4.4 诱导公式与旋转（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式，系统涵盖终边相同角、负角、与π及π/2相关角的诱导公式，通过风车扇叶坐标问题情境导入，结合温故知新环节复习旧公式，以单位圆旋转为支架构建新旧知识联系，引导学生推导并理解公式本质。 其亮点在于以现实情境激发探究欲，借助单位圆旋转分析角的终边关系，培养几何直观与推理意识，通过“奇变偶不变，符号看象限”口诀提炼规律，提升抽象能力与数学语言表达。典例与检测强化运算应用，助力学生系统掌握公式，教师可高效开展教学，促进学生数学思维与应用能力发展。

4.4 诱导公式与旋转 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 温故知新 函数名不变， 符号看象限 诱导公式与对称 学 习 目 标 1 2 3 理解与角关系，能够推导诱导公式. 掌握诱导公式，并且概括得到诱导公式的特点. 根据诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及证明. 读教材 阅读课本P22-P25，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“诱导公式与旋转”吧！ 1.角的终边与的终边有什么关系？如何根据角的三角函数值 得到角的三角函数值？ 2.什么是正弦函数、余弦函数的诱导公式，如何分析诱导公式？ 3.如何利用诱导公式进行化简求值？ 单击此处添加备注 4 情境导入 风车最早出现在波斯,起初是立轴翼板式风车,后来又发明了水平轴风车.风车传入欧洲后,在欧洲得到了广泛应用.荷兰、比利时等国为排水建造了功率高达66千瓦的风车.18世纪末期以来,随着工业技术的发展,风车的结构和性能都有了很大提高,已能采用手控和机械式自控机构改变叶片桨距来调节风轮转速.如图所示的风车是由4个扇叶组成,相邻两个扇叶之间的角度为直角. 若将风车扇叶的最外侧看作一个质点,如果知道其中一个质点的坐标,你能求出其他三个质点的坐标吗? 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的旋转与诱导公式 3 当堂检测 2 诱导公式 单击此处添加备注 6 快问快答 根据三角函数的定义求值： 观察两组三角函数值，你能发现什么规律呢？ o x y 新知探究 这两个角 因为这两个角相差 ,因此P点的横坐标与Q点的纵坐标互为相反数，P点的纵坐标与Q的横坐标相等. 探究：，与，的关系 思考2：任意角与角都具有类似的结论吗？ 思考1：与的三角函数值有什么关系？为什么会出现这样的关系？ o x y 新知探究 因此可以得到： ， . 从图中不难发现将角的终边绕点O逆时针旋转得到点，即角的终边与单位圆交于.因此，点横坐标与点的纵坐标相等，点纵坐标与点的横坐标的绝对值相等且符号相反. 探究：，与，的关系 o x y 典例分析 例7.证明， 证明：设任意角α的终边与单位圆的交点为，由图可得角α与单位圆的交点为 点的横坐标与点的横坐标的绝对值相等且符号相反 即对任意角，有 即对任意角，有sin 点的纵坐标与点的纵坐标相等 新知探究 思考：还有其它方法推导角α与 －α的正弦函数、余弦函数关系吗？ 探究：，与，的关系 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的旋转与诱导公式 3 当堂检测 2 诱导公式 单击此处添加备注 12 抽象概括 诱导公式：对于任意角 ，下列公式均成立(其中)： 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式. 概念分析 我们发现，是这些诱导公式中旋转的最小角度，而π ，2kπ 又都是的整数倍；还有，中心对称也可以用旋转 π 表示. 于是，我们试图用旋转的整数倍来分析诱导公式. 1、先分析 α＋，α＋π，α－π和α＋2kπ(k∈Z) (1)α＋ 可以看作角 α 的终边逆时针旋转了 (2)α＋π 可以看作角 α 的终边逆时针旋转了 的2倍 (3)α－π 与α＋π 的终边重合，其三角函数值均相等 (4)α＋2kπ 可以看作角 α 的终边逆旋转了 的 4k 倍(k∈Z) 概念分析 2、再分析 －α，π－α，α－π和α＋2kπ(k∈Z) (1)显然，－α也就是－(α－)，α－与α＋ 的终边重合，其三角函数值均相等， 即求α－的三角函数时，可以将α－看作角 α 的终边逆时针旋转了 的3倍，或顺时针旋转了 ； (2)π－α也就是－(α－π) 归纳小结 诱导公式口诀：诱导公式中的角都可看成的形式， 于是，对于和，我们可以用如下口诀去化简： “奇变偶不变，符号看象限” 口诀中的“奇和偶”，指的是 的奇偶，当为奇数时，三角函数变名，当为偶数时，三角函数名不变. “符号”指的是化简后整个三角函数值的正负，“看象限”指的是看所在的象限.(运用公式时，默认为锐角) 牛刀小试 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin(90°＋α)＝－cos α. ( ) (2) (　　 ) (3)cos(180°＋α)＝sin(90°＋α)． (　 　) (4)诱导公式中的角α只能是锐角． ( 　　) × × × × 典例分析 例8.求下列函数值： (1) ； (2)； (3) 解：(1) (2) (3)原式＝ ＝ ＝2 典例分析 解：由诱导公式，有 例9.化简 原式 . 归纳小结 奇变偶不变， 符号看象限 你能概括所学诱导公式的共同特点和规律吗？ 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数求值问题. 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的旋转与诱导公式 3 当堂检测 2 诱导公式 单击此处添加备注 21 当堂检测 B 当堂检测 A 当堂检测 当堂检测 4.已知 (1) 化简 f(α)； (2) 若α是第三象限的角，且 ，求f(α)的值； (3) 若 ，求f(α)的值. 当堂检测 解： (1) (2)∵ 又是第三象限的角， （3） 课堂小结 奇变偶不变， 符号看象限 诱导公式 感谢聆听! 1.已知，则等于( ) A. B. C. D. 解：， . 故选：B. 2.在下列各数中，与相等的是( ) A. B. C. D. 解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A 3.求值:(1)sin 1 320°;(2)cos. 解：(1)sin 1 320°=sin(3×360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-. (2)cos=cos=cos =cos=-cos=-. $