7.1 行星的运动 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦“行星的运动”核心知识点，以开普勒三定律为基础，系统梳理万有引力定律的内容、表达式及适用条件，进而构建天体运动的匀速圆周运动模型，深入分析万有引力与重力的关系及不同位置重力加速度的比较，形成从规律到应用的完整学习支架。 资料通过分类题型（开普勒定律应用、万有引力定律计算等）和航天实例（嫦娥五号、天宫空间站），强化科学思维中的模型建构与科学推理，结合图表辅助理解物理观念。课时精练覆盖选择与计算，课中助力教师高效授课，课后便于学生自查补漏，培养严谨的科学态度与问题解决能力。

7.1 行星的运动 【基础回顾】 一、开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 二、万有引力定律 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 3.适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 三、天体运动问题分析 (1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。 (2)基本关系式 G＝ma＝ 四．万有引力与重力的关系 (1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (2)万有引力与重力的定量关系： ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg0。 ③由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极 (或不计自转) 赤道 g＝＝ (R－h) g＝ ＝ g＝ g＝－Rω 五、星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝. (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝.所以＝. 【必备知识】 1．对开普勒行星运动定律的三点说明 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 (3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 2．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)星体内部万有引力的两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0. ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G. 题型1 开普勒定律 【例题精讲】 1．如图所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运动，bd为其轨道长轴，半长轴为r，周期为T，图示中S1、S2两个面积大小相等。则（　　） A．行星从a到b的过程中加速度逐渐减小 B．卫星从a到b的速率逐渐增大 C．卫星从a到b的运行时间大于从c到d的时间 D．椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与卫星的质量有关 【答案】B 【解析】解：A、行星从a到b的过程中，卫星距离行星越来越近，可知引力逐渐增加，根据牛顿第二定律得加速度逐渐增加，故A错误； B、卫星从a到b引力做正功，根据动能定理知，速率逐渐增大，故B正确； C、因S1、S2两个面积大小相等，根据开普勒第二定律可知，卫星从a到b的运行时间等于从c到d的时间，故C错误； D、椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与行星的质量有关，与卫星的质量无关，故D错误。 故选：B。 2．如图所示，木星与地球在同一平面内绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动。当太阳、地球和木星三者共线且太阳位于地球和木星之间时，称为木星合日。已知木星的轨道半径大约是地球的5.2倍，地球的公转周期是1年，忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，则木星合日出现的周期约为（　　） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【解析】解：已知木星的轨道半径大约是地球的5.2倍，根据开普勒第三定律，可得：T木＝12T地＝12年 设木星合日出现的周期约为t，根据 可得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 3．火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中第二小的行星。已知火星的公转周期约为687天，把地球和太阳之间的平均距离计为1天文单位，结合天文常识可知，火星到太阳的平均距离约为（　　） A．1.5天文单位 B．2天文单位 C．2.5天文单位 D．3天文单位 【答案】A 【解析】解：A.由于地球和火星环绕太阳运动的中心天体都是太阳，常量 k 相同，根据开普勒第三定律有 平均距离 r地＝1 天文单位（AU），公转周期 T地≈365 天； 解得r火≈1.52天文单位，故A正确，BCD错误； 故选：A。 4．我国古代是农业社会，古代先贤在历法中加入反映太阳运行周期的“二十四节气”。已知春分、夏至、秋分和冬至地球所处的四个位置如图所示，下列说法正确的是（　　） A．地球经过冬至位置时的速度小于经过夏至位置时的速度 B．地球经过春分和秋分两位置时的加速度相同 C．地球从夏至位置运动到秋分位置所用的时间一定等于0.25年 D．由于太阳的“燃烧”导致太阳质量缓慢减小，则地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值缓慢减小 【答案】D 【解析】解：A.根据开普勒第二定律可知，近日点速率大于远日点速率，因此地球经过冬至位置时的速度大于经过夏至位置时的速度，故A错误； B.根据牛顿第二定律有，则地球经过春分和秋分两位置时的加速度大小相同，但方向不同，故B错误； C.地球绕太阳运动一圈的时间是T＝1年，地球从夏至位置运动到秋分位置时，平均速率偏小，所用时间偏大，因此地球从夏至位置运动到秋分位置所用的时间0.25年，故C错误； D.由牛顿第二定律有，解得可知，太阳质量缓慢减小时，地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值缓慢减小，故D正确。 故选：D。 5．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知土星的公转周期约为30年，则它相邻两次冲日的时间间隔约为（　　） A．0.5年 B．1年 C．30年 D．31年 【答案】B 【解析】解：已知T土＝30年，T＝1年，设相邻两次冲日的时间间隔为t，根据几何关系有（）•t＝2π，代入数据解得t≈1年，故B正确，ACD错误。 故选：B。 6.（多选）如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，A卫星与地心连线在t1时间内扫过的面积为S1，B卫星与地心连线在t2时间内扫过的面积为S2，若S1＝S2，则下列说法正确的是（　　） A．A卫星的线速度小于B卫星的线速度 B．A卫星的角速度大于B卫星的角速度 C．A、B两卫星做圆周运动的半径之比等于 D．A、B两卫星做圆周运动的半径之比等于 【答案】BC 【解析】解：AB、A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得， 可得，， 因rA＜rB可知vA＞vB，ωA＞ωB，故A错误，B正确。 CD、根据扇形面积公式得，A卫星与地心连线在t1时间内扫过的面积为S1，B卫星与地心连线在t2时间内扫过的面积为S2，若S1＝S2，可知， 可得，故C正确，D错误。 故选：BC。 7.（多选）如图所示，地球的公转轨道接近圆，周期为T1，哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，周期为T2。已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，地球公转轨道半径为r。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】解：AB、根据开普勒第二定律，设在极短时间Δt内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，有v1Δt•r1v2Δt•r2， 解得，故A正确，B错误； CD、根据开普勒第三定律有， 已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，所以a， 解得： ，故C错误，D正确。 故选：AD。 题型2 万有引力定律 【例题精讲】 1．某卫星绕地球做匀速圆周运动，其线速度为地球第一宇宙速度的，则卫星离地面的高度为地球半径的（　　） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．9倍 【答案】C 【解析】解：地球第一宇宙速度等于近地轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，万有引力提供向心力有 某卫星绕地球做匀速圆周运动，其线速度为地球第一宇宙速度的，根据万有引力提供向心力有 联立可得h＝8R 故ABD错误，C正确。 故选：C。 2．嫦娥五号返回器携带月壤绕月飞行的轨迹如图所示，其轨迹形似弹簧。将嫦娥五号沿近月轨道绕月运行视为匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，嫦娥五号离月面的高度为h，且r≫R，地球质量为m地，月球质量为m月，嫦娥五号质量为m嫦，引力常量为G，则（　　） A．月球绕地球运行的线速度大小为 B．嫦娥五号受到月球的万有引力大小为 C．当月球绕地球运行一圈时，嫦娥五号绕月球运行圈 D．当嫦娥五号绕月球运行一圈时，月球沿轨道运行的长度为 【答案】C 【解析】解：A、根据万有引力提供向心力，有 解得月球绕地球运行的线速度大小为，故A错误； B、根据万有引力公式可得嫦娥五号受到月球的万有引力大小为，故B错误； C、根据万有引力提供向心力，有 解得月球绕地球运动的周期为 根据万有引力提供向心力，有 解得月球绕地球运动的周期为 月球绕地球运行一圈时，嫦娥五号绕月球运行的圈数为圈，故C正确； D、当嫦娥五号绕月球运行一圈时，月球沿轨道运行的长度为，故D错误。 故选：C。 3．“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转轨道是一个椭圆将地球绕日一年转360度分为24份，每15度为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始。如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法正确的是（　　） A．地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度小 B．太阳对地球的万有引力大于地球对太阳的万有引力 C．开普勒第三定律中的k值大小由太阳系中各行星质量决定 D．地球每转过相同的角度，地球与太阳的连线扫过的面积相等 【答案】A 【解析】解：A.根据开普勒第二定律可知，地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度小，故A正确； B.由牛顿第三定律，太阳对地球的万有引力等于地球对太阳的万有引力，故B错误； C.开普勒第三定律中的k值大小由太阳系中中心天体太阳的质量决定，故C错误； D.由于地球绕太阳运动的轨迹是椭圆，则地球每转过相同的角度，所需的时间不同，根据开普勒第二定律知地球与太阳的连线扫过的面积不相等，故D错误。 故选：A。 4．北京时间2023年5月30日18时22分，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”。已知入驻后“天宫”总质量为m，距离地面的平均高度为h，地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G。则“天宫”受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据万有引力公式，故C正确，ABD错误。 故选：C。 5．质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：在赤道上，物体满足mg+mR，桌面对物块的支持力F′＝mgmR，根据牛顿第三定律可知，物块对桌面的压力大小为FmR，故C正确，ABD错误。 故选：C。 6.（多选）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步轨道距地面高度为h。某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R（2R＜h）的P点处。此时，电梯舱内一质量为m的乘客站在体重计上，体重计示数为F。引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．乘客在P点受到的万有引力大小为 B．乘客在P点的向心加速度小于 C．乘客在P点的线速度大小为 D．体重计的示数 【答案】BD 【解析】解：A、某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R（2R＜h）的P点处，万有引力定律得乘客在P点受到的万有引力大小为，故A错误； B、根据圆周运动公式得地球同步轨道上的空间站的向心加速度大小，因为乘客与空间站具有相同的角速度，但乘客在P点的运动半径小于地球同步轨道半径，所以乘客在P点的向心加速度小于，故B正确； C、假设乘客所受万有引力提供向心力得，解得， 但乘客还受到体重计的支持力，所以乘客在P点的线速度不等于，故C错误； D、根据牛顿第二定律得可知， 解得，故D正确。 故选：BD。 7.（多选）已知空间站质量为m，离地面的高度为h，地球的半径为R，地球的质量为M，万有引力常量为G。若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大小为 B．空间站的向心加速度大小为 C．空间站的运行周期为 D．空间站的角速度大小为 【答案】BD 【解析】解：根据ma可得，空间站的线速度大小为v，空间站的向心加速度大小为a，空间站的运行周期为T，空间站的角速度大小为，故BD正确，AC错误。 故选：BD。 题型3 万有引力定律及重力加速度的理解 【例题精讲】 1．如图，一半径为2R，质量为M且分布均匀的大球体被挖去了半径为R的小球体（阴影部分），球外有一质点，质量为m，可在距离球心3R的圆形虚线轨道ABCD上任意移动，AC通过虚线轨道与大球球心和被挖去的小球球心，AC与BD相互垂直。则（　　） A．质点在A处受到的万有引力最小 B．质点在C处受到的万有引力是 C．质点在B处受到的万有引力比在C点受到的小 D．质点顺时针从A到C过程中受到的万有引力先变小后变大 【答案】B 【解析】解：设大球体的重心为O，小球体重心为Q，残缺球体的重心为P， 对大球体，有：M，对小球体M′，残缺球体质量M″＝M﹣M′，代入数据可得：M′，M″， 质点在C点时，与大球体的万有引力F1，与小球体的万有引力F2，与残缺球体的万有引力F3，又F1＝F2+F3，代入数据可得：，F3， 由几何关系可知，质点在虚线轨道上时，xAP＜xBP＝xDP＜xCP，所以质点在A处受到的万有引力最大，在C处受到的万有引力最小，从A到C顺时针运动过程中，万有引力已知变小，故ACD错误，B正确。 故选：B。 2．万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，下列说法正确的是（　　） A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为 B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为 C．在北极矿井底部称量时，弹簧测力计读数为 D．在轨道半径为R+h的空间站称量时，弹簧测力计读数为 【答案】C 【解析】解：A．物体在两极时，万有引力等于重力，则有 故A错误； B．在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有 故B错误； C．在北极矿井底部称量时，万有引力等于重力，在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则有 故C正确； D．在空间站称量时，物体处于完全失重，则有 故D错误。 故选：C。 3．如图所示，有一质量分布均匀、半径为R的球形物体，一可视为质点的小球放在距离球形物体球心O点3R处。在小球和物体球心的连线上紧靠球形物体的最左侧挖走一半径为的球，则剩余的阴影部分对小球的万有引力与挖走前球形物体对小球万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设球原来质量为M，挖走部分质量为M′，则 整个大球对小球的万有引力大小为 挖走部分对小球的万有引力大小为 解得 所以剩余的阴影部分对小球的万有引力大小为 所以，故C正确，ABD错误。 故选：C。 4．已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。若将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，且不计地球自转。设地球表面上方高R处的重力加速度为g1，地球表面下方深0.5R处的重力加速度为g2，则为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设地球的质量为M，根据万有引力与重力的关系：mg1， 地球表面下方深0.5R处满足：mg2， 结合M′＝ρπ（0.5R）3，M＝ρπR3 解得： 故ACD错误，B正确； 故选：B。 5．有一半径为R的匀质球体，距离球心2R处有一质点P。现从球体中心挖去半径为的球体，如图所示。则挖去前后质点P受到万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由万有引力定律：，匀质球体质量， 挖去前原球体对质点P（与球心间距r ＝ 2R）的引力， 挖去部分球心与质点P间距也为2R，根据万有引力定律，挖去部分对质点P的引力 ，则挖去前后质点P受到万有引力的比值为， 故ABD错误，C正确； 故选：C。 6.（多选）如图所示，已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为O1，质量为8M，今在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为O2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O3，图中O1、O2、切点及O3点共线，关于挖去后剩余部分对小球的引力说法正确的是（　　） A．可以直接利用万有引力定律进行计算大小 B．不可以直接利用万有引力定律进行计算大小 C．大小为 D．大小为 【答案】BC 【解析】解：AB、剩余部分为非均匀球体，不能直接用万有引力定律计算，故A错物，B正确； CD、根据体积公式 挖去的个半径为的小球的体积为原来球的体积的，则其质量为原球质量的，即为M，用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力 故C正确，D错误。 故选：BC。 7.（多选）某同学设计贯通地球的弦线列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O′为隧道的中点，O′与地心O的距离为hR，地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为零，P点到O′的距离为x，不计空气阻力与摩擦阻力，忽略地球自转的影响，则（　　） A．列车在隧道中A点所受的支持力Fmg B．列车在隧道中一直做加速运动 C．列车运动到P点时的加速度ag D．列车运动过程中的最大速度v 【答案】AC 【解析】解：A．设列车在A时∠AOO′＝θ，列车在A点受到地球的引力F0＝mg，列车在A点受到的支持力为F＝F0cosθ，根据几何关系有，联立解得，故A正确； B．列车在隧道中AO′过程中受到合力水平向右，这时合力方向与运动方向相同，则列车做加速运动，根据对称性可知在O'B过程中受到合力水平向左，这时合力方向与运动方向相反，则列车做减速运动，所以列车在隧道中先做加速运动，后做减速运动，故B错误； C．设地球的质量为M，列车运动到P点距地心为r，∠POO′＝θ′，根据几何关系有，根据牛顿第二定律可得列车运动到P点加速度，地球为均匀球体，则，而，联立解得，故C正确； D．列车在隧道内距O′的距离x时合力为，所以F合随x均匀变化，列车在O′点有最大速度，根据动能定理则有，根据几何关系有，联立解得，故D错误。 故选：AC。 课时精练 1．2024年3月20日，“鹊桥二号”中继卫星在我国文昌航天发射场成功发射升空，“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，该卫星主要为我国探月四期工程提供中继通信支持，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知月球与地球质量分别为m、M，则地球同步卫星的轨道半径可表示为（　　） A．a B． C．（a D．（a 【答案】C 【解析】解：根据开普勒第三定律 结合万有引力公式 可知 可得 所以 故C正确，ABD错误。 故选：C。 2．某行星绕太阳运动的轨道如图所示，a到太阳中心的距离为r，速率为v1，b到太阳中心的距离为R，速率为v2。则以下说法正确的是（　　） A．太阳在椭圆的中心上 B．该行星在a点的速率比在b、c两点的速率都小 C．该行星在c点的速率比在a、b两点的速率都大 D．rv1＝Rv2 【答案】D 【解析】解：A、根据开普勒第一定律得太阳在椭圆的焦点上，故A错误； BC、根据开普勒第二定律得该行星在近日点a的速率最大，在远日点b时速率最小，即在a点的速率比在b、c两点的速率都大，c点的速率比b点的速率大，故BC错误； D、根据开普勒第二定律，设在极短时间Δt内，在近日点和远日点行星与太阳中心的连线扫过的面积相等， 在ab两点的速率满足，即rv1＝Rv2，故D正确。 故选：D。 3．2025年9月9日，我国用捷龙三号运载火箭，成功将吉利星座05组卫星发射升空。如图所示，卫星先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在远地点P点火加速，进入圆形轨道Ⅱ。下列说法正确的是（　　） A．卫星在近地点的速率小于远地点的速率 B．卫星从近地点到远地点的过程中引力做负功 C．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等 D．卫星在轨道Ⅰ上经过P点时的加速度小于在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度 【答案】B 【解析】解：A、根据开普勒第二定律，卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等。卫星从近地点向远地点运动时，距离地心越来越远，为保证相同时间扫过面积相等，速度会越来越小，所以卫星在近地点的速率大于远地点的速率，故A错误； B、卫星从近地点到远地点的过程中，卫星远离地球，引力方向与运动方向夹角大于90°，根据功的计算公式W＝Fscosθ，此时cosθ＜0，所以引力做负功，故B正确； C、开普勒第二定律（面积定律）是针对同一轨道而言的，卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ是不同轨道，所以卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上与地心的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故C错误； D、根据牛顿第二定律F＝ma，，可得。卫星在轨道Ⅰ上经过P点和在轨道Ⅱ上经过P点时，到地心距离r相等，所以加速度相等，故D错误。 故选：B。 4．假设航天员在探索某颗质量为地球质量的4倍、半径也为地球半径的4倍的星球。航天员从离该星球表面高度为1.25m处以大小为4m/s的速度水平抛出一小球，取地球表面重力加速度大小g＝10m/s2，不考虑地球和该星球的自转，则该小球从抛出到落至星球表面过程中的水平位移大小为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】D 【解析】解：根据万有引力和重力的关系可得：mg 则有： 解得：g星＝2.5m/s2 物体在星球上做平抛运动：h 解得：t＝1s 水平位移：x＝vt＝4×1m/s＝4m/s，故D正确、ABC错误。 故选：D。 5．月球绕地球的公转、地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。已知太阳和地球的间距约为1.5×1011m，月球和地球的间距约为3.8×108m，太阳的质量约为2.0×1030kg，地球的质量约为6.0×1024kg，月球的质量约为7.3×1022kg。下列说法正确的是（　　） A．月球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动 B．月球对地球的引力约等于太阳对地球的引力 C．太阳对月球的引力远小于地球对月球的引力 D．太阳对月球的引力约为地球对月球的引力的两倍 【答案】D 【解析】解：A.月球绕太阳的运动是月球绕地球运动（本轮运动）和随地球绕太阳运动（均轮运动） 的叠加，其轨迹是滚轮线（摆线），不可能是匀速圆周运动，故A错误； BCD.由万有引力定律公式F，代入题中数据计算得知，太阳对地球的引力约为月球对地球引力的176倍，太阳对月球的引力约为地球对月球引力的2.1倍，故BC错误，D正确。 故选：D。 6．如图所示，三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心，圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为（　　） A．F，2F B．F，0 C．F，2F D．F，F 【答案】B 【解析】解：将甲图圆环看成是三个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零 根据对称性可知 圆环对球的万有引力大小为F，所以圆环对球的万有引力大小为F 将乙图半圆环看成是两个圆环的组合，根据平行四边形定则，乙图半圆环对球的万有引力大小为F，方向向上 将丙图完整圆环看成是4个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零 因此丙图整个圆环对球的引力为0。 故ACD错误，B正确。 故选：B。 7．天宫空间站是继国际空间站之后，人类正在轨运行的第二座空间站，可近似认为天宫空间站在距离地面的高度约为400km的圆轨道上做匀速圆周运动。天舟货运飞船被人们称为太空快递，它往返于天宫空间站和地球之间，定期向天宫空间站运送物资，其轨道示意图如图中虚线所示。已知地球半径为6400km，地球同步卫星的轨道高度约为地球半径的5.6倍，下列说法正确的是（　　） A．天舟飞船在A点的运行速度等于7.9km/s B．天宫空间站的加速度约为地球同步卫星加速度的6.2倍 C．航天员进驻空间站后受地球的万有引力大小约为在地面时的0.9倍 D．天舟飞船在运动到B点时需减速才能和天宫号进行对接 【答案】C 【解析】解：A.天舟飞船在近地轨道运行时，运行速度等于7.9km/s，从近地轨道进入椭圆轨道，在A点需要加速，所以天舟飞船在A点的运行速度大于7.9km/s，故A错误； B.根据ma，得a，则，代入r同＝6.6R，r天＝R+h，R＝6400km，h＝400km，解得38.6，故B错误； C.航天员在地面F，在空间站有F′，代入数据解0.9，故C正确； D.天舟飞船在运动到B点时的速度小于在圆形轨道上的天宫空间站的速度，因此天舟需加速才能和天宫号进行对接，故D错误。 故选：C。 8．A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，如图甲所示。两卫星之间的距离Δr随时间周期性变化，如图乙所示。仅考虑地球对卫星的引力，下列说法正确的是（　　） A．A、B的轨道半径之比为1：2 B．A、B的线速度之比为1：2 C．A的运动周期大于B的运动周期 D．A、B的向心速度之比为2：1 【答案】A 【解析】解：A、由题意及题图可知 rA+rB＝6r rB﹣rA＝2r 解得 rA＝2r rB＝4r 所以rA：rB＝1：2，故A正确； B、对于卫星其受到的万有引力提供向心力，有 解得 故有 故B错误； C、对于卫星其受到的万有引力提供向心力，有 解得 有上述结果分析可知，卫星运行的轨道越大，其运行的周期越大，由于rB＞rA，所以TB＞TA，故C错误； D、对于卫星其受到的万有引力提供圆周运动的向心力，有 解得 结合之前的分析有，整理有 aA：aB＝4：1 故D错误。 故选：A。 9.（多选）万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它于1687年发表在传世之作《自然哲学的数学原理》中。关于万有引力定律，下列说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律 B．卡文迪什测出了引力常量G的值 C．月球离地球很远，故月球不受地球的万有引力 D．当两物体的距离r趋近于零时，物体间的万有引力F将趋近于无穷大 【答案】AB 【解析】解：A、牛顿发现了万有引力定律，故A正确； B、卡文迪什通过扭秤实验首次测定了引力常量G的值，故B正确； C、根据万有引力定律的内容：自然界的任何物体都相互吸引，所以无论距离远近，月球仍受地球引力作用，故C错误； D、当两物体的距离r趋近于零时，两个物体就不能当成质点来看，所以不能用万有引力的公式计算，即万有引力公式不再适用，故D错误。 故选：AB。 10．（多选）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2＝kt1（k为已知常数），假设A与B只受到行星的引力，根据图像及时间关系可能求出（　　） A．卫星A与B的绕行周期比 B．行星与卫星A的质量比 C．卫星A与B的质量比 D．卫星A与B的密度比 【答案】AC 【解析】解：A、由图像可知卫星A的周期t1；卫星B的周期2t2；可知卫星A与B的绕行周期比1：2k，故A正确； BCD、由图可知，当A卫星离行星的距离rA最小时，卫星A受到的万有引力最大，根据万有引力定律有 当rA最大时，卫星A受到的万有引力最小，根据万有引力定律有 联立可得 由图可知，当rB最小时，卫星B受到的万有引力最大，根据万有引力定律有 当rB最大时，卫星B受到的万有引力最小，根据万有引力定律有 联立可得 结合前面分析，根据开普勒第三定律的变形可得 联立可得 根据万有引力定律有，， 联立可求解AB质量之比；但不能求解行星的质量M，因AB的半径不能确定，则不能求解AB的密度之比，故BD错误，C正确。 故选：AC。 11．（多选）科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图为地球绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，已知LOA＝b，LOB＝a，且地球绕太阳一周的时间为T，椭圆面积为S＝πab。下列说法正确的是（　　） A．地球在A点和C点的速度相同 B．地球从B点运动到D点的过程中太阳对地球的引力做负功 C．根据题中条件可知，太阳的质量为 D．地球从A运动到B所用时间为 【答案】BCD 【解析】解：A．根据对称性可知，地球在A点和C点到太阳的间距相等，地球在A点和C点的速度大小相等，但速度方向不同，则地球在A点和C点的速度不相同，故A错误； B．地球从B点运动到D点的过程中，万有引力方向与速度方向夹角为钝角，太阳对地球的引力做负功，故B正确； C．根据开普勒第三定律有 若绕太阳轨迹为圆，则有 则有 解得 故C正确； D．太阳位于椭圆的焦点位置，令太阳到椭圆中心的距离为c，则有c2＝a2﹣b2 椭圆面积为S＝πab 令地球从A运动到B所用时间为t，该时间内地球与太阳连线扫过的面积 根据开普勒第二定律有 解得 故D正确。 故选：BCD。 12．如图所示为两颗地球卫星的轨道示意图，卫星1圆轨道半径为R，卫星2的轨道是椭圆，且与卫星1的轨道相切于A点，B为其远地点。某时刻两颗卫星同时经过A点，当卫星2第一次运动到B时，卫星1恰好第4次返回A。已知引力常量为G，地球的质量为M，求： （1）卫星1的速度大小v1； （2）A、B间距离L。 【答案】（1）卫星1的速度大小v1为； （2）A、B间距离L为8R。 【解析】解：（1）由万有引力提供向心力，可得 解得 （2）由题意可知，T2＝8T1 设轨道2的半长轴为r，由开普勒第三定律公式可得 解得 r＝4R A、B间距离L＝8R 答：（1）卫星1的速度大小v1为； （2）A、B间距离L为8R。 13．中国载人空间站“天宫”的运行轨道可以视作圆轨道，距离地面高度为h。已知地球质量为M，半径为R，空间站的质量为m，引力常量为G，求： （1）地球与空间站之间万有引力的大小F； （2）空间站绕地球运行的线速度的大小v。 【答案】（1）地球与空间站之间万有引力的大小F为； （2）空间站绕地球运行的线速度的大小v为。 【解析】解：（1）根据万有引力表达式 整理上式解得地球与空间站之间万有引力的大小 （2）对空间站有 整理上式解得。 答：（1）地球与空间站之间万有引力的大小F为； （2）空间站绕地球运行的线速度的大小v为。 14．牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题： （1）某行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，设太阳的质量为M，行星质量为m0，若行星在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比； （2）行星绕太阳运动轨迹可近似看作匀速圆周运动。设行星质量为m，绕太阳公转的周期为T，行星的轨道半径为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 【答案】（1）行星在近日点和远日点的加速度大小之比为； （2）证明过程见解析。 【解析】解：（1）设行星的加速度为a，根据牛顿第二定律有 解得a 则行星在近日点和远日点的加速度大小之比为 （2）行星绕太阳的运动轨迹非常接近园，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有 又有，v 解得F 可知，太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 答：（1）行星在近日点和远日点的加速度大小之比为； （2）证明过程见解析。 15．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，有一质量为M、半径为R、球心为O、密度均匀的球体，距球体表面R处有一质量为m0的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为F0（未知），从球O中挖去一半径为的球体O′后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求： （1）质点Q在距球心2R的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小； （2）如图所示，若质点Q在空腔中任意一位置P时，它所受球壳A的万有引力大小。 【答案】（1）它受到球壳A的万有引力大小等于； （2）它所受球壳A的万有引力大小等于。 【解析】解：（1）设球的密度为ρ，则挖去的小球质量为 质点Q受到球壳A的引力为 解得 （2）大球对P点的引力为 小球对P点的引力为 故P点受力为 由三角形法则可知 解得 答：（1）它受到球壳A的万有引力大小等于； （2）它所受球壳A的万有引力大小等于。 16．用弹簧秤称量一个相对地球静止的小物体受到的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 （1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值。（计算结果保留2位有效数字） （2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。 【答案】（1）的表达式为；h＝1.0%R的情形算出具体数值为0.98； （2）的表达式为。 【解析】解：（1）在北极，物体受到的重力等于地球的引力。则 在北极上空高出地面h处测量 则 当h＝1.0%R时，将h＝1.0%R代入 则有 （2）在赤道，考虑地球的自转，地球的引力提供重力（大小等于弹簧秤示数）与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有 得 。 答：（1）的表达式为；h＝1.0%R的情形算出具体数值为0.98； （2）的表达式为。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 行星的运动 【基础回顾】 一、开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 二、万有引力定律 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 3.适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 三、天体运动问题分析 (1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。 (2)基本关系式 G＝ma＝ 四．万有引力与重力的关系 (1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (2)万有引力与重力的定量关系： ①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 ②在两极上：G＝mg0。 ③由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极 (或不计自转) 赤道 g＝＝ (R－h) g＝ ＝ g＝ g＝－Rω 五、星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝. (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝.所以＝. 【必备知识】 1．对开普勒行星运动定律的三点说明 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 (3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 2．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)星体内部万有引力的两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0. ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G. 题型1 开普勒定律 【例题精讲】 1．如图所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运动，bd为其轨道长轴，半长轴为r，周期为T，图示中S1、S2两个面积大小相等。则（　　） A．行星从a到b的过程中加速度逐渐减小 B．卫星从a到b的速率逐渐增大 C．卫星从a到b的运行时间大于从c到d的时间 D．椭圆轨道半长轴立方与周期平方的比值只与卫星的质量有关 2．如图所示，木星与地球在同一平面内绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动。当太阳、地球和木星三者共线且太阳位于地球和木星之间时，称为木星合日。已知木星的轨道半径大约是地球的5.2倍，地球的公转周期是1年，忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，则木星合日出现的周期约为（　　） A．年 B．年 C．年 D．年 3．火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中第二小的行星。已知火星的公转周期约为687天，把地球和太阳之间的平均距离计为1天文单位，结合天文常识可知，火星到太阳的平均距离约为（　　） A．1.5天文单位 B．2天文单位 C．2.5天文单位 D．3天文单位 4．我国古代是农业社会，古代先贤在历法中加入反映太阳运行周期的“二十四节气”。已知春分、夏至、秋分和冬至地球所处的四个位置如图所示，下列说法正确的是（　　） A．地球经过冬至位置时的速度小于经过夏至位置时的速度 B．地球经过春分和秋分两位置时的加速度相同 C．地球从夏至位置运动到秋分位置所用的时间一定等于0.25年 D．由于太阳的“燃烧”导致太阳质量缓慢减小，则地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值缓慢减小 5．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知土星的公转周期约为30年，则它相邻两次冲日的时间间隔约为（　　） A．0.5年 B．1年 C．30年 D．31年 6.（多选）如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动，A卫星与地心连线在t1时间内扫过的面积为S1，B卫星与地心连线在t2时间内扫过的面积为S2，若S1＝S2，则下列说法正确的是（　　） A．A卫星的线速度小于B卫星的线速度 B．A卫星的角速度大于B卫星的角速度 C．A、B两卫星做圆周运动的半径之比等于 D．A、B两卫星做圆周运动的半径之比等于 7.（多选）如图所示，地球的公转轨道接近圆，周期为T1，哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，周期为T2。已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，地球公转轨道半径为r。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2 万有引力定律 【例题精讲】 1．某卫星绕地球做匀速圆周运动，其线速度为地球第一宇宙速度的，则卫星离地面的高度为地球半径的（　　） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．9倍 2．嫦娥五号返回器携带月壤绕月飞行的轨迹如图所示，其轨迹形似弹簧。将嫦娥五号沿近月轨道绕月运行视为匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，嫦娥五号离月面的高度为h，且r≫R，地球质量为m地，月球质量为m月，嫦娥五号质量为m嫦，引力常量为G，则（　　） A．月球绕地球运行的线速度大小为 B．嫦娥五号受到月球的万有引力大小为 C．当月球绕地球运行一圈时，嫦娥五号绕月球运行圈 D．当嫦娥五号绕月球运行一圈时，月球沿轨道运行的长度为 3．“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转轨道是一个椭圆将地球绕日一年转360度分为24份，每15度为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始。如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法正确的是（　　） A．地球公转到夏至时的速度比冬至时的速度小 B．太阳对地球的万有引力大于地球对太阳的万有引力 C．开普勒第三定律中的k值大小由太阳系中各行星质量决定 D．地球每转过相同的角度，地球与太阳的连线扫过的面积相等 4．北京时间2023年5月30日18时22分，翘盼已久的神舟十五号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十六号航天员乘组入驻“天宫”。已知入驻后“天宫”总质量为m，距离地面的平均高度为h，地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G。则“天宫”受到地球的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 5．质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于（　　） A． B． C． D． 6.（多选）如图所示，科学家设想在赤道平面内建造一条垂直于地面、延伸至太空的电梯轨道——“太空电梯”。乘客乘坐电梯舱可沿轨道从地面直接到达地球同步轨道上的空间站。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步轨道距地面高度为h。某时刻电梯舱停留在距地面高度为2R（2R＜h）的P点处。此时，电梯舱内一质量为m的乘客站在体重计上，体重计示数为F。引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．乘客在P点受到的万有引力大小为 B．乘客在P点的向心加速度小于 C．乘客在P点的线速度大小为 D．体重计的示数 7.（多选）已知空间站质量为m，离地面的高度为h，地球的半径为R，地球的质量为M，万有引力常量为G。若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．空间站的线速度大小为 B．空间站的向心加速度大小为 C．空间站的运行周期为 D．空间站的角速度大小为 题型3 万有引力定律及重力加速度的理解 【例题精讲】 1．如图，一半径为2R，质量为M且分布均匀的大球体被挖去了半径为R的小球体（阴影部分），球外有一质点，质量为m，可在距离球心3R的圆形虚线轨道ABCD上任意移动，AC通过虚线轨道与大球球心和被挖去的小球球心，AC与BD相互垂直。则（　　） A．质点在A处受到的万有引力最小 B．质点在C处受到的万有引力是 C．质点在B处受到的万有引力比在C点受到的小 D．质点顺时针从A到C过程中受到的万有引力先变小后变大 2．万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极沿地轴有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，下列说法正确的是（　　） A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为 B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为 C．在北极矿井底部称量时，弹簧测力计读数为 D．在轨道半径为R+h的空间站称量时，弹簧测力计读数为 3．如图所示，有一质量分布均匀、半径为R的球形物体，一可视为质点的小球放在距离球形物体球心O点3R处。在小球和物体球心的连线上紧靠球形物体的最左侧挖走一半径为的球，则剩余的阴影部分对小球的万有引力与挖走前球形物体对小球万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 4．已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。若将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，且不计地球自转。设地球表面上方高R处的重力加速度为g1，地球表面下方深0.5R处的重力加速度为g2，则为（　　） A．1 B． C． D． 5．有一半径为R的匀质球体，距离球心2R处有一质点P。现从球体中心挖去半径为的球体，如图所示。则挖去前后质点P受到万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 6.（多选）如图所示，已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为O1，质量为8M，今在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为O2，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为O3，图中O1、O2、切点及O3点共线，关于挖去后剩余部分对小球的引力说法正确的是（　　） A．可以直接利用万有引力定律进行计算大小 B．不可以直接利用万有引力定律进行计算大小 C．大小为 D．大小为 7.（多选）某同学设计贯通地球的弦线列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O′为隧道的中点，O′与地心O的距离为hR，地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为零，P点到O′的距离为x，不计空气阻力与摩擦阻力，忽略地球自转的影响，则（　　） A．列车在隧道中A点所受的支持力Fmg B．列车在隧道中一直做加速运动 C．列车运动到P点时的加速度ag D．列车运动过程中的最大速度v 课时精练 1．2024年3月20日，“鹊桥二号”中继卫星在我国文昌航天发射场成功发射升空，“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，该卫星主要为我国探月四期工程提供中继通信支持，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知月球与地球质量分别为m、M，则地球同步卫星的轨道半径可表示为（　　） A．a B． C．（a D．（a 2．某行星绕太阳运动的轨道如图所示，a到太阳中心的距离为r，速率为v1，b到太阳中心的距离为R，速率为v2。则以下说法正确的是（　　） A．太阳在椭圆的中心上 B．该行星在a点的速率比在b、c两点的速率都小 C．该行星在c点的速率比在a、b两点的速率都大 D．rv1＝Rv2 3．2025年9月9日，我国用捷龙三号运载火箭，成功将吉利星座05组卫星发射升空。如图所示，卫星先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在远地点P点火加速，进入圆形轨道Ⅱ。下列说法正确的是（　　） A．卫星在近地点的速率小于远地点的速率 B．卫星从近地点到远地点的过程中引力做负功 C．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等 D．卫星在轨道Ⅰ上经过P点时的加速度小于在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度 4．假设航天员在探索某颗质量为地球质量的4倍、半径也为地球半径的4倍的星球。航天员从离该星球表面高度为1.25m处以大小为4m/s的速度水平抛出一小球，取地球表面重力加速度大小g＝10m/s2，不考虑地球和该星球的自转，则该小球从抛出到落至星球表面过程中的水平位移大小为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 5．月球绕地球的公转、地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。已知太阳和地球的间距约为1.5×1011m，月球和地球的间距约为3.8×108m，太阳的质量约为2.0×1030kg，地球的质量约为6.0×1024kg，月球的质量约为7.3×1022kg。下列说法正确的是（　　） A．月球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动 B．月球对地球的引力约等于太阳对地球的引力 C．太阳对月球的引力远小于地球对月球的引力 D．太阳对月球的引力约为地球对月球的引力的两倍 6．如图所示，三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心，圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为（　　） A．F，2F B．F，0 C．F，2F D．F，F 7．天宫空间站是继国际空间站之后，人类正在轨运行的第二座空间站，可近似认为天宫空间站在距离地面的高度约为400km的圆轨道上做匀速圆周运动。天舟货运飞船被人们称为太空快递，它往返于天宫空间站和地球之间，定期向天宫空间站运送物资，其轨道示意图如图中虚线所示。已知地球半径为6400km，地球同步卫星的轨道高度约为地球半径的5.6倍，下列说法正确的是（　　） A．天舟飞船在A点的运行速度等于7.9km/s B．天宫空间站的加速度约为地球同步卫星加速度的6.2倍 C．航天员进驻空间站后受地球的万有引力大小约为在地面时的0.9倍 D．天舟飞船在运动到B点时需减速才能和天宫号进行对接 8．A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，如图甲所示。两卫星之间的距离Δr随时间周期性变化，如图乙所示。仅考虑地球对卫星的引力，下列说法正确的是（　　） A．A、B的轨道半径之比为1：2 B．A、B的线速度之比为1：2 C．A的运动周期大于B的运动周期 D．A、B的向心速度之比为2：1 9.（多选）万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它于1687年发表在传世之作《自然哲学的数学原理》中。关于万有引力定律，下列说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律 B．卡文迪什测出了引力常量G的值 C．月球离地球很远，故月球不受地球的万有引力 D．当两物体的距离r趋近于零时，物体间的万有引力F将趋近于无穷大 10．（多选）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中t2＝kt1（k为已知常数），假设A与B只受到行星的引力，根据图像及时间关系可能求出（　　） A．卫星A与B的绕行周期比 B．行星与卫星A的质量比 C．卫星A与B的质量比 D．卫星A与B的密度比 11．（多选）科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图为地球绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，已知LOA＝b，LOB＝a，且地球绕太阳一周的时间为T，椭圆面积为S＝πab。下列说法正确的是（　　） A．地球在A点和C点的速度相同 B．地球从B点运动到D点的过程中太阳对地球的引力做负功 C．根据题中条件可知，太阳的质量为 D．地球从A运动到B所用时间为 12．如图所示为两颗地球卫星的轨道示意图，卫星1圆轨道半径为R，卫星2的轨道是椭圆，且与卫星1的轨道相切于A点，B为其远地点。某时刻两颗卫星同时经过A点，当卫星2第一次运动到B时，卫星1恰好第4次返回A。已知引力常量为G，地球的质量为M，求： （1）卫星1的速度大小v1； （2）A、B间距离L。 13．中国载人空间站“天宫”的运行轨道可以视作圆轨道，距离地面高度为h。已知地球质量为M，半径为R，空间站的质量为m，引力常量为G，求： （1）地球与空间站之间万有引力的大小F； （2）空间站绕地球运行的线速度的大小v。 14．牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题： （1）某行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，设太阳的质量为M，行星质量为m0，若行星在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比； （2）行星绕太阳运动轨迹可近似看作匀速圆周运动。设行星质量为m，绕太阳公转的周期为T，行星的轨道半径为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 15．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，有一质量为M、半径为R、球心为O、密度均匀的球体，距球体表面R处有一质量为m0的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为F0（未知），从球O中挖去一半径为的球体O′后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求： （1）质点Q在距球心2R的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小； （2）如图所示，若质点Q在空腔中任意一位置P时，它所受球壳A的万有引力大小。 16．用弹簧秤称量一个相对地球静止的小物体受到的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 （1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值。（计算结果保留2位有效数字） （2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $