精品解析：河南省南阳市2025-2026学年 上学期九年级数学12月月考试卷

河南省2025-2026学年第一学期学业测评试卷 九年级数学（华东师大） ·九上· 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，相反数的定义，根据特殊角的三角函数值即可求解是解决问题的关键． 【详解】解：． ∴相反数为， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的运算性质，包括加法、减法、乘法和除法，根据平方根的运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】A.，运算错误，不符合题意； B. ，运算错误，不符合题意； C. ，运算正确，符合题意； D.，运算错误，不符合题意． 故选：C． 3. 如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则梯子的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 12个 B. 16个 C. 18个 D. 20个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再用球的总数乘以摸到黄球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到黄球的概率为， ∴布袋中黄球可能有个， 故选：A． 5. 某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有支球队进行了15场比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据单循环比赛的总场数公式为 ，其中x为球队数量，且总场数为15，即可获得答案． 【详解】解：∵每支球队需与其他(x-1)支球队各赛一场，且每场比赛涉及两支球队， ∴总场数为 ， 且根据题意，总场数为15， ∴可列方程为 ． 故选：C． 6. 如图，在中，点P是的中点，交对角线于点N，过点N作交于点M，若，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确运用相似三角形的性质求解． 根据平行四边形得到，然后证明，求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 跨学科融合是新课标的热门议题．正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为化学变化的结果有2种， ∴卡片正面恰好为化学变化的概率为． 故选：D． 8. 若实数，满足，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由条件得，代入方程判别式，化简后，从而判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴， 对于方程， 判别式， 代入， 得， ∵， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C. 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿运动，到达点时停止．之间的距离与时间之间的关系如图2所示，当平分时，的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，考查了等腰三角形判定与性质、相似三角形判定与性质，先由函数图象获取信息得到，进而等腰三角形的判定与性质求出相关角度，再由相似三角形的判定与性质列式求解即可得到答案，从函数图象中获取信息得到是解决问题的关键． 【详解】解：当平分时，如图所示： 由题意及函数图象可知，， 是等腰三角形， 在中，， ， 平分， ， ，即， 在中，由三角形内角和定理可知，， 是等腰三角形，则， ， ，， ，则， 即， 令，则， 解得或（边长为负值，舍去）， 当平分时，， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 12. 将，，，分别写在四张同样的卡片上，从中随机抽取张，卡片上的数为无理数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：从四张同样的卡片上随机抽取张卡片，共有种等可能结果，其中卡片上的数为无理数的结果有种， ∴从中随机抽取张，卡片上的数为无理数的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边对等角，结合三角形外角的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，设，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，由特殊角的三角函数值可得，可得，即可得的值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查含角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形外角的性质，特殊角的三角函数值，求角的正切值． 14. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，E是的中点，连结，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点A落在上的点处，当是直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，根据勾股定理可得，设，则，是直角三角形可以分两种情况讨论，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列出方程求解，即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 是的中点， ， ， 沿过点的直线将矩形折叠，使点A落在上的点处， ， 设，则， 要使得是直角三角形时， ①当时，， ， ， ， ，即， 解得， ； ②当时，， ， ， ，即， 解得：， ； 综上所述，当是直角三角形时，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折、矩形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，熟记特殊角的三角函数值； （1）根据二次根式的运算法则，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，正方形中，Q是边上一点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于P，连接、，当时，求证：． 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 解：由题意得：， ∵， ∴． 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线、正方形的性质和线段垂直平分线的性质，正确的作出图形是解决本题的关键． （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）先利用正方形的性质和线段垂直平分线的性质可得，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图1，在计数器的十位上画了一颗珠子，个位上画了四颗珠子，则表示数“14”．如图2，在计数器的十位上画了一颗珠子． （1）如果在图2计数器上再画一颗珠子，则表示的数为11属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； （2）如果在图2计数器上再画两颗珠子，用列表法或画树状图法求表示的数为奇数的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题关键． （1）根据事件的分类，结合题意判定即可； （2）运用列表法或画树状图法求随机事件的方法计算即可． 【小问1详解】 解：在这个计数器上再画一颗珠子，可以画在个位，表示11，也可以画在十位，表示20， ∴表示的数为11属于随机事件， 故答案为：随机． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知有4种等可能的结果，表示的数为奇数的有2种， ∴P（表示的数为奇数）． 19. 悟颖塔位于驻马店市汝南县境内，传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔．小宇欲用无人机测量悟颖塔的高度：如图，他先控制无人机从脚底（点C）出发，向右上方（与地面成）的方向匀速飞行8秒到达空中点D处，再调整飞行方向，继续匀速飞行14秒到达塔顶点A处．已知无人机的速度为2米/秒，，且点A，B，C，D在同一平面内，请你帮小宇求出悟颖塔的高度．（结果保留整数；参考数据） 【答案】悟颖塔的高度约为25米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义，作出辅助线，是解题的关键．过点D作，交的延长线于点O，过点D作，垂足为E，在中，解直角三角形求出（米），在中，解直角三角形求出（米），最后求出结果即可． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点O，过点D作，垂足为E，如图所示： 由题意得：（米），（米），，， ∴， ∵， ∴， 在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴悟颖塔的高度约为25米． 20. 某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： （1）用含x的代数式表示储物区的宽度； （2）若储物区总占地面积为400平方米，求x． 【答案】（1） （2）x的值为20 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程． （1）根据题意列代数式即可求解； （2）根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故x的值为20． 21. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，其中，点在轴上，，． （1）求线段的长； （2）求点的坐标． 【答案】（1）线段的长为 （2）点A的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，与三角形的高相关的计算． （1）设，，由勾股定理可得，即可得线段的长； （2）过点作于点，由，，可得，即可得点的横坐标，由（1）得，代入三角形的面积公式，可得，即可得点的横坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴设，， 又∵，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴线段的长为． 【小问2详解】 解：过点作于点， 在中，，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 22. 新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． （1）经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形 I 又∵，∴四边形是矩形， Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． （2）创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 【答案】（1）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②证明：∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的判定，中位线及垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据证明过程直接写出依据即可；②根据中位线的性质及垂直平分线的性质证明即可； （2）根据题意得出，确定，再由含30度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理及直接三角形斜边中线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 略 【小问2详解】 在中， 由中点可知，， 在中， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∵点E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴点G是的中点， ∴． 23. 综合与实践 在学习四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验进行探究．定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫作这个四边形的“亲子线”． （1）操作判断 如图，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“亲子线”的四边形，则图中给出的四个点中符合条件的有________（从、、、中选择）； （2）性质探究 如图，在四边形ABCD中，，，对角线平分，． ①求证：对角线是四边形的“亲子线”； ②求的值． （3）拓展应用 如图，在（）的条件下，若，在边上取一点，使，过点作交于点，得到，连接，在绕点在平面内自由旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，直接写出的长． 【答案】（1）、、、 （2） ①证明：∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴对角线是四边形的“亲子线”； ② （3）或 【解析】 【分析】（）由图可得，，，，再根据“亲子线”的定义解答即可求解； （）①根据相似相似三角形的判定证明即可；②根据相似三角形的性质解答即可求解； （）由是等腰直角三角形得，是等腰直角三角形，再根据相似三角形的性质得，，在分在下方和上方两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，，，，， ∵四边形是以为“亲子线”的四边形， ∴当时，或， ∴或， 即或， 解得或， 同理当时，可得或； ∴图中给出的四个点中符合条件的有、、、， 故答案为：、、、； 【小问2详解】 ①略． ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当在下方时，如图，延长交于点，由题意可得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当在上方时，如图，设与交于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， 即， 解得； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025-2026学年第一学期学业测评试卷 九年级数学（华东师大） ·九上· 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则梯子的高度为（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 12个 B. 16个 C. 18个 D. 20个 5. 某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有支球队进行了15场比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点P是的中点，交对角线于点N，过点N作交于点M，若，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 7. 跨学科融合是新课标的热门议题．正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是（ ）     A. B. C. D. 8. 若实数，满足，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 10. 如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿运动，到达点时停止．之间的距离与时间之间的关系如图2所示，当平分时，的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 12. 将，，，分别写在四张同样的卡片上，从中随机抽取张，卡片上的数为无理数的概率是______． 13. 如图，在中，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值为________． 14. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 15. 如图，在矩形中，，，E是的中点，连结，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点A落在上的点处，当是直角三角形时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 如图，正方形中，Q是边上一点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于P，连接、，当时，求证：． 18. 如图1，在计数器的十位上画了一颗珠子，个位上画了四颗珠子，则表示数“14”．如图2，在计数器的十位上画了一颗珠子． （1）如果在图2计数器上再画一颗珠子，则表示的数为11属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； （2）如果在图2计数器上再画两颗珠子，用列表法或画树状图法求表示的数为奇数的概率． 19. 悟颖塔位于驻马店市汝南县境内，传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔．小宇欲用无人机测量悟颖塔的高度：如图，他先控制无人机从脚底（点C）出发，向右上方（与地面成）的方向匀速飞行8秒到达空中点D处，再调整飞行方向，继续匀速飞行14秒到达塔顶点A处．已知无人机的速度为2米/秒，，且点A，B，C，D在同一平面内，请你帮小宇求出悟颖塔的高度．（结果保留整数；参考数据） 20. 某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： （1）用含x的代数式表示储物区的宽度； （2）若储物区总占地面积为400平方米，求x． 21. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，其中，点在轴上，，． （1）求线段的长； （2）求点的坐标． 22. 新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． （1）经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形 I 又∵，∴四边形是矩形， Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． （2）创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 23. 综合与实践 在学习四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验进行探究．定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫作这个四边形的“亲子线”． （1）操作判断 如图，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“亲子线”的四边形，则图中给出的四个点中符合条件的有________（从、、、中选择）； （2）性质探究 如图，在四边形ABCD中，，，对角线平分，． ①求证：对角线是四边形的“亲子线”； ②求的值． （3）拓展应用 如图，在（）的条件下，若，在边上取一点，使，过点作交于点，得到，连接，在绕点在平面内自由旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $