专题07期末真题百练通关（61题7大易错、压轴题型）（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题07期末真题百练通关（61题7大易错、压轴题型） 题型1 整式的运算 题型5 旋转 题型2 分式 题型6 轴对称 题型3 分式方程 题型7 中心对称 题型4 平移 题型一 整式的运算（共13小题） 1．(24-25七上·上海静安区·期末)如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 2．(25-26七上·上海向明初级中学附属崇明区江帆中学)如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 3．(24-25七上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ． 4．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，已知长方形的边，将长方形沿直线折叠，则图中折成的四个阴影三角形的周长之和为 (用含的代数式表示）． 5．(22-23七上·上海教育学会青浦清河湾中学·期末)观察下列算式： ；；；；． 用你所发现的规律，化简： （为正整数）． 6．(23-24七上·上海宝山区·期末)长方形中，，，、分别在、边上，，连接、、． (1)用关于的代数式表示四边形的面积； (2)如果三角形与三角形的面积之和等于20，求三角形的面积． 7．(23-24七上·上海杨浦区·期末)将完全平方公式：、进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，， 所以，， 所以，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为________； (2)①若，则________； ②若，则________； (3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 8．(25-26七上·上海华东理工大学附属中学)课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 9．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)图（1）是一块智慧黑板的平面示意图，由①、②、③、④四块长方形小黑板组成，四块小黑板的长和宽如图所示（其中），②和③号黑板分别可以向左、向右水平移动，移动后就可以看到黑板后的电子屏幕． 图1 图2 (1)将②号黑板向左水平移动到与重合，③号黑板向右水平移动到与重合，此时电子屏幕全部呈现，没有黑板遮挡，如图（2）所示．求电子屏幕的总面积；（用含的代数式表示） (2)将②号黑板向左水平移动长度，③号黑板水平向右水平移动一定的长度，此时被黑板遮挡住的电子屏幕的面积为，求③号黑板向右水平移动的长度．（用含的代数式表示） 10．(24-25七上·上海静安区·期末)如图，农场打算把一块正方形空地分割成4块方形田地，并计划在两块边长分别为a、b的正方形空地上种树（图中的阴影部分）和，用作鱼塘的两块长方形的面积之和记作． (1)根据题意填空： ① （用含字母a、b的代数式表示）； ②比较与的大小： ； (2)如果，且平方米，求这块正方形空地的面积． 11．(24-25七上·上海闵行区·期末)为了将一张长和宽分别是a和b的长方形纸片拼接成新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． (1)新图形的面积为 ； (2)在图4中延长交于点G，如果，四边形是一个边长为m的正方形． ①用两种方法表示的长； ②如果，求a与b之间的数量关系． 12．(24-25七上·上海闵行区·期末) 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ 以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 13．(23-24七上·上海宝山区·期末)长方形中，，，对角线，            (1)如图1，将长方形绕点按顺时针方向旋转到长方形的位置，画出点扫过的图形，并求线段扫过的图形面积．（结果保留） (2)在图1中，将长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形（见图2），如果交于点，交于点，四边形是正方形，分别联结、，得到六边形，求这个六边形的面积（用的代数式表示），并写出的取值范围． (3)在第（2）小题中，记，，，如果六边形的面积等于长方形面积的两倍，求、、之间存在什么数量关系？并说明理由． 题型二 分式（共7小题） 14．(23-24七上·上海松江区·期末)我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 15．(25-26七上·上海外国语大学附属外国语学校)已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 16．(24-25七上·上海闵行区·期末)先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 17．(23-24七上·上海宝山区·期末)在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 18．阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 19．(24-25七上·上海延安初级中学·期末)定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 20．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 题型三 分式方程（共7小题） 21．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 22．(24-25七上·上海闵行区·期末)某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 23．(23-24七上·上海普陀区·期末)金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 24．(24-25七上·上海松江区·期末)水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 25．(24-25七上·上海松江区·期末)解方程：． 以下是老师给出的某同学在作业中解方程的过程： 解：由原方程可得 ，……① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得，……② 解得，……③ 经检验，是原方程的解．……④ 所以原方程的解是． 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）； (2)请写出你认为正确的解题过程． 26．(23-24七上·上海金山区·期末)阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 27．(24-25上·上海民办南模中学·期末)根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 题型四 平移（共4小题） 28．(24-25七上·上海闵行区·期末)如图，将三角形沿射线的方向平移，得到三角形，如果平移的距离是3，且，那么的长为 ． 29．(22-23七上·上海教育学会青浦清河湾中学·期末)如图，三角形的周长为8cm，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移3cm到三角形的位置，则五边形的周长为 ． 30．(22-23七上·上海闵行区七宝第三中学·期末)在如图所示的方格中 (1)作出关于直线对称的图形； (2)写出是由经过怎样的平移得到的？（左右平移或上下平移） (3)在图上标出平移的方向并测出平移的距离．（精确到0.1厘米） 31．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如图，已知，将沿直线平移得到（其中、、分别与、、对应），平移的距离为长度的． (1)画出满足条件的； (2)连接，如果的面积为，求出的面积． 题型五 旋转（共12小题） 32．(23-24七上·上海松江区·期末)如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 33．(22-23七上·上海教育学会青浦清河湾中学·期末)如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 34．(23-24七上·上海宝山区·期末)如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 35．(24-25七上·上海青浦区·期末)如图，将绕点逆时针旋转30°得到，且恰好落在边上，已知，则 ． 36．(23-24七上·上海宝山区·期末)如图，在三角形中，．如果将三角形绕点旋转后得到三角形，再将三角形沿直线翻折得到三角形，如果点落在内部，且，那么三角形绕点旋转得到三角形的旋转方向和旋转角度数可以是 ． 37．(23-24七上·上海普陀区·期末)如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点在同一条直线上，点也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为 ． 38．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)如图，在中，点在边上，，，，，将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点、的对应点分别是点，则的面积等于 ． 39．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，在中，，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，连接，则的面积是 ． 40．(23-24七上·上海杨浦区·期末)如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点处，一直角边与直线重合，另一直角边、斜边都在直线的下方． (1)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，如图所示，此时________； (2)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转一个角度（）， ①当旋转的角度α为何值时，射线所在的直线是的对称轴； ②是否存在相应的旋转角度α使得与互补？若存在，请直接写出α的值：若不存在，请说明理由． 41．(24-25上·上海民办南模中学·期末)1．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出三角形； (2)画出三角形关于点成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形与三角形重合． 42．(23-24七上·上海松江区·期末)如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 43．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线， (1)如图2，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为α，则“对角旋转角”的度数_____（用含有α的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，则_____．； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面为130，请求出此时长方形的面积． 题型六 轴对称（共10小题） 44．(23-24七上·上海普陀区·期末)如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ． 45．(24-25七上·上海黄浦区·期末)如图，长方形纸片，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置，若，则 ． 46．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，点、分别在三角形的边、上，把三角形沿直线翻折后得三角形．如果，那么的度数为 ． 47．(24-25七上·上海静安区·期末)如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 48．(24-25七上·上海青浦区·期末)【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 49．(23-24七上·上海闵行区·期末)如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”．有一长方形纸片，如图1，点P在线段上，点E在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点B落在点处． (1)如果与互为“互优角”，那么的度数为 ； (2)点F在线段上，再将纸片沿着翻折，使点C落在点处． ①如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数；（写出必要解题步骤） ②若与互为“互优角”，设（直接填写答案） 如图3，当线段落在外部时，与满足的数量关系为 ； 如图4，当线段落在内部时，与满足的数量关系为 ． 50．(24-25七上·上海延安初级中学·期末)已知点是长方形的边上的一点，且点不与点、重合． (1)当长方形是正方形时，在图、图、图的正方形网格图中，点、、、、都是格点，请按要求画图； ①在图中画出三角形平移后得到的三角形，其中点、、的对应点分别是点、、． ②连接，在图中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． ③点是正方形网格图中的一点，且点不与点、、、、重合．将三角形绕着点旋转，使得线段与线段重合．请在图中画出符合上述条件的点以及三角形旋转后得到的三角形． (2)设，，，将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在线段上．再将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在射线上．如果，那么的值为______________． 51．(23-24七上·上海金山区·期末)如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 52．(23-24七上·上海普陀区·期末)如图，在正方形网格中、每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)画出，使与关于直线MN成轴对称；画出，使与关于点A成中心对称． (2)在第（1）小题的基础上，联结，四边形的面积为_______．（直接写出答案） 53．(24-25七上·上海长宁区·期末)已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 题型七 中心对称（共3小题） 54．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 55．(24-25七上·上海静安区·期末)如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应； (2)画出三角形A′B′C′绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，记作三角形，其中点A′、B′、C′分别与点A″、B″、C″对应； (3)将三角形绕点O按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点O按逆时针方向旋转，且）小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确；如果认为不正确，请说明理由． 56．(23-24七上·上海松江区·期末)如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形的顶点都在格点上．在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)画出格点三角形（顶点均在格点上）关于直线对称的三角形； (2)求三角形的面积； (3)在上画出格点P，使得三角形以P为旋转中心，所得的三角形的顶点都在10×6的正方形网格区域内的格点上． （如果有多种情况，用、、……区别表示） 1．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，已知，．将射线绕着点按顺时针方向旋转后恰好落在的内部，那么的取值范围是 ． 2．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)整式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 3．(23-24七上·上海杨浦区·期末)如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 4．(24-25七上·上海青浦区·期末)线段，，点，点与点如图所示（，，三点共线）．其中，，点与点之间的距离，点与点之间的距离为． (1)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ (2)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ 当，时，扫过的面积是多少？（结果保留） 5．(24-25七上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边与直线重合，其中． (1)求图1中的的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕着点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数； ②是否存在？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07期末真题百练通关（61题7大易错、压轴题型） 题型1 整式的运算 题型5 旋转 题型2 分式 题型6 轴对称 题型3 分式方程 题型7 中心对称 题型4 平移 题型一 整式的运算（共13小题） 1．(24-25七上·上海静安区·期末)如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 【答案】 【来源】 上海市静安区2024-2025学年上学期七年级期末数学试卷 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小棒的根数依次增加5是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小木棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个图案中小木棒的根数为：， 第2个图案中小木棒的根数为：， 第3个图案中小木棒的根数为：， …， 所以第n个图案中小木棒的根数为根． 故答案为：． 2．(25-26七上·上海向明初级中学附属崇明区江帆中学)如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 【答案】 【来源】上海市向明初级中学附属崇明区江帆中学2025-2026学年七年级上学期期中数学试题 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 3．(24-25七上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】6 【来源】上海市奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据得到，根据得到，结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 4．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，已知长方形的边，将长方形沿直线折叠，则图中折成的四个阴影三角形的周长之和为 (用含的代数式表示）． 【答案】/ 【来源】上海市金山区2023-2024学年七年级上学期期末联考数学试题 【知识点】折叠问题、列代数式 【分析】本题考查了阴影部分的周长问题，解题关键是利用轴对称的性质进行边的转化．本题考查了阴影部分的周长问题，解题关键是利用轴对称的性质进行边的转化． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，， 阴影部分的周长 ． 故答案为：． 5．(22-23七上·上海教育学会青浦清河湾中学·期末)观察下列算式： ；；；；． 用你所发现的规律，化简： （为正整数）． 【答案】 【来源】上海市教育学会青浦清河湾中学2022-2023学年七年级上学期期末数学练习卷 【知识点】数字类规律探索 【分析】先根据；；；；得出，再将变形成题目中的形式，化简即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律问题，解题的关键是认真阅读题目中数字变化的规律，得出，难点在于将变形为符合题目的形式． 6．(23-24七上·上海宝山区·期末)长方形中，，，、分别在、边上，，连接、、． (1)用关于的代数式表示四边形的面积； (2)如果三角形与三角形的面积之和等于20，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【来源】上海市宝山区2023-2024学年七年级上学期数学期末试题 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查代数式的应用： （1）用代数式表示出和，根据四边形的面积列式即可； （2）先根据求出x的值，进而求出，则． 【详解】（1）解：长方形中，，， ，， ， ，， ， ， 四边形的面积， 即四边形的面积为； （2）解：， 则， 解得， ， ， 即三角形的面积为． 7．(23-24七上·上海杨浦区·期末)将完全平方公式：、进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，， 所以，， 所以，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为________； (2)①若，则________； ②若，则________； (3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)7 (2)①53；②24 (3) 【来源】上海市杨浦区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值： （1）先求出，再由，即可得到 （2）①先求出，则，再由，即可得到；②先求出，则，再由，即可得到； （3）设大正方形，小正方形的边长分别是a，b，根据题意得到，，则，求出，则阴影的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；； （3）解：设大正方形，小正方形的边长分别是a，b， ，， ，， ， ， ∴阴影的面积． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． 8．(25-26七上·上海华东理工大学附属中学)课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【答案】(1)，长除法见解析 (2)，见解析 (3) (4) 【来源】上海市华东理工大学附属中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； （2）解：用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 9．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)图（1）是一块智慧黑板的平面示意图，由①、②、③、④四块长方形小黑板组成，四块小黑板的长和宽如图所示（其中），②和③号黑板分别可以向左、向右水平移动，移动后就可以看到黑板后的电子屏幕． 图1 图2 (1)将②号黑板向左水平移动到与重合，③号黑板向右水平移动到与重合，此时电子屏幕全部呈现，没有黑板遮挡，如图（2）所示．求电子屏幕的总面积；（用含的代数式表示） (2)将②号黑板向左水平移动长度，③号黑板水平向右水平移动一定的长度，此时被黑板遮挡住的电子屏幕的面积为，求③号黑板向右水平移动的长度．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【来源】上海市徐汇区西南模范中学2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】列代数式、整式四则混合运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算． （1）分别求出电子屏幕的长和宽，再根据长方形面积公式，即可解答； （2）用电子屏幕的长，减去被遮住部分的长，再减去②号黑板向左水平移动长度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：电子屏幕的长， 电子屏幕的宽， ∴电子屏幕的总面积． （2）解： ． 答：③号黑板向右水平移动的长度为． 10．(24-25七上·上海静安区·期末)如图，农场打算把一块正方形空地分割成4块方形田地，并计划在两块边长分别为a、b的正方形空地上种树（图中的阴影部分）和，用作鱼塘的两块长方形的面积之和记作． (1)根据题意填空： ① （用含字母a、b的代数式表示）； ②比较与的大小： ； (2)如果，且平方米，求这块正方形空地的面积． 【答案】(1)①；② (2)1024平方米． 【来源】 上海市静安区2024-2025学年上学期七年级期末数学试卷 【知识点】列代数式、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算以及代数式大小比较的知识点，解题的关键是根据图形准确表示出各部分面积，并熟练运用整式运算法则进行计算和比较。 （1）①根据图形中长方形面积公式，找到鱼塘两块长方形的长和宽，从而得出的代数式；②将与作差，通过完全平方公式判断差的正负，进而比较大小。 （2）根据已知条件得到化简求得，再根据平方米，求解出a,  b的值，再计算正方形空地的面积。 【详解】（1）①． 故答案为：． ② 故答案为：． （2）由，得，即 将的两边同时除以，得 分解因式，得， 解得（舍去）或， ∴这块正方形空地的面积为 平方米 11．(24-25七上·上海闵行区·期末)为了将一张长和宽分别是a和b的长方形纸片拼接成新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． (1)新图形的面积为 ； (2)在图4中延长交于点G，如果，四边形是一个边长为m的正方形． ①用两种方法表示的长； ②如果，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或；② 【来源】上海市闵行区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】列代数式、计算单项式除以单项式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值， 对于（1），根据新图形的面积等于原长方形的面积可得答案； 对于（2），先分别表示出的长度，再将两个式子结合代入计算即可． 【详解】（1）解：新图形的的面积为； 故答案为：； （2）解：①； 根据面积相等，得， 即； 所以或． ②，由①得， 当时，， 解得． 12．(24-25七上·上海闵行区·期末) 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ 以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)i）n；；ii） 【来源】上海市闵行区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、列代数式及多项式，能根据题意得出各式计算结果的系数变化规律是解题的关键． （1）根据所给式子，观察其各项系数，发现规律即可解决问题． （2）①根据所给式子，观察计算结果分别为几次几项式，发现规律即可解决问题． ②分别求出所给式子计算结果的各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为：1，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，2，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，3，3，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，4，6，4，1； 由此可知，计算结果中的各项系数依次为：1，5，10，10，5，1， 即． 故答案为：． （2）解：i）由题知， 计算结果是一个一次二项式； 计算结果中是一个二次三项式； 计算结果中是一个三次四项式； 计算结果是一个四次五项式； …， 所以计算结果是一个n次项式． 