抛物线及其几何性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

一、基础知识梳理

1、抛物线的概念

(1)平面上到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）距离      的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的      ，定直线l叫做抛物线的      ．

(2)数学表达式：{M||MF|＝d}（d为点M到准线l的距离）．

2、抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程	y2＝2px（p>0）	y2＝－2px（p>0）	x2＝2py（p>0）	x2＝－2py（p>0）
	p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点	O（0，0）
对称轴	x轴		y轴
范围	x≥0，y∈R	x≤0，y∈R	y≥0，x∈R	y≤0，x∈R
焦点
离心率	e＝1
准线方程

3、常用结论

(1)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

(2)抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F（，0）的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．

 

 

 

 

二、典型例题

题型一 抛物线的定义及应用

例1

(1)已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=(   )

A．2 B．3 C．6 D．9

(2)设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是         ．

题型二 抛物线的标准方程

例2

(1)已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为(   )

A． B． C． D．

(2)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，则该抛物线的标准方程为         ．

题型三 抛物线的几何性质

例3

(1)抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则(   )

A．l与相切

B．当P，A，B三点共线时，

C．当时，

D．满足的点有且仅有2个

(2)已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，与x轴垂直，Q为x轴上一点，且，若，则C的准线方程为         ．

 

 

 

 

 

三、课堂练习

1.抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，则抛物线的方程为          ．

2.抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为          ．

3.如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽为，高为．根据图中的坐标系，则这条抛物线的方程为           ．

4.已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为          ．

5.如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，          .

  

6.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为          .