专题16 圆锥曲线综合问题2（最值范围问题与定点（定直线）、定值问题）（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线综合问题，涵盖最值范围、定点定直线及定值核心考点，按考情精解、题型攻坚架构知识，通过梳理取值范围常用解法、定点定值判定方法，结合2023-2025年上海卷真题及分层题型训练，帮助学生构建解题框架。 讲义以题型分类突破为特色，如最值问题分不等关系、基本不等式、函数性质三类，定点定值细化为十种题型，采用“特殊探路+韦达消参”等策略培养数学思维，设置基础到新情景题梯度练习，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供系统指导。

专题16圆锥曲线综合问题2（最值范围问题与定点（定直线）、定值问题） 目录 01 析·考情精解 02 破·题型攻坚 考点一 最值范围问题 真题动向 必备知识 知识点 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 命题预测 题型1利用不等关系求最值（范围） 题型2利用基本不等式求最值（范围） 题型3利用函数性质求最值（范围） 考点二 定点（定直线）与定值 真题动向 必备知识 知识1定点问题 知识2定直线问题 知识3定值问题 命题预测 题型1 直线过定点问题 题型2 圆过定点问题 题型3定点类探索性问题 题型4 面积为定值问题 题型5 斜率为定值问题 题型6 线段长为定值问题 题型7 向量数量积为定值问题 题型8 定值类探索性问题 题型9 定直线问题 题型10 定直线类探究问题 命题轨迹透视 最值与范围问题是解析几何中的典型问题,是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究,而且要从代数角度进行函数等相关运算. 定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现. 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 最值范围问题 上海卷T18，18分 上海卷T18，18分 上海卷T18，18分 定点（定直线）定值 2026命题预测 预测2026年： 命题形式：18题第2问（7-8分），载体为椭圆，可与抛物线/圆融合，考定点+定值+定直线耦合（如动直线过定点且截距为定值，求定直线）。 基础型：椭圆定点证明（保分），用特殊探路+韦达消参快速求解。中档型：椭圆+抛物线/圆，结合斜率积/向量条件求定点/定值，需运算精准。新情景：翻折/旋转+定点定值（如椭圆翻折后动直线过定点）、实际建模（光学/轨迹）、含参数递推动点，强化临界分析与多解验证。 考点一 最值范围问题 1．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 2．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 3．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 【解】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则. （2）由代入抛物线方程有，解得，则， 设，则的中点为, 代入抛物线方程有，解得， 直线的斜率为，其方程为，即, 坐标原点到的距离为. （3）设，根据， 则，则直线方程为， 化简得， 令，则，又，， 化简得 ①对任意的 恒成立. 则, 结合，， 当时，，则，则①也成立. 综上所述:.    知识点 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． 2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． 3.利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． 4.利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． 5.利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 题型1利用不等关系求最值（范围） 1.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 2.（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【解】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 3.（2025·山东潍坊一模）已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点使等式成立. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围. 【解】（1）根据题意可得双曲线的方程为(). 由直线是渐近线，可得. 由，可得. 联立以上两式，解得， 所以双曲线的方程为. （2）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称. 当时，设曲线上的两点关于直线对称， 则且线段的中点在直线上. 设直线的方程为， 联立 消去得. 所以,, 则.① 设线段的中点为， 则，. 因为点在直线， 所以，则.② 由①②可得， 整理可得，解得或.   所以的取值范围是. 题型2利用基本不等式求最值（范围） 4.已知椭圆C：＋y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且＝λ，求四边形ABF1F2面积的最大值. 【解】由＝λ，得AF2∥BF1，如图，延长BF1，AF2，交椭圆于C，D两点， 根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半. 由题知，BF1的斜率不为零， 故设BF1的方程为x＝my－， 联立 得(m2＋3)y2－2my－1＝0， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， ∵Δ＞0，∴y1＋y2＝，y1y2＝， 故|BC|＝·|y1－y2|＝，O到BF1的距离d＝， S四边形ABF1F2＝S四边形ABCD＝×4S△OBC ＝2××|BC|·d＝|BC|·d ＝· ＝2·＝2· ＝2·≤2×＝， 当且仅当＝，即m＝±1时取等号， ∴当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为. 5.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 【解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为； （2）设，则， 所以， 由在抛物线上可得，即， 据此整理可得点的轨迹方程为， 所以直线的斜率， 当时，； 当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，； 综上，直线的斜率的最大值为. 6．（2025·陕西西安二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值． 【解】（1）由椭圆的离心率为，得，即， 由点在上，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线方程为，， 设点，则，， 由消去得，，， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 题型3利用函数性质求最值（范围） 7.如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上，设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 【解】M是椭圆长轴上的一点, 不妨设, ,, , M到直线的距离等于, , 即,因为 所以，解得 设为椭圆任一点, 则满足,即, 则 , 故当时有最小值为. 8.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上． (1)若，求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线的距离不小于，求的取值范围． 【解】（1）由题意及抛物线的定义得：， 又因为点在抛物线上，所以， 由 可得或， 所以抛物线的标准方程为或． （2）设，， 联立消去可得：， 则，， 因为， 所以 ， 所以，可得， 由原点到直线的距离不小于，可得，解得或， 因为，所以不成立，所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围为． 9.（2025·广东珠海一模）已知抛物线：，点A在上，点，其中. (1)若，求的最小值； (2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C； （ⅰ）若A是B，Q中点，证明：； （ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围. 【解】（1）当时，，设， 所以， 当，等号成立，即，所以最小值为； （2）（ⅰ）设直线：，，，， 不妨设，因为A是B，Q中点，所以，得，即， 由，所以，即， 所以，由，所以，即； （ii）由（ⅰ）有，所以， 设B，C的中点为，所以，由有，所以，即， 所以，即在点处的切线为， 由在切线上，所以， 又因为，所以，即， 由，解得：， 记为，由对称性不妨设， 所以，令，得，即， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，所以，由对称性有. 考点二 定点（定直线）与定值 1.（2022全国乙（理）卷T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【解题指导】（1）巧设椭圆方程→定点代入求参→E的方程 （2）设出直线方程→与椭圆C的方程联立→分情况讨论斜率是否存在→直线的方程→消参确定直线HN过定点 【解】（1）设椭圆E的方程为， 【技巧】当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算． 过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①【第1步】直线斜率不存在时，证明直线HN过定点 若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②【第2步】设直线斜率，求直线方程，与椭圆方程联立 若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 【第3步】求 可得，， 且 【第4步】求的坐标，直线的方程 联立可得 可求得此时， 【第5步】化简，消参确定直线HN过定点 将，代入整理得， 将代入，得显然成立， 综上，可得直线HN过定点 2.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【解题指导】（1）由焦点和离心率→列方程求参→双曲线方程； （2）设出直线方程→与双曲线方程联立→直线与的方程→消去→→交点的横坐标为定值→点在定直线上. 【解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得， 则，且 【提醒】忽视，此为得分点    直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 知识点1 定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 知识点2 定直线问题 解决定线问题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有： (1)待定系数法，设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数确定动点的坐标，确定直线. (2)设点法，设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确定直线. 知识点3 定值问题 求解定值问题的三步骤 题型1 直线过定点问题 1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点． 【解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为． 由已知，，即， 又，所以， 由，可得，所以， 因为的焦点在轴上，所以的标准方程是． （2）证明：由（1）知， 设， 将两边平方， 化简得， 所以， 即， 即． ①当直线垂直于轴时，且， 故，解得或（舍去）， 此时过点； ②当直线的斜率存在时，设， 联立方程， 得， 由， 得，且， 由， 得， 即． 将代入上式， 得， 即， 所以， 所以或， 当时，直线过点，不符合题意， 所以， 所以直线的方程为， 此时过点． 综上可知直线过定点． 2．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）如图， 设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 3．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 【解】（1）已知当时，，，关于轴对称且． 设，因为，不妨设． 由斜率公式，即，解得，所以，． 面积，解得，抛物线方程为． （2）    证明：设，，， 则，． 因为，则，所以， 则，， 所以直线的方程为，整理得． 把代入直线方程，得， 所以直线过定点． 题型2 圆过定点问题 4．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上，下支分别交于，两点（异于），直线平分线段与的下支交于点． （ⅰ）求证：直线与直线的交点在一条定直线上； （ⅱ）过三点的圆是否经过定点，请说明理由． 【解】（1）由题意，，，所以， 所以的方程为． （2）（ⅰ）由题意，直线的斜率存在，设直线方程为：，，． 由，消去整理得，， 由于同号，所以，即，则， 所以，由，解得， 所以， 所以直线方程为：，即， 由得，所以直线与直线的交点在一条定直线上． （ⅱ）过三点的圆经过定点，理由如下： 由弦长公式． 设线段的中点为，则， 所以， 所以，即点在以线段为直径的圆上． 又，即， 所以在以线段为直径的圆上， 所以过，，三点的圆经过定点． 5．已知椭圆（）的焦距为2，点在C上． (1)求C的方程； (2)若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意知，椭圆C的半焦距，焦点分别为，， 由椭圆定义得，椭圆长轴长， 即，，所以椭圆C的方程为． （2）设点，显然， 过点P的直线方程为， 由，消去y并整理得． 因为直线l与C相切，则， 得， 即， 设直线，的斜率分别为，，显然，是上述关于k的一元二次方程的两个根， 则，化简得， 即点P到坐标原点O的距离， 故点P在以O为圆心，为半径的圆上，并且是动点，而点A为该圆上一定点， 则当满足时，为圆O的直径，即点， 所以存在点满足题意． 6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，， 抛物线的方程． （2）①设，由于切线斜率一定存在， 故设过点的切线， 代入中，得：， ，． 设的斜率分别为， 则 ，，， 得 ， 的中点为． 又，直线的方程：， 即：，过定点． ②设，则．同理：． ，． 把代入中得：， 所以由， ， ，解得． 存在定点，使得以为直径的圆恰过点． 题型3定点类探索性问题 7．已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意知，且过点，即，，解得，， 所以椭圆的方程为； （2）假设存在点，使得 ，则 ．       设 ，则 ， ∴ ，直线 的方程为 ． ∵点 在直线上，∴， ∵点是直线上不同于点的一点，∴ ，解得 ∵点在椭圆 上，∴ ，解得 或 ， 当 时，解得 ；当 时，解得 ∴存在点 ，使得 ，点的坐标为 或 ．    8．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【解】（1）由已知，，则． 因为，则，所以，从而． 所以双曲线的方程是． （2） 设直线，代入，得， 即． 设点，则． 如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称， 猜想：定点在轴上． 设点，由题设，点，则． 因为向量与共线，则， 即， 即．所以，即． 因为为可变量，则，所以直线过定点． 9．已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 【解】（1）（1）已知点在上， 所以，即，解得， 所以的方程为. （2）抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率， 由点斜式可得过点的切线方程为，即， 令，可得，所以. 由，可得，所以. 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. 因为， 所以， 所以. （3）易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线， 联立得消去得，所以. 直线的方程为，将代入，得， 由，所以， 同理可得. 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， 将代入， 得， 所以直线过定点. 题型4 面积为定值问题 10．已知抛物线：与双曲线：相交于点． (1)若，求抛物线的准线方程； (2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【解】（1）由，得，将其代入，得， 所以抛物线的方程为，其准线方程为. （2）由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 由，得， 由直线与相切，得，解得，切点， 于是，令，则直线的方程为， 点，由，得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 所以的面积为定值，该定值为. 11．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 12．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设椭圆为，，，， 由题意得，解得，，故椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，取，，符合题意， 故存在点使为的重心，且此时的面积为. 当直线的斜率存在时，设，联立得， 设，，则，，， 由条件得，得， 则， ， 综上，的面积为定值，其值为. 题型5 斜率为定值问题 13．已知椭圆经过两点，其左、右焦点分别为，且焦距为有理数，点为椭圆上异于的动点，面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与分别交直线于两点，证明：直线和的斜率之积为定值. 【解】（1）由椭圆经过两点，可得， 根据椭圆的几何性质，可得点为上、下顶点时，面积取得最大值， 可得， 又因为，且焦距为有理数，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）证明：设，满足， 则，则直线， 令，可得，则， 所以. 14．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【解】（1）双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 15．在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【解】（1）因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． （2）如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 16．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 【解】（1）设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，， 点在轴上，为原点，所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即，解得， 所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知. 设直线的方程为，，. 代入抛物线方程，整理得， ，所以， 所以，. 所以的值为2. 题型6 线段长为定值问题 17．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 【解】（1）由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切， 则，因为，解得，故抛物线的方程为. （2）设点、、， 显然直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 则，，即点， 因为轴，则，解得， 因此，直线的斜率为. （3）由抛物线焦点弦长公式可得， 由（2）可得， 所以. 18．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，  是上一点，且，的周长为 12. (1)求C的方程; (2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值. 【解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，即， 又因为，设，可得，所以， 则， 所以， 将代入上式，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，因为直线与双曲线的右支相交，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 可得或， 且， 过点与垂直，所以，因为，所以， 设直线的方程为， 联立方程组，可得的，解得， 因为与双曲线的右支的交点为，所以，可得 所以， 所以. 19.（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    题型7 向量数量积为定值问题 20.已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【解】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数．    21.已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 【解】（1）解：由原点到直线的距离， 因为以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切，所以， 又因为双曲线的焦距为4，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）解：法一：假设存在点满足条件， ①当直线方程为时，则， 所以； ②当直线方程不是时，可设直线， 联立方程组，整理得， 由，即，可得， 设，则， 所以， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 法二：当直线不垂直轴时，设， 联立方程组，整理得， 由，可得， 设，可得， 则， 当且仅当时，为定值1，解得， 因为不满足对任意时，所以不合题意，舍去； 当时，满足时， 当直线轴时，，联立方程组，解得， 可得，且， 所以； 综上可得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值1．- 22.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 23.已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设，，， 由，化简得（）. （2） 设直线l：，代入得：， 整理得： 设，， 因为，均在双曲线的右支上，所以，且， 所以，. （ⅰ）所以， ，可得， ∴直线的方程为：. （ⅱ）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以， 此时. 所以存在点，使得为定值. 题型8 定值类探索性问题 24.已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【解】（1）因为，所以，所以， 由题意可知，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，所以，， 又因为，所以，设， 由题意可知，即， 联立，可得， 所以，且， 所以 ， 所以直线与的斜率和为定值. 25.在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足． (1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合) (2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由． 【解】（1）设，则，由题设可知， 而在圆上，故即. （2）因为，故均存在且不为零， 故直线，直线，设，    由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，在第四象限，故. 又，故， 由可得， 同理，而， 故，故. 故的面积为定值且定值为1. 题型9 定直线问题 26.如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，， 显然点在直线，即上，得证. 27.已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且. (1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由. (2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上. 【解】（1）由题意可知，设直线的方程为. 由消去，可得， 则，，即， . 因为 ， 所以， 故直线的方程为，恒过点. （2）由题可知，直线的方程为，直线的方程为， 因为 ， 所以，故点在定直线上.    28.已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    题型10 定直线类探究问题 29.已知，是抛物线：上不同两点. （1）若抛物线的焦点为，为的中点，且，求抛物线的方程； （2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由抛物线的定义得 ,∴, ∴所求抛物线方程为. （2）由题意得的斜率存在设：, ,∴,, ∴,∴,, 作轴,轴,垂足为,, ∵,∴,∴, ∴. ∴,∴,∴存在直线：符合题意. 30．已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 【解】（1）由题意得，所以， 设，，， 则， 作差得， 又MN的斜率，， 所以. （2）∵，∴，，， 直线l：，， 设，， 联立得， 所以，所以， 设直线AN：，BM：， 所以， 所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上． 31．平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． (1)求点Q的轨迹E的方程； (2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 【解】（1）如图， 由题意知，， 所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆． 设椭圆的方程为， 则，，， 所以椭圆方程为． （2）如图， 解法一： 设，，，， 由可得， 则，即①. 由可得 则，即②， 所以，整理得③. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得， 消去得， ，， 代入③得，又因为，所以． 直线的斜率不存在时，不妨取，， 则，，则，，解得， 综上可得，点在一条定直线上，直线方程为． 解法二：设，，，， 由可得， 则，即①. 由可得， 则，即②， 所以，整理得③. 当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为， 联立，消去得， ，，代入③得. 当直线的斜率为0时，，， 则，恒成立，点H在上也成立， 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16圆锥曲线综合问题2（最值范围问题与定点（定直线）、定值问题） 目录 01 析·考情精解 02 破·题型攻坚 考点一 最值范围问题 真题动向 必备知识 知识点 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 命题预测 题型1利用不等关系求最值（范围） 题型2利用基本不等式求最值（范围） 题型3利用函数性质求最值（范围） 考点二 定点（定直线）与定值 真题动向 必备知识 知识1定点问题 知识2定直线问题 知识3定值问题 命题预测 题型1 直线过定点问题 题型2 圆过定点问题 题型3定点类探索性问题 题型4 面积为定值问题 题型5 斜率为定值问题 题型6 线段长为定值问题 题型7 向量数量积为定值问题 题型8 定值类探索性问题 题型9 定直线问题 题型10 定直线类探究问题 命题轨迹透视 最值与范围问题是解析几何中的典型问题,是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究,而且要从代数角度进行函数等相关运算. 定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现. 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 最值范围问题 上海卷T18，18分 上海卷T18，18分 上海卷T18，18分 定点（定直线）定值 2026命题预测 预测2026年： 命题形式：18题第2问（7-8分），载体为椭圆，可与抛物线/圆融合，考定点+定值+定直线耦合（如动直线过定点且截距为定值，求定直线）。 基础型：椭圆定点证明（保分），用特殊探路+韦达消参快速求解。中档型：椭圆+抛物线/圆，结合斜率积/向量条件求定点/定值，需运算精准。新情景：翻折/旋转+定点定值（如椭圆翻折后动直线过定点）、实际建模（光学/轨迹）、含参数递推动点，强化临界分析与多解验证。 考点一 最值范围问题 1．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 2．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 3．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 知识点 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． 2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． 3.利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． 4.利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． 5.利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 题型1利用不等关系求最值（范围） 1.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 2.（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 3.（2025·山东潍坊一模）已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点使等式成立. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围. 题型2利用基本不等式求最值（范围） 4.已知椭圆C：＋y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且＝λ，求四边形ABF1F2面积的最大值. 5.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 6．（2025·陕西西安二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值． 题型3利用函数性质求最值（范围） 7.如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上，设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 8.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上． (1)若，求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线的距离不小于，求的取值范围． 9.（2025·广东珠海一模）已知抛物线：，点A在上，点，其中. (1)若，求的最小值； (2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C； （ⅰ）若A是B，Q中点，证明：； （ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围. 考点二 定点（定直线）与定值 1.（2022全国乙（理）卷T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 2.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 知识点1 定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 知识点2 定直线问题 解决定线问题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有： (1)待定系数法，设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数确定动点的坐标，确定直线. (2)设点法，设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确定直线. 知识点3 定值问题 求解定值问题的三步骤 题型1 直线过定点问题 1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点． 2．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 3．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16． (1)求抛物线的方程； (2)当时，证明：直线过定点． 题型2 圆过定点问题 4．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上，下支分别交于，两点（异于），直线平分线段与的下支交于点． （ⅰ）求证：直线与直线的交点在一条定直线上； （ⅱ）过三点的圆是否经过定点，请说明理由． 5．已知椭圆（）的焦距为2，点在C上． (1)求C的方程； (2)若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型3定点类探索性问题 7．已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 8．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 9．已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 题型4 面积为定值问题 10．已知抛物线：与双曲线：相交于点． (1)若，求抛物线的准线方程； (2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值． 11．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 12．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 题型5 斜率为定值问题 13．已知椭圆经过两点，其左、右焦点分别为，且焦距为有理数，点为椭圆上异于的动点，面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与分别交直线于两点，证明：直线和的斜率之积为定值. 14．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积是定值. 15．在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 16．已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 题型6 线段长为定值问题 17．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为． (1)求抛物线的方程； (2)当轴时，求直线的斜率； (3)求证：为定值，并求出该定值． 18．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，  是上一点，且，的周长为 12. (1)求C的方程; (2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值. 19.（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 题型7 向量数量积为定值问题 20.已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 21.已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标. 22.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 23.已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型8 定值类探索性问题 24.已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 25.在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足． (1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合) (2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由． 题型9 定直线问题 26.如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 27.已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且. (1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由. (2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上. 28.已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 题型10 定直线类探究问题 29.已知，是抛物线：上不同两点. （1）若抛物线的焦点为，为的中点，且，求抛物线的方程； （2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 30．已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 31．平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． (1)求点Q的轨迹E的方程； (2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $