ∵以AB为直径的圆过点，，即， 化简整理得，即，解得（舍去），或. ∴，，，. 在中，. 在中，， 即，即. . 13.已知双曲线的左、右焦点分别是点，点是右支上的一点，以为直径的圆交右支于另一点，若，则的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】设，因为，则， 所以，， 又为直径，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得： ， 解得， 即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 即. 14.如图，已知分别为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】因为以为直径的圆经过点，所以， 又，故点在以为直径的圆上，所以, 所以，因为为的中点，所以为的中点， 设，则，，， ， 在中，， 即，得，所以，， 在中，，即， 所以双曲线的离心率. 题型五 利用点差法求离心率 15.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为k的直线l交E的两条渐近线于A，B两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由可得双曲线的渐近线方程为， 不妨设，的中点为，则， 两式相减，得：，即， 即（*），因，则，在中，， 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 则由（*）可得，即，解得， 即，也即. 故选：B. 16.斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】取的中点为，因为的重心为，且在中线上， 所以，由中点弦有， 所以，所以，又因为， 所以，所以，又由，得的外心为为的中点， 所以由中点弦有,所以，即， 由有，所以，所以，故选：A. 17.过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设线段PH的中点为D，，，则，， 所以，，所以， 所以①．因为A，D，B三点共线，所以，所以②． 由得③ 将①②代入③可得，故，即， 则C的离心率为．故选：B. 题型六 焦点三角形双角度型求离心率 18.已知、分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以，因为， 所以．在中，因为，所以， 由椭圆定义可得，所以．故选A． 19.设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 20.已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在以为直径的圆上，， ，，，， 由双曲线定义知：，即， ； ，，， 则，， 即双曲线离心率的取值范围为. 21.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 22.已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，且满足， 所以，，所以、， 所以，所以；故选：B 题型七 利用几何性质求离心率 23.已知、、分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】由为等腰三角形，则有，而， 又，， 若，则，， 所以， 在中， 在中， ，即，整理得，则. 24.已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】如图，由题意可知， 所以， 所以， 因为平分，所以， 解得，所以，所以离心率， 25.已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设直线与的切点为，连接， 则， 因为，所以， 而，所以，， 而，所以， 所以，． 因此，所以， 离心率. 故选：B． 26.已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示：    由题意得，又，则， 因为，，则，，故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，化简得，即，解得. 故选：A. 题型八 坐标法求解离心率 27.已知椭圆上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点，，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】如图所示：过作轴于， ，则，，故， 则，整理得到，故. 28.已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率.故选：D.      29.已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆的对称性可得， 则， 则不妨取， 将点的坐标代入得：，所以， 所以的离心率. 故选：B. 30.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 题型九 椭圆和双曲线共焦点型离心率问题 31．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 【答案】1 【解析】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得， 所以， 因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1. 32．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因，即，而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 33．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 题型十 离心率的取值范围问题 34.已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，，， ，则， ，则，， ，则，，点在渐近线上， 所以，， 由得，所以，又， 所以，所以． 35.已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交． 显然满足的直线有1条为x轴，为左右顶点，长度为实轴长，. 当直线过，刚好垂直x轴时，令，可求得.此时直线只有1条. 加上前面的1条，总共2条，不满足题意.如图， 运用双曲线对称性知道时，刚好有2条，总共3条，满足题意. 即.则.又由于， 则双曲线的离心率的取值范围为. 36.已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因，即，而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 37.已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形 所以必有.即. 所以. 所以，又椭圆的离心率，所以.故选：D 38.已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即， 设，设PA中点为Q，由，得， 因为Q在渐近线上，所以，即， 所以点P为圆M与直线的公共点， 由题意圆M的圆心为，半径为2， 则圆心M到直线的距离，， 所以，解得. 所以离心率的取值范围为，故选：B 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $