第一章 集合、常用逻辑用语讲义-2025-2026学年高一上学期数学期末考点大串讲

该高中数学讲义通过表格系统梳理集合元素特性、关系及运算，结合题型框架呈现知识脉络，将集合基本概念、常用逻辑用语等要点按“定义-关系-应用”递进组织，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于“新定义与实际应用”题型设计，如集合计数问题用Venn图分析工厂用餐人数，培养数学思维与建模能力。每个题型配方法技巧与变式训练，基础生掌握通法，优生深化探究，助力教师精准教学与学生自主复习。

2025-2026学年数学必修第一册 第一章 集合、常用逻辑用语 普通2025-2026学年高一上学期期末考点大串讲一 第1章 集合、常用逻辑用语 一、集合 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。 (2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 2. 集合间的基本关系 表示 关系　　 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，存在x0∈B，x0∉A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A⇒A＝B A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意x，x∉∅，∅⊆A ∅ 3. 集合的基本运算 表示 运算　　 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的元素组成的集合 {x|x∈A且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 4. 集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A. 1．如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． 3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题型一：集合的基本概念 例1-1.设集合，若，则实数m=（ ） A．0 B． C．0或 D．0或1 例1-2．集合的元素个数为（ ） A． B． C． D． 【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略 (1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件. (2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. (3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别. 变式1-1.2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2.4．（多选）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 题型二：集合间的基本关系 例2-1.已知集合，，若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 例2-2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2-3.已知集合，集合，那么（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 (1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法． (2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集． (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题． 变式2-1.设集合，，则（   ） A． B．⫋ C．⫋ D． 变式2-2.已知集合，，，则实数a的值是 . 题型三：集合的基本运算 例3-1.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例3-2．若集合，则的元素个数为（ ） 例3-3.若集合，集合，则中整数的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式3-1.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式3-2.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 题型四：利用集合的运算求参数 例4-1.已知、，集合，集合，若，则（ ） A． B． C．或 D． 例4-2．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 变式4-1.已知集合，若，则的值不可能是（ ） A． B． C．0 D．3 变式4-2.已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：集合中的计数问题 【方法归纳】 关于集合中的计数问题，常借助Venn图或用公式，（表示有限集合中元素的个数）求解． 例5-1.我市某工厂共有3000名工人在工厂食堂用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的工人中，有的工人第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的工人中，有的工人第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的工人数大约为（    ） A．1400 B．1600 C．1800 D．2000 例5-2.学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 例5-3.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 题型六：集合的新定义问题 例6-1.在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例5-2.定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 变式6-1．给定集合，，定义且，若，，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、全称量词与存在量词、充要条件 一、全称量词与全称量词命题 1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． 2．全称量词命题：含有全称量词的命题． 3．全称量词命题的符号表示：形如“对M中任意一个x，p(x)成立”的命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 4．全称量词命题的否定： 二、存在量词与存在量词命题 1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． 2．存在量词命题：含有存在量词的命题． 3．存在量词命题的符号表示：形如“存在M中的元素x，p(x)成立”的命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)． 4．存在量词命题的否定： 常见量词： 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 三、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 题型一：充要条件的判定 例1-1.已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2.已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-1.命题，命题函数且在上单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法归纳】 充分、必要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题， 题型二：充分条件与必要条件的应用 例2-1.条件，，则的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 例2-2.已知集合，． (1)求A； (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围． 变式2-1.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式2-2.已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 变式2-3.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-4.已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：全称(存在)命题的否定 例3-1.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 例3-2.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 常见词语的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使p(x)真 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x0∈A使p(x0)假 题型四：根据命题的真假求参数 例4-1.已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________. 例4-2.若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 例4-3.已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值 ． 变式4-1.若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ． 变式4-2.已知命题.若为假命题，则的取值范围为 . 题型五：“存在性”或“任意性”问题 1、解决双变量“存在性”或“任意性”的等式问题 （1）关键点：一是理解量词的含义，“脱去”量词，转化为两个函数的值域之间的问题；二是会利用函数的单调性，求函数的值域． （2）常见的转化形式： ①，，的值域为值域的子集； ②，，的值域与值域的交集不为空集． 2、解决双变量“存在性”或“任意性”的不等式问题 （1），，； （2），，； （3），，； （4），，； 例5-1.设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5-2.已知函数， ，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-1.已知函数 若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 . 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年数学必修第一册 第一章 集合、常用逻辑用语 普通2025-2026学年高一上学期期末考点大串讲一 第1章 集合、常用逻辑用语【解析】 一、集合 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。 (2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 2. 集合间的基本关系 表示 关系　　 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，存在x0∈B，x0∉A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A⇒A＝B A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意x，x∉∅，∅⊆A ∅ 3. 集合的基本运算 表示 运算　　 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的元素组成的集合 {x|x∈A且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 4. 集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A. 1．如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． 3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A. 4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题型一：集合的基本概念 例1-1.设集合，若，则实数m=（ ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【详解】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时；所以或.故选：C 例1-2．集合的元素个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 所以集合的元素个数为9个．故选：B． 【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略 (1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件. (2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. (3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别. 变式1-1.2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分， 无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)， 故，故D错误．故选：C. 变式1-2.4．（多选）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【详解】对于，若，令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得， 再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 题型二：集合间的基本关系 例2-1.已知集合，，若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得(舍)， 和(舍)，所以，， 则， 故选：A 例2-2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，. 要使，只需，解得：. 故选：A 例2-3.已知集合，集合，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 错误，错误，错误， ， 所以，D正确， 故选：D 【方法技巧】 (1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法． (2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集． (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题． 变式2-1.设集合，，则（   ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】B 【详解】， ， 因为奇数集，为整数集， 则⫋，故⫋. 故选：B 变式2-2.已知集合，，，则实数a的值是____. 【答案】 【详解】因为，且，所以，， 因为，，所以，解得. 当时，，满足要求.所以. 故答案为：. 题型三：集合的基本运算 例3-1.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于集合，，解得. 对于集合，，解得. 所以集合，集合. 所以. 故选：B. 例3-2．若集合，则的元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意得，， 故，即共有4个元素， 故选：C． 例3-3.若集合，集合，则中整数的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意，可得集合，， 则，其中集合有，共有个. 故选：C. 变式3-1.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，，所以． 故选：C． 变式3-2.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以， 不等式的解集为，所以， 所以或，所以； 故选：A. 题型四：利用集合的运算求参数 例4-1.已知、，集合，集合，若，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为集合，集合，若，则，可得， 若，则，此时，，不合乎题意； 若，则，此时，，合乎题意.因此，. 故选：D. 例4-2．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是.故选：A. 【规律方法】 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 变式4-1.已知集合，若，则的值不可能是（ ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【详解】 若，则的值可能是-3，0，3，不可能是-1. 故选：B. 变式4-2.已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以或， 所以，所以， 因为，所以，所以实数的取值范围为. 故选：. 题型五：集合中的计数问题 【方法归纳】 关于集合中的计数问题，常借助Venn图或用公式，（表示有限集合中元素的个数）求解． 例5-1.我市某工厂共有3000名工人在工厂食堂用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的工人中，有的工人第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的工人中，有的工人第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的工人数大约为（    ） A．1400 B．1600 C．1800 D．2000 【答案】C 【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的工人数大约为， 则楼下食堂用午餐的工人数大约为3000-x， 原本在楼上食堂且留下的工人：占比，即， 从楼下食堂转来的工人：楼下食堂人数的，即0.15(3000-x)， 所以x=0.9x+0.15(3000-x)，解得x=1800. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的工人数大约为1800. 故选：C 例5-2.学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y， 只参加球类比赛的人数为z， 只参加游泳比赛的有人， 作出韦恩图， 由韦恩图得，解得，， 只参加田径一项比赛的人数为 所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈， 则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为故选：A 例5-3.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（    ）个同学． A．45 B．48 C．53 D．43 【答案】C 【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人， 故选：C． 题型六：集合的新定义问题 例6-1.在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 即，解得， 由题设知，解得. 故选：C. 例5-2.定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 故中元素的个数为. 故选：B. 变式6-1．给定集合，，定义且，若，，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知当时，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即，A选项正确； 又，则，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确； 故选：C. 变式6-1．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】设，， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 二、全称量词与存在量词、充要条件 一、全称量词与全称量词命题 1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． 2．全称量词命题：含有全称量词的命题． 3．全称量词命题的符号表示：形如“对M中任意一个x，p(x)成立”的命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 4．全称量词命题的否定： 二、存在量词与存在量词命题 1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． 2．存在量词命题：含有存在量词的命题． 3．存在量词命题的符号表示：形如“存在M中的元素x，p(x)成立”的命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)． 4．存在量词命题的否定： 常见量词： 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 三、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 题型一：充要条件的判定 例1-1.已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】令，在上都为增函数， 在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C 例1-2.已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则，，此时， 当时，也能得到， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 变式1-1.命题，命题函数且在上单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，在上单调递增， 当时，，此时没有意义，故充分性不成立． 必要性：若在上单调递减，则，所以在上单调递减， 且在上恒成立，所以，得， 所以当时，在上单调递增； 若在上单调递增，则，所以在上单调递减， 且在上恒成立，所以，得，不符合题意，舍去. 综上可知，当函数在上单调时，， 因此必要性成立．所以是的必要不充分条件． 故选：B． 【方法归纳】 充分、必要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题， 题型二：充分条件与必要条件的应用 例2-1.条件，，则的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，使得，则，可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，且， 故当时，，即，所以，的一个必要不充分条件是. 故选：A. 例2-2.已知集合，． (1)求A； (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由，可得，所以，所以集合. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 由集合不是空集，故集合也不是空集， 所以， 当时，满足题意，当时，满足题意， 故，即m的取值范围为. 变式2-1.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意集合， 若，则，此时， 因为“”是“”的必要不充分条件，故,故； 若，则，此时， 因为“”是“”的必要不充分条件，故,故； 若，则，此时，满足,综合以上可得. 故选：C 变式2-2.已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递增，由函数在内有零点， 得，解得，即命题成立的充要条件是， 显然成立，不等式、、都不一定成立， 而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立， 所以命题成立的一个必要不充分条件是. 故选：D 变式2-3.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以⫋，所以有，解得， 故选：A. 变式2-4.已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集, 可得，等号不同时成立，结合，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 题型三：全称(存在)命题的否定 例3-1.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题“”的否定是“”. 故选：D 例3-2.命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“”的否定是“”. 故选:D. 【规律方法】 常见词语的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使p(x)真 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x0∈A使p(x0)假 题型四：根据命题的真假求参数 例4-1.已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】若为真命题，等价于， ∵，当且仅当时，等号成立，∴，即， 可得，故实数的取值范围是. 故答案为：. 例4-2.若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为“，使”是假命题，所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 例4-3.已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】对于，，当时，对于，，则可取任意负数，如； 答案为：. 变式4-1.若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：命题：，.是真命题， ①当时，结论显然成立； ②当时，则，解得； 故答案为：. 变式4-2.已知命题.若为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】为假命题 为真命题，故， 令，则， 令解得，令解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以. 故答案为：. 题型五：“存在性”或“任意性”问题 1、解决双变量“存在性”或“任意性”的等式问题 （1）关键点：一是理解量词的含义，“脱去”量词，转化为两个函数的值域之间的问题；二是会利用函数的单调性，求函数的值域． （2）常见的转化形式： ①，，的值域为值域的子集； ②，，的值域与值域的交集不为空集． 2、解决双变量“存在性”或“任意性”的不等式问题 （1），，； （2），，； （3），，； （4），，； 例5-1.设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故；综上所述，. 故选：B. 例5-2.已知函数， ，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，当时，是减函数，，， 当时，是增函数，，，于是得的值域是， “对任意的，总存在实数，使得成立”等价于“函数的值域是函数在区间上值域的子集”， ①当时，，此时在区间上值域为，有，则， ②当时，图象对称轴，在时，当时，， 即的值域为， 显然不可能包含于，无解， ③当时，函数在单调递增，在上的值域为， 则， 于是得，解得，即， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 变式5-1.已知函数 若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得，对任意，存在，使成立，则成立， 由函数可得 ， 当 或时，有 ，故在上 单调递增； 当时，有，故在上单调递减， 当时，；当 时，，所以 ， 又函数的开口向上，且对称轴的方程为， 当即时，，由，解得，不合题意，舍去； 当即时，，由，解得，符合题意； 当即时，， 由，解得或，不合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $