假期作业十二 二项分布，超几何分布与正态分布-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（北师大版）

快乐假期 假期作业十二 二项分布、超几何分布与正态分布 《《思维整合室 (4)曲线与x轴之间的面积为1； wel zheng he shi 知识梳理 (5)当 定时，曲线的位置由确定， 曲线随着4的变化而沿x轴平移，如图①； 1.二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进 (6)当4一定时，曲线的形状由。确定，o 行的，各次之间相互独立的一种试验，在这 曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 种试验中每一次试验只有 种结 曲线越“矮胖”，表示总体的分 果，即要么发生，要么不发生，且任何一次 布越分散，如图②. 试验中发生的概率都是一样的， =0.5 =0 0=0.5 (2)在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生 的次数，设每次试验中事件A发生的概率为 0=2 ,则P(X=k)= ,此时 -3-2-10123支 ② 称随机变量X服从 ,记为 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 并称p为成功概率. P(-o<X≤十o) 2.超几何分布列 P(μ-2o<X≤+2o)= 一般地，在含有M件次品的N件产品中， P(-3o<X≤+3o)= 任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=) ChCNM 自测自查 ,k=0,1,2,…,m,即 C 1.（1)两 (2)Cp(1-p)"(k=0,1,2,…,n》 X 0 1 二项分布X~B(n,p) 3.(1)上方不相 m CCNM Ch CNM CwCW￥ 交 (2)x=4(3)x=4(5)g(6)越小越 C CN CN 大4.0.68260.95440.9974 其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M, 要点记忆 V∈N.称上面的分布列为超几何分布列. 1.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次 如果随机变量X的分布列为超几何分布 的概率为P(X=k)=Cp(1一)”，k=0,1,2 列，则称随机变量X服从超几何分布， ,其中p是一次试验中该事件发生的概率， 3.正态曲线的性质 实际上Cp(1一)”正好是二项式[(1一) 正态曲线p·,（x)= 1 -e 2.2 ,x∈R有以 √2π6 十p]”的展开式中的第k十1项. 下性质： 2.正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)曲线位于x轴 ,与x轴 (1)熟记P(H-o<X≤H+a),P(u-2o<X≤ (2)曲线是单峰的，它关于直线 对称； μ+2o),P(u-3o<X≤u十3o)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴 (3)曲线在 处达到峰值1 二； g√2 之间的面积为1. ·36· 三0022 高二教半少 《技能提升台 8.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区， eng ti sheng tai 技能提升 设每位申请人只申请其中一个片区的房源， 1.已知随机变量X的分布列为：P(X=k)= 且申请其中任一个片区的房源是等可能的， 2,=1,2,…,则P(2<X≤4)等于( 该市的4位申请人中恰有2人申请A片区 房源的概率为 A音 B D.16 9.投一次试验成功的概率为p,进行100次独 立重复试验，当p= 时，成功次数 2.已知蓝机变量服从二项分布(6，》 的方差的值最大，其最大值为 即P(=2)等于 ( 10.设随机变量X服从正态分布N(3,4),若 A B动 c是 80 D.243 P(X<1-3a)=P(X>a2+7),则a= 3.设随机变量XN(2,9),且P(X>m)= 11.一个袋中装有大小相同的球，其中红球5 P(X<m一4)，则m的值为 ( 个，黑球3个.现从中随机摸出3个球. A.1 B.2 C.3 D.4 4.若~B(n,p)且E()=6,D()=3,则P( (1)求至少摸到一个红球的概率； =1)的值为 ) (2)求摸到黑球的个数X的分布列、均值 A.3·22 B.3·210 C.2-4 D.28 5.(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽 取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的 概率为则a可能等于 A.1 B.2 C.4 D.8 6.(多选)设两个正态分布N(1,o)(o1>0)和 N(2,o2)(o2>0)的密度函数图象如图所 示，则有 ( ) .4 12 1.0 0.8 N( . 8 N(μ2，o) -1 -0.50 0.51 A.h1<42 B.01>02 C.<02 D.1>2 7.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已 知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球 的概率是了从袋中任意摸出3个球，记得到 白球的个数为X,则P(X=2)= ·37· 飞壁快乐假朝 S00-= 12.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校 (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯 的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗 的概率. 遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率 都是子 (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 的分布列： 高考冲浪 1.(2024·新高考I卷，9)随着“一带一路”国 际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动 茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单 位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到 推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样 (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目 本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收 的地停车前经过的路口数)的分布列； 入X服从正态分布N(1.8,0.1).假设推 动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x, 2),则（若随机变量Z服从正态分布V(, G),则P(Z<+o)≈0.8413) () A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 2.(2025·天津卷，5)已知r为相关系数，则下 列说法中错误的是 () A.若X~N(,o),则P(X≤μ-o)=P(x ≥十o) B.若XN(1,2),Y~N(2,22),则P(X< 1)<P(Y<2) C.|y越接近1，相关性越强 D.|Y越接近0，相关性越弱 ·38·三0022 高考冲浪 1解折：PCX=3=5X3-号：PX=2)X3-是 53 5 259 P(X=I)-5= 5251 故E(X)=1+2X12+3X12-6 25 5 注：每个球至少技取出一次的概率为1一（借）=品，所以 X0=8BX)=5x器-器 答案男 2.解：（1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的 极率为品=专 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”， 则P(A)=0.8,则P(A)=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”， 则P(B)=0.75,则P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)十P(AB)= P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35, P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列为： X 0 2 0.050.350.6 故E(X)=1×0.35十2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识点的学生”， 因为甲校掌握这个知识点的学生有100%的概率做对该 题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故PD)十子1-PD)=0.8即A十子×1-A)=0.8, 11 故=1 同里有0.85p:十十×(1-)=0,75，故p:=号， 故p<p2, 假期作业十二 技能提升台技能提升 1.A2.D3.D4.B5.BD 6.AC[根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线 x=!对称，在x=以处取得最大值的连续曲线：当以一定时， σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的 最高点越高且较陡峭，故选AC.] ·53 7是89.2510.12 5 11.解：(1)至少摸到1个红球的概率为1一 1 (2)由题意知，X服从参数N=8,M=3,n=3的超几何分 布，X的可能取值为0,1,2,3，则 pX=k1-cSC(g=0.12.3. C ∴P(X=0) cc-5 C828’ P(X=1)= C_15 C28 P(X=2)=CC=15 C561 P(X=3)= X的分布列为 0 2 15 2 8 .E(X)=0X 1x+2x 28 十3×56 -8 12.解：由B(专）则 P(=k)= (3)(号) ,k=0,1,2,3,4,5. 即P=0=C×(合)×（学）-器： P(=1)=CX ×（侵）=器 P(=2)=CX (付)×()-梁 P(=3)=CX ()×(号)=器 P(=4)=CX P(=5)=C;X ()= 1 故专的分布列为 2 3 力 32 80 80 40 10 243 243 243 243243 243 (2)”的分布列为P(7=k)=P(前k个是绿灯，第k十1个 是红灯)= (号)=0,1234 P(=1= P(0=2) ()×- 化壁快乐假期 P(7=3) (号)×3-： P(7=4)= (号)×子-器 P(=5)=P(5个均为绿灯)= ()器 故”的分布列为 0 4 P 2 8 1632 9 27 81 243243 (3)所求概率为P(≥1)=1-P(=0)=1 高考冲浪 1.BC[由题意得X~N(1.8,0.1), YN(2.1,0.12), 故P(X>2)<P(X>u十o)=1-P(X<十σ)<0.2，故B正 确，A错误； P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5, P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=0.8413-0.5 =0.3413, P(Y>2)=P(2Y<2.1)+P(Y≥2.1) =0.3413十0.5=0.8413>0.8，故C正确，D错误.] 2.B「本题考查正态分布曲线下面积，线性相关系数r的性 质.A中，X~V(以，G),根据正态分布曲线的对称性可知 P(X≤一o)=P(X≥十o),故A正确；C、D中，由相关系 数？的性质，当r越趋于1，线性相关性就越强，越接近 0,线性相关性就越弱，故C、D都正确.B中，X一V(1,2), YN(2,2),P(X<1)=P(Y<2),故B错误.] 假期作业十三 技能提升台技能提升 1.C2.A3.C4.A5.AC 6.BC[X=10X3X2045x2)≈9.616>6.635， 58×42×65×35 所以在犯错误的概率不超过0,01的前提下认为“生育意愿 与城市级别有关”.] 7.①③④8.99.9%9.22.20.00110.r=√6b 11.解：(1)设上网时间不少于60分钟的女生人数为x,依题意 有高-品解得x=25, 所以估计其中上网时间不少于60分钟的女生人数是225. (2)填2X2列联表如下： 上网时间少 上网时间不少 总计 于60分钟 于60分钟 男生 40 100 女生 70 30 100 总计 130 70 200 900-= 由表中数据可得到 X-200X(60X30-40×70 -≈2.20<2.706， 100×100×130×70 故没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关” 12.解：0)由题意知=3=5，含xy=62.7,含x=5, 2x,y-5元 b=1 62.7-5×3×5 x,-5元 55-5×32 =-1.23, i=1 a=y-bx=5-(-1.23)×3=8.69, 所以y关于x的线性回归方程为y=一1.23x十8.69. (2)年利润x=x(-1.23x十8.69)-2x=-1.23x2十6.69x =-1.23(-0)+1.23×() 即当x= .69≈2.72时，年利润：最大. 2.46 高考冲浪 1.解：(1)在1000个样本中，超声波检查结果不正常的人中患 有诚疾病的频率为8=09， 以样本频率估计总体概率，p的估计值为0.9. (2)H。:超声波检查结果与是否患病无关， n(ad-bc)? X-(a-b(cFd)(a-e)(b-d) 1000×(20×20-780×180)=12250>10.828, 800×200×200×800 16 概率小概率值a=0.001的独立性检验，应拒绝零假设H, 即超声波检查结果与是否患病有关 2.解：(1)由题意，数据最大值为216.93，最小值为206.78， 故极差为216.93-206.78=10.15， 中位教为209.35210.68=210.015. 2 (2)由题意，数据共有10个，211以上数据共有4个， 故设恰有2个211以上为事件A, P(A)=C·C=3 C。101 所以，怡有2个数据在21以上的概车为品 (3)由题意，比赛成绩y的平均数为六×(206,78十201.46 十207.95+209.34+209.35+210.68+213.73十214.84+ 216.93+216.93)=211.399 故y=-0.311x十6过(2006,211.399)，则6=835.265. 即y=-0.311x十835.265， 故要当x=2028时，y=204.557,故2028年冠军队的成绩约 为204.56.