7.2 万有引力定律 7.3 万有引力理论的成就 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦万有引力理论的应用，核心知识点为中心天体质量与密度的计算，通过基础回顾（重力加速度法、卫星环绕法）、表格系统梳理计算方法及公式，结合分题型例题与课时精练，构建从理论到应用的学习支架。 该资料以科学思维为导向，通过表格归纳建构知识模型，结合天舟八号、神舟二十号等航天案例设计例题，培养科学推理与模型应用能力。课中辅助教师系统授课，课后精练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7.2-7.3 万有引力理论的成就 【基础回顾】 一、计算中心天体质量的两种方法 1．重力加速度法 (1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，以及引力常量G，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体质量为M＝。 (2)说明：g为天体表面的重力加速度。 未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。 2．“卫星”环绕法 已知两天体间距离r，将天体围绕中心天体的运动近似看成匀速圆周运动，周期为T，引力常量为G，其所需的向心力都来自万有引力，由＝mr，可得M＝。 二、天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝ (1)将M＝代入上式得ρ＝。 (2)将M＝代入上式得ρ＝。 (3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。 【必备知识】 一、天体质量、密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量的计算　 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度　 g、R mg＝ M＝ 密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度　 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 二、对比问题 1.线速度：G＝m⇒v＝ 2.角速度：G＝mω2r⇒ω＝ 3.周期：G＝m()2r⇒T＝2π 4.向心加速度：G＝ma⇒a＝ 结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。 【巩固强化】 题型1 计算中心天体的质量 【例题精讲】 1．2024年11月16日，天舟八号货运飞船成功发射并与空间站天和核心舱成功对接。已知地球半径为R，天舟八号货运飞船与天和核心舱对接后一起绕地球做匀速圆周运动的周期为T，距离地面的高度为h，引力常量为G，则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：天舟八号货运飞船与天和核心舱对接后，绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r＝R+h；由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有。 将r＝R+h代入公式，整理得地球质量，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．2024年11月16日，天舟八号货运飞船成功发射并与空间站天和核心舱成功对接。已知地球半径为R，天舟八号货运飞船与天和核心舱对接后一起绕地球做匀速圆周运动的周期为T，距离地面的高度为h，引力常量为G，则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设地球质量为M，天舟八号货运飞船与天和核心舱的总质量为m，天舟八号货运飞船与天和核心舱对接后一起绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有 得 故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．黑洞是一种密度极大、体积极小的天体，引力大到光都无法逃脱其引力的“魔掌”，所以黑洞无法直接观测，但可以通过观测绕其运动的恒星，大致推测出黑洞的质量。观察发现，太阳系绕银河系中心黑洞人马座A*做圆周运动的周期为T，太阳系到银河系中心的距离为R，引力常量为G，不考虑相对论效应及暗物质的影响，则人马座A*的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律则有 解得中心天体的质量为，故C正确，ABD错误。 故选：C。 4．截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算地球的质量为 【答案】D 【解析】解：A、开普勒第二定律（面积定律）主要适用于同一颗行星绕太阳（或同一卫星绕地球）的运动，即同一轨道上相等时间内扫过的面积相等。对于绕地球运转的不同卫星，轨道不同，单位时间内扫过的面积通常是不相等的，故A错误； B、卫星在运动过程中只受地球的万有引力作用，根据牛顿第二定律 ，解得加速度 。则卫星在近地点和远地点的加速度大小之比为 ，故B错误； C、由于题目中未给出地球的半径，无法求出地球的体积，也就无法估算地球的密度，故C错误； D、设地球质量为 M，卫星轨道的半长轴 。由开普勒第三定律 ，解得地球质量 ，故D正确。 故选：D。 5．假设有一空间探测器着陆在某个类地星球表面进行观测，该星球为半径为R的球体，自转周期为2T，其赤道上空有一颗沿圆形轨道运行的卫星，它的运行方向与该星球的自转方向相同，公转周期为T。如图所示，某时刻，位于星球赤道上P点的探测器观测到卫星的仰角为30°，后观测到卫星仰角变为90°。引力常量为G，根据以上信息，该类地星球的质量约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示 P点在内转过的圆心角α＝30°，卫星转过的圆心角β＝60°，由几何关系可知，根据牛顿第二定律可得，联立解得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 6.（多选）近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。已知火星表面的重力加速度g，火星半径为R，引力常数G。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的质量表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】解：AB．忽略火星自转的影响，在火星表面有万有引力等于重力 可得火星的质量为 故A正确，B错误； CD．对“近地”火星探测器由万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律可得 可得火星的质量为 故C正确，D错误。 故选：AC。 7.（多选）将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．自转周期为2π D．自转周期为2π 【答案】AD 【解析】解：AB.将物体放在月球的“北极点”时，物体受到的重力与万有引力大小相等，即，解得，故A正确，B错误； CD.由于在月球赤道上该物体的重力为mg0，则有，可解得ω＝ ，故月球自转的周期为 ，故C错误，D正确。 故选：AD。 题型2 计算中心天体的密度 【例题精讲】 1．2025年4月25日，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。中国空间站绕地球做匀速圆周运动，其与地心的连线在单位时间内扫过的面积S与线速度的大小v满足S。已知地球的半径为R，引力常量为G，k为常量，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：已知引力常量为G，卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动，设r为卫星做圆周运动轨道半径，根据万有引力提供向心力有 卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积，联立得，结合题意可得，可得地球的质量M， 地球的密度为，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853﹣0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为T＝2.15毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为6.67×10﹣11N•m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A．3×1010kg/m3 B．3×1013kg/m3 C．3×1016kg/m3 D．3×1019kg/m3 【答案】C 【解析】解：当星体表面物质恰好不被离心力甩出时，万有引力充当向心力。 设星体质量M，半径R，密度ρ，表面物体质量m，由向心力公式得。 整理得。 根据球体质量公式。 联立两式得。 解得：。 已知引力常数G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，周期T＝2.15ms＝2.15×10﹣3s。 代入得。 故选：C。 3．如图所示，地球的两颗卫星a、b环绕地球做匀速圆周运动，已知卫星b的轨道半径为卫星a轨道半径的4倍，卫星a的周期为T，轨道半径为r，万有引力常量为G，地球半径为R，忽略地球的自转。下列说法正确的是（　　） A．卫星b的周期为4T B．地球的平均密度为 C．卫星a的环绕速率小于卫星b的环绕速率 D．卫星b的向心加速度与地球表面重力加速度大小的比值为R2：16r2 【答案】D 【解析】解：A、开普勒第三定律 得Tb＝8T，故A错误。 B、卫星a的向心力由万有引力提供 得地球质量 地球体积 密度，故B错误。 C、环绕速率，轨道半径越大，速率越小。因ra＜rb，故va＞vb，故C错误。 D、卫星b的向心加速度： 地球表面重力加速度： 两者比值：，故D正确。 故选：D。 4．卫星在不同轨道绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设地球半径为R，卫星的轨道高度为h，由万有引力提供向心力有，又，联立得，所以，b，联立可得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 5．2024年6月25日嫦娥六号返回器顺利着陆。返回器与主舱室分离后，主舱室通过调整后在圆轨道运行，返回器用“打水漂”的方式再入大气层，最终通过降落伞辅助成功着陆，其主要过程如图。已知主舱室维持在半径为r的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，引力常量为G，则有（　　） A．主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应大于7.9km/s B．打开降落伞后，返回器靠近地面过程中一直处于失重状态 C．由题给条件可求出地球密度为 D．根据题给条件可求出地球质量 【答案】D 【解析】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v；第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，所以主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应小于7.9km/s，故A错误； B、打开降落伞后，返回器靠近地面过程中向下减速，处于超重状态，故B错误； CD、根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M，由于地球的半径不知道，无法求解地球的密度，故C错误、D正确。 故选：D。 6.（多选）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】解：AD.探测器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r＝R+h，根据万有引力提供向心力有，解得火星的质量为，故A正确，D错误。 BC.火星体积，结合密度公式，将M代入解得火星的平均密度为，故B正确，C错误。 故选：AB。 7．（多选）中国计划2033年前后实施金星探测任务，采用“打水漂”采样等创新技术，突破极端环境材料与控制难题，聚焦大气演化、磷化氢来源及生命迹象，填补观测空白。技术领先且与国际任务互补，推动金星研究从观测到采样返回的跨越，助力行星科学发展，彰显航天实力与科学探索深度。已知某探测器绕金星运动的周期为T，金星的半径为R，金星探测车的质量为m，在金星表面的重力大小为G1，万有引力常量为G，忽略金星的自转，则下列正确的是（　　） A．金星的质量为 B．金星表面的重力加速度为 C．金星的平均密度为 D．该探测器距金星地面的高度为 【答案】BC 【解析】解：B、金星探测车的质量为m，在金星表面的重力大小为G1，解得金星表面的重力加速度为，故B正确； A、在金星表面，物体所受万有引力等于重力，解， 金星的质量为，故A错误； C、由ρ可得金星的平均密度为，故C正确； D、探测器绕金星运动过程，根据万有引力提供向心力列出等式， 解得该探测器距金星地面的高度为，故D错误。 故选：BC。 · 题型3 万有引力与重力的关系（黄金代换） 【例题精讲】 1．如图，在某部科幻电影中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为m的宇航员所受重力为G0。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，不考虑地球自转，此时太空电梯距离地面的高度为（　　） A．R（1） B．R C．R（1） D．R 【答案】A 【解析】解：在地球表面，忽略地球自转影响，重力近似等于万有引力，可得，由此整理得GM＝gR2。 设太空电梯所处位置距地面高度为h，该处宇航员受到的重力G0即为其所受万有引力，依据万有引力定律有； 将GM＝gR2代入上式，得，解得：。故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．中国的载人登月计划旨在2030年前实现人类首次登陆月球，为体验在月球上行走的感觉，可采用悬在空中的氦气球拉着人在地面上前行。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球质量为地球质量的p倍，月球半径为地球半径的q倍，不考虑星球自转，为使质量为m的人在地球表面前行感觉到和月球表面相同的“重力”，则氦气球对该人的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据万有引力定律，月球表面重力加速度为，地球表面重力加速度为，结合已知条件可得。为使质量为m的人在地面感受到与月球表面相同的重力，需氦气球提供向上的拉力F，满足mg﹣F＝mg月，解得：，故B正确，ACD错误； 故选：B。 3．我国“天问二号”小行星探测器计划于2025年5月发射，主要任务是对近地小行星2016HO3开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍。已知小行星的自转周期为T，引力常量G，则下列说法正确的是（　　） A．小行星的质量为 B．小行星静止轨道的高度为 C．贴近小行星表面运行的卫星周期为 D．小行星的密度为 【答案】D 【解析】解：A、小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时的周期等于小行星的自转周期为T， 设小行星的静止轨道的轨道半径为r，根据圆周运动公式有， 解得， 由万有引力提供向心力有， 解得小行星的质量，故A错误； B、根据题意可知，样品在赤道上时，根据万有引力与重力关系有， 样品在北极时，根据万有引力等于重力有， 同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍，即， 联立解得小行星的半径， 则小行星静止轨道的高度为，故B错误； C、由万有引力提供向心力有， 又有， 联立解得，故C错误； D．结合AB分析可得，小行星的密度为，故D正确。 故选：D。 4．假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意分析可得，质量为m小球的重力 由于球体积为 设地球的平均密度为ρ，地球的质量 联立解得 根据万有引力的公式有，小球在地球内部半径为的隧道运动时受到的万有引力为 此时小球受到的万有引力提供向心力，则有 解得，故A正确，BCD错误； 故选：A。 5．某自转角速度较大的星球，半径为R，测得该星球极地的重力加速度是g1，赤道处的重力加速度是g2，则该星球的自转角速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意分析可知，设该星球的自转角速度为ω，根据万有引力与重力相等，在该星球极地处有 根据万有引力等于向心力和重力的合力，在赤道处有 联立解得，故A正确，BCD错误； 故选：A。 6．（多选）随着中国航天科技的飞跃发展，中国宇航员将登上月球。假设宇航员登月后，在月面做了一个自由落体运动的实验，将一小球由静止释放，经过一小段时间t，小球的速度大小为v0，已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，引力常量为G，一探测器在离月面的高度为月球半径倍的轨道上绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月面的重力加速度大小为 B．探测器的线速度大小为 C．月球的半径为2n2v0t D．月球的密度为 【答案】BD 【解析】解：A、根据自由落体运动的规律可得：v0＝gt，解得月球表面的重力加速度大小为：g，故A错误； B、探测器套月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v 已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，则有： 所以探测器的线速度大小为：v，故B正确； C、第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，则有：mg＝m，即：nv0 解得月球的半径为：R＝n2v0t，故C错误； D、根据万有引力和重力的关系可得：mg 根据密度计算公式可得：ρ，其中V 联立解得月球的密度为：，故D正确。 故选：BD。 7．（多选）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星。如图所示，若北斗卫星导航系统中的一颗卫星a位于赤道上空的轨道Ⅰ上，其对地张角为60°，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星b的轨道，两卫星都沿逆时针方向转动。已知地球的半径为R，地球的自转周期为T0，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星a的周期为 C．同步卫星的轨道半径为 D．卫星b可以连续直接接收到卫星a发出的电磁波信号的时间为 【答案】BC 【解析】解：A.对近地卫星b，万有引力提供向心力有，又有地球体积，地球密度，又Tb≠T0，故A错误； B.根据黄金代换式，对某轨道卫星a，由几何关系知rasin30°＝R，，解得，故B正确； C.对同步卫星，万有引力提供向心力有，解得，故C正确； D.如图所示 a、b都沿逆时针方向转动，b卫星在转动θb的角度内可以收到a卫星发出的电磁波信号，根据几何关系有，解得，故D错误。 故选：BC。 课时精练 1．司马迁在《史记•天官书》中首次系统记载了“天赤道”的概念，并描述其与黄道的关系。如图所示，静置在地球黄道面和赤道面上的a、b两物体（　　） A．线速度相等 B．重力加速度相等 C．b所需的向心力更大 D．b的向心加速度更大 【答案】D 【解析】解：A．a、b两物体均随地球一起自转，因此它们的自转角速度ω是相同的，但b物体圆周运动的半径更大，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可知b物体的线速度更大，故A错误。 B．纬度越高，重力加速度越大，a物体位于黄道面（纬度高于赤道），b物体位于赤道面，所以a物体的重力加速度更大，故B错误。 C．向心力的公式为，虽然ω相同、rb＞ra，但题目中并未给出a、b两个物体的质量，所以无法比较所需向心力的大小关系，故C错误。 D．向心加速度与角速度的关系为，由于a、b两物体的自转角速度ω相同，且ra＞rb，可知b物体的向心加速度更大，故D正确。 故选：D。 2．2023年5月30日，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”，随后，两个航天员乘组拍下“全家福”如图。若中国空间站绕地球可视为匀速圆周运动，已知空间站轨道离地面的高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．空间站的运行速度为 C．空间站的运行周期为 D．航天员能处于漂浮状态是因其受到的合力为零 【答案】B 【解析】解：A．处于地球表面的物体，根据万有引力等于重力，可得 解得 故A错误； BC．空间站运行速度为v，则 解得 由于 故 故B正确，C错误； D．航天员能处于漂浮状态是因处于完全失重状态，合力不为零（合力充当向心力），故D错误。 故选：B。 3．万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。科学家们利用“计算、预测和观察”的方法寻找新的天体。下面被称为“笔尖下发现的行星”的是（　　） A．太阳 B．地球 C．海王星 D．月球 【答案】C 【解析】解：万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。被称为“笔尖下发现的行星”的是海王星。故ABD错误，C正确。 故选：C。 4．2024年11月25日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭采用一箭双星的方式成功将四维高景二号03星和04星送入预定轨道，假设两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动且轨道平面与赤道平面垂直，它们能对地面目标进行高分辨率的观测。如图所示，若04星对地球的最大观测角为α，04星连续观测北极地面上一固定目标的最长时间为t，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．相比04星，若03星的轨道半径更小，则其速度会更小 B．相比04星，若03星的轨道半径更小，则其周期会更大 C．04星做匀速圆周运动的周期为 D．根据题干已知条件，还可近似求出地球的质量和平均密度 【答案】C 【解析】解：AB、根据万有引力提供向心力得， 解得，， 相比04星，若03星的轨道半径更小，所以其速度更大，周期更小，故AB错误； C、由题意可知，04 星连续观测北极目标的最长时间t内，转过的圆心角为π﹣α， 所以04星做圆周运动的角速度大小为， 所以周期为，故C正确； D、设04星的轨道半径为r，地球半径为R，根据， 根据万有引力提供向心力得， 解得地球质量为， 地球密度为，其中， 解得，由C选项可知周期T，所以可以计算地球的密度，但04星的轨道半径r和地球的半径R都未知，所以无法求出地球的质量，故D错误。 故选：C。 5．宇航员登上某半径为R的球形未知天体，在该天体表面将一质量为m的小球以初速度v0竖直上抛，上升的最大高度为h，万有引力常量为G。则（　　） A．该星球表面重力加速度为 B．该星球质量为 C．该星球的近地面环绕卫星运行周期为 D．小球到达最大高度所需时间 【答案】A 【解析】解：A．小球做竖直上抛运动，上升到最大高度时速度为0，由匀变速直线运动公式，解得该星球表面的重力加速度，故A正确； B．根据星球表面的物体所受万有引力等于重力，有，将代入，解得该星球质量为，故B错误； C．近地卫星绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有，将代入，解得该星球的近地面环绕卫星运行周期，故C错误； D．小球竖直上抛的上升过程为匀减速直线运动，上升到最大高度所需时间，故D错误。 故选：A。 6．2025年10月16日9时33分，我国在海南商业航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨12组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，若卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为R，引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：若卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为R，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有， 解得，故ABD错误，C正确。 故选：C。 7．我国即将发射的“天问二号”探测器将首次实现从小行星2016HO3采样返回地球。该小行星绕太阳运行的轨道半长轴大于地球公转轨道半径。若将小行星看作质量分布均匀的球体，半径为R，密度与地球相同。已知探测器在地球表面附近做匀速圆周运动的周期为T0，地球半径为R0，引力常量为G。正确的说法是（　　） A．地球的质量 B．小行星的第一宇宙速度 C．小行星绕太阳运行周期小于地球公转周期 D．探测器在小行星表面附近做匀速圆周运动的周期等于T0 【答案】D 【解析】解：A、根据题意可知，由万有引力定律可知，，解得地球质量为M，故A错误； B、根据以上分析可求地球密度为ρ，小行星的第一宇宙速度公式为v因小行星密度与地球相同，其质量M行星，代入数据解得小行星第一宇宙速度 v，故B错误； C、根据开普勒第三定律，轨道半长轴a越大，公转周期T越长。因小行星轨道半长轴大于地球，其周期应大于地球公转周期，故C错误； D、根据万有引力公式由，代入解得T行星＝T0，即探测器在小行星表面附近的周期与地球相同，故D正确。 故选：D。 8．为了探测某星球，某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做无动力匀速圆周运动，测得运行周期为T，然后登陆该星球，测得物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半，已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则由此可得该星球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在地球上做自由落体运动有： 在该星球上做自由落体运动有： 而 解得 g′＝4g 在星球表面根据万有引力提供向心力得： 解得： A、，与结论相符，故A正确； B、，与结论不相符，故B错误； C、，与结论不相符，故C错误； D、，与结论不相符，故D错误。 故选：A。 9．（多选）某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（　　） A．图线①是木星卫星运动的规律 B．地球的质量为 C．木星的密度为 D．木星与地球的密度之比为 【答案】AC 【解析】解：A、根据万有引力提供向心力有 中心天体质量越大，图像斜率越大，因木星质量大于地球质量，故图线①是木星卫星运动的规律，故A正确； BCD、图线②是地球卫星运动的规律，由前面的分析知，，故图像的斜率为 解得地球的质量为 同理木星的质量为 c、b的左侧部分为虚线，故木星的半径的三次方，根据木星的密度 解得 同理可得 故 故C正确，BD错误。 故选：AC。 10．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T；地球近地卫星的周期为T0；引力常量为G。则（　　） A．地球的半径 B．地球的半径 C．地球的密度为 D．地球的密度为 【答案】BC 【解析】解：AB．在赤道处有 在两极处，万有引力等于重力 联立解得地球的半径为 故A错误，B正确； CD．对于地球近地卫星，由万有引力提供向心力可得 又 联立解得地球的密度为 故C正确，D错误。 故选：BC。 11．（多选）航天员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地＝1：4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响。则（　　） A．g′：g ＝ 1：5 B．g′：g ＝ 5：2 C．M星：M地 ＝ 1：20 D．M星：M地 ＝ 1：80 【答案】AD 【解析】解：AB．设初速度为v0，小球做竖直上抛运动，小球在空中运动的时间 在某星球同理，故 故A正确、B错误； CD．在地球表面由万有引力等于重力 得 在某星球同理，则 故C错误、D正确。 故选：AD。 12．2020年12月17日，嫦娥五号完成月球火山岩采样，采样后返回时先进入近月圆轨道Ⅰ，再进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的N点与返回器对接，嫦娥五号在Ⅱ轨道上从M点飞行到N点的时间是在轨道Ⅰ上运行周期的倍，图中M、N分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，万有引力常量为G。月球表面的重力加速度为g，忽略月球自转。求： （1）月球的质量M； （2）N点离月球表面的高度。 【答案】（1）月球的质量M为。 （2）N点离月球表面的高度为R。 【解析】解：（1）在月球表面，物体所受重力与万有引力平衡，有，解得：。 （2）设近月轨道Ⅰ的周期为T，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a，周期为T'，由开普勒第三定律得。 已知，联立解得：a＝2R。故N点高度h＝2a﹣2R＝4R﹣2R＝2R。 答：（1）月球的质量M为。 （2）N点离月球表面的高度为R。 13．航天员登陆某星球后站在星球表面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，并以绳断时的速度v0水平飞出，通过水平距离d后落于星球表面。已知握绳的手离星球表面的高度为d，手与球之间的绳长为，忽略星球上气体阻力。求： （1）星球表面的重力加速度大小g。 （2）绳所能承受的最大拉力大小Fmax。 （3）如果该星球半径为R，星球自转的周期为T，求该星球的同步卫星高度h。 【答案】（1）星球表面的重力加速度大小为。 （2）绳所能承受的最大拉力大小为。 （3）该星球的同步卫星高度为。 【解析】解：（1）小球绳断后做平抛运动，分解为水平和竖直两个分运动： 水平方向小球做平抛运动，位移d＝v0t 竖直方向小球做自由落体运动，下落高度 解得星球表面的重力加速度大小。 （2）小球在圆周运动最低点时，拉力与重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得，其中圆周运动的半径 解得绳所能承受的最大拉力大小。 （3）对于同步卫星，由万有引力提供向心力得 在星球表面，对质量m′的物体，有 解得该星球的同步卫星高度。 答：（1）星球表面的重力加速度大小为。 （2）绳所能承受的最大拉力大小为。 （3）该星球的同步卫星高度为。 14．“嫦娥六号”着陆月球过程如下：先在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅲ（可认为轨道半径等于月球半径），最后安全落在月球上，其中A、B两点分别为椭圆轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g0，万有引力常量为G。通过观测发现“嫦娥六号”在椭圆轨道Ⅱ的周期为近月轨道Ⅲ的周期的2倍。忽略月球自转的影响。求： （1）月球的平均密度ρ； （2）轨道Ⅰ的半径r。 【答案】（1）月球的平均密度为； （2）轨道Ⅰ的半径为3R。 【解析】解：（1）在月球表面有 月球体积为V 则月球平均密度为 （2）根据开普勒第三定律有 其中T2＝2 解得r＝3R 答：（1）月球的平均密度为； （2）轨道Ⅰ的半径为3R。 15．如图所示，某星球水平地面上，固定放置一个直角三角形斜面AB，斜面的倾角θ＝30°，顶点A高h＝10m。将小球从A点以速度v0＝10m/s水平抛出，恰好落在B点，已知该星球半径R＝3000km，万有引力常数G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，求： （1）小球的飞行时间； （2）该星球表面重力加速度； （3）该星球的平均密度。 【答案】（1）小球的飞行时间等于s； （2）该星球表面重力加速度等于； （3）该星球的平均密度等于8×103kg/m3。 【解析】解：（1）研究水平方向运动，有 x＝v0t tanθ＝ 解得 s （2）根据竖直方向的运动规律可知 解得 （3）根据万有引力定律可得 星球密度 联立解得 ρ＝8×103kg/m3 答：（1）小球的飞行时间等于s； （2）该星球表面重力加速度等于； （3）该星球的平均密度等于8×103kg/m3。 16．一宇航员为了估测某一星球表面的重力加速度和该星球的质量，在该星球表面将一小球从离地H高处静止释放，经时间t落到地面。已知该星球的半径为R，万有引力常数为G，忽略一切阻力。求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的质量M； （3）已知该星球的自转周期为T，求该星球同步卫星高度h。 【答案】（1）该星球表面的重力加速度等于； （2）该星球的质量等于； （3）该星球同步卫星高度等于。 【解析】解：（1）根据 解得该星球表面的重力加速度 （2）万有引力等于重力 则 （3）同步卫星公转周期与星球自转周期相同，则 且 则 答：（1）该星球表面的重力加速度等于； （2）该星球的质量等于； （3）该星球同步卫星高度等于。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2-7.3 万有引力理论的成就 【基础回顾】 一、计算中心天体质量的两种方法 1．重力加速度法 (1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，以及引力常量G，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体质量为M＝。 (2)说明：g为天体表面的重力加速度。 未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。 2．“卫星”环绕法 已知两天体间距离r，将天体围绕中心天体的运动近似看成匀速圆周运动，周期为T，引力常量为G，其所需的向心力都来自万有引力，由＝mr，可得M＝。 二、天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝ (1)将M＝代入上式得ρ＝。 (2)将M＝代入上式得ρ＝。 (3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。 【必备知识】 一、天体质量、密度的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量的计算　 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度　 g、R mg＝ M＝ 密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度　 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 二、对比问题 1.线速度：G＝m⇒v＝ 2.角速度：G＝mω2r⇒ω＝ 3.周期：G＝m()2r⇒T＝2π 4.向心加速度：G＝ma⇒a＝ 结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。 【巩固强化】 题型1 计算中心天体的质量 【例题精讲】 1．2024年11月16日，天舟八号货运飞船成功发射并与空间站天和核心舱成功对接。已知地球半径为R，天舟八号货运飞船与天和核心舱对接后一起绕地球做匀速圆周运动的周期为T，距离地面的高度为h，引力常量为G，则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． 2．2024年11月16日，天舟八号货运飞船成功发射并与空间站天和核心舱成功对接。已知地球半径为R，天舟八号货运飞船与天和核心舱对接后一起绕地球做匀速圆周运动的周期为T，距离地面的高度为h，引力常量为G，则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． 3．黑洞是一种密度极大、体积极小的天体，引力大到光都无法逃脱其引力的“魔掌”，所以黑洞无法直接观测，但可以通过观测绕其运动的恒星，大致推测出黑洞的质量。观察发现，太阳系绕银河系中心黑洞人马座A*做圆周运动的周期为T，太阳系到银河系中心的距离为R，引力常量为G，不考虑相对论效应及暗物质的影响，则人马座A*的质量为（　　） A． B． C． D． 4．截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．绕地球运转的所有卫星与地心的连线单位时间扫过的面积均相等 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的密度为 D．根据已知条件，可估算地球的质量为 5．假设有一空间探测器着陆在某个类地星球表面进行观测，该星球为半径为R的球体，自转周期为2T，其赤道上空有一颗沿圆形轨道运行的卫星，它的运行方向与该星球的自转方向相同，公转周期为T。如图所示，某时刻，位于星球赤道上P点的探测器观测到卫星的仰角为30°，后观测到卫星仰角变为90°。引力常量为G，根据以上信息，该类地星球的质量约为（　　） A． B． C． D． 6.（多选）近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。已知火星表面的重力加速度g，火星半径为R，引力常数G。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的质量表达式为（　　） A． B． C． D． 7.（多选）将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．自转周期为2π D．自转周期为2π 题型2 计算中心天体的密度 【例题精讲】 1．2025年4月25日，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。中国空间站绕地球做匀速圆周运动，其与地心的连线在单位时间内扫过的面积S与线速度的大小v满足S。已知地球的半径为R，引力常量为G，k为常量，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 2．2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853﹣0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为T＝2.15毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为6.67×10﹣11N•m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　） A．3×1010kg/m3 B．3×1013kg/m3 C．3×1016kg/m3 D．3×1019kg/m3 3．如图所示，地球的两颗卫星a、b环绕地球做匀速圆周运动，已知卫星b的轨道半径为卫星a轨道半径的4倍，卫星a的周期为T，轨道半径为r，万有引力常量为G，地球半径为R，忽略地球的自转。下列说法正确的是（　　） A．卫星b的周期为4T B．地球的平均密度为 C．卫星a的环绕速率小于卫星b的环绕速率 D．卫星b的向心加速度与地球表面重力加速度大小的比值为R2：16r2 4．卫星在不同轨道绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数与轨道到地面的高度h的关系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（　　） A． B． C． D． 5．2024年6月25日嫦娥六号返回器顺利着陆。返回器与主舱室分离后，主舱室通过调整后在圆轨道运行，返回器用“打水漂”的方式再入大气层，最终通过降落伞辅助成功着陆，其主要过程如图。已知主舱室维持在半径为r的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，引力常量为G，则有（　　） A．主舱室在半径为r的轨道上稳定运行的速度应大于7.9km/s B．打开降落伞后，返回器靠近地面过程中一直处于失重状态 C．由题给条件可求出地球密度为 D．根据题给条件可求出地球质量 6.（多选）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）中国计划2033年前后实施金星探测任务，采用“打水漂”采样等创新技术，突破极端环境材料与控制难题，聚焦大气演化、磷化氢来源及生命迹象，填补观测空白。技术领先且与国际任务互补，推动金星研究从观测到采样返回的跨越，助力行星科学发展，彰显航天实力与科学探索深度。已知某探测器绕金星运动的周期为T，金星的半径为R，金星探测车的质量为m，在金星表面的重力大小为G1，万有引力常量为G，忽略金星的自转，则下列正确的是（　　） A．金星的质量为 B．金星表面的重力加速度为 C．金星的平均密度为 D．该探测器距金星地面的高度为 · 题型3 万有引力与重力的关系（黄金代换） 【例题精讲】 1．如图，在某部科幻电影中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为m的宇航员所受重力为G0。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，不考虑地球自转，此时太空电梯距离地面的高度为（　　） A．R（1） B．R C．R（1） D．R 2．中国的载人登月计划旨在2030年前实现人类首次登陆月球，为体验在月球上行走的感觉，可采用悬在空中的氦气球拉着人在地面上前行。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球质量为地球质量的p倍，月球半径为地球半径的q倍，不考虑星球自转，为使质量为m的人在地球表面前行感觉到和月球表面相同的“重力”，则氦气球对该人的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 3．我国“天问二号”小行星探测器计划于2025年5月发射，主要任务是对近地小行星2016HO3开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍。已知小行星的自转周期为T，引力常量G，则下列说法正确的是（　　） A．小行星的质量为 B．小行星静止轨道的高度为 C．贴近小行星表面运行的卫星周期为 D．小行星的密度为 4．假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。在地球北极用弹簧测力测质量为m小球的重力，示数为F。若在地球内部，以地心O为圆心、为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现使该小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。则其在隧道中做匀速圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 5．某自转角速度较大的星球，半径为R，测得该星球极地的重力加速度是g1，赤道处的重力加速度是g2，则该星球的自转角速度是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）随着中国航天科技的飞跃发展，中国宇航员将登上月球。假设宇航员登月后，在月面做了一个自由落体运动的实验，将一小球由静止释放，经过一小段时间t，小球的速度大小为v0，已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，引力常量为G，一探测器在离月面的高度为月球半径倍的轨道上绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月面的重力加速度大小为 B．探测器的线速度大小为 C．月球的半径为2n2v0t D．月球的密度为 7．（多选）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星。如图所示，若北斗卫星导航系统中的一颗卫星a位于赤道上空的轨道Ⅰ上，其对地张角为60°，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星b的轨道，两卫星都沿逆时针方向转动。已知地球的半径为R，地球的自转周期为T0，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星a的周期为 C．同步卫星的轨道半径为 D．卫星b可以连续直接接收到卫星a发出的电磁波信号的时间为 课时精练 1．司马迁在《史记•天官书》中首次系统记载了“天赤道”的概念，并描述其与黄道的关系。如图所示，静置在地球黄道面和赤道面上的a、b两物体（　　） A．线速度相等 B．重力加速度相等 C．b所需的向心力更大 D．b的向心加速度更大 2．2023年5月30日，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”，随后，两个航天员乘组拍下“全家福”如图。若中国空间站绕地球可视为匀速圆周运动，已知空间站轨道离地面的高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．空间站的运行速度为 C．空间站的运行周期为 D．航天员能处于漂浮状态是因其受到的合力为零 3．万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。科学家们利用“计算、预测和观察”的方法寻找新的天体。下面被称为“笔尖下发现的行星”的是（　　） A．太阳 B．地球 C．海王星 D．月球 4．2024年11月25日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭采用一箭双星的方式成功将四维高景二号03星和04星送入预定轨道，假设两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动且轨道平面与赤道平面垂直，它们能对地面目标进行高分辨率的观测。如图所示，若04星对地球的最大观测角为α，04星连续观测北极地面上一固定目标的最长时间为t，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．相比04星，若03星的轨道半径更小，则其速度会更小 B．相比04星，若03星的轨道半径更小，则其周期会更大 C．04星做匀速圆周运动的周期为 D．根据题干已知条件，还可近似求出地球的质量和平均密度 5．宇航员登上某半径为R的球形未知天体，在该天体表面将一质量为m的小球以初速度v0竖直上抛，上升的最大高度为h，万有引力常量为G。则（　　） A．该星球表面重力加速度为 B．该星球质量为 C．该星球的近地面环绕卫星运行周期为 D．小球到达最大高度所需时间 6．2025年10月16日9时33分，我国在海南商业航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨12组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，若卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为R，引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 7．我国即将发射的“天问二号”探测器将首次实现从小行星2016HO3采样返回地球。该小行星绕太阳运行的轨道半长轴大于地球公转轨道半径。若将小行星看作质量分布均匀的球体，半径为R，密度与地球相同。已知探测器在地球表面附近做匀速圆周运动的周期为T0，地球半径为R0，引力常量为G。正确的说法是（　　） A．地球的质量 B．小行星的第一宇宙速度 C．小行星绕太阳运行周期小于地球公转周期 D．探测器在小行星表面附近做匀速圆周运动的周期等于T0 8．为了探测某星球，某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做无动力匀速圆周运动，测得运行周期为T，然后登陆该星球，测得物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半，已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则由此可得该星球的质量为（　　） A． B． C． D． 9．（多选）某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（　　） A．图线①是木星卫星运动的规律 B．地球的质量为 C．木星的密度为 D．木星与地球的密度之比为 10．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T；地球近地卫星的周期为T0；引力常量为G。则（　　） A．地球的半径 B．地球的半径 C．地球的密度为 D．地球的密度为 11．（多选）航天员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地＝1：4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响。则（　　） A．g′：g ＝ 1：5 B．g′：g ＝ 5：2 C．M星：M地 ＝ 1：20 D．M星：M地 ＝ 1：80 12．2020年12月17日，嫦娥五号完成月球火山岩采样，采样后返回时先进入近月圆轨道Ⅰ，再进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的N点与返回器对接，嫦娥五号在Ⅱ轨道上从M点飞行到N点的时间是在轨道Ⅰ上运行周期的倍，图中M、N分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，万有引力常量为G。月球表面的重力加速度为g，忽略月球自转。求： （1）月球的质量M； （2）N点离月球表面的高度。 13．航天员登陆某星球后站在星球表面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，并以绳断时的速度v0水平飞出，通过水平距离d后落于星球表面。已知握绳的手离星球表面的高度为d，手与球之间的绳长为，忽略星球上气体阻力。求： （1）星球表面的重力加速度大小g。 （2）绳所能承受的最大拉力大小Fmax。 （3）如果该星球半径为R，星球自转的周期为T，求该星球的同步卫星高度h。 14．“嫦娥六号”着陆月球过程如下：先在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅲ（可认为轨道半径等于月球半径），最后安全落在月球上，其中A、B两点分别为椭圆轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g0，万有引力常量为G。通过观测发现“嫦娥六号”在椭圆轨道Ⅱ的周期为近月轨道Ⅲ的周期的2倍。忽略月球自转的影响。求： （1）月球的平均密度ρ； （2）轨道Ⅰ的半径r。 15．如图所示，某星球水平地面上，固定放置一个直角三角形斜面AB，斜面的倾角θ＝30°，顶点A高h＝10m。将小球从A点以速度v0＝10m/s水平抛出，恰好落在B点，已知该星球半径R＝3000km，万有引力常数G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，求： （1）小球的飞行时间； （2）该星球表面重力加速度； （3）该星球的平均密度。 16．一宇航员为了估测某一星球表面的重力加速度和该星球的质量，在该星球表面将一小球从离地H高处静止释放，经时间t落到地面。已知该星球的半径为R，万有引力常数为G，忽略一切阻力。求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的质量M； （3）已知该星球的自转周期为T，求该星球同步卫星高度h。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $