28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数应用，核心内容为利用方向角、坡度解直角三角形。通过海轮航行等典例导入，承接锐角三角函数定义，构建从理论到实际问题解决的学习支架。 其亮点在于以航海、建筑等真实情境案例为载体，通过数学眼光抽象问题模型，数学思维推理运算过程，数学语言表达解题步骤。分层随堂练习助力巩固，帮助学生发展应用意识，教师可直接取用例题与练习，提升教学效率。

人教版数学9年级下册培优备课课件 28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形 第二十八章 锐角三角函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 解与方向角有关的问题 典例精析 例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 解：如图，在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile. 65° 34° P B C A 3 1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，根据下列条件解直角三角形： （1）c = 8，∠A = 30°； （2）b = 7，∠A = 15°； （3）a = 5，b = 12. 解:（1）∠B = 60°，a = 4，b = 4 ； （2）∠B = 75°，a ≈ 1.9，c ≈ 7.2； （3）c = 13，∠A ≈ 22.62°，∠B ≈ 67.38°. 随堂练习 2．如图，厂房屋顶的人字架 (等腰三角形) 的跨度 BC = 10 m，∠B = 36°，求中柱 AD (D 为底边中点) 和上弦 AB 的长 (结果保留小数点后一位). 解：∵ BC = 10 m，D 为底边中点， ∴ BD = 5 m，AD⊥BC. 在 Rt△ABD 中，∠B = 36°， ∴ AD = BD·tanB = 5tan36° ≈ 3.6 (m)， AB = = ≈ 6.2 (m). 随堂练习 例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续 向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F， 则 AF 的长是 A 到 BC 上所有 点中的最短距离. 北 东 A C B 60° 30° D E F ∵ BD∥CE∥AF， ∴ AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 故渔船继续向正东方向行驶， 没有触礁的危险． 北 东 A C B 60° 30° D E F ∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°． ∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°. 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC， ∴ BC = AC = 12 海里． 3．如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC = 1200 m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 α = 16°31′．求飞机 A 与指挥台 B 的距离（结果取整数）． 解：由题意知∠B = α = 16°31′， 在 Rt△ABD 中，AC = 1200 m， ∴ AB = = ≈ 4221 (m). 答：飞机 A 与指挥台 B 的距离约为 4221 m. 随堂练习 解与坡度有关的问题 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？ A B C 观察与思考 如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ α l h i = h∶l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的 比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l . 坡面 水平面 3. 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. 4．从高出海平面 55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 21°，此时帆船距灯塔多远（结果取整数）？ 解：如图，由题意知∠B =∠BAD = 21°，AC = 55 m. 在 Rt△ABC 中，BC = = ≈ 143（m）． 答：此时帆船距灯塔约 143 m. 随堂练习 5. 如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 5.5 m. 测得斜坡的倾斜角是 24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离 （结果保留小数点后一位）． 解：如图，由题意得 AC = 5.5 m，∠A = 24°，则 AB = AC÷cosA = 5.5÷cos24° ≈ 6.0 (m)． 答：相邻两树间的坡面距离约为 6.0 m． 随堂练习 例 3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的 坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到 0.01°，长度精确到 0.1 m）？ i = 1:2 典例精析 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A ≈ 26.57°， AC = 240 m， 解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得 因此 α ≈ 26.57°. 答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升 了约 107.3 m. 从而 BC ≈ 240 sin26.57° ≈ 107.3 (m)． 因此 例 4 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求： (1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)； A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 解： 斜坡 CD 的坡度 i = tanα = 1∶2.5 = 0.4， 由计算器可求得 α ≈ 22°. 故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°. 解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F. 在 Rt△ABE 中， (2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m). E F A D B C i = 1:2.5 23 6 α i = 1:3 由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m. = 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在 Rt△DCF 中， 故坝底 AD 的长度为 132.5 m，斜坡 AB 的 长度为 72.7 m. 6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （1）已知∠A，c，写出解 Rt△ABC 的过程； 解：由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° - ∠A. 由锐角三角函数的定义得 a = c·sinA，b = c·cosA． 随堂练习 6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （2）已知∠A，a，写出解 Rt△ABC 的过程； 解：由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° - ∠A. 由锐角三角函数的定义得 c = ，b = 随堂练习 6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （3）已知 a，c，写出解 Rt△ABC 的过程. 解：由勾股定理，得 b = . 由锐角三角函数的定义，得 sinA = . 求得∠A 的度数之后，由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° -∠A. 随堂练习 7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为 130 m 的正方形，且每一个侧面与地面成 65° 角，这座金字 塔原来有多高 (结果取整数)？ 解： ×130 tan65° ≈ 139 (m). 答：这座金字塔原来约有 139 m 高. 随堂练习 8．如图，一枚运载火箭从地面 L 处发射. 当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达站测得 AR 的距离是 6 km，仰角为 43°；1 s 后火箭到达 B 点，此时测得仰角为 45.54°. 这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是 多少 (结果取小数点后两位)? 解：在 Rt△ALR 中，AL = 6×sin43°，LR = 6×cos43°. 随堂练习 在 Rt△BLR 中，BL = LR · tan45.54° = 6×cos43°· tan45.54°. ∴ AB = BL - AL = 6×cos43°· tan45.54° - 6×sin43° ≈ 0.38 (km). 0.38÷1 = 0.38 (km/s). 答：这枚火箭从 A 到 B 的平均 速度是 0.38 km/s. 随堂练习 9．为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 1 : 1.5，计算斜坡 AB 的长度（结果取整数）. 解：如图，在 Rt△ABC 中，BC : AC = 1 : 1.5， ∴ AC = 1.5 BC = 1.5×5 = 7.5 (m). 由勾股定理 C 随堂练习 9．为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 1 : 1.5，计算斜坡 AB 的长度（结果取整数）. C 得 AB = = ≈ 9 (m). 答：斜坡 AB 的长度约为 9 m. 随堂练习 返回 A 1. 如图，小宇为了测量某河流的宽度，他在河岸边相距200米的P，Q两点分别测量对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽(PT的长)为(　　) 中考考法 27 返回 2. 137 [教材P77练习T1变式]如图，小晨为了测量宿舍楼与食堂的距离，在宿舍楼A处测得食堂B位于北偏东60°方向，他向南走50 m到达D点，测得食堂B位于北偏东45°方向，则宿舍楼与食堂之间的距离AB约为________m． 中考考法 返回 3. 14 如图，点A在点B北偏东30°方向上，且A，B之间的距离为100 m，已知点C在点B的西北方向，在点A的正西方向，则点A，B到点C的距离差约为________m． 中考考法 解直角三角形的应用 坡度问题 方向角问题 坡角 坡度(或坡比) A.米 B．200·tan 50°米 C．200·sin 50°米 D.米 (结果精确到1 m．参考数据：≈1.41，≈1.73) (结果精确到1 m．参考数据：≈1.73，≈2.45) $