直线与抛物线的位置关系 讲义-2026届高三数学一轮复习

一、基础知识梳理

1、直线与抛物线的位置关系

（1）直线与抛物线的三种位置关系：

（2）设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px（p>0），将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程

.

①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点.

②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

2、抛物线的焦点弦问题

抛物线y2=2px（p>0）上一点A与焦点F（，0）的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=+p（，分别为M，N的横坐标）.

设过抛物线焦点的弦的端点为A，B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：

标准方程	弦长公式
y2=2px（p>0）	|AB|=x1+x2+p
y2=-2px（p>0）	|AB|=p-（x1+x2）
x2=2py（p>0）	|AB|=y1+y2+p
x2=-2py（p>0）	|AB|=p-（y1+y2）

3、弦长问题

设直线与抛物线交于A，B两点，则|AB|==或|AB|==（k为直线的斜率，k≠0）.

4、抛物线的切线

过抛物线y2=2px（p>0）上的点P的切线方程是.

抛物线y2=2px（p>0）的斜率为k的切线方程是（k≠0）.

5、点差法（弦中点问题）

（1）焦点在轴上：                 

                                      

（2）焦点在轴上：                 

                                      

6、常用结论

过抛物线和的焦点的直线与抛物线交于

两点，则有  ；

二、典型例题

题型一  判断直线与抛物线的位置关系

例1

(1)直线与抛物线的位置关系为(   )

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

(2)抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为(   )

A．相交 B．相切

C．相离 D．以上都有可能

题型二 根据直线与抛物线的位置关系求参数

例2

(1)“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的(   )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是(   )

A． B． C． D．

题型三  抛物线的弦长问题

例3

(1)过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则(   )