故答案为：n，． ii）计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； …， 所以计算结果各项系数之和为． 故答案为：． 13．(23-24七上·上海宝山区·期末)长方形中，，，对角线，            (1)如图1，将长方形绕点按顺时针方向旋转到长方形的位置，画出点扫过的图形，并求线段扫过的图形面积．（结果保留） (2)在图1中，将长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形（见图2），如果交于点，交于点，四边形是正方形，分别联结、，得到六边形，求这个六边形的面积（用的代数式表示），并写出的取值范围． (3)在第（2）小题中，记，，，如果六边形的面积等于长方形面积的两倍，求、、之间存在什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)， (3)，理由见解析 【来源】上海市宝山区2023-2024学年七年级上学期数学期末试题 【知识点】整式的混合运算、列代数式 【分析】（1）根据题意可得到以点A为圆心，长为半径的即为点C扫过的图形，以点A为圆心，长为半径的扇形即为线段扫过的图形，根据圆面积公式即可得到线段扫过的图形面积； （2）用含x的代数式表示出相应线段，根据即可得到答案； （3）根据和六边形的面积等于长方形面积的两倍即可得到答案． 此题考查了列代数式、整式的混合运算的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，以点A为圆心，长为半径的即为点C扫过的图形，以点A为圆心，长为半径的扇形即为线段扫过的图形， ∴线段扫过的图形面积为． （2）解：由题意可知，，， 设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴六边形的面积 ， 即，其中； （3），理由如下： ∵，，， ∴由（2）可得，， ∵六边形的面积等于长方形面积的两倍， ∴, ∴， 则． 题型二 分式（共7小题） 14．(23-24七上·上海松江区·期末)我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【来源】上海市松江区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】同分母分式加减法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 15．(25-26七上·上海外国语大学附属外国语学校)已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 【答案】或或 【来源】上海外国语大学附属外国语学校2025-2026学年七年级上学期数学12月考试卷 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 16．(24-25七上·上海闵行区·期末)先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值． (2)原代数式的值能等于吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【来源】上海市闵行区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】分式化简求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可； （2）令原代数式的值等于，求出a的值，代入原式进行检验即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：能， 由（1）知，原代数式为， 令， 解得， 经检验，符合题意． 17．(23-24七上·上海宝山区·期末)在一组数，，，…，，…中，，（为正整数）， (1)用含的代数式表示：，，，并写出的取值范围． (2)当，求的值． 【答案】(1)，，；且 (2) 【来源】上海市宝山区2023-2024学年七年级上学期数学期末试题 【知识点】分式加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题属于数字类规律探索题，考查分式的加减运算，找出这组数据的变化规律是解题的关键． （1）根据逐项计算即可，根据分母不能为0得出的取值范围； （2）根据（1）中结论得出这组数据的变化规律，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 根据分式的分母不能为0，可得，， 因此的取值范围为且． （2）解：由（1）中结论可得从开始，每3个数为一个循环，分别为， ， ， 当时，． 18．阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【来源】上海市杨浦区2024-2025年七年级上学期期末数学试题 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 19．(24-25七上·上海延安初级中学·期末)定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【来源】 上海市延安初级中学2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷 【知识点】分式乘法、异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 20．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是；2 (2)①；② (3)m为1或 【来源】上海市嘉定区四校联考2024-2025学年上学期七年级期末数学试卷 【知识点】分式化简求值、异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【详解】（1）解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； （3）解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 题型三 分式方程（共7小题） 21．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【来源】上海市延安中学附属省吾学校2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解，先解分式方程可得，由题意得，再由，得，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 22．(24-25七上·上海闵行区·期末)某区一项交通功能完善工程中需修建一段长为3600米的高速公路，为了赶在今年春节前通车，实际施工时每天修建的工作效率比原计划增加20%，结果比预定时间早5天完成了任务．求实际每天修建多少米？ 【答案】实际每天修建144米 【来源】上海市闵行区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】设原计划每天修路x米，实际每天修路米，根据题意可得等量关系：原计划修米所用的天数实际修米所用的天数天，根据等量关系，列出方程即可． 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意不要忘记检验． 【详解】设原计划一天修建x米，实际一天修建为 解得： 经检验为原方程的根 实际每天修建：米 答：实际每天修建144米 23．(23-24七上·上海普陀区·期末)金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【答案】15千米/时 【来源】上海市普陀区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用、解答关键是理解题意，找到对应关系式．设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设骑脚踏车学生的速度为x千米/小时， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：骑脚踏车学生的速度为15千米/小时； 24．(24-25七上·上海松江区·期末)水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 【答案】(1)5元 (2)1050元 【来源】上海市松江区2024--2025学年七年级上学期数学期末试卷 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设第一次所购苹果的进货价是每千克x元，则第二次所购苹果的进货价是每千克元，利用进货数量=进货总价÷进货单价，结合第二次所购数量是第一次购进数量的3倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用进货数量=进货总价÷进货单价，可求出第一次所购苹果的数量，结合第二次所购数量是第一次购进数量的3倍，可求出第二次所购苹果的数量，再利用销售总利润=销售单价×两次所购苹果的数量之和-两次所购苹果的进货总价，即可求出结论． 【详解】（1）解：设第一次所购苹果的进货价是每千克x元， 第二次所购苹果的进货价是每千克元， 根据题意，列方程得： 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际． 答：第一次所购苹果的进货价是每千克5元． （2）解：第一次数量：千克；第二次数量：300千克 总获利：元 答：该水果店售完这些苹果共可获利1050元． 25．(24-25七上·上海松江区·期末)解方程：． 以下是老师给出的某同学在作业中解方程的过程： 解：由原方程可得 ，……① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得，……② 解得，……③ 经检验，是原方程的解．……④ 所以原方程的解是． 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． (1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）； (2)请写出你认为正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【来源】上海市松江区2024--2025学年七年级上学期数学期末试卷 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题的关键． （1）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）第②步最后的式子应为：， ∴从第②步开始出现错误； （2）整理得： 去分母，得： 整理，得： 检验：当时，， 所以，原方程的解是． 26．(23-24七上·上海金山区·期末)阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】上海市金山区2023-2024学年七年级上学期期末联考数学试题 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． （1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 27．(24-25上·上海民办南模中学·期末)根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【来源】 上海民办南模中学2024—2025学年上学期末考试数学试卷 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、分式方程的其它实际问题 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 题型四 平移（共4小题） 28．(24-25七上·上海闵行区·期末)如图，将三角形沿射线的方向平移，得到三角形，如果平移的距离是3，且，那么的长为 ． 【答案】4 【来源】上海市闵行区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵将三角形沿射线的方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 29．(22-23七上·上海教育学会青浦清河湾中学·期末)如图，三角形的周长为8cm，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移3cm到三角形的位置，则五边形的周长为 ． 【答案】14cm 【来源】上海市教育学会青浦清河湾中学2022-2023学年七年级上学期期末数学练习卷 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质得到cm，，再将五边形的五条边相加即可得到周长． 【详解】解：根据题意得：cm，， 三角形的周长为8cm， cm， cm， 五边形的周长cm， 故答案为：14cm． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 30．(22-23七上·上海闵行区七宝第三中学·期末)在如图所示的方格中 (1)作出关于直线对称的图形； (2)写出是由经过怎样的平移得到的？（左右平移或上下平移） (3)在图上标出平移的方向并测出平移的距离．（精确到0.1厘米） 【答案】(1)见解析； (2)先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到； (3)作图见解析，平移的距离为2.7厘米 【来源】上海市闵行区七宝第三中学2022--2023学年七年级上学期数学期末线上练习卷 【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、画轴对称图形 【分析】（1）作点A、B、C关于的对称点、、，即可得到； （2）根据图象解答即可； （3）连接，即为平移方向，再测量的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由图可得，先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到， （3）如图所示， 即为平移方向，测量厘米． 【点睛】本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法． 31．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)如图，已知，将沿直线平移得到（其中、、分别与、、对应），平移的距离为长度的． (1)画出满足条件的； (2)连接，如果的面积为，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)或 【来源】上海市嘉定区四校联考2024-2025学年上学期七年级期末数学试卷 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积，熟知平移的相关知识是解题的关键． （1）根据平移作图的方法作图即可； （2）分两种情况，先根据平移的性质得到，过点A作于D，根据三角形面积公式得到，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 或 （2）解：如图，当向右移动时， 由平移的性质可知， ∴， 过点A作于D， ∵， ∴． 如图，当向左移动时， 由平移的性质可知， ∴， 过点A作于D， ∵， ∴． 题型五 旋转（共12小题） 32．(23-24七上·上海松江区·期末)如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 【答案】B 【来源】上海市松江区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】利用平移的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质与旋转的性质：根据平移的性质与旋转的性质，等积変化逐一判断即可；掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：A．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； B．可以看作是沿着方向平移距离b，再沿方向平移距离a得到，结论错误，故符合题意； C．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； D．图形运动后并没有改变图形的面积，通过图和图的面积表示得，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 33．(22-23七上·上海教育学会青浦清河湾中学·期末)如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【来源】上海市教育学会青浦清河湾中学2022-2023学年七年级上学期期末数学练习卷 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】根据图形的平移、旋转的性质，画出图形，即可一一判定． 【详解】解：①先以点A为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向右平移6格、向下平移3格，即可得到， 故①符合题意； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移3个单位，再沿直线n翻折，即可得到， 故②符合题意； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移4格、向右平移1格，即可得到， 故③不符合题意． 故其中，能将变换成的是①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的变化，熟练掌握平移、旋转变化的性质与运用是解决本题的关键． 34．(23-24七上·上海宝山区·期末)如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【来源】上海市宝山区2023-2024学年七年级上学期数学期末试题 【知识点】求旋转中心的个数 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 35．(24-25七上·上海青浦区·期末)如图，将绕点逆时针旋转30°得到，且恰好落在边上，已知，则 ． 【答案】/35度 【来源】上海市青浦区2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查三角形的旋转问题，涉及等腰三角形性质，三角形外角的性质等知识，由将绕点逆时针旋转得到，且恰好落在边上，可得，，，即得，而，故，从而． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，且恰好落在边上， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 36．(23-24七上·上海宝山区·期末)如图，在三角形中，．如果将三角形绕点旋转后得到三角形，再将三角形沿直线翻折得到三角形，如果点落在内部，且，那么三角形绕点旋转得到三角形的旋转方向和旋转角度数可以是 ． 【答案】逆时针旋转（答案不唯一） 【来源】上海市宝山区2023-2024学年七年级上学期数学期末试题 【知识点】根据旋转的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了旋转和翻折的性质； 画出图形，根据求出，根据旋转和翻折的性质可得，求出，然后可得旋转的方向和角度． 【详解】解：如图，∵，， ∴， 由旋转和翻折得：， ∴， ∴旋转方向和旋转角度数可以是逆时针旋转， 故答案为：逆时针旋转（答案不唯一）． 37．(23-24七上·上海普陀区·期末)如图，已知和是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点在同一条直线上，点也在同一条直线上，的位置不动，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，的度数为 ． 【答案】或 【来源】上海市普陀区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】根据旋转的性质求解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意分类讨论；当在内部时，得出，当在外部时，结合图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ∵，， ∴ ∴， 如图所示，当在外部时， ∵，， ∴ ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为： 或． 38．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)如图，在中，点在边上，，，，，将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点、的对应点分别是点，则的面积等于 ． 【答案】或/或 【来源】上海市徐汇区西南模范中学2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的面积公式、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 由点在边上，，得，再分两种情况讨论，一是落在线段上，则，，因为，，所以，求得；二是点落在线段上，则，，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点在边上，， ∴， 如图，点落在线段上， 由旋转得，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，点落在线段上， 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的面积等于或， 故答案为：或． 39．(23-24七上·上海金山区·期末)如图，在中，，，，，将绕着点旋转，使点落在直线上的点处，连接，则的面积是 ． 【答案】或 【来源】上海市金山区2023-2024学年七年级上学期期末联考数学试题 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了旋转的性质，分逆时针与顺时针旋转两种情况根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解： ∵在中，，，，， ∴，h表示斜边上的高， ， ， 如图所示： 当点落在线段上时，如图中所示， ∴， ∴， ∴， 当点落在直线的延长线上时，如图中所示， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 40．(23-24七上·上海杨浦区·期末)如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点处，一直角边与直线重合，另一直角边、斜边都在直线的下方． (1)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，如图所示，此时________； (2)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转一个角度（）， ①当旋转的角度α为何值时，射线所在的直线是的对称轴； ②是否存在相应的旋转角度α使得与互补？若存在，请直接写出α的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①为或；②为或． 【来源】上海市杨浦区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了图形的旋转、平角、角的和差倍分，轴对称的性质，熟练掌握角的运算是解题关键． （1）根据旋转的性质即可得； （2）①根据角的和差及轴对称的性质分三角尺在的上方和三角尺在的下方两种情况求解即可；②分在内和在外两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解∶①如图，当三角尺在的上方时， ∵射线所在的直线是的对称轴， ∴， ∴； 如图，当三角尺在的下方时， ∵， ∴， ∵射线所在的直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴； 综上，为或． ②如图，当在内时， ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴即， 解得， 如图，当在外时， ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴即， 解得； 综上，为或时，与互补． 41．(24-25上·上海民办南模中学·期末)1．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出三角形； (2)画出三角形关于点成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形与三角形重合． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)否；可把三角形绕点逆时针旋转可与三角形重合 【来源】 上海民办南模中学2024—2025学年上学期末考试数学试卷 【知识点】画旋转图形、根据旋转的性质求解、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了旋转作图，作中心对称图形，掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键． （）根据旋转的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质可判断三角形与三角形不是关于某个点成中心对称，再根据旋转性质即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：如图所示，三角形即为所求； （3）解：三角形与三角形不是关于某个点成中心对称，可把三角形绕点逆时针旋转可与三角形重合， 故答案为：否． 42．(23-24七上·上海松江区·期末)如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【来源】上海市松江区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】根据旋转的性质求解、画旋转图形、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解； （2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解； （3）由题得从而可求，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图 为所求三角形； （2）解：由旋转得 ， ， ； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 由图得： ， 整理得： 解得：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握、之间的转换运算利用面积法求线段的长是解题的关键． 43．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线， (1)如图2，把长方形绕点A逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，如果度数为α，则“对角旋转角”的度数_____（用含有α的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点A顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点B的对应点为点，点C的对应点为点，点D的对应点为点，连接，则_____．； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为312，面为130，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)240 【来源】上海市徐汇区西南模范中学2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与三角形的高有关的计算问题、根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了旋转的性质和定义以及三角形的面积公式． （1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出与的关系，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， 故答案为：； （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴． 题型六 轴对称（共10小题） 44．(23-24七上·上海普陀区·期末)如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ． 【答案】 【来源】上海市普陀区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】折叠问题、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，平移的性质，根据折叠的性质得到，由平移的性质得到，，对进行等量代换即可得到结论． 【详解】解：将沿直线折叠，使点落在点处， ， 向右平移若干单位长度后恰好能与边重合， ，， 阴影部分的周长为， 则， 故答案为：． 45．(24-25七上·上海黄浦区·期末)如图，长方形纸片，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置，若，则 ． 【答案】85 【来源】 上海市黄浦区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），角的计算，根据折叠的性质得到，，根据已知条件和角的和差即可得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将纸片沿，折叠，点A落在位置，点D落在位置， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：85． 46．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，点、分别在三角形的边、上，把三角形沿直线翻折后得三角形．如果，那么的度数为 ． 【答案】/20度 【来源】上海市延安中学附属省吾学校2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查折叠性质，熟练掌握折叠的性质是解答的关键．由折叠性质得，先根据已知求得，进而根据平角定义求解即可． 【详解】解：由折叠性质得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．(24-25七上·上海静安区·期末)如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】 上海市静安区2024-2025学年上学期七年级期末数学试卷 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查作图—轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）结合网格的特点，画出与三角形成轴对称的其它格点三角形和相应的对称轴即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形关于直线l成轴对称的三角形即为所求： （2）解：如图所示，格点三角形和对称轴即为所求： 或或或 （答案不唯一，言之成理即可） 48．(24-25七上·上海青浦区·期末)【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【来源】上海市青浦区2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷 【知识点】两点之间线段最短、三角形三边关系的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 49．(23-24七上·上海闵行区·期末)如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”．有一长方形纸片，如图1，点P在线段上，点E在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点B落在点处． (1)如果与互为“互优角”，那么的度数为 ； (2)点F在线段上，再将纸片沿着翻折，使点C落在点处． ①如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数；（写出必要解题步骤） ②若与互为“互优角”，设（直接填写答案） 如图3，当线段落在外部时，与满足的数量关系为 ； 如图4，当线段落在内部时，与满足的数量关系为 ． 【答案】(1)或 (2)①②； 【来源】上海市闵行区2023-2024学年上学期七年级期末数学试卷 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“互优角”的定义结合已知条件可知分两种情况当和时利用翻折的性质结合平角的定义求解即可． （2）①根据“互优角”的定义可得出，由，则可得出，由折叠的性质可得出，再根据平角的定义可得出代入求出，进而可得出． ②如图3，当线段落在外部时，由折叠的性质可知：，，由“互优角”的定义得出即．同理可求出当线段落在内部时，． 【详解】（1）解：∵与互为“互优角”， 当时， 则， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，可得． 故答案为：或 （2）解：①∵点E、、P在同一直线上，且与互为“互优角”， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 则， ∴ ②当线段落在外部时， 由折叠的性质可知：，， ∵与互为“互优角” ∴， 即． 当线段落在内部时， 由折叠的性质可知：，， ∵与互为“互优角”， ∴， 即， 即， ， ∵， ∴， 则 50．(24-25七上·上海延安初级中学·期末)已知点是长方形的边上的一点，且点不与点、重合． (1)当长方形是正方形时，在图、图、图的正方形网格图中，点、、、、都是格点，请按要求画图； ①在图中画出三角形平移后得到的三角形，其中点、、的对应点分别是点、、． ②连接，在图中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． ③点是正方形网格图中的一点，且点不与点、、、、重合．将三角形绕着点旋转，使得线段与线段重合．请在图中画出符合上述条件的点以及三角形旋转后得到的三角形． (2)设，，，将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在线段上．再将三角形沿着翻折，使得点的对应点落在射线上．如果，那么的值为______________． 【答案】(1)图见详解；图见详解；图见详解； (2)或 【来源】 上海市延安初级中学2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、折叠问题、画旋转图形 【分析】本题主要考查了平移（作图），画轴对称图形，画旋转图形，轴对称的性质等知识点．按照要求正确作出图形是解题的关键． （1）分别按照平移（作图）、画轴对称图形、画旋转图形的方法作出相应的图形即可； （2）由轴对称的性质可得，进而求得、、和的关系，分两种情况讨论，由列方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作三角形； ②如图，即为所求作三角形； ③如图，点即为旋转中心，即为所求作三角形； （2）解：如图，情况一，当在的延长线上时， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 情况二，当在上时， 由轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：或． 51．(23-24七上·上海金山区·期末)如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【来源】上海市金山区2023-2024学年七年级上学期期末联考数学试题 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、画对称轴、画轴对称图形 【分析】本题是对轴对称，中心对称作图的考查，熟练掌握轴对称，中心对称知识是解决本题的关键， （1）分别作出A，B，C，D关于直线MN的对称点，然后依次连接即可； （2）分别作出A，B，C，D关于点O中心对称的对称点，然后依次连接即可； （3）连接，作的中垂线，即为所求； 【详解】（1）解：如下图所示：四边形即为所求； （2）解：如下图所示：四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形与四边形关于成轴对称，即为所求． 52．(23-24七上·上海普陀区·期末)如图，在正方形网格中、每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)画出，使与关于直线MN成轴对称；画出，使与关于点A成中心对称． (2)在第（1）小题的基础上，联结，四边形的面积为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】上海市普陀区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】利用网格求三角形面积、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称作图与中心对称作图，网格中求三角形的面积； （1）根据轴对称与中心对称的性质画出，即可求解； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积求得的面积，再奖赏的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求    （2）解：如图所示，    四边形的面积为 53．(24-25七上·上海长宁区·期末)已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②． (1)当，时，求线段的长度； (2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值； (3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3) 【来源】 上海市长宁区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （）根据点的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用表示出和，根据题意列出方程即可求出结论； （）过点作于，用和表示出和，结合已知等式即可求解； 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴； （2）解：若点落在线段上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若点落在线段的延长线上时，如图所示， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值或； （3）解：如图所示，过点作于， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴． 题型七 中心对称（共3小题） 54．(24-25七上·上海徐汇区西南模范中学·期末)在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)是，画图见详解 【来源】上海市徐汇区西南模范中学2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】画两个图形的对称中心、画已知图形关于某点对称的图形、平移(作图) 【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得； （2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）连接两组对应点即可得． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，与是关于点成中心对称， 故答案为：是． 55．(24-25七上·上海静安区·期末)如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应； (2)画出三角形A′B′C′绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，记作三角形，其中点A′、B′、C′分别与点A″、B″、C″对应； (3)将三角形绕点O按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点O按逆时针方向旋转，且）小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确；如果认为不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)正确，理由见解析 【来源】 上海市静安区2024-2025学年上学期七年级期末数学试卷 【知识点】画旋转图形、成中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，图形旋转的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的基本概念与操作方法，能够准确找出对应点的位置来绘制图形，并依据旋转的角度关系判断图形是否重合． （1）根据中心对称的性质，连接三角形各顶点与对称中心并延长相同长度，确定对应点，，的位置，从而画出三角形． （2）依据图形旋转的性质，以点为旋转中心，将三角形的各顶点绕点逆时针旋转，找到对应点，进而画出三角形． （3）分析两次旋转的角度关系，由于顺时针旋转后再逆时针旋转，且，相当于整体顺时针旋转了，判断这个角度下三角形能否与三角形重合． 【详解】（1）连接并延长至，使， 连接并延长至，使， 连接并延长至，使， 依次连接，得到三角形，此此三角形关于点成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将点绕点逆时针旋转，得到点， 同样方法，将点绕点逆时针旋转得到点， 将点绕点逆时针旋转得到点， 依次连接，画出三角形； （3）因为三角形绕点顺时针旋转得到三角形，再将三角形绕点逆时针旋转，所以三角形相对于初始位置顺时针旋转了， 而三角形直接绕点顺时针旋转后，其位置与经过两次旋转得到的三角形位置相同（根据旋转的性质，旋转角度相同，旋转中心相同，图形的最终位置相同）， 所以小明的观点正确，即三角形经过一次运动（绕点顺时针旋转）就能和三角形重合． 56．(23-24七上·上海松江区·期末)如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形的顶点都在格点上．在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)画出格点三角形（顶点均在格点上）关于直线对称的三角形； (2)求三角形的面积； (3)在上画出格点P，使得三角形以P为旋转中心，所得的三角形的顶点都在10×6的正方形网格区域内的格点上． （如果有多种情况，用、、……区别表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【来源】上海市松江区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】利用网格求三角形面积、画旋转图形、画轴对称图形 【分析】本题考查了利用对称的性质和旋转的性质进行网格作图，求三角形面积；掌握性质，找出不同位置的旋转中心，割补法求面积是解题关键． （1）根据对称的性质作出三角形，即可求解； （2）将三角形补成长方形，用长方形的面积减去个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据旋转的性质作图，即可求解． 【详解】（1）解：如图，   为所求作． （2）解：补全图，如图    ； （3）解：作图如下：                      、、、、、、为所求作． 1．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)如图，已知，．将射线绕着点按顺时针方向旋转后恰好落在的内部，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【来源】上海市延安中学附属省吾学校2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角的运算，先求出，分别计算出射线与重合时n的值与射线与重合时n的值即可． 【详解】解：∵，． ∴， 当射线与第一次重合时；射线与重合时， 所以，当时，恰好落在的内部． ∵ ∴射线与不能出现第二次重合， ∴， 故答案为：． 2．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)整式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【答案】或 【来源】上海市曹阳二中附属中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，由此可得和此单项式分成一组后应得到公因式，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴第一种情况，与一组， ∴ ； 第二种情况，与一组， ∴ ； 故答案为：或． 3．(23-24七上·上海杨浦区·期末)如图，已知长方形纸片，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A 落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 【答案】4或 【来源】上海市杨浦区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含x的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，x的值为4或 故答案为：4或． 4．(24-25七上·上海青浦区·期末)线段，，点，点与点如图所示（，，三点共线）．其中，，点与点之间的距离，点与点之间的距离为． (1)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ (2)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ 当，时，扫过的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2)， 【来源】上海市青浦区2024-2025学年七年级上学期数学期末试卷 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形 【分析】本题考查了两点间的距离，旋转，扇形的面积等知识，解题的关键是： （1）画出旋转后的图形，利用扇形面积公式，计算两个扇形面积之差即线段扫过的面积； （2）画出旋转后的图形，利用扇形面积公式，计算两个扇形面积之差即线段扫过的面积，再把c、d的值代入计算即可． 【详解】（1）解：旋转后的图形如图所示： 线段扫过的面积为 ； （2）解：旋转后的图形如图所示： 由旋转知：， ∴线段扫过的面积为 ； ； 当时， 扫过的面积 ． 5．(24-25七上·上海奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边与直线重合，其中． (1)求图1中的的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕着点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数； ②是否存在？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②的值为或． 【来源】上海市奉贤区上海外国语大学附属奉贤外国语学校2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了几何图形中的角度的计算、一元一次方程的几何应用，运用数形结合和分类讨论思想求解是关键． （1）根据平角的定义，即可求解； （2）①分当平分时，当平分，再结合角平分线的含义与角的和差运算可得答案；②分当在的左侧时，当在的右侧时两种情况，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）①如图，∵， 当平分时， ∴， ∴， 当平分， ∴， ∴， ②存在，理由如下： ∵， ∴， 当在的左侧时，， ∵， ∴， ∴； 当在的右侧时， ， ∵， ∴， ∴， ∴存在，此时的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $