第25讲 抛物线题型总结 讲义-2026届高三艺术生数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦抛物线高考核心考点，涵盖定义、方程、性质及与双曲线、圆的综合应用，按考情分析、知识梳理、题型分类、真题演练逻辑架构，通过考点解读、方法归纳、分层训练环节，帮助学生系统构建知识网络，突破距离计算、焦点弦等难点。 资料以五年考情数据为支撑，设计定义应用、方程求解等分层题型，融入数学思维训练，如焦点弦问题中通过几何关系转化培养推理能力，结合高考真题与模拟题强化实战，助力学生提升解题效率，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第25讲 抛物线题型总结 一、考向解读 考点 五年考情 (2021-2025) 命题趋势 考点 : 抛物线方程及其性质 2025・全国二卷：抛物线定义与焦点弦计算；2025・天津卷：抛物线与双曲线结合求离心率；2025・北京卷：抛物线顶点到焦点距离求 p2024・新课标 Ⅱ 卷：抛物线与圆的位置关系及切线长计算；2024・天津卷：抛物线与圆交点及距离计算；2024・北京卷：抛物线焦点坐标；2024・上海卷：抛物线点到准线距离求到 x 轴距离2023・北京卷：抛物线点到焦点与准线距离关系；2023・全国乙卷：抛物线点到准线距离2022・全国乙卷：抛物线焦点与点距离关系；2022・天津卷：抛物线与双曲线结合求方程；2022・新高考全国 Ⅰ 卷：抛物线与直线、圆结合；2022・新高考全国 Ⅱ 卷：抛物线焦点弦与距离关系2021・新高考全国 Ⅱ 卷：抛物线焦点到直线距离求 p;2021・天津卷：抛物线与双曲线结合求离心率；2021・新高考全国 Ⅰ 卷：抛物线焦点与垂直关系 1. 抛物线定义、方程及焦点、准线性质为高频考点，常单独考查或与双曲线、椭圆结合。2. 注重与距离、垂直、面积等几何量结合，考查运算与转化能力。 二 知识再现 抛物线的方程与性质 图形 标准方程 定义 与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上) 离心率 顶点（0，0） 对称轴 轴 或 轴 范围 焦点 准线方程 焦半径 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 焦点弦长 公式 参数的几何意义 参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔 题型一 抛物线的定义 一、单选题 1．若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据抛物线的几何性质即可求解. 【详解】到其准线的距离为，故抛物线方程为，故选：A 2．抛物线的焦点为,抛物线上一点在其对称轴的上方,若,则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】先设出点坐标,根据抛物线定义列出等式,即可得点坐标. 【详解】解:由题设点的坐标为, 根据抛物线的定义知,所以 代入抛物线中可得,故点的坐标为.故选:C 3．已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【分析】直接利用抛物线的定义即可求解. 【详解】依题意知，焦点， 由定义知：，所以，所以． 故选：C. 4．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解； 【详解】解：抛物线，即，则，所以， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：C 5．已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算作答. 【详解】依题意，抛物线：的焦点，准线方程为， 显然有，所以.故选：D 6．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案. 【详解】由，可得其焦点，准线方程为， 因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为， 则，解得，故选：C. 7．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决. 【详解】由题意可知，，所以. 因为抛物线的通径长， 所以轴，所以。故选：D. 8．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点P的坐标为，，根据抛物线的定义有，故的最小值为． 故选：B 9．已知点在抛物线：上，为坐标原点，点是抛物线准线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据点在抛物线：上,可求得，可得准线方程，取，则即可得到. 【详解】因为点在抛物线：上， 所以，所以，所以，准线为： 取，则， 当且仅当三点共线时取得等号.故选：D. 10．F为抛物线C:的焦点,点A在C上,点,若,则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】求出焦点的坐标,根据两点间距离公式求得,即的长度,根据抛物线定义可求得点坐标,进而可求出面积. 【详解】解:因为抛物线C:,所以,准线为: 因为,所以,设,根据抛物线定义可知:,解得, 所以,所以. 故选:B 11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线，垂足为B，，则（    ） A．30° B．60° C．45° D．90° 【答案】B 【分析】由结合抛物线性质可得，利用抛物线定义可得为正三角形，即可得出答案． 【详解】如图，设准线l与x轴交于点M， 则由抛物线可知|，又，故，， 又由抛物线定义，可得为正三角形，故． 故选：B 12．已知抛物线，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足，则线段的中点到准线的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先求出抛物线准线方程，再根据焦半径求出段AB中点的横坐标，最后即可求出答案. 【详解】抛物线，F为其焦点， ，准线为， 设，， 所以，线段AB中点的横坐标为3，即线段的中点到y轴的距离为3， 所以线段的中点到准线的距离等于4. 故选：C. 13．已知抛物线：的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，.若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设斜率为2的直线方程为，与抛物线进行联立可得，设，，所以，接着利用抛物线的定义即可求解 【详解】由抛物线：可得焦点，准线为， 设斜率为2的直线方程为， 所以消去得， ，解得， 设，，所以， 利用抛物线的定义可得，即，解得， 所以的方程为 故选：C 题型二 抛物线的标准方程 14．已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的焦点坐标，确定开口方向和的值，即可得到抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的焦点为在y轴上， 令x2=2py(p>0)且，得，所以抛物线的标准方程为. 故选：D 15．已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义和方程求解. 【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为， 所以解得，所以此抛物线的方程为. 故选：B. 16．已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线准线求抛物线标准方程即可解决. 【详解】由题知，抛物线的准线方程为， 所以抛物线开口向左，，即， 设拋物线的标准方程为，所以拋物线的标准方程为， 故选：D 17．抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的准线方程列式得出结果. 【详解】由题意得：，解得：. 故选：A. 18．数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ） A．18米 B．21米 C．24米 D．27米 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出的值，即可得到抛物线方程，再令求出的估值，从而得解. 【详解】依题意知，抛物线，即， 因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以， 所以抛物线方程为， 令，则，解得， 所以校门位于地面宽度最大约为米. 故选：C. 19．如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18，则此时欲经过桥洞的一艘宽12的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，抽象出抛物线的几何模型，根据抛物线的通经性质求得抛物线方程，即可求当宽为时的纵坐标即可求解. 【详解】根据题意画出抛物线如下图所示： 设宽度为18时与抛物线的交点分别为，当宽度为12时与抛物线的交点分别为， 当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18， 所以由抛物线的性质可知，则抛物线方程为，则， 所以当宽度为12时，设，代入抛物线方程得，解得， 所以直线与直线的距离， 即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过， 故选：B 20．已知抛物线，直线经过焦点交于两点，其中点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由抛物线所过点可求得，进而得到抛物线方程和焦点，将直线方程与抛物线方程联立可求得，利用抛物线的焦点弦长公式可求得结果； 解法二：由抛物线所过点可求得，利用二级结论可求得，代入抛物线的焦点弦长公式可求得结果. 【详解】解法一：抛物线过点，，解得：，，， 直线，即， 由得：，解得：或，， ； 解法二：抛物线过点，，解得：， ，，. 故选：D. 21．已知抛物线的准线为，O为坐标原点，A、B都在此抛物线上，若直线过，则（    ） A．4 B．8 C．0 D． 【答案】C 【分析】法一：先由抛物线的准线方程求得抛物线的方程，再直接利用特殊直线法求得的坐标，从而得解； 法二：联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】法一： 因为抛物线的准线为，所以，即， 所以抛物线的方程为， 因为直线过， 所以可取直线为代入抛物线方程，计算得，， 所以； 法二： 依题意，直线的斜率必然存在，设直线为，，， 联立，消去，得， 此时，所以，则， 所以. 故选：C． 题型三 抛物线的性质 22．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 23．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2． 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 24．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．0 【答案】B 【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值. 【详解】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0， 因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，所以当x=0时，z最小，最小值为3. 故选：B. 25．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程. 【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或． 故选：C． 26．已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由圆与抛物线的对称性及，可得点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出即可得解. 【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且， 由对称性，不妨设， 代入抛物线方程，则，解得， 所以， 故 故选：B 二、多选题 27．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（    ） A．(3，2) B．(3，－2) C．(－3，2) D．(－3，－2) 【答案】AB 【分析】设点P的坐标为(x，y)，利用抛物线的定义可得x－(－2)＝5，求得x＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标 【详解】抛物线y2＝8x的准线方程为， 设点P的坐标为(x，y)， ∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.，把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，∴y＝±. ∴点P的坐标为(3，±). 故选：AB. 28．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别求出选项中各抛物线的焦点坐标，代入直线检验即可得结果. 【详解】对于A，抛物线开口向右，焦点坐标为，在直线上； 对于B，抛物线开口向下，焦点坐标为，在直线上； 对于C，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上； 对于D，抛物线开口向上，焦点坐标为，不在直线上； 故选：AB. 29．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】AB 【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D． 【详解】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．故选：AB． 30．如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（    ） A． B． C．点P的坐标为 D．点P的坐标为 【答案】BD 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解. 【详解】由题意可得：抛物线C的焦点为，准线为， 设抛物线C的准线与x轴的交点为Q， 在中，则，， 可得，解得，故A错误，B正确； ∵，则点P的横坐标为，且点P在第一象限， 故点P的坐标为，故C错误，D正确． 故选：BD. 31．已知抛物线的焦点为，P为C上的一动点，，则下列结论正确的是（    ） A． B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8 C．的最小值为4 D．的最小值为9 【答案】CD 【分析】根据焦点坐标可得，即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自变量的范围即可判断C,根据三点共线即可判断D. 【详解】对于A,由抛物线的焦点为可知，故A错误， 对于B,当PF⊥x轴时，则点的横坐标为4，将其代入中得，故B错误， 对于C,设，则，由于,所以，故的最小值为4，故C正确， 对于D，过作垂直于准线于,过作垂直于准线于， 则，当，，三点共线时等号成立， 故D正确； 故选：CD 32．若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，求出的范围，即可得出答案. 【详解】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得， ∴其准线为. 故选:BD． 33．已知抛物线的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】过作抛物线的准线的垂线，结合抛物线定义可得为正三角形，从而可求出的长度即为的值即可判断A，再根据即可确定为中点即可判断B，再利用抛物线的定义可判断C，D. 【详解】 如图所示，分别过作抛物线的准线的垂线，垂足为， 抛物线的准线交轴于点，则， 由于直线的斜率为，则倾斜角为， 因为轴，所以， 由抛物线的定义可知,所以是等边三角形， 所以, 则，所以，解得，A正确； 因为，又，所以为中点，则，B正确； 所以,,所以，C错误； 因为D错误， 故选:AB 34．已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】ABD 【分析】确定，，设，计算A正确，联立方程得到B正确，，C错误，过点作垂直于准线于，计算得到D正确，得到答案. 【详解】抛物线C：，即，，，设， 对选项A：抛物线C的准线方程为，正确； 对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确； 对选项C：，时取等号，错误； 对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确. 故选：ABD 三、填空题 35．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则 ______． 【答案】4 【分析】先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出. 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得，所以焦点， 所以. 故答案为：4. 36．已知抛物线的焦点在直线上，则______. 【答案】6 【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点为；焦点在直线上 故答案为：0 37．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为______m. 【答案】3.8 【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案. 【详解】由题意，如图建系： 则，，，， 如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得， 故抛物线方程为， 将代入抛物线方程，可得， . 故答案为：3.8. 38．已知抛物线E：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，为的中点，且，则__________. 【答案】 【分析】利用抛物线的定义结合三角形中位线定理求解即可. 【详解】设轴交准线于，过作准线的垂线，垂足为，因为为的中点，且， 则由抛物线的定义可得， 在中，，所以， 故答案为： 39．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足，P为抛物线准线上任一点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设A(x0，y0)(x0>0)，根据抛物线的定义，由|AF|＝y0＋，可得，作出关于直线对称的点为，根据可求得|PA|＋|PF|的最小值； 【详解】由x2＝4y，知p＝2，则焦点F(0,1)，准线y＝－1. 依题意，设A(x0,y0)(x0>0)，由定义，得|AF|＝y0＋，即，则y0＝2－1＝1， ∴，AF⊥y轴，如图：设关于直线对称的点为，则， 则，当且仅当的坐标为时等号成立. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用关于直线对称的点为求|PA|＋|PF|的最小值是解题关键. 40．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则弦的中点到轴的距离为__________. 【答案】## 【分析】由题意求得直线，得出两点的横坐标关系为：，再由抛物线的定义可得结果. 【详解】易知：抛物线的焦点且准线， 如图所示：设中点为过分别向准线作垂线，垂足分别为，设与y轴交于D， ∴直线，与抛物线方程联立可得,， 由梯形中位线可知：，则. 故答案为： 41．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为______. 【答案】 【分析】作辅助线，利用抛物线的定义可知直角梯形的两底分别为， ，利用梯形的中位线定理表示出，进而表示出，再根据基本不等式求得最小值. 【详解】如图示：设AB的中点为M，分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N， 设， ，则， ， MN为梯形ACDB的中位线，则 ， 由AF⊥BF．可得 ，故， 因为 当且仅当a=b时取等号， 故， 故答案为：. 42．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解． 【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知， 的最小值即为的最小值减去半径． 因为，， 设， ，由于恒成立， 所以函数在上递减，在上递增，即， 所以，即的最小值为． 故答案为：． 高考真题再现 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 3．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，，所以. 故选：B 4．（2020年北京市高考数学试卷）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 【答案】B 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解. 【详解】如图所示：． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 5．（2022年高考天津卷数学真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：C. 6．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以，所以双曲线的离心率. 故选：A. 二、多选题 7．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 8．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 【答案】 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 10.（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 11.（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 12．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 13．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 14．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：. 课后巩固训练 一、单选题 1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果. 【详解】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得， 故选：C. 2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析出的最小值为点A到准线的距离，而为定值，即可求出周长的最小值. 【详解】 因为抛物线方程为，所以， 所以焦点，且抛物线准线方程为. 注意到的周长为， 因为，，所以, 所以. 因为根据抛物线定义，点到准线的距离等于， 则若求周长最小值，即求点到准线的距离与长度之和的最小值即可， 由图可知，当点为过点作轴垂线与抛物线的交点时， 点到准线的距离加长度之和最小， 最小值为， 所以周长的最小值为. 故选：C. 4．已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值. 【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时. 故选：D 5．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为3，O为坐标原点，则（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】C 【分析】根据抛物线定义及题意求出，得出点A的坐标即可求解. 【详解】由已知及抛物线的定义可得，解得， ∴抛物线方程为， ，即，代入抛物线方程可得， ∴，. 故选：C 6．已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的性质可得，设，结合两点距离公式和二次函数性质求的最小值，可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 因为是圆上一点， 所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立， 因为是抛物线上一动点， 设点的坐标为，则 ， 当时，取最小值，最小值为， 所以， 当且仅当点的坐标为，且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为， 故选：C. 7．设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线与轴交点为，画出图象，由抛物线定义及可知是正三角形，结合平行关系可判断，利用直角三角形性质即可求解. 【详解】由题可知，，抛物线焦点F为，准线l为，设准线l与x轴的交点为E，如图所示， 由题知，由抛物线的定义可知， 因为，所以是正三角形，则在中，因为， 所以，所以． 故选：D 8．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在抛物线上及抛物线的定义，利用圆的弦长及勾股定理即可求解 【详解】由题意可知，如图所示， 在抛物线上，则 易知，，由， 因为被直线截得的弦长为，则， 由，于是在中， 由解得：，所以． 故选：C. 9．若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为，且，是抛物线上两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解. 【详解】 根据题意可知 如图，取AB中点E，分别过点A、B、E作于点D、C、G， DG与轴交于点H. 根据抛物线的定义可得： . 因为GE为梯形ABCD的中位线，所以 所以线段的中点到轴的距离. 故选：B 10．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向，位置特征及的几何意义即可得到答案 【详解】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上，则其满足标准方程 ，又焦点到准线的距离，所以该抛物线的标准方程为 故选：B 11．抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义以及方程求解. 【详解】由题可知，抛物线开口向上，设方程为， 设抛物线的焦点为，则准线为， 所以解得，所以方程为， 故选:B. 12．已知抛物线，点O为坐标原点，并且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由焦半径公式列出方程，求出，得到，求出的长. 【详解】抛物线准线方程为，由焦半径可知：，解得：. 则，此时，则. 故选：D 13．截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】由题意建立平面直角坐标系，求得抛物线标准方程，即可求得顶点到焦点的距离. 【详解】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系， 则设抛物线的方程为， 由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以， 即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为. 故选：A. 14．已知抛物线，直线经过焦点交于两点，其中点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由抛物线所过点可求得，进而得到抛物线方程和焦点，将直线方程与抛物线方程联立可求得，利用抛物线的焦点弦长公式可求得结果； 解法二：由抛物线所过点可求得，利用二级结论可求得，代入抛物线的焦点弦长公式可求得结果. 【详解】解法一：抛物线过点，，解得：，，， 直线，即， 由得：，解得：或，， ； 解法二：抛物线过点，，解得：， ，，. 故选：D. 15．倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点A，B，A在x轴上方，且，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得A点坐标代入抛物线方程解得，得到焦点坐标和抛物线方程，直线与抛物线联立方程组利用弦长公式计算弦长 【详解】设，过A向x轴作垂线，垂足为，如图所示 由，，直线倾斜角为，则有，可得，， 代入抛物线方程有，∴，（舍去）， 则抛物线方程为． 则有，所以直线方程为， 代入抛物线方程得，即，∴， 根据抛物线焦点弦长公式，得． 故选：B． 16．已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设，由表示为关于的函数，结合二次函数的性质可得的值，利用弦长公式即可得结果. 【详解】设，则满足， 则 即当时，的最小值为， 解得（舍负）， 即抛物线，焦点， 设，， 则，即， 即线段中点的横坐标为3， 故选：B. 17．已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解. 【详解】设，则，. 由题意知，四点共圆， 由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴， 设与x轴相交于点D，则， 在圆D中，有， 即，又， 所以，解得，① 代入，得，② 将①②代入椭圆方程，得， 整理，得，解得. 经检验，时，符合题意. 故实数p的值为. 故选：A. 18．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得， 则，将代入可得，则. 故选：C. 二、多选题 19．为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设，根据抛物线的定义求出，再代入抛物线方程求出，即可求出点坐标，从而求出直线方程. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为，设， 因为，所以，解得，所以，解得， 所以或，则或， 所以直线的方程为或，即或； 故选：BD 20．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当，则直线的倾斜角为 C．若，则点到轴的距离为8 D． 【答案】AD 【分析】根据抛物线的图象与几何性质，抛物线焦点弦性质逐个解决即可.其中对于D, . 【详解】对于A，易知，从而准线方程为，故A正确； 对于B，如图分别过 两点作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为点. 由于，不妨设，则， 由抛物线的定义易知：，， 在直角中，， 此时的倾斜角为， 根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，故B错误； 对于C， 点， 由抛物线的定义知，， 所以有， 所以到轴距离，故C错误； 对于D，由抛物线定义知， 所以， 当且仅当，即时取得等号，故D正确； 故选:AD. 21．如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题知，，设直线为，联立方程，消去得，，然后根据直线与抛物线位置关系，焦点弦性质，韦达定理，求导逐个计算即可. 【详解】由题知，， 设直线为， 联立方程， 消去得， 所以， 由抛物线的定义知， 因为， 所以，故A错误； 又 所以，故B正确； 又， 由上述知，当时等号成立， 所以，故C正确； 又， 由上述知， 所以， 所以，其中， 令， 所以， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 所以，故D错误； 故选：BC 22．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．若，则 C．若，则的中点到轴的距离为4 D． 【答案】ABD 【分析】利用抛物线的定义可分析A,B选项，利用直线与抛物线相交结合韦达定理，弦长公式,基本不等式可分析C,D选项. 【详解】因为点在抛物线上， 所以解得，所以抛物线方程为， 所以准线方程为，所以A正确; 由抛物线的定义得 由,所以.所以B正确; 设， 联立整理得， 由韦达定理得， 所以，解得， ，所以C错误; , 由抛物线定义知 ， 所以, 当且仅当时取得等号，所以D正确. 故选: ABD. 23．过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线E的准线方程为 B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上 C．若为坐标原点，则 D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则 【答案】BC 【分析】对于A项，方法一：运用韦达定理及抛物线定义表示、代入解方程即可；方法二：运用求解即可；对于B项，运用导数几何意义分别求得、，将的值代入计算即可；对于C项，运用韦达定理及抛物线弦长公式求得、及的值，进而求出点M坐标，运用两点间距离公式求得即可；对于D项，方法一：将中的斜率k换成可求得，进而求得的值；方法二：运用抛物线焦点弦长公式可得，进而求得的值. 【详解】对于A项，方法一：由题意可设过点的直线l的方程为，，设，， 联立方程组消去x整理得，可得. 因为，所以则，解得，所以抛物线，故抛物线E的准线方程为，故A项错误； 方法二：∵，∴，， 又∵，∴，解得：， 所以抛物线E：，故抛物线E的准线方程为，故A项错误； 对于B项，设，，抛物线，，， 易得，，所以， 所以直线NA，NB垂直，所以点N在以AB为直径的圆上，故B项正确； 对于C项，由A项知，抛物线E：，则直线l的方程为，，设，， ， 所以，， 又因为，所以，，， 所以，解得：， 所以，所以， 所以，，即：， 所以，故C项正确； 对于D项，方法一：由C项知，，， 又因为直线l垂直于直线m ， 所以， 所以.故D项错误. 方法二：由题意知.设直线的倾斜角为，由，， 易得直线的方程为，，， 根据焦点弦长公式可得， 所以.故D项错误. 故选：BC. 24．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（    ） A．若点，则的最小值为4 B．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条 C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为 D．点H为抛物线C上的任意一点，，，当t取最大值时，GFH的面积为2 【答案】AD 【分析】A选项，过P点做准线的垂线，垂足为.由抛物线定义，，据此可得最小值； B选项，过点B且与抛物线只有一个公共点的直线有两类，抛物线的切线与斜率不存在的直线； C选项，设，由及D，E两点在抛物线上可得， 后可得ODE的周长； D选项，设，则，由基本不等式可得取最大值时，，后可得GFH的面积. 【详解】A选项，过P点做准线的垂线，垂足为.则由抛物线定义，有.则，则当三点共线时，有最小值4.故A正确； B选项，当过点B直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与抛物线只有一个交点；当过点B直线斜率存在时，设直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立，则.令或 ，则直线或为抛物线切线.综上，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有3条，故B错误； C选项，设，因三角形ODE为正三角形， 则，又， 则. 因，则.又由图可得. 则，则. 得ODE的周长为.故C错误； D选项，设，则 ，当取最大值时， .取，则此时GFH的面积为. 故D正确. 故选：AD 三、填空题 25．若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______. 【答案】2或18 【分析】由抛物线的定义得点A的坐标，代入抛物线的方程求解即可. 【详解】∵设抛物线的焦点为F，则，准线l方程为：， ∴由抛物线的定义知，， ∴点A的横坐标为，则， 又∵点A在抛物线上， ∴，解得：或. 故答案为：2或18. 26．抛物线：的准线截圆所得的弦长为_________. 【答案】 【分析】先求出圆心到准线的距离，再根据圆的弦长公式求解即可. 【详解】抛物线：的准线为， 圆的圆心为，半径， 圆心到准线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：. 27．抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______． 【答案】##7.5 【分析】设，则，由的斜率解得，再将代入抛物线方程可得，进而可得的面积. 【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为， 设，由题意可得，则，解得n＝3， 将代入抛物线方程可得，解得，即， 则，所以的面积. 故答案为：． 28．抛物线C：的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若，且，则______. 【答案】5 【分析】根据题意结合抛物线的定义可求得，再根据垂直关系求得，由直线方程求得即可得结果. 【详解】由题意可得：抛物线C：的焦点为，准线， 不妨设点，则，即， 可得，即，故， 则直线的斜率， ∵，则直线的斜率， ∴直线的方程， 令，解得，即， 故. 故答案为：5. 29．设为坐标原点，抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交于点为轴正半轴上一点，且，若，则的准线方程为______． 【答案】 【分析】由题知，进而根据计算即可. 【详解】解：如图，由题知，将代入方程得，故 所以，， 所以， 因为，整理得，解得（舍）， 所以，抛物线，准线方程为： 故答案为： 30．已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为________． 【答案】 【分析】首先得到圆心的坐标与半径，由抛物线方程得到焦点坐标与准线方程，依题意可得点到直线的距离，即可得到点到直线的距离与之和为，再数形结合得到的最小值. 【详解】解：因为圆，所以，半径， 抛物线的焦点，准线为直线， 则点到直线的距离， 所以点到直线的距离与之和为， 所以当、、、四点共线时，取得最小值， 其最小值为. 故答案为： 艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第25讲 抛物线题型总结 一、考向解读 考点 五年考情 (2021-2025) 命题趋势 考点 : 抛物线方程及其性质 2025・全国二卷：抛物线定义与焦点弦计算；2025・天津卷：抛物线与双曲线结合求离心率；2025・北京卷：抛物线顶点到焦点距离求 p2024・新课标 Ⅱ 卷：抛物线与圆的位置关系及切线长计算；2024・天津卷：抛物线与圆交点及距离计算；2024・北京卷：抛物线焦点坐标；2024・上海卷：抛物线点到准线距离求到 x 轴距离2023・北京卷：抛物线点到焦点与准线距离关系；2023・全国乙卷：抛物线点到准线距离2022・全国乙卷：抛物线焦点与点距离关系；2022・天津卷：抛物线与双曲线结合求方程；2022・新高考全国 Ⅰ 卷：抛物线与直线、圆结合；2022・新高考全国 Ⅱ 卷：抛物线焦点弦与距离关系2021・新高考全国 Ⅱ 卷：抛物线焦点到直线距离求 p;2021・天津卷：抛物线与双曲线结合求离心率；2021・新高考全国 Ⅰ 卷：抛物线焦点与垂直关系 1. 抛物线定义、方程及焦点、准线性质为高频考点，常单独考查或与双曲线、椭圆结合。2. 注重与距离、垂直、面积等几何量结合，考查运算与转化能力。 二 知识再现 抛物线的方程与性质 图形 标准方程 定义 与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上) 离心率 顶点（0，0） 对称轴 轴 或 轴 范围 焦点 准线方程 焦半径 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 焦点弦长 公式 参数的几何意义 参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔 题型一 抛物线的定义 一、单选题 1．若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点为,抛物线上一点在其对称轴的上方,若,则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 5．已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 6．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 7．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 9．已知点在抛物线：上，为坐标原点，点是抛物线准线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．F为抛物线C:的焦点,点A在C上,点,若,则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线，垂足为B，，则（    ） A．30° B．60° C．45° D．90° 12．已知抛物线，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足，则线段的中点到准线的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 13．已知抛物线：的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，.若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 抛物线的标准方程 14．已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 17．抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D． 18．数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ） A．18米 B．21米 C．24米 D．27米 19．如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为18，则此时欲经过桥洞的一艘宽12的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（    ） A． B． C． D． 20．已知抛物线，直线经过焦点交于两点，其中点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 21．已知抛物线的准线为，O为坐标原点，A、B都在此抛物线上，若直线过，则（    ） A．4 B．8 C．0 D． 题型三 抛物线的性质 22．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 23．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 24．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．0 25．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 26．已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 27．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（    ） A．(3，2) B．(3，－2) C．(－3，2) D．(－3，－2) 28．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 29．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 30．如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（    ） A． B． C．点P的坐标为 D．点P的坐标为 31．已知抛物线的焦点为，P为C上的一动点，，则下列结论正确的是（    ） A． B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8 C．的最小值为4 D．的最小值为9 32．若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）． A． B． C． D． 33．已知抛物线的焦点为F，经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 34．已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 三、填空题 35．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则 ______． 36．已知抛物线的焦点在直线上，则______. 37．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为______m. 38．已知抛物线E：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，为的中点，且，则__________. 39．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足，P为抛物线准线上任一点，则的最小值为__________． 40．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则弦的中点到轴的距离为__________. 41．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为______. 42．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________． 高考真题再现 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（2020年北京市高考数学试卷）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 5．（2022年高考天津卷数学真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 7．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 8．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 三、填空题 9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 10.（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 11.（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 12．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 13．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 14．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 课后巩固训练 一、单选题 1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 4．已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 5．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为3，O为坐标原点，则（    ） A． B．6 C． D．9 6．已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 8．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（    ） A． B． C． D． 9．若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为，且，是抛物线上两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 10．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（    ） A． B． C． D． 11．抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知抛物线，点O为坐标原点，并且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则（    ） A． B． C．4 D． 13．截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 14．已知抛物线，直线经过焦点交于两点，其中点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 15．倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点A，B，A在x轴上方，且，则（    ） A．4 B． C． D． 16．已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 17．已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（    ） A． B． C．2 D．4 18．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 二、多选题 19．为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 20．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．当，则直线的倾斜角为 C．若，则点到轴的距离为8 D． 21．如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（    ） A． B． C． D． 22．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．若，则 C．若，则的中点到轴的距离为4 D． 23．过抛物线的焦点F的直线交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线E的准线方程为 B．过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上 C．若为坐标原点，则 D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于C，D两点，则 24．已知抛物线，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（    ） A．若点，则的最小值为4 B．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条 C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为 D．点H为抛物线C上的任意一点，，，当t取最大值时，GFH的面积为2 三、填空题 25．若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______. 26．抛物线：的准线截圆所得的弦长为_________. 27．抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______． 28．抛物线C：的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若，且，则______. 29．设为坐标原点，抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交于点为轴正半轴上一点，且，若，则的准线方程为______． 30．已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为________． 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $