微专题12 数列的递推关系 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦数列递推关系这一高考核心考点，围绕化归思想，将递推类型按aₙ₊₁=paₙ+f(n)、二阶递推、分式型等系统分类，通过高考真题引入、典型例题分类型讲解、规律方法总结及分层训练，帮助学生构建递推转化的知识体系，突破等差等比转化难点。 资料以分类突破与素养培养为特色，如分式型递推通过取倒数转化为线性关系，培养数学思维中的推理能力，二阶递推用特征根法构建模型发展模型意识。设置基础到综合的分层练习与即时反馈，确保学生高效掌握转化方法，为教师把控复习节奏提供精准指导，提升学生应考能力。

微专题12　数列的递推关系 近几年高考：数列的递推关系是高考重点考查内容,作为两类特殊数列——等差数列、等比数列,可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解,体现了化归思想在数列中的应用. 1、 高考真题 1.(2021·浙江卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则(　　) A.<S100<3 B.3<S100<4 C.4<S100< D.<S100<5 答案　A 解析　因为a1=1,an+1=, 所以an>0,a2=, 所以S100>a1+a2=. 又==+=-, 所以<, 即有<+, 即-<, 由=1,-<,…,-<, 由累加法可得≤1+=, 所以≥, 所以an+1=≤=an, 即≤,可得≤,…,≤, 由累乘法可得an≤=6(当且仅当n=1时取等号), 所以S100<6=6<3,故选A. 2.(2019·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　　.  答案　 解析　n=1时,S1+a1=2,∴a1=1. n≥2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2, 两式相减得an=an-1(n≥2), ∴{an}是以1为首项,为公比的等比数列, ∴S5==. 3.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=　　　　.  答案　7 解析　因为an+2+(-1)nan=3n-1, 所以当n为偶数时,an+2+an=3n-1, 所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29, a16+a14=41, 所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92. 因为数列{an}的前16项和为540, 所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15 =540-92=448.① 因为当n为奇数时,an+2-an=3n-1, 可得an-an-2=3(n-2)-1,…, a3-a1=3×1-1, 累加可得an-a1=3-=, 即an=+a1, ∴a1+a3+…+a15=8a1+(0+8+40+96+176+280+408+560)=448, 即8a1=56,所以a1=7. 4.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论: ①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列; ③{an}为递减数列;④{an}中存在小于的项, 其中所有正确结论的序号是　　　　.  答案　①③④ 解析　由题意可知,∀n∈N*,an>0, 当n=1时,=9,可得a1=3; 当n≥2时,由Sn=, 可得Sn-1=, 两式作差可得an=-, 所以=-an,则-a2=3, 整理可得+3a2-9=0. 因为a2>0, 所以解得a2=<3,①正确; 假设数列{an}为等比数列,设其公比为q, 则=a1a3, 即=,所以=S1S3, 可得(1+q)2=(1+q+q2), 解得q=0,不合题意, 故数列{an}不是等比数列,②错误; 当n≥2时,an=-=>0, 可得an<an-1, 所以数列{an}为递减数列,③正确; 对于④,假设{an}中每一项均大于或等于, 当n取值变大时,Sn也逐渐增大, 当n>90 000时,Sn>900,又an≥, ∴an·Sn>×900=9,与an·Sn=9矛盾,故④正确. 二．典型例题 1.形如an+1=pan+f(n)型 （1）　an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0) 例1 在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an=3n+2 解析　法一(构造法)　由an+1=3an-4, 设an+1-λ=3(an-λ), 即an+1=3an-2λ,故2λ=4,λ=2, 则an+1-2=3(an-2), 又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3为首项, 3为公比的等比数列, 所以an-2=3n,即an=3n+2. 法二(不动点法)　令3x-4=x,解得不动点x=2, 由an+1=3an-4,得an+1-2=3(an-2) 所以数列{an-2}是以a1-2=3为首项, 3为公比的等比数列,所以an-2=3n, 即an=3n+2. （2）　an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0) 例2 已知数列{an}满足an+1=3an-4n-5,a1=5,求数列{an}的通项公式. 解　由an+1=3an-4n-5, 设an+1+λ(n+1)=3(an+λn)+m, 即an+1=3an+2λn-λ+m, 故 所以an+1-2(n+1)=3(an-2n)-7. 令bn=an-2n,则上式为bn+1=3bn-7. 法一(构造法)　设bn+1+k=3(bn+k), 即bn+1=3bn+2k, 故2k=-7,k=-, 所以数列是首项为-,公比为3的等比数列,则bn-=-·3n-1,bn=-·3n-1+, 故an=-·3n-1+2n+. 法二(不动点法)　令3x-7=x,得x=, 由bn+1=3bn-7得bn+1-=3, 所以数列是首项为-,公比为3的等比数列,则bn-=-·3n-1,bn=-·3n-1+, 故an=-·3n-1+2n+. (3)　an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1) 例3 在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=　　　　.  答案　4·3n-1-5·2n-1 解析　法一　原递推式可化为 an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1). 比较系数得λ=-4, 故an+1-4·3n=2(an-4·3n-1), 则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4·31-1=-5, 公比为2的等比数列, ∴an-4·3n-1=-5·2n-1, 即an=4·3n-1-5·2n-1. 法二　将an+1=2an+4·3n-1的两边同除以3n+1,得=·+, 令bn=,则bn+1=bn+, 设bn+1+k=(bn+k),比较系数得k=-, 则=, ∴是以-为首项,为公比的等比数列, ∴bn-=·, 则bn=-·, ∴an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1. 训练1 (1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则an=　　　　.  (2)(2025·温州调研)已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,则an=　　　　.  答案　(1)2×3n-1-1　(2)n·3n-1 解析　(1)因为an+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1), 因为1+a1=2,所以数列{1+an}是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以1+an=2×3n-1,所以an=2×3n-1-1. (2)∵an+1=3an+3n,∴-=, ∴数列是等差数列,公差为, 又=,∴=+(n-1)×=, ∴an=n·3n-1. 2.形如an+1=pan+qan-1(a1=a,a2=b)型 例4 已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式. 解　法一(构造法)　∵an=2an-1+3an-2, ∴an+an-1=3(an-1+an-2), 又a1+a2=7, ∴{an+an-1}是首项为7,公比为3的等比数列, 则an+an-1=7×3n-2,① 又an-3an-1=-(an-1-3an-2),a2-3a1=-13, ∴{an-3an-1}是首项为-13,公比为-1的等比数列, 则an-3=(-13)·(-1)n-2,② ①×3+②得4an=7×3n-1+13·(-1)n-1, ∴an=×3n-1+(-1)n-1. 法二(特征根法)　数列{an}的特征方程为 x2=2x+3, 解得x1=-1,x2=3. 令an=c1·(-1)n+c2·3n, 由 故an=-(-1)n+·3n=·3n-1+(-1)n-1. 规律方法　形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an,其特征方程为x2=px+q,① 若①有二异根α,β,则可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常数); 若①有二重根α=β,则可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常数). 再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an. 训练2 (1)在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　.  (2)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an=　　　　.  答案　(1)an=10-2n　(2)2n-1 解析　(1)由题意知an+2-an+1=an+1-an, 所以{an}为等差数列. 设公差为d,由题意得2=8+3d,则d=-2, 得an=8-2(n-1)=10-2n. (2)由题意知an+2-an+1=2(an+1-an), ∵a2-a1=2, ∴{an-an-1}是首项为2,公比为2的等比数列, an-an-1=2n-1(n≥2), 当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1. 显然n=1时满足上式,∴an=2n-1. 3.形如an+1=型 例5 (1)(2025·许昌质检)已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则an=　　　　.  (2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则an=　　　　.  答案　(1)　(2) 解析　(1)∵an+1=,a1=1, ∴an≠0,∴=+,即-=. 又a1=1,则=1, ∴是以1为首项,为公差的等差数列. ∴=1+(n-1)×=+, ∴an=. (2)法一(构造法)　∵=3·+1, ∴+=3,+=1, ∴是以1为首项,3为公比的等比数列, ∴+=3n-1,∴=3n-1-, ∴an=. 法二(不动点法)　由方程=x, 求出x1=0,x2=-2, 于是an+1-0=-0=, an+1+2=+2=, 两式相除得=·, 故数列,公比为的等比数列, 故=·,解得an=. 规律方法　求形如an+1=通项公式的方法: (1)当q=0时,可用构造法:两边同时取倒数转化为=·+的形式,化归为bn+1=pbn+q型,求出bn的表达式,再求an. (2)当q≠0时,可用不动点法. ①若只有一个不动点x0,则是等差数列; ②若有两个不动点x1,x2,则是等比数列. 训练3 (1)已知数列{an}的首项a1=,an+1=,则{an}的通项公式为　　　　.  (2)在数列{an}中,若a1=1,an+1=,则an=　　　　.  答案　(1)an=　(2) 解析　(1)因为an+1=, 所以=+, -1=+-1=, 所以-1=为首项,为公比的等比数列,所以-1=,an=. (2)取倒数得=+2, 即-=2, 所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,故=1+2(n-1)=2n-1, 所以an=. 4.形如an+1=p(p>0,an>0)型 例6 在正项数列{an}中,a1=1,an+1=2,求数列{an}的通项公式. 解　取以2为底的对数,得到 log2an+1=log2(2), 即log2an+1=log22+2log2an, log2an+1=1+2log2an,设bn=log2an, 则有bn+1=1+2bn,则bn+1+1=2(bn+1), 所以{bn+1}是以b1+1=1为首项,2为公比的等比数列, 所以bn+1=2n-1, 所以bn=2n-1-1,log2an=2n-1-1,an=. 训练4 已知数列{an}满足an=+3an-1+,a1=2,则log2(a5+1)=　　　　.  答案　31log23-15 解析　由an=+3an-1+可得an+1=(an-1+1)2, 因为a1=2>0,根据递推公式可得出a2>0,a3>0,…, 进而可知,对任意的n∈N*,an>0, 在等式an+1=(an-1+1)2两边取对数, 令bn=log2(an+1),则bn>0, 可得bn=2bn-1+log2, 则bn+log2=2, 所以,数列是等比数列, 且首项为b1+log2=log2(a1+1)+log2=log2,公比为2, ∴b5+log2=24log2=16(2log23-1) =32log23-16, 即log2(a5+1)=32log23-16-log2=31log23-15. 【精准强化练】 一、单选题 1.数列{an}中,an+1=2an+1,a1=1,则a100=(　　) A.2100+1 B.2101 C.2100-1 D.2100 答案　C 解析　数列{an}中,an+1=2an+1, 故an+1+1=2(an+1), 因为a1=1,所以a1+1=2≠0, 所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列, 所以an+1=2n,即an=2n-1, 故a100=2100-1. 2.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 答案　C 解析　由题意a1+a2=4, 由an=3an-1+4an-2(n≥3) 得an+an-1=4(an-1+an-2), 即=4(n≥3), 所以数列{an+an+1}是等比数列,公比为4,首项为4,所以a9+a10=49. 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则满足an>的n的最大取值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　因为an+1=,所以=4+, 所以-=4, 又=1,数列是以1为首项,4为公差的等差数列,所以=1+4(n-1)=4n-3, 所以an=, 由an>,即>, 即0<4n-3<37,解得<n<10, 因为n为正整数,所以n的最大值为9. 4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n+1,则S10=(　　) A.211-23 B.210-19 C.3×210-23 D.3×29-19 答案　C 解析　当n=1时,S1=a1=2a1-2+1, 解得a1=1. 当n≥2时,Sn-1=2an-1-2n+3, 所以an=Sn-Sn-1 =2an-2n+1-(2an-1-2n+3), 即an=2an-1+2, 所以an+2=2(an-1+2),即=2, 所以数列{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列, 则an+2=3×2n-1,从而Sn=3×2n-2n-3, 故S10=3×210-23. 5.(2025·武汉调研)在数列{an}中,a1=3,an=2an-1-n+2,若an>980,则n的最小值是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　C 解析　因为an=2an-1-n+2, 所以an-n=2[an-1-(n-1)]. 因为a1=3,所以a1-1=2,所以数列{an-n}是首项和公比都是2的等比数列, 则an-n=2n,即an=2n+n. 因为an-an-1=2n-1+1>0, 所以数列{an}是递增数列. 因为a9=521<980,a10=1 034>980,所以满足an>980的n的最小值是10. 6.已知数列{an}中,a1=,an+1=an+an·an+1,则数列{an}的通项公式an=(　　) A. B. C.-n D. 答案　D 解析　由题意,可得an+1=an+an·an+1, 即-=-1. 又=,所以数列为首项,公差为-1的等差数列, 所以=-(n-1)=-n, 所以an=. 7.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 答案　C 解析　因为an+1=an+2+1, 所以an+1+1=()2+2+1, 即an+1+1=(+1)2, 等式两边开方可得=+1, 即-=1, 所以数列{}是首项为=2, 公差为1的等差数列, 所以=2+(n-1)×1=n+1, 所以an=n2+2n, 所以a10=102+20=120.故选C. 8.(2025·六安模拟)某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N,1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M,每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算,记an表示第n天生命体M的个数,bn表示第n天生命体N的个数,且a1=1,b1=0,则下列结论中正确的是(　　) A.a4=13 B.数列为递增数列 C.bn=63 D.若{an+λbn}为等比数列,则λ=1 答案　B 解析　依题意,an+1=2an+bn,bn+1=2bn+an, 则an+1+bn+1=3(an+bn), 而a1+b1=1, 因此数列{an+bn}是首项为1,公比为3的等比数列,an+bn=3n-1. 又an+1-bn+1=an-bn, 因此an-bn=a1-b1=1, 于是an=,bn=. 对于A,a4==14,A错误; 对于B,==1-, 显然数列是递增数列, 因此为递增数列,B正确; 对于C,bn=0+1+4+13+40=58,C错误; 对于D,a1+λb1=1,a2+λb2=2+λ,a3+λb3=5+4λ,由{an+λbn}为等比数列, 得(2+λ)2=5+4λ,解得λ=1或λ=-1, 当λ=1时,an+λbn=3n-1,显然数列{an+λbn}是等比数列, 当λ=-1时,an+λbn=1,显然数列{an+λbn}也是等比数列, 因此当数列{an+λbn}是等比数列时,λ=1或λ=-1,D错误. 二、多选题 9.(2025·广州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则以下结论正确的是(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4 答案　AD 解析　因为an+1=,且a1=1≠0, 可知an≠0, 所以==+3, 所以+3=2, 又+3=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,故A正确; 则+3=4·2n-1=2n+1, 所以an=,故B错误; 因为an+1-an=- ==, 又n∈N*,所以2n+1>0,2n+2-3>0,2n+1-3>0, 所以an+1-an=<0, 所以{an}为递减数列,故C错误; 由上述得=2n+1-3, 所以Tn=22+23+…+2n+1-3n=-3n=2n+2-3n-4,故D正确. 10.已知数列{an}满足a1=1,an-3an+1=2an·an+1(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=3n-n 答案　AB 解析　因为an-3an+1=2an·an+1, 所以+1=3, 又+1=2≠0,所以是以2为首项, 3为公比的等比数列,+1=2×3n-1, 即an=. 所以{an}为递减数列,的前n项和 Tn=(2×30-1)+(2×31-1)+…+(2×3n-1-1) =2(30+31+…+3n-1)-n =2×-n=3n-n-1. 11.(2025·济宁质检)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*且a1>0, an+an-1≠0(n≥2),则下列选项正确的是(　　) A.an=2n-23 B.数列为等差数列 C.当n=10时,Sn有最大值 D.设bn=anan+1an+2,则当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取最大值 答案　BCD 解析　对于A,当n=1时,(a1-1)2=4(100-a1), 解得a1=19或a1=-21, 因为a1>0,所以a1=19. 由(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*, 得(an-1-1)2=4(100-Sn-1),n≥2, 所以(an-1)2-(an-1-1)2=4(100-Sn)-4(100-Sn-1), 整理得(an+an-1)(an-an-1+2)=0, 因为an+an-1≠0,所以an-an-1+2=0,即an-an-1=-2, 所以数列{an}是首项为19,公差为-2的等差数列, 所以an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21,故A错误; 对于B,由A可知,Sn=19n+×(-2)=-n2+20n, 所以==-n+20, 所以-=-(n+1)+20-(-n+20)=-1, 所以数列是首项为19,公差为-1的等差数列,故B正确; 对于C,因为Sn=-n2+20n=-(n-10)2+100,n∈N*, 所以当n=10时,Sn取得最大值,故C正确; 对于D,由an=-2n+21>0,得1≤n≤10,n∈N*, 由an=-2n+21<0,得n≥11,n∈N*, 所以当1≤n≤8,n∈N*时, bn=anan+1·an+2>0, 当n=9时,b9=a9a10a11<0, 当n=10时,b10=a10a11a12>0, 当n≥11,n∈N*时,bn=anan+1an+2<0, 因为b9=a9a10a11=3×1×(-1)=-3, b10=a10a11a12=1×(-1)×(-3)=3, 所以当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取最大值.故D正确. 三、填空题 12.已知数列{an}满足an+1=2an-n+1,a1=3,则an=　　　　.  答案　2n+n 解析　∵an+1=2an-n+1, ∴an+1-(n+1)=2(an-n), ∴=2, ∴数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列, ∴an-n=2·2n-1=2n, ∴an=2n+n. 13.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=an+2n,则{an}的通项公式为　　　　.  答案　an=2n 解析　由已知得an+1-an=2n, 当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+2+22+…+2n-1 =2+=2n, 又a1=2,也满足上式,故an=2n. 14.(2025·石家庄调研)在正项数列{an}中,a1=1,a2=10,=(n=3,4,5,…).则{an}的通项an=　　　　.  答案　1 解析　对=两边同时取常用对数可得lg an-lg an-1=(lg an-1-lg an-2). 令bn=lg an+1-lg an,则b1=lg a2-lg a1=1,bn-1=bn-2(n=3,4,5,…), 所以bn=(n=1,2,3,…), 所以lg an+1-lg an=, 故=1, 由累乘法可得=···…·=10×1×1×…×1, 因为1+++…+ ==2, 故=1,则an=1, a1=1,a2=10均满足an=1, 因此,对任意的n∈N*,an=1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题12　数列的递推关系 近几年高考：数列的递推关系是高考重点考查内容,作为两类特殊数列——等差数列、等比数列,可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解,体现了化归思想在数列中的应用. 1、 高考真题 1.(2021·浙江卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则(　　) A.<S100<3 B.3<S100<4 C.4<S100< D.<S100<5 2.(2019·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　　.  3.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=　　　　.  4.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论: ①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列; ③{an}为递减数列;④{an}中存在小于的项, 其中所有正确结论的序号是　　　　.  二．典型例题 1.形如an+1=pan+f(n)型 （1）　an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0) 例1 在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式为　　　　.  （2）　an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0) 例2 已知数列{an}满足an+1=3an-4n-5,a1=5,求数列{an}的通项公式. (3)　an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1) 例3 在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=　　　　.  训练1 (1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则an=　　　　.  (2)(2025·温州调研)已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,则an=　　　　.  2.形如an+1=pan+qan-1(a1=a,a2=b)型 例4 已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式. 规律方法　形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an,其特征方程为x2=px+q,① 若①有二异根α,β,则可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常数); 若①有二重根α=β,则可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常数). 再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an. 训练2 (1)在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　.  (2)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an=　　　　.  3.形如an+1=型 例5 (1)(2025·许昌质检)已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则an=　　　　.  (2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则an=　　　　.  规律方法　求形如an+1=通项公式的方法: (1)当q=0时,可用构造法:两边同时取倒数转化为=·+的形式,化归为bn+1=pbn+q型,求出bn的表达式,再求an. (2)当q≠0时,可用不动点法. ①若只有一个不动点x0,则是等差数列; ②若有两个不动点x1,x2,则是等比数列. 训练3 (1)已知数列{an}的首项a1=,an+1=,则{an}的通项公式为　　　　.  (2)在数列{an}中,若a1=1,an+1=,则an=　　　　.  4.形如an+1=p(p>0,an>0)型 例6 在正项数列{an}中,a1=1,an+1=2,求数列{an}的通项公式. 训练4 已知数列{an}满足an=+3an-1+,a1=2,则log2(a5+1)=　　　　.  【精准强化练】 一、单选题 1.数列{an}中,an+1=2an+1,a1=1,则a100=(　　) A.2100+1 B.2101 C.2100-1 D.2100 2.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则满足an>的n的最大取值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n+1,则S10=(　　) A.211-23 B.210-19 C.3×210-23 D.3×29-19 5.(2025·武汉调研)在数列{an}中,a1=3,an=2an-1-n+2,若an>980,则n的最小值是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 6.已知数列{an}中,a1=,an+1=an+an·an+1,则数列{an}的通项公式an=(　　) A. B. C.-n D. 7.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 8.(2025·六安模拟)某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N,1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M,每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算,记an表示第n天生命体M的个数,bn表示第n天生命体N的个数,且a1=1,b1=0,则下列结论中正确的是(　　) A.a4=13 B.数列为递增数列 C.bn=63 D.若{an+λbn}为等比数列,则λ=1 二、多选题 9.(2025·广州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则以下结论正确的是(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4 10.已知数列{an}满足a1=1,an-3an+1=2an·an+1(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=3n-n 11.(2025·济宁质检)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*且a1>0, an+an-1≠0(n≥2),则下列选项正确的是(　　) A.an=2n-23 B.数列为等差数列 C.当n=10时,Sn有最大值 D.设bn=anan+1an+2,则当n=8或n=10时,数列{bn}的前n项和取最大值 三、填空题 12.已知数列{an}满足an+1=2an-n+1,a1=3,则an=　　　　.  13.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=an+2n,则{an}的通项公式为　　　　.  14.(2025·石家庄调研)在正项数列{an}中,a1=1,a2=10,=(n=3,4,5,…).则{an}的通项an=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $