精品解析：江苏省南京市第十三中学2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试卷

2025级高一年级1月学情检测 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题，所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 2. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果. 【详解】对A，取，所以，故错误； 对B，由，，所以，故正确； 对C, ， 由，，所以，所以，故正确； 对D，由，所以，又，所以 故选：A 3. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式列式求解. 【详解】设扇形的圆心角为，依题意，，解得， 所以扇形的圆心角为2. 故选：D 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则在上单调递增； ，因式分解得，解得定义域为或，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此，在上单调递减；在上单调递增. 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：B 5. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及正弦函数性质判断A；利用指数、对数函数及幂函数的单调性判断BCD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后物体的温度℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题设列方程求解即可. 【详解】由，得， 即，则，即. 故选：C 7. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，又根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为R， 且， 所以为奇函数，又函数和在R上都单调递增， 所以在R上单调递增， 所以由，即，即 所以，即，即， 故 当且仅当，结合，即得时，等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：B. 8. 已知函数的定义域为，当时，任意不为的实数满足，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给条件判断函数的单调性和奇偶性，然后利用函数的单调性和奇偶性得出不等式，解不等式即可. 【详解】任意的实数满足， 令，则， 即， 令，则， 即， 令，则， 即，又函数的定义域为关于原点对称， 所以函数为偶函数， 当时，， 令，则，所以， 由， 令， 则， 即，也即， 所以函数在单调递增， 由， 则不等式等价于： ， 由函数为偶函数，所以， 且在单调递增， 所以， 其中且，即且， 所以有，也即， 解得：， 又定义域为，且， 所以不等式的解集为：， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的周期与函数的周期相同 C. 函数图象的对称中心为， D. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则函数是奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】逐一验证各选项，通过求解定义域、判断周期、计算对称中心、分析平移后的函数奇偶性，确定正确选项. 【详解】选项A：令（），解得（）， 故的定义域为，A正确. 选项B：的周期为，的周期仍为； 的周期为，二者周期不同，B错误. 选项C：令（），解得（）， 故的对称中心为（），C错误. 选项D：将向左平移个单位，得. 的定义域关于原点对称，且，故是奇函数，D正确. 故选：AD 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图像关于轴对称 C. 的解集为 D. 若，则的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由定义及函数解析式计算即可判断A选项，取特殊点排除B选项；由函数解析式得到不等式，讨论的取值，化简不等式再求得解集，判断C选项；由指数函数的值域借助不等式的基本性质求出函数的值域，即可求得的值域，判断D选项. 【详解】，A选项正确； ，， ∴，即，B选项错误； ∵，∴，即，∴，则， 当时，即，则，由题意可知，∴此时无解； 当时，即，此时恒成立，∴是不等式解集的一部分， 当时，即，则，∵，∴不等式恒成立，即， 综上所述，，C选项正确； ∵，则，∴，∴，∴， ∴的值域为，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂运算以及对数运算性质求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 已知，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】∵，∴， ∵，∴． 所以, ∴. 故答案为： 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为0，结合函数图象得出它们的图象与轴交点重合，从而得出关系，代入，再由基本不等式得最小值． 【详解】由已知的定义域是， 设，，显然它们在定义域内都是增函数， 因此恒成立，则与在定义域内同正同负或同为0， 作出的图象，要求，只要它们的图象与轴的交点重合，如图所示， 由，由， 所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，由得集合，由集合的运算求得答案. （2）由条件得到集合的关系，然后列出不等式组，解得实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，， ∴或，则或； 【小问2详解】 “”是“”成立的必要不充分条件等价于且， ∴，解得， 验证，当时，，则，同理，当时，，即. ∴. 16. 在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点. （1）若，求的值； （2）若，求的值及点的坐标. 【答案】（1） （2）点P的坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据单位圆的性质，以及三角函数的定义，求角的三角函数值，方法1，根据诱导公式化解，再代入三角函数值，即可求解；方法2，构造齐次分式，代入正切值求解； （2）方法1，首先将正切化为正弦和余弦，再根据同角三角函数基本关系式，结合三角函数的定义，即可求解；方法2，直接由同角三角函数基本关系式，求解和，即可求解. 【小问1详解】 因为角与单位圆交于第四象限内的点， 所以，，，，， 由，得 法1： 法2：， 【小问2详解】 法1：， 因为，① 所以两边平方得，即， 所以， 由角终边位于第四象限，得，， 所以，② 由①②解得：，， 所以点P的坐标为. 法2：由角终边位于第四象限，得，， 因为，① 且，② 所以由①②解得：，， 所以 点P的坐标为. 17. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可； 【小问1详解】 由图象可得，， 所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 令，可得， 所以单调递减区间为. 【小问2详解】 ， 因为对任意的，都有成立，即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得. 18. 已知函数，其中，是常数. （1）当，时， ①判断函数在上的单调性，并用定义证明； ②已知两个不相等的正数m，n满足，求证：； （2）当时，求证：函数的图象关于点中心对称. 【答案】（1）①当，时，， 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以，，，则， 所以，则， 所以函数在上单调递增. ② 由，得，则， 由于，则， 而，则，即. （2） 当时，， 则 ， 所以函数的图象关于点中心对称. 【解析】 【分析】（1）①根据函数的单调性的定义求证即可； ②由可得，再结合基本不等式求证即可； （2）验证即可求证. 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 19. 一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 （1）求函数， ； （2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有两根，，求的最小值. 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求反函数的步骤仔细计算即可求函数，的解析式 ； （2）令，则，原不等式等价于在上恒成立，分三种情况讨论，分别利用函数单调性求最值，求出实数的取值范围，综合三种情况可得答案； （3）先通过换元结合韦达定理，可得满足，， 则可化为，再利用二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以函数的反函数是， 可知，. 【小问2详解】 由（1）可证且， 因此， 令，可知， 即在上恒成立， 令， 当，可知在上单调递增， ，可知， 当时，易知不符合， 当时，可知， 只需要且， 即且， 可知， 综上：或 【小问3详解】 由可知：， 即有两根，， 令，，， 则有两根，， 满足，， 可知，， 因此 =， 令，再令， 则，， 易知当时，，故最小值为 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级1月学情检测 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后物体的温度℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 已知函数的定义域为，当时，任意不为的实数满足，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的周期与函数的周期相同 C. 函数图象的对称中心为， D. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则函数是奇函数 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图像关于轴对称 C. 的解集为 D. 若，则的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 13. 已知，且，则___________. 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点. （1）若，求的值； （2）若，求的值及点的坐标. 17. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 18. 已知函数，其中，是常数. （1）当，时， ①判断函数在上的单调性，并用定义证明； ②已知两个不相等的正数m，n满足，求证：； （2）当时，求证：函数的图象关于点中心对称. 19. 一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 （1）求函数， ； （2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有两根，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $