7.4.1 宇宙航行 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦“宇宙航行”核心知识点，系统梳理卫星轨道类型、运行参量关系、极地/近地/同步卫星特点，衔接宇宙速度计算及天体追及相遇规律，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料通过表格对比不同卫星物理量差异培养科学思维中的模型建构能力，结合神舟十七号对接等中国航天实例渗透科学态度与责任，例题精讲与课时精练结合，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

7.4.1 宇宙航行 【基础回顾】 一、卫星运行参量的分析 1.卫星的轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道. 2.卫星运行参量间的关系 将天体或卫星的运动看成　匀速圆周　运动，其所需向心力由　万有引力　提供.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得： ⇒当r增大时越高越慢 3.极地卫星和近地卫星 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地表附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为　等于　地球的半径，其运行速度约为7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）.近地卫星公转周期的理论值约为85min，天宫空间站的公转周期约为90min，轨道比近地卫星略高 联系 两种卫星的轨道平面一定通过地球的　地心　.近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星 4.地球同步卫星 特点 理解 轨道平面一定 轨道平面与　赤道　平面共面 周期一定 与地球　自转　周期相同，即T＝24h 角速度一定 与地球自转的角速度　相同　 高度一定 由G＝m（R＋h）得地球同步卫星离地面的高度h＝　－R　（离地高度h≈3.6×104km≈5.6R） 速率一定 运行速率v＝　　 向心加速度一定 由G＝ma，得a＝　 绕行方向一定 绕行方向与地球自转方向　相同 二、宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度） v1＝　7.9　km/s，是人造卫星的最小　发射　速度，也是人造卫星的最大　环绕　速度 第二宇宙速度 （逃逸速度） v2＝　11.2　km/s，是物体挣脱　地球　引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 （脱离速度） v3＝　16.7　km/s，是物体挣脱　太阳　引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的计算方法 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝5.98×1024kg，地球半径R＝6400km，g＝9.8m/s2. 方法一：由G＝m，得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s. 方法二：由mg＝m得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s，运行周期Tmin＝2π＝2×3.14×s＝5075s＝85min. 三、天体的追及和相遇问题 “天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的. 状态 图示 关系（同向） 最近 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝n（n＝1、2、3、…） 最远 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝（n＝1、2、3、…） 【必备知识】 一、近地卫星、同步卫星与地球赤道上的物体的联系与区别 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上的物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r同＞r物＝r近 角速度 由＝mrω2得ω＝，故ω近＞ω同 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物 ω近＞ω同＝ω物 线速度 由＝得v＝，故v近＞v同 由v＝rω得v同＞v物 v近＞v同＞v物 向心加 速度 由＝ma得a＝，故a近＞a同 由a＝rω2得a同＞a物 a近＞a同＞a物 【巩固强化】 题型1 宇宙速度 【例题精讲】 1．关于地球的第一宇宙速度，下列说法正确的是（　　） A．它是人造卫星绕地球做圆周运动的最小速度 B．它是能成为人造卫星的最大发射速度 C．它的大小是7.9km/s D．它的大小是11.2km/s 2．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星。中子星的半径较小，一般在7～20km，但它的密度大得惊人。若某中子星的半径为10km，密度为1.2×1017kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为（　　） A．7.9km/s B．16.7km/s C．2.9×104km/s D．5.8×104km/s 3．中国航天科技逐梦星辰，从载人飞天到探火问月，续写强国航天新辉煌。2023年10月，“神舟十七号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空后与在轨的“天宫”空间站核心舱对接，为之后空间科学实验和技术试验提供更多条件。已知“天宫”空间站在轨高度约为400km，下列说法正确的是（　　） A．空间站绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s B．空间站绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度 C．空间站绕地球运动的周期等于地球同步卫星的周期 D．“神舟十七号”飞船的发射速度一定大于地球的第二宇宙速度 4．Gliese﹣12b行星被称为距离地球最近的“类地球行星”，该行星半径与地球相当，质量约为地球的4倍。已知地球的第一宇宙速度为7.9km/s，则在Gliese﹣12b行星上发射一颗卫星需要的最小发射速度约为（　　） A．3.95km/s B．11.17km/s C．15.8km/s D．31.6km/s 5．2025年9月5日，中国深空探测实验室宣布，我国正规划在1000万公里以外实施“小行星动能撞击验证”任务，本次任务撞击目标预计为阿登型近地小行星2015XF261。有观察认为，该小行星直径约为170米，轨道半长轴约为1.1天文单位，即为地球到太阳平均距离的1.1倍，轨道平面与地球轨道平面近似共面，两者转动方向相同。若将该小行星轨道与地球轨道都近似看成圆轨道，则由以上信息判断，下列说法正确的是（　　） A．小行星2015XF261公转周期约为1.5年 B．小行星2015XF261大约每7.5年接近地球一次 C．到达小行星的航天器发射速度应大于7.9km/s而小于11.2km/s D．根据该小行星的轨道周期与半径，万有引力常量，可计算出小行星的质量 6．（多选）如图甲，中国著名科幻作家刘慈欣在其作品《人间大炮》中描绘了通过“地心隧道”连通地球两端进行轨道运输的设想（直隧道穿过地心，其直径相对地球半径可忽略不计），若将地球视为匀质球体且不考虑地球自转，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，引力常量为G，在隧道内物体所受引力F引与其质量m的比值随r（r为物体与地心的距离，从零至无穷远）变化的图像如图乙所示，P点的坐标为（a，b），下列说法正确的是（　　） A．地表的重力加速度大小为ab B．r＝x时，物体所在位置的重力加速度大小为 C．地球的第一宇宙速度为 D．地球的密度为 7．（多选）“格利泽581g”是太阳系外的一颗行星，由于该行星的温度可维持表面存在液态水，科学家推测这或将成为第一颗被发现的类似地球的星球，遗憾的是一直到现在科学家对该行星的研究仍未有突破性的进展。这颗行星距离地球约20亿光年（189.21万亿公里），公转周期约为37年，半径大约是地球的2倍，其星球表面的重力加速度可认为与地球几乎相等。则下列说法正确的是（　　） A．“格利泽581g”星的第一宇宙速度等于7.9 km/s B．该行星的平均密度约是地球平均密度的 C．该行星的质量约为地球质量的8倍 D．在地球上发射航天器前往“格利泽 581 g”星，其发射速度至少要达到 16.7km/s 题型2 人造卫星 【例题精讲】 1．北京时间2025年2月27日15时08分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，一箭双星，成功将四维高景一号03、04星发射升空。假如04星在离地高度为h处，绕地球做匀速圆周运动，与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为S0，已知地球半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．04星的发射速度大于第二宇宙速度 B．04星在圆轨道上的运行速率大于第一宇宙速度 C．04星的运行周期为 D．地球的密度为 2．北斗系统由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球同步轨道卫星的轨道半径是地球半径的k倍，下列说法正确的是（　　） A．地球同步轨道卫星的轨道平面一定与地球赤道平面共面 B．地球同步轨道卫星的线速度是地球第一宇宙速度的k倍 C．考虑地球自转，地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 D．考虑地球自转，地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 3．如图所示，“羲和号”是我国首颗可24小时全天候对太阳进行观测的试验卫星，该卫星绕地球可视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈（n＞1）。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星运行的（　　） A．向心加速度大于地球静止卫星 B．角速度小于地球静止卫星 C．线速度大于第一宇宙速度 D．轨道距地面高度为 4．北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以一箭十四星发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星等14颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道并开展工作。已知齐鲁二号卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，每天恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面的重力加速度为g，则齐鲁二号卫星离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 5．2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入空间站天和核心舱，如图所示，正式开启6个月的太空之旅。已知天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，其轨道距离地面高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。若科研任务圆满完成后，三名宇航员搭乘返回舱返回地球表面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．天和核心舱在轨运行时的向心加速度大小为 B．天和核心舱匀速圆周运动的周期为 C．返回舱脱离空间站，开始返回时，需要点火减速，向后喷出炙热气体 D．返回舱进入大气层返回地球表面的过程中，空气阻力做负功，动能逐渐减小 6．（多选）北京时间2024年11月25日7时39分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将四维高景二号03、04星发射升空，卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，引力常量为G，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动的加速度大小为 C．四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为 D．四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动的角速度大小为 7．（多选）2025年8月8日，中国载人航天工程办公室宣布，“天宫”空间站正式进入应用与发展阶段的常态化商业运营模式。已知“天宫”空间站运行轨道距地面的高度为地球半径的倍，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．宇航员在空间站所受重力为在地面上所受重力的倍 B．空间站绕地球运动的线速度大小为 C．空间站绕地球运动的周期为 D．空间站绕地球运动的向心加速度大小为 题型3 天体中的追及相遇问题 【例题精讲】 1．如图所示，a、b两颗卫星均沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，a、b两卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为2：3，若卫星a做圆周运动的周期为T0，则a、b两卫星相邻两次距离最近的时间间隔为（　　） A． B． C． D． 2．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。则火星相邻两次冲日的时间间隔约为（　　） 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．4年 B．3年 C．2年 D．1年 3．若空间站A与某近地卫星B（轨道高度小于空间站）在同一平面内的不同轨道绕地球同向运动，且空间站A可以向卫星B发射电磁波信号，以监测卫星B的运动情况。测得空间站A连续监测卫星B的最大时间为t0，存在“盲区”（信号被地球遮挡）的最大时间为2t0，空间站A和近地卫星B的运动均可视为匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．A和B的线速度大小之比为1：2 B．A和B的角速度大小之比为1：4 C．A的运行周期为 D．若某一时刻A和B相距最近，则再经二者相距最远 4．如图1所示，观测者P位于赤道上，甲、乙为两颗在赤道平面内运行的人造卫星，均可视为做匀速圆周运动。甲的运动方向与地球自转方向相反，乙为地球同步卫星，初始时刻三者在同一条直线上，甲与P的距离x随时间t变化的图像如图2所示，已知甲、乙的周期分别为T1、T2，R为已知量。下列说法正确的是（　　） A．地球半径为3R B．地球上的重力加速度为 C．经过时间，两卫星再次相距最近 D．经过时间，两卫星相距最远 5．如图所示，A、B为赤道上空绕地球做匀速圆周运动的卫星。卫星A距地心的距离为2R，周期为T；卫星B距地心的距离为。如果没有地球的遮挡，两卫星之间可以通过无线电直接通讯。已知两卫星的运行方向和地球自转方向相同，地球的半径为R。关于两卫星，下列说法正确的是（　　） A．卫星B的周期为 B．卫星A的机械能大于卫星B的机械能 C．卫星B的运行速度可能小于卫星A的运行速度 D．当两卫星之间的距离为时，它们恰好能直接通讯 6．（多选）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当某行星恰好运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”；当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各行星绕太阳运动的轨道半径如表所示（AU为天文单位），已知2024年木星冲日时间在11月2日。 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 根据题中信息，下列说法正确的是（　　） A．会发生金星冲日现象 B．火星公转的运行速率小于地球的运行速率 C．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长 D．下一次木星冲日约在2026年1月 7．（多选）某卫星绕地球运动的示意图如图，卫星运动周期为地球自转周期T的，卫星运行轨道与赤道平面存在一定夹角，某时刻卫星恰好经过赤道上P点的正上方。已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，卫星的运动视作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．卫星的加速度是P点加速度的倍 B．卫星下一次经过P点正上方时，卫星转过的角度为20π C．卫星转过的角度为5π时，卫星与P点距离最远 D．卫星与P点的最远距离为 课时精练 1．“嫦娥七号”探测器计划于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器在离月球表面高度等于月球半径的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常数为G，地球和月球质量之比约为81：1，半径之比约为4：1。下列说法正确的是（　　） A．根据题中所给的信息可求出月球的质量 B．探测器在地球上的发射速度要大于11.2km/s C．探测器在月球表面运动周期为 D．月球表面与地球表面的重力加速度之比为2：9 2．2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道；5月8日，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行；设嫦娥六号探测器在环月轨道上做圆周运动，绕行周期为T，嫦娥六号探测器的质量为m1，月球的质量为m2、半径为R，引力常量为G，忽略其他天体的影响。下列说法正确的是（　　） A．嫦娥六号探测器的环月轨道离月球的高度为 B．月球平均密度表达式为 C．月球表面重力加速度的表达式为 D．月球的第一宇宙速度表达式为 3．“祝融号”是我国首个火星探测器，这一成就为我们人类登陆火星迈出了重要一步。假想某一天宇航员成功登上火星，他们利用位移传感器和小球进行竖直上抛实验，记录下小球运动的位移x与时间t的关系图像如图所示。已知地球的半径约为火星半径的2倍，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，地球表面的重力加速度g取10m/s2，忽略火星的自转及表面的空气阻力，。则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为4m/s B．火星表面的重力加速度为2m/s2 C．火星的第一宇宙速度约为17.4km/s D．火星的密度约为地球密度的 4．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度可以小于7.9km/s B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 D．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 5．某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（　　） A．B与A的绕行周期之比为 B．rB的最大值与rB的最小值之比为2：1 C．rB的最小值与rA的最小值之比为2：3 D．卫星A与卫星B的质量之比为32：81 6．我国提出的天琴空间引力波探测计划进入“太空试验”阶段，该计划将部署3颗环绕地球运行的卫星SC1、SC2、SC3构成边长约为17万千米的等边三角形编队，在太空中建成一个引力波天文台。如图所示，地球位于等边三角形的中心。已知地球同步卫星距离地面约3.6万千米，只考虑卫星与地球之间的相互作用，下列说法中正确的是（　　） A．三颗卫星的机械能一定相等 B．SC3卫星轨道只能在赤道面内 C．SC2卫星的速度小于第一宇宙速度 D．SCl卫星的周期小于同步卫星的周期 7．北京时间2024年12月3日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征三号”乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十三号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设通信技术试验卫星十三号、同步卫星围绕地球均做匀速圆周运动，通信技术试验卫星十三号运行的周期为T1、轨道半径为r1，同步卫星运行的周期为T2，且T1＜T2，地球半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．它们的运行速度均大于7.9km/s B．同步卫星的轨道半径为r1（ C．由题目条件可知地球的平均密度为 D．某时刻通信技术试验卫星十三号、同步卫星在轨道上相距最远，再经过时间，它们再次相距最远 8．华为mate60实现了手机卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，就可以实现通话。如图所示，三颗赤道上空的通信卫星就能实现环赤道全球通信，已知三颗卫星离地高度均为h，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．三颗通信卫星受到地球的万有引力的大小相等 B．三颗通信卫星的线速度比地球的第一宇宙速度大 C．要能实现全球通信，卫星离地高度至少为h＝2R D．其中一颗质量为m的通信卫星的动能为 9．（多选）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的，地球同步卫星位于地面上方高度约36000km处。下列说法正确的是（　　） A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍 B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/s C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24h D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小 10．（多选）2025年5月14日，我国成功发射全球首个太空计算卫星星座，开创了人类将超级计算能力部署至太空的新纪元。该卫星星座中的某颗卫星绕地球做匀速圆周运动，距离地面高度约500km，运行周期约95min。下列说法正确的是（　　） A．该卫星运行的轨道半径小于地球同步卫星运行的轨道半径 B．该卫星绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s C．该卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．若已知地球半径和引力常量，结合题干信息，则可估算出地球的质量 11．（多选）“黑洞”是近代引力理论所预言的宇宙中的一种特殊天体，研究认为，黑洞可能是由于超中子星发生塌缩而形成的．欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞并将它命名为：MCG6﹣30﹣15r，假设银河系中心仅此一个黑洞．已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪一组数据可以估算出该黑洞的质量 （　　） A．太阳的质量和运行速度 B．太阳绕黑洞公转的周期和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离 C．太阳质量和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离 D．太阳绕黑洞公转的运行速度和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离 12．地球对其周围的物体产生的万有引力是通过地球周围的引力场产生的，物体在引力场中具有的势能我们称为引力势能。一卫星在半径为r的轨道上做匀速圆周运动。已知在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的人造地球卫星引力势能的表达式，离地心无穷远处引力势能为0，其中M为地球的质量，m为卫星的质量，G为引力常量。 （1）求该卫星的动能和机械能； （2）由于地球自转的影响，在地球表面不同的地方，物体的重量会随纬度的变化而有所不同。将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。用弹簧秤称量一个相对于地面静止的质量为m的小物体的重量，设在地球南极地面称量时弹簧秤的读数是F1；在赤道地面称量时弹簧秤的读数是F2，求在赤道地面，小物体随地球自转的向心加速度； （3）已知在地球表面附近，对于质量为m的物体离开地面高度为h时，若规定地球表面为重力势能零点，物体重力势能的表达式E0＝mgh（g为重力加速度），这个表达式虽然与题干中引力势能的表达式在形式上有很大的差别，但二者本质相同，试证明在忽略地球自转的情况下，当h远小于地球半径R时，重力势能和引力势能的表达式是一致的。 13．如图为神舟十五号的发射与交会对接过程示意图，图中Ⅰ为近地圆轨道，其轨道半径可认为等于地球半径R，Ⅱ为椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱所在轨道，其轨道半径为nR，P、Q分别为轨道Ⅱ与Ⅰ、Ⅲ轨道的交会点。已知神舟十五号的质量为m，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。神舟十五号距地心为r时，其引力势能表达式为（式中M为地球质量，G为引力常量）。求： （1）地球质量M； （2）神舟十五号在轨道Ⅱ运动时的周期； （3）要使神舟十五号从轨道Ⅰ迁移到轨道Ⅲ，所要提供的最小能量。 14．质量为m的行星绕质量为M的太阳的轨迹为椭圆，椭圆的半长轴为a，太阳在椭圆左焦点上，近日点A到太阳的距离为rAa，A点的速度为vA。已知行星和太阳的距离为r处引力势能为Ep＝﹣G，G为引力常量，行星绕太阳运动过程中机械能守恒。 （1）求行星在远日点B点的加速度大小。 （2）求行星在椭圆轨道半短轴顶点C的速率； （3）以行星的动能Ek为纵坐标，以与其到太阳的距离的倒数为横坐标，画出行星运动过程中的Ek图像，并通过计算标出A、B处的坐标值。 15．“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月10日19时52分我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，距离火星表面高度为h，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： （1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v。 （2）火星的质量M。 （3）在火星上发射卫星的第一宇宙速度v1。 （4）火星表面的重力加速度g的大小。 16．2004年起中国正式开展月球探测工程，嫦娥工程分为无人月球探测、载人登月和建立月球基地三个阶段。我国已先后成功实施六次月球探测任务，计划在2030年前实现首次登陆月球。如图，假设登陆月球后，宇航员将长为L的轻绳上端悬于P点，下端拴一个可视为质点的小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，测出小球做匀速圆周运动的周期为T。已知月球的半径为R，忽略月球自转，万有引力常量为G。求： （1）月球的质量M； （2）月球的第一宇宙速度v。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.1 宇宙航行 【基础回顾】 一、卫星运行参量的分析 1.卫星的轨道 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道. 2.卫星运行参量间的关系 将天体或卫星的运动看成　匀速圆周　运动，其所需向心力由　万有引力　提供.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr＝m·4π2n2r可得： ⇒当r增大时越高越慢 3.极地卫星和近地卫星 极地卫星 运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖 近地卫星 在地表附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为　等于　地球的半径，其运行速度约为7.9km/s（人造地球卫星的最大圆轨道运行速度）.近地卫星公转周期的理论值约为85min，天宫空间站的公转周期约为90min，轨道比近地卫星略高 联系 两种卫星的轨道平面一定通过地球的　地心　.近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星 4.地球同步卫星 特点 理解 轨道平面一定 轨道平面与　赤道　平面共面 周期一定 与地球　自转　周期相同，即T＝24h 角速度一定 与地球自转的角速度　相同　 高度一定 由G＝m（R＋h）得地球同步卫星离地面的高度h＝　－R　（离地高度h≈3.6×104km≈5.6R） 速率一定 运行速率v＝　　 向心加速度一定 由G＝ma，得a＝　 绕行方向一定 绕行方向与地球自转方向　相同 二、宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度） v1＝　7.9　km/s，是人造卫星的最小　发射　速度，也是人造卫星的最大　环绕　速度 第二宇宙速度 （逃逸速度） v2＝　11.2　km/s，是物体挣脱　地球　引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 （脱离速度） v3＝　16.7　km/s，是物体挣脱　太阳　引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的计算方法 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量M＝5.98×1024kg，地球半径R＝6400km，g＝9.8m/s2. 方法一：由G＝m，得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s. 方法二：由mg＝m得v1＝＝m/s＝7.9×103m/s，运行周期Tmin＝2π＝2×3.14×s＝5075s＝85min. 三、天体的追及和相遇问题 “天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的. 状态 图示 关系（同向） 最近 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝n（n＝1、2、3、…） 最远 （1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、…） （2）圈数关系：－＝（n＝1、2、3、…） 【必备知识】 一、近地卫星、同步卫星与地球赤道上的物体的联系与区别 项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上的物体 图示 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r同＞r物＝r近 角速度 由＝mrω2得ω＝，故ω近＞ω同 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω同＝ω物 ω近＞ω同＝ω物 线速度 由＝得v＝，故v近＞v同 由v＝rω得v同＞v物 v近＞v同＞v物 向心加 速度 由＝ma得a＝，故a近＞a同 由a＝rω2得a同＞a物 a近＞a同＞a物 【巩固强化】 题型1 宇宙速度 【例题精讲】 1．关于地球的第一宇宙速度，下列说法正确的是（　　） A．它是人造卫星绕地球做圆周运动的最小速度 B．它是能成为人造卫星的最大发射速度 C．它的大小是7.9km/s D．它的大小是11.2km/s 【答案】C 【解析】解：地球第一宇宙速度是人造卫星绕地球做圆周运动的最大速度，同时也是人造卫星的最小发射速度，其数值约为7.9km/s；而11.2km/s是第二宇宙速度，并非第一宇宙速度。故ABD错误，C正确。 故选：C。 2．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星。中子星的半径较小，一般在7～20km，但它的密度大得惊人。若某中子星的半径为10km，密度为1.2×1017kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为（　　） A．7.9km/s B．16.7km/s C．2.9×104km/s D．5.8×104km/s 【答案】D 【解析】解：星球的第一宇宙速度为该星球表面轨道处卫星绕星球做匀速圆周运动的线速度，根据万有引力提供向心力有，可得该中子星的第一宇宙速度为，解得v≈5.8×104km/s，故ABC错误，D正确。 故选：D。 3．中国航天科技逐梦星辰，从载人飞天到探火问月，续写强国航天新辉煌。2023年10月，“神舟十七号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空后与在轨的“天宫”空间站核心舱对接，为之后空间科学实验和技术试验提供更多条件。已知“天宫”空间站在轨高度约为400km，下列说法正确的是（　　） A．空间站绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s B．空间站绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度 C．空间站绕地球运动的周期等于地球同步卫星的周期 D．“神舟十七号”飞船的发射速度一定大于地球的第二宇宙速度 【答案】B 【解析】解：A、7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星环绕的最大速度，所以空间站绕地球做圆周运动的速度小于7.9km/s，故A错误； B、根据牛顿第二定律可得ma， 解得a，天和空间站的轨道半径大于地球的半径，加速度小于地球表面的重力加速度，故B正确； C、根据万有引力提供向心力有得mr， 解得：T＝2π，可知空间站的周期小于地球同步卫星的周期，故C错误； D、第二宇宙速度为卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，根据地球宇宙速度的定义，可知“神舟十七号”飞船的发射速度必须大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故D错误。 故选：B。 4．Gliese﹣12b行星被称为距离地球最近的“类地球行星”，该行星半径与地球相当，质量约为地球的4倍。已知地球的第一宇宙速度为7.9km/s，则在Gliese﹣12b行星上发射一颗卫星需要的最小发射速度约为（　　） A．3.95km/s B．11.17km/s C．15.8km/s D．31.6km/s 【答案】C 【解析】解：设星球半径为R，根据万有引力提供向心力 可得速度 即第一宇宙速度为 则地球的第一宇宙速度 Gliese﹣12b的质量M′＝4M地，半径 R′≈R地，代入公式得 故C正确，ABD错误。 故选：C。 5．2025年9月5日，中国深空探测实验室宣布，我国正规划在1000万公里以外实施“小行星动能撞击验证”任务，本次任务撞击目标预计为阿登型近地小行星2015XF261。有观察认为，该小行星直径约为170米，轨道半长轴约为1.1天文单位，即为地球到太阳平均距离的1.1倍，轨道平面与地球轨道平面近似共面，两者转动方向相同。若将该小行星轨道与地球轨道都近似看成圆轨道，则由以上信息判断，下列说法正确的是（　　） A．小行星2015XF261公转周期约为1.5年 B．小行星2015XF261大约每7.5年接近地球一次 C．到达小行星的航天器发射速度应大于7.9km/s而小于11.2km/s D．根据该小行星的轨道周期与半径，万有引力常量，可计算出小行星的质量 【答案】B 【解析】解：A．根据开普勒第三定律，，代入数据解得小行星2015XF261公转周期约为1.154年，故A错误； B．设小行每隔t时间接近地球一次，根据（）t＝2π，解得t≈7.5年，即小行星2015XF261大约每7.5年接近地球一次，故B正确； C．到达小行星的航天器需要脱离地球的吸引，根据第二宇宙速度的知识可知，发射速度应大于11.2km/s而小于16.7km/s，故C错误； D．根据该小行星的轨道周期与半径，万有引力常量，结合，只可计算出太阳的质量，故D错误。 故选：B。 6．（多选）如图甲，中国著名科幻作家刘慈欣在其作品《人间大炮》中描绘了通过“地心隧道”连通地球两端进行轨道运输的设想（直隧道穿过地心，其直径相对地球半径可忽略不计），若将地球视为匀质球体且不考虑地球自转，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，引力常量为G，在隧道内物体所受引力F引与其质量m的比值随r（r为物体与地心的距离，从零至无穷远）变化的图像如图乙所示，P点的坐标为（a，b），下列说法正确的是（　　） A．地表的重力加速度大小为ab B．r＝x时，物体所在位置的重力加速度大小为 C．地球的第一宇宙速度为 D．地球的密度为 【答案】BD 【解析】A．由题可知，在地球内部与距离r成正比，；在地球外部 ，，与r2成反比；结合图乙，可知P点对应地表位置，a为地球半径R，此时g，所以地表g＝b，故A错误； B．不考虑地球自转且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则地球内部 mg′＝ ，可知 ，则，故B正确； C．地球的第一宇宙速度 ，故C错误； D．根据黄金代换 GM＝gR2 可得，解得，故D正确。 故选：BD。 7．（多选）“格利泽581g”是太阳系外的一颗行星，由于该行星的温度可维持表面存在液态水，科学家推测这或将成为第一颗被发现的类似地球的星球，遗憾的是一直到现在科学家对该行星的研究仍未有突破性的进展。这颗行星距离地球约20亿光年（189.21万亿公里），公转周期约为37年，半径大约是地球的2倍，其星球表面的重力加速度可认为与地球几乎相等。则下列说法正确的是（　　） A．“格利泽581g”星的第一宇宙速度等于7.9 km/s B．该行星的平均密度约是地球平均密度的 C．该行星的质量约为地球质量的8倍 D．在地球上发射航天器前往“格利泽 581 g”星，其发射速度至少要达到 16.7km/s 【答案】BD 【解析】解：A、物体在星球表面飞行时满足，解得：。已知地球第一宇宙速度为7.9km/s，行星与地球的第一宇宙速度之比为，故飞船在Gliese581g表面附近运行的速度为7.9km/s，故A错误； B、由万有引力定律得星球质量，结合密度公式解得：。可见密度与半径成反比，因行星与地球半径比为2：1，故密度比为1：2，故B正确； C、由知星球质量与半径平方成正比，故行星与地球质量比为4：1，故C错误； D、该行星位于太阳系外，航天器发射速度需达到第三宇宙速度16.7km/s，故D正确。 故选：BD。 题型2 人造卫星 【例题精讲】 1．北京时间2025年2月27日15时08分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，一箭双星，成功将四维高景一号03、04星发射升空。假如04星在离地高度为h处，绕地球做匀速圆周运动，与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为S0，已知地球半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．04星的发射速度大于第二宇宙速度 B．04星在圆轨道上的运行速率大于第一宇宙速度 C．04星的运行周期为 D．地球的密度为 【答案】D 【解析】解：A、该卫星绕地球转动，所以发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，故A错误； B、第一宇宙速度等于地球表面轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，所以卫星在圆轨道上的运行速率小于等于第一宇宙速度，故B错误； C、由题知，04星与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为S0，S0，其中Δt＝1s，ω， 解得04星的运行周期为，故C错误； D、根据万有引力提供向心力得， 解得， 地球的密度为，故D正确。 故选：D。 2．北斗系统由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星等组成。将地球看成质量均匀的球体，若地球同步轨道卫星的轨道半径是地球半径的k倍，下列说法正确的是（　　） A．地球同步轨道卫星的轨道平面一定与地球赤道平面共面 B．地球同步轨道卫星的线速度是地球第一宇宙速度的k倍 C．考虑地球自转，地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 D．考虑地球自转，地球赤道重力加速度大小与北极的重力加速度大小之比为 【答案】D 【解析】解：A、倾斜地球同步轨道卫星周期仍然是24小时，但轨道与赤道平面有夹角，所以地球倾斜同步轨道卫星轨道平面不是与赤道平面共面，故A错误； B、根据万有引力提供向心力得， 第一宇宙速度是近地轨道的环绕速度，对应轨道半径近似等于地球半径R，计算为， 同步卫星轨道半径为kR，其线速度为， 即同步卫星线速度是第一宇宙速度的 倍，故B错误； CD、根据北极处万有引力等于重力得北极的重力加速度 ， 赤道处物体受地球自转影响，mg′+mω2R，有效重力加速度为， 同步卫星角速度ω满足， 即， 代入得赤道向心加速度 ， 因此赤道有效重力加速度 ，与北极的比值为 。故C错误，D正确。 故选：D。 3．如图所示，“羲和号”是我国首颗可24小时全天候对太阳进行观测的试验卫星，该卫星绕地球可视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈（n＞1）。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星运行的（　　） A．向心加速度大于地球静止卫星 B．角速度小于地球静止卫星 C．线速度大于第一宇宙速度 D．轨道距地面高度为 【答案】A 【解析】解：AB、卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈（n＞1），所以“羲和号”卫星的周期为，小于地球静止卫星的周期，所以“羲和号”卫星的轨道半径小于地球静止卫星的轨道半径， 根据牛顿第二定律得，a，所以“羲和号”卫星向心加速度大于地球静止卫星的向心加速度， 根据角速度与周期的关系式，所以“羲和号”卫星角速度大于地球静止卫星的角速度，故A正确，B错误； C、第一宇宙速度又叫最大环绕速度，也是近地人造卫星的线速度，所以“羲和号”卫星的线速度一定小于第一宇宙速度，故C错误； D、设“羲和号”卫星距离地面高度为h，根据万有引力提供向心力得， 又根据地面上物体万有引力等于重力得， 联立解得，故D错误。 故选：A。 4．北京时间2023年1月15日11时14分，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以一箭十四星发射方式，成功将齐鲁二号/三号卫星及珞珈三号01星等14颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道并开展工作。已知齐鲁二号卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，每天恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面的重力加速度为g，则齐鲁二号卫星离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：已知齐鲁二号卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，每天恰好绕地球运行n圈，地球自转周期为T，所以卫星的周期为， 根据万有引力提供向心力得， 在地球表面，根据万有引力等于重力有， 联立解得，所以卫星离地高度，故A正确，BCD错误。 故选：A。 5．2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入空间站天和核心舱，如图所示，正式开启6个月的太空之旅。已知天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，其轨道距离地面高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。若科研任务圆满完成后，三名宇航员搭乘返回舱返回地球表面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．天和核心舱在轨运行时的向心加速度大小为 B．天和核心舱匀速圆周运动的周期为 C．返回舱脱离空间站，开始返回时，需要点火减速，向后喷出炙热气体 D．返回舱进入大气层返回地球表面的过程中，空气阻力做负功，动能逐渐减小 【答案】B 【解析】解：A．根据万有引力表达式结合牛顿第二定律有 解得天和核心舱在轨运行时的向心加速度大小为 故A错误； B．根据万有引力定律提供向心力有： 解得天和核心舱匀速圆周运动的周期为： 故B正确； C．返回舱脱离空间站，开始返回时，需要点火减速，利用反冲原理结合动量定理，应向前喷出炙热气体，故C错误； D．返回舱进入大气层返回地球表面的过程中，空气阻力做负功，但先加速下降后打开降落伞减速下降，故动能先增大后减小，故D错误。 故选：B。 6．（多选）北京时间2024年11月25日7时39分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将四维高景二号03、04星发射升空，卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，引力常量为G，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动的加速度大小为 C．四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为 D．四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动的角速度大小为 【答案】BD 【解析】解：A、根据在地球表面物体受到的万有引力等于重力得， 解得，故A错误； B、四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有， 结合上述解得，故B正确； C、四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有， 结合上述解得，故C错误； D、四维高景二号03星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有， 结合上述解得，故D正确。 故选：BD。 7．（多选）2025年8月8日，中国载人航天工程办公室宣布，“天宫”空间站正式进入应用与发展阶段的常态化商业运营模式。已知“天宫”空间站运行轨道距地面的高度为地球半径的倍，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．宇航员在空间站所受重力为在地面上所受重力的倍 B．空间站绕地球运动的线速度大小为 C．空间站绕地球运动的周期为 D．空间站绕地球运动的向心加速度大小为 【答案】ABD 【解析】解：A.忽略地球自转的影响，万有引力等于重力有，宇航员在空间站的万有引力与地面上万有引力大小之比为 ，故A正确； B.根据，又由黄金代换式mg，联立可得空间站绕地球运动的线速度v，故B正确； C.根据m，又由黄金代换式mg，则周期T，故C错误； D.根据ma，又由黄金代换式mg，得空间站绕地球运动的向心加速度大小为a，故D正确。 故选：ABD。 题型3 天体中的追及相遇问题 【例题精讲】 1．如图所示，a、b两颗卫星均沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，a、b两卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为2：3，若卫星a做圆周运动的周期为T0，则a、b两卫星相邻两次距离最近的时间间隔为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设卫星做圆周运动的半径为r，由万有引力提供向心力可得 解得 则单位时间内卫星与地心连线扫过的面积为S0 a、b两卫星与地心连线在相等时间内扫过的面积之比为2：3，则a、b两卫星的半径之比为ra：rb＝4：9 则有Tb 设a、b两卫星相邻两次距离最近的时间间隔为t，则或者根据 解得t 故ABC错误，D正确。 故选：D。 2．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。则火星相邻两次冲日的时间间隔约为（　　） 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．4年 B．3年 C．2年 D．1年 【答案】C 【解析】解：根据开普勒第三定律，地球的公转半径R地＝1.0AU，公转周期T地＝1年。 由题表可知火星轨道半径R火＝1.5AU，则火星公转周期，解得：年。 行星冲日即地球与火星在轨道上相遇（共线），相邻两次冲日的时间间隔t满足相遇条件：地球比火星多转一圈。 根据公式，化简得。 解得：，代入数据，解得：t≈2.2年。 对比选项，最接近的时间间隔为2年，故ABD错误，C正确。 故选：C。 3．若空间站A与某近地卫星B（轨道高度小于空间站）在同一平面内的不同轨道绕地球同向运动，且空间站A可以向卫星B发射电磁波信号，以监测卫星B的运动情况。测得空间站A连续监测卫星B的最大时间为t0，存在“盲区”（信号被地球遮挡）的最大时间为2t0，空间站A和近地卫星B的运动均可视为匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．A和B的线速度大小之比为1：2 B．A和B的角速度大小之比为1：4 C．A的运行周期为 D．若某一时刻A和B相距最近，则再经二者相距最远 【答案】C 【解析】解：AB．设近地卫星轨道半径近似等于地球半径，如图所示： 监测时间t0与盲区时间2t0的比例为1：2，说明A、B的角速度差满足 解得圆心角 结合几何关系可得rA＝2rB。 根据万有引力提供向心力有，可得线速度，角速度，所以A、B的线速度大小之比，A、B的角速度大小之比，故AB错误。 C．A、B的相对角速度，结合，联立解得， 则A的运行周期为，故C正确。 D．从最近到最远需相对转过角度π，则时间，故D错误。 故选：C。 4．如图1所示，观测者P位于赤道上，甲、乙为两颗在赤道平面内运行的人造卫星，均可视为做匀速圆周运动。甲的运动方向与地球自转方向相反，乙为地球同步卫星，初始时刻三者在同一条直线上，甲与P的距离x随时间t变化的图像如图2所示，已知甲、乙的周期分别为T1、T2，R为已知量。下列说法正确的是（　　） A．地球半径为3R B．地球上的重力加速度为 C．经过时间，两卫星再次相距最近 D．经过时间，两卫星相距最远 【答案】C 【解析】解：A．设地球半径为R0，甲卫星轨道半径为r，甲、P间距最大时有r+R0＝11R，甲、P间距最小时有r﹣R0＝9R，解得r＝10R，R0＝R，故A错误。 B．乙是地球同步卫星，根据万有引力提供向心力有，可得；在地球表面，根据万有引力近似等于重力有，解得，故B错误。 C．甲的运动方向与地球自转方向相反，乙的运动方向与地球自转方向相同，所以甲、乙的运动方向相反。二者的角速度分别为，，两卫星再次相距最近时，甲比乙多转一圈，角速度关系满足（ω1+ω2）t＝2π，解得，故C正确。 D．两卫星相距最远时，甲、乙相对转动半圈的奇数倍，即（ω1+ω2）t＝（2n+1）π（n＝1，2，3，…），可得，故D错误。 故选：C。 5．如图所示，A、B为赤道上空绕地球做匀速圆周运动的卫星。卫星A距地心的距离为2R，周期为T；卫星B距地心的距离为。如果没有地球的遮挡，两卫星之间可以通过无线电直接通讯。已知两卫星的运行方向和地球自转方向相同，地球的半径为R。关于两卫星，下列说法正确的是（　　） A．卫星B的周期为 B．卫星A的机械能大于卫星B的机械能 C．卫星B的运行速度可能小于卫星A的运行速度 D．当两卫星之间的距离为时，它们恰好能直接通讯 【答案】D 【解析】解：A．根据开普勒第三定律，有，代入rB，解得卫星B的周期为TBT，故A错误； B．因为不知道两卫星的质量关系，故不能判断卫星A和卫星B的机械能大小关系，故B错误； C．根据，卫星B的轨道半径更小，可知卫星B的运行速度大于卫星A的运行速度，故C错误； D．如图 当两卫星沿逆时针方向运动在如果所示位置时，便可以直接通讯，满足OM2＝OP2+MP2，ON2＝OP2+PN2，其中OP＝R，OM，ON＝2R，MN＝MP+PN，代入数据解得MN，故D正确。 故选：D。 6．（多选）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当某行星恰好运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”；当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各行星绕太阳运动的轨道半径如表所示（AU为天文单位），已知2024年木星冲日时间在11月2日。 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 根据题中信息，下列说法正确的是（　　） A．会发生金星冲日现象 B．火星公转的运行速率小于地球的运行速率 C．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长 D．下一次木星冲日约在2026年1月 【答案】BD 【解析】解：A、行星处在太阳与地球之间，三者排列成一条直线时会发生凌日现象，由此可知，只有位于地球和太阳之间的行星水星和金星才能发生凌日现象；地球在绕日运行过程中处在太阳与行星之间，三者排列成一条直线时会发生冲日现象，所以只有位于地球公转轨道之外的行星才会发生冲日现象，可知金星会发生凌日现象，木星会发生冲日现象，故A错误； B、对任一行星，由万有引力提供向心力得 解得v，可知，则火星的运行速率小于地球的运行速率，故B正确； C、由开普勒第三定律k，可知地球及地外行星中，地球的公转周期T最小，海王星的公转周期最大。设地球外另一行星的周期为T′，则两次冲日时间间隔为t，则 解得 则公转周期T′越大，相邻两次冲日的时间间隔t越短，故地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，故C错误； D、对木星因，其中T＝1年，代入，可得t≈1.1年，所以下一次木星冲日约在2026年1月，故D正确。 故选：BD。 7．（多选）某卫星绕地球运动的示意图如图，卫星运动周期为地球自转周期T的，卫星运行轨道与赤道平面存在一定夹角，某时刻卫星恰好经过赤道上P点的正上方。已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，卫星的运动视作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．卫星的加速度是P点加速度的倍 B．卫星下一次经过P点正上方时，卫星转过的角度为20π C．卫星转过的角度为5π时，卫星与P点距离最远 D．卫星与P点的最远距离为 【答案】CD 【解析】解：A、设卫星的高度为h，卫星运动周期为T1T 则卫星的向心加速度大小：a1＝（R+h） 位于P点处物体的向心加速度大小：a2＝R• 则： 对卫星，根据万有引力提供向心力可得：m（R+h） 解得：hR 联立解得：，故A错误； B、卫星下一次经过P点正上方时，设卫星转了k圈，P点转了n圈（k、n为正整数），则有nTTk 解得k＝5，n＝2则卫星转过的角度为：θ＝5×2π＝10π，故B错误； C、根据，可得卫星的角速度和P点的角速度之比为ω1：ω＝5：2，则卫星转过的角度为5π时，即2圈半，P点刚好转过一圈，此时卫星与P点距离最远，故C正确； D、卫星与P点的最远距离为：Δh＝h+R+RR，故D正确。 故选：CD。 课时精练 1．“嫦娥七号”探测器计划于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器在离月球表面高度等于月球半径的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常数为G，地球和月球质量之比约为81：1，半径之比约为4：1。下列说法正确的是（　　） A．根据题中所给的信息可求出月球的质量 B．探测器在地球上的发射速度要大于11.2km/s C．探测器在月球表面运动周期为 D．月球表面与地球表面的重力加速度之比为2：9 【答案】C 【解析】解：A、探测器在离月球表面高度等于月球半径的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，探测器轨道半径r＝2R月，由万有引力提供向心力得， 解得，因R月未知，所以无法直接求出M月，故A错误； B、11.2km/s为地球第二宇宙速度（脱离地球引力），探测器在月球轨道仍受到地球引力，实际发射速度小于11.2km/s，故B错误； C、原轨道半径r＝2R月，周期为T，月球表面轨道半径r'＝R月， 由开普勒第三定律得， 解得，故C正确； D、在星球表面，根据万有引力等于重力得， 解得重力加速度， 月球表面与地球表面的重力加速度之比为，故D错误。 故选：C。 2．2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道；5月8日，成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行；设嫦娥六号探测器在环月轨道上做圆周运动，绕行周期为T，嫦娥六号探测器的质量为m1，月球的质量为m2、半径为R，引力常量为G，忽略其他天体的影响。下列说法正确的是（　　） A．嫦娥六号探测器的环月轨道离月球的高度为 B．月球平均密度表达式为 C．月球表面重力加速度的表达式为 D．月球的第一宇宙速度表达式为 【答案】C 【解析】解：A．由万有引力提供向心力得 解得轨道半径 高度 故A错误； B．对月球，由密度公式可得：M＝ρ•πR3 则月球平均密度 结合轨道半径公式 可得 故B错误； C．月球表面重力加速度由 解得 故C正确； D．根据 第一宇宙速度公式为 故D错误。 故选：C。 3．“祝融号”是我国首个火星探测器，这一成就为我们人类登陆火星迈出了重要一步。假想某一天宇航员成功登上火星，他们利用位移传感器和小球进行竖直上抛实验，记录下小球运动的位移x与时间t的关系图像如图所示。已知地球的半径约为火星半径的2倍，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，地球表面的重力加速度g取10m/s2，忽略火星的自转及表面的空气阻力，。则下列说法正确的是（　　） A．小球的初速度为4m/s B．火星表面的重力加速度为2m/s2 C．火星的第一宇宙速度约为17.4km/s D．火星的密度约为地球密度的 【答案】D 【解析】解：AB、小球竖直上抛最高点的位移为xmax＝0.5m，时间为t＝0.5s，根据 可得火星表面的重力加速度为 小球的初速度为 v0＝g火t＝4×0.5m/s＝2m/s 故AB错误； C、根据 可得第一宇宙速度的表达式为 可得第一宇宙速度之比为 2.2 地球的第一宇宙速度为7.9km/s，可得火星的第一宇宙速度约为3.6km/s，故C错误； D、根据黄金代换 又 可知星球密度为 火星与地球密度比为 故D正确。 故选：D。 4．“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度可以小于7.9km/s B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 D．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 【答案】D 【解析】解：A、7.9km/s是近地卫星的环绕速度，也是从地球发射航天器的最小发射速度。“天问一号”从地球发射后绕太阳运动，发射速度应小于第三宇宙速度16.7km/s，大于第二宇宙速度11.2km/s，故A错误； B、地火转移椭圆轨道的半长轴大于地球轨道的半径，根据开普勒第三定律可知，“天问一号”沿地火转移轨道运动的周期大于沿地球轨道运动的周期（1年），“天问一号”从P点转移到Q点的时间为半个周期，大于6个月，故B错误； C、卫星从Q点变轨时，要增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由 得 可知火星轨道速度小于地球轨道速度，故卫星在Q点的速度小于地球轨道速度，故C错误； D、因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知，在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故D正确。 故选：D。 5．某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（　　） A．B与A的绕行周期之比为 B．rB的最大值与rB的最小值之比为2：1 C．rB的最小值与rA的最小值之比为2：3 D．卫星A与卫星B的质量之比为32：81 【答案】D 【解析】解：A．由图可知，A、B周期为TA＝t1，TB＝2t2 又因为，所以B与A绕行周期之比，故A错误； BCD、由图可知，当rB最小时 当rB最大时 当rA最小时 当rA最大时 根据开普勒第三定律得 联立，解得，，故BC错误，D正确。 故选：D。 6．我国提出的天琴空间引力波探测计划进入“太空试验”阶段，该计划将部署3颗环绕地球运行的卫星SC1、SC2、SC3构成边长约为17万千米的等边三角形编队，在太空中建成一个引力波天文台。如图所示，地球位于等边三角形的中心。已知地球同步卫星距离地面约3.6万千米，只考虑卫星与地球之间的相互作用，下列说法中正确的是（　　） A．三颗卫星的机械能一定相等 B．SC3卫星轨道只能在赤道面内 C．SC2卫星的速度小于第一宇宙速度 D．SCl卫星的周期小于同步卫星的周期 【答案】C 【解析】解：A、设等边三角形的边长为L，3颗环绕地球运行的卫星的轨道半径为r，由几何关系可得L＝2rcos30°，解得：，解得r≈10万千米。由万有引力提供向心力可得，解得：。由此可知，3颗环绕地球运行的卫星轨道半径相同，则速度大小相同。由于三颗卫星的质量关系不明确，因此三颗卫星的动能和万有引力势能关系不明确，三颗卫星的机械能不一定相等，故A错误； B、SC3卫星运行由地球的万有引力提供向心力，其轨道圆心在地心，因此SC3卫星轨道可以不在赤道平面，故B错误； C、SC2卫星的轨道半径大于地球近地卫星的轨道半径，由可知，SC2卫星的速度小于第一宇宙速度，故C正确； D、由地球的万有引力提供向心力可得，解得：。SC1卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，因此SC1卫星的周期大于同步卫星的周期，故D错误。 故选：C。 7．北京时间2024年12月3日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征三号”乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十三号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设通信技术试验卫星十三号、同步卫星围绕地球均做匀速圆周运动，通信技术试验卫星十三号运行的周期为T1、轨道半径为r1，同步卫星运行的周期为T2，且T1＜T2，地球半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．它们的运行速度均大于7.9km/s B．同步卫星的轨道半径为r1（ C．由题目条件可知地球的平均密度为 D．某时刻通信技术试验卫星十三号、同步卫星在轨道上相距最远，再经过时间，它们再次相距最远 【答案】C 【解析】解：A、第一宇宙速度（7.9km/s）等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度。由万有引力提供向心力有：m，解得：v，所以它们的运行速度均小于7.9km/s，故A错误； B、根据开普勒第三定律可得k，解得：r2＝r1（，故B错误； C、根据万有引力和重力的关系可得：mg 对通信技术试验卫星十三号，根据万有引力提供向心力，则有：mr1 根据密度计算公式可得：ρ，其中V 联立解得：ρ，故C正确； D、某时刻通信技术试验卫星十三号、同步卫星在轨道上相距最远，设再经过t时间再次相距最远，则有：tt＝2π 解得：t，故D错误。 故选：C。 8．华为mate60实现了手机卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，就可以实现通话。如图所示，三颗赤道上空的通信卫星就能实现环赤道全球通信，已知三颗卫星离地高度均为h，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．三颗通信卫星受到地球的万有引力的大小相等 B．三颗通信卫星的线速度比地球的第一宇宙速度大 C．要能实现全球通信，卫星离地高度至少为h＝2R D．其中一颗质量为m的通信卫星的动能为 【答案】D 【解析】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力的公式得， 由于三颗通信卫星质量大小未知，因此不能确定三颗卫星所受地球万有引力大小的关系，故A错误； B、地球的第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，所以三颗通信卫星的线速度比地球的第一宇宙速度小，故B错误； C、若要实现全球通信，则三颗卫星连线构成等边三角形并且三边与地球相切，此时这三颗卫星两两之间与地心连线的夹角为120°，每颗卫星与地心的连线和卫星与地表的切线以及地球与切点的连线恰好构成直角三角形，根据几何关系可知，此种情况下卫星到地心的距离为， 则卫星离地高度至少为h＝r﹣R＝R，故C错误； D、对质量为m的卫星，根据万有引力的公式得，黄金代换式有GM＝gR2， 根据卫星动能。 联立解得，故D正确。 故选：D。 9．（多选）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的，地球同步卫星位于地面上方高度约36000km处。下列说法正确的是（　　） A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍 B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/s C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24h D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小 【答案】AC 【解析】解：A、根据万有引力定律有 核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为 故A正确； B、核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，故B错误； C、根据万有引力提供向心力，有 得 可知轨道半径越大周期越大，则其周期比静止卫星的周期小，小于24h，故C正确； D、卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有 解得 则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，故D错误。 故选：AC。 10．（多选）2025年5月14日，我国成功发射全球首个太空计算卫星星座，开创了人类将超级计算能力部署至太空的新纪元。该卫星星座中的某颗卫星绕地球做匀速圆周运动，距离地面高度约500km，运行周期约95min。下列说法正确的是（　　） A．该卫星运行的轨道半径小于地球同步卫星运行的轨道半径 B．该卫星绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s C．该卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．若已知地球半径和引力常量，结合题干信息，则可估算出地球的质量 【答案】AD 【解析】解：A．根据开普勒第三定律，该卫星的周期小于地球同步卫星的卫星的运行周期，可知该卫星运行的轨道半径小于地球同步卫星运行的轨道半径，故A正确； B．根据地球第一宇宙速度知识，可知该卫星绕地球做圆周运动的速度小于7.9km/s，故B错误； C．根据ma，可知该卫星绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误； D．若已知地球半径和引力常量，由，则可估算出地球的质量，故D正确。 故选：AD。 11．（多选）“黑洞”是近代引力理论所预言的宇宙中的一种特殊天体，研究认为，黑洞可能是由于超中子星发生塌缩而形成的．欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞并将它命名为：MCG6﹣30﹣15r，假设银河系中心仅此一个黑洞．已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪一组数据可以估算出该黑洞的质量 （　　） A．太阳的质量和运行速度 B．太阳绕黑洞公转的周期和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离 C．太阳质量和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离 D．太阳绕黑洞公转的运行速度和太阳到“MCG6﹣30﹣15r”的距离 【答案】BD 【解析】解：太阳绕银河系中心“黑洞”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳的质量为m、轨道半径为r、“黑洞”质量为M，有 F＝F向 F＝G F向＝mmω2r＝m（）2r 因而 Gmmω2r＝m（）2r＝ma 从上式可以看出，要计算、“黑洞”质量，要知道周期T与轨道半径r，或者线速度v与轨道半径r，或者轨道半径r与角速度ω，或者角速度ω与线速度v； 由于太阳质量m在等式左右可以约去，故太阳质量对求银河系中心“黑洞”的质量无用处； 故选：BD。 12．地球对其周围的物体产生的万有引力是通过地球周围的引力场产生的，物体在引力场中具有的势能我们称为引力势能。一卫星在半径为r的轨道上做匀速圆周运动。已知在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的人造地球卫星引力势能的表达式，离地心无穷远处引力势能为0，其中M为地球的质量，m为卫星的质量，G为引力常量。 （1）求该卫星的动能和机械能； （2）由于地球自转的影响，在地球表面不同的地方，物体的重量会随纬度的变化而有所不同。将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。用弹簧秤称量一个相对于地面静止的质量为m的小物体的重量，设在地球南极地面称量时弹簧秤的读数是F1；在赤道地面称量时弹簧秤的读数是F2，求在赤道地面，小物体随地球自转的向心加速度； （3）已知在地球表面附近，对于质量为m的物体离开地面高度为h时，若规定地球表面为重力势能零点，物体重力势能的表达式E0＝mgh（g为重力加速度），这个表达式虽然与题干中引力势能的表达式在形式上有很大的差别，但二者本质相同，试证明在忽略地球自转的情况下，当h远小于地球半径R时，重力势能和引力势能的表达式是一致的。 【答案】（1）该卫星得动能为；机械能为； （2）在赤道地面，小物体随地球自转的向心加速度为； （3）见解析。 【解析】解：（1）根据，得mv2 可得卫星的动能 卫星的引力势能 机械能E＝Ek+Ep； （2）在南极时由万有引力提供向心力得， 在赤道时万有引力一部分提供向心力，一部分提供该处得重力， 解得向心加速度 （3）以无穷远处为势能零点，根据题意，物体在地表的引力势能为 在距离地表h处的引力势能为 以地面为势能零点时在距离地表h处的势能 在地球表面时，万有引力等于重力，即 联立可得 当R≫h时，ΔEp＝mgh＝E0 答：（1）该卫星得动能为；机械能为； （2）在赤道地面，小物体随地球自转的向心加速度为； （3）见解析。 13．如图为神舟十五号的发射与交会对接过程示意图，图中Ⅰ为近地圆轨道，其轨道半径可认为等于地球半径R，Ⅱ为椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱所在轨道，其轨道半径为nR，P、Q分别为轨道Ⅱ与Ⅰ、Ⅲ轨道的交会点。已知神舟十五号的质量为m，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。神舟十五号距地心为r时，其引力势能表达式为（式中M为地球质量，G为引力常量）。求： （1）地球质量M； （2）神舟十五号在轨道Ⅱ运动时的周期； （3）要使神舟十五号从轨道Ⅰ迁移到轨道Ⅲ，所要提供的最小能量。 【答案】（1）地球质量为； （2）神舟十五号在轨道Ⅱ运动时的周期为； （3）要使神舟十五号从Ⅰ迁移到轨道Ⅲ过程中，提供的最小能量为。 【解析】解：（1）地球表面物体重力等于万有引力，可得，所以； （2）神舟十五号在Ⅰ轨道上，由万有引力提供向心力，可得，解得：， 根据开普勒第三定律有，解得轨道Ⅱ的周期； （3）由万有引力提供向心力，在Ⅰ轨道上有，由题意可知：， 在Ⅲ轨道上有，由题意可知：， 神舟十五号从Ⅰ迁移到轨道Ⅲ过程中，飞船需要增加的机械能即神舟十五号所要提供的最小能量， 由Ⅰ轨道上、Ⅲ轨道上的速度、势能特点，可知：，解得：。 答：（1）地球质量为； （2）神舟十五号在轨道Ⅱ运动时的周期为； （3）要使神舟十五号从Ⅰ迁移到轨道Ⅲ过程中，提供的最小能量为。 14．质量为m的行星绕质量为M的太阳的轨迹为椭圆，椭圆的半长轴为a，太阳在椭圆左焦点上，近日点A到太阳的距离为rAa，A点的速度为vA。已知行星和太阳的距离为r处引力势能为Ep＝﹣G，G为引力常量，行星绕太阳运动过程中机械能守恒。 （1）求行星在远日点B点的加速度大小。 （2）求行星在椭圆轨道半短轴顶点C的速率； （3）以行星的动能Ek为纵坐标，以与其到太阳的距离的倒数为横坐标，画出行星运动过程中的Ek图像，并通过计算标出A、B处的坐标值。 【答案】（1）行星在远日点B点的加速度大小为。 （2）行星在椭圆轨道半短轴顶点C的速率为。 （3）A点坐标为，B点坐标为。 【解析】解：（1）由椭圆轨道性质可知，近日点A与远日点B到太阳的距离之和等于长轴长度，即rA+rB＝2a。已知，解得：。行星在B点仅受太阳引力作用，由牛顿第二定律得，解得：。 （2）根据椭圆几何性质，半短轴顶点C到太阳的距离满足rC＝a。对行星从A运动到C的过程，由机械能守恒得，代入和rC＝a，解得：。 （3）由机械能守恒Ek+Ep＝E可得，表明Ek与呈线性关系。对于近日点A，坐标；对于远日点B，其动能EkB＝EkA+EpA﹣EpB，计算得，故B点坐标为。 答：（1）行星在远日点B点的加速度大小为。 （2）行星在椭圆轨道半短轴顶点C的速率为。 （3）A点坐标为，B点坐标为。 15．“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月10日19时52分我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，距离火星表面高度为h，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： （1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v。 （2）火星的质量M。 （3）在火星上发射卫星的第一宇宙速度v1。 （4）火星表面的重力加速度g的大小。 【答案】（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v为。 （2）火星的质量M为。 （3）在火星上发射卫星的第一宇宙速度v1为。 （4）火星表面的重力加速度g的大小为。 【解析】解：（1）根据匀速圆周运动的线速度与周期的关系可知， （2）根据万有引力提供向心力有 解得火星的质量 （3）对于火星的近地卫星，根据万有引力提供向心力有 解得火星的第一宇宙速度为 （4）根据在火星表面物体所受的重力等于万有引力有 得 由（2）问可知 得 答：（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v为。 （2）火星的质量M为。 （3）在火星上发射卫星的第一宇宙速度v1为。 （4）火星表面的重力加速度g的大小为。 16．2004年起中国正式开展月球探测工程，嫦娥工程分为无人月球探测、载人登月和建立月球基地三个阶段。我国已先后成功实施六次月球探测任务，计划在2030年前实现首次登陆月球。如图，假设登陆月球后，宇航员将长为L的轻绳上端悬于P点，下端拴一个可视为质点的小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，测出小球做匀速圆周运动的周期为T。已知月球的半径为R，忽略月球自转，万有引力常量为G。求： （1）月球的质量M； （2）月球的第一宇宙速度v。 【答案】（1）月球的质量M为； （2）月球的第一宇宙速度v为。 【解析】解：（1）设月球表面的重力加速度为g，对小球受力分析，如图所示 根据牛顿第二定律有mgtanθ＝m 其中r＝Lsinθ 在月球表面有mg 联立解得月球质量为M （2）在绕月球表面做匀速圆周运动的物体，由万有引力提供向心力 联立解得月球的第一宇宙速度为v 答：（1）月球的质量M为； （2）月球的第一宇宙速度v为。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $