5.4.3正切函数的性质与图象 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，通过复习正切定义及定义域导入，类比正弦余弦函数研究方法，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生从定义出发探究定义域、周期性等性质再构建图象。 其亮点是以问题链驱动探究，如“思考1”引导类比研究方法发展数学思维，“思考2”利用周期性简化图象研究，结合正切线绘制图象培养直观想象，典例分析用整体代换提升数学抽象能力。学生能深化理解，教师可借助结构化流程提升教学效率。

讲课人： 日期： 5.4.3 正切函数的性质与图象 ①初步理解正切函数的基本性质，并借助性质把握图象特征． ②通过正切函数的图象和性质的研究，进一步体会函数研究的方法，体会数形结合和类比的思想方法的使用． ③在正切函数的研究中，发展直观想象和数学抽象的素养． 学习目标 复习导入 你能复述正切与正切函数吗? 设α是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点． 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 正切函数 ,{|} 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 探索新知 思考1：根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的 图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？ 【解答】思路一：应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述. 思路二：对于正切函数，也可以从其定义出发研究它的性质，再利用性质研究 其图象. 我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？ 定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性 探索新知 问题1：正切函数 的定义域是什么？     探索新知 问题2：正切函数是否具有周期？若有，周期是多少？ 正切函数是周期函数，周期是π. 问题3：正切函数 的奇偶性？   正切函数是奇函数. 探索新知 思考2：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会 有什么帮助？ 根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期内的图象与性质；再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期内的图象与性质即可。 探索新知 问题4：如何画出函数y＝tan x， 　 　的图象呢？               x 如图，设［0，），在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点 过点轴的垂线，垂足为；过点 作轴的垂线与角的终边交于点，则 我们可以利用画出函数［0,的图象 探索新知 (2)将区间［0,）六等分，自变量取值0，，，，， B T IIIIII (3)画出正切函数图象上相应的特殊点，并用光滑曲线连接. A 当［0,)时，随着的增大，线段的长度也增大，当趋于 时，的长度趋于无穷大. 探索新知 思考3：如何得到整个定义域上的函数图象？ 根据正切函数是奇函数，图像关于原点对称我们根据此性质将正切函数在的图像补齐。再根据周期性，向左、右拓展。 探索新知 思考4：正切函数的图象有怎样的特征？ x y o       渐进线 渐进线 1、图象关于原点对称 2、图象在x轴上方的部分下凹；在x轴下方的部分上凸 3、图象被相互平行的直线 隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交。 探索新知 问题5： 观察正切函数图像，正切函数的单调性是怎样的？它的值域是多少呢？ 0 - - IIIIIIIIIII 2 - -2 - 正切函数在每个区间(- )()上都单调递增. 正切函数的值域是实数集R. 观察正切曲线可知，正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形， 关于点 对称. 概念生成 定义域 值域 R 周期 奇偶性 单调性 对称性 奇函数 在 上单调递增 对称中心是 图象关于原点对称 渐近线 x y o 例1 求函数的定义域、周期及单调区间. 典例分析 所以，函数的定义域是 函数 的周期 解： 巩固练习 巩固练习 1.求与正切函数有关的函数的定义域时,除了要满足函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法: 先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. 3.求函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,由kπ-<ωx+φ<kπ+,k∈Z求得x的取值范围;当ω<0时,可先用诱导公式把ω化为正值. 公式法：对于函数，它的最小正周期. 探索新知 4.周期的求法：(1)定义法. (2)公式法：对于函数，它的最小正周期. （3）图象法：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现. 解题思路： 课堂小结 你有什么 收获呢？ 周期性 1.正切线平移 2.正切函数的性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 3.数学思想： 类比法、 整体代换 数形结合、 正切函数图象 作业布置 一：教科书第213页练习5. 二：分层作业（五十）A组B组 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： $