5.2.2 导数的四则运算法则 对点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.2导数的四则运算法则 对点训练（学生版） 必备知识： 【1】函数的和、差、积、商的求导法则： ①. 推广式：.  . ③  . 利用导数运算法则求解的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式. （2）若求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 【3】解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个主要元素间的关系. （2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 对点训练： 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知，其导函数为，则（    ） A． B． C． D． 3．函数，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 5．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 7．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 10．过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 11．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 三、填空题 12.函数在点处的切线方程为 . 13．函数的导函数 ． 14．曲线在点处的切线方程为 四、解答题 15．（1）求的导数； （2）求的导数； （3）求的导数； （4）求的导数． 16．已知函数在处的切线方程为. (1)求的值; (2)若过点的直线与曲线相切，求的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2导数的四则运算法则 对点训练（详解版） 必备知识： 【1】函数的和、差、积、商的求导法则： ①. 推广式：.  . ③  . 利用导数运算法则求解的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式. （2）若求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 【3】解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个主要元素间的关系. （2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 对点训练： 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】直接求导求值即可． 【详解】， ， ， 故选：C． 2．已知，其导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的表达式，在、的表达式中，分别令，可得出关于、的值，得出结果. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，则. 故选：D. 3．函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，再将代入导函数求出的值，进而得到函数的表达式，最后将代入函数求出的值. 【详解】对求导可得：. 将代入可得： 即.移项可得：，即，解得. 将代入可得：. 将代入可得： . . 故选： A. 4．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由求出，再由求出的值. 【详解】因为，所以， 则，解得. 故选：A. 5．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则求导后判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 6．已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再列式求解. 【详解】函数，求导得， 则，解得或． 故选：D 7．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积. 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 8．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构建，可得，求导，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】构建， 则，， 可得，，可知切线坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A. 二、多选题 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 【答案】BD 【分析】对于选项A，B，当时，，求出导函数，利用导数的几何意义求出点处切线斜率，即可求出切线方程，即可判断；对于选项C，D，当时，，求出导函数，利用导数几何意义求出在点处的切线斜率，即可判断. 【详解】对于选项A，B，当时，，，有， 又，故曲线在点处的切线方程为，故选项B正确，A错误； 对于选项C，D，当时，，则， 显然，即曲线在点处的切线斜率为0，故选项C错误，选项D正确. 故选：BD 10．过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设切点为，利用导数求出函数在处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得，根据题意得出，求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设切点为，对函数求导，得，则切线的斜率， 即切线方程为. 因为切线过点，所以，化简得， 因为切线有条，所以，解得或. 故选：AD. 11．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【答案】BD 【分析】由基本函数的导数公式求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】A：，故A错误； B：，令，所以，故B正确； C：，所以，故C错误； D：，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义可求切线方程. 【详解】，故，而， 故切线方程为：即， 故答案为：. 13．函数的导函数 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的商数关系得到，根据函数导数运算的乘法法则和除法法则，结合同角三角函数的平方关系即可得到答案. 【详解】， 所以 . 故答案为：. 14．曲线在点处的切线方程为 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出在点处的切线斜率，再由点斜式方程可得结果. 【详解】由可得， 因此在点处的切线斜率为, 因此切线方程为，即. 故答案为： 四、解答题 15．（1）求的导数； （2）求的导数； （3）求的导数； （4）求的导数． 【答案】（1）．（2）．（3）．（4）． 【分析】（1）展开后利用求导法则求导； （2）展开后利用求导法则求导； （3）使用三角公式化简后利用求导法则求导； （4）利用求导法则求导. 【详解】（1），． （2），． （3）先使用三角公式进行化简. ，． （4）． 16．已知函数在处的切线方程为. (1)求的值; (2)若过点的直线与曲线相切，求的方程. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设直线与曲线相切的切点坐标为，由导数的几何意义列式求出，即可求出切线方程. 【详解】（1）由题可得， 由的斜率为1，得，即. （2）由(1)知，， 设切点为，则， 又直线过点， 整理得，， 直线的方程为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $