假期作业十一 条件概率、全概率与随机变量的分布列、均值、方差-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（北师大版）

快乐假期 假期作业十一条件概率、全概率与随 天行健，君子以自强不息。 机变量的分布列、均值、方差 完成日期： 月 日 〈《思维整合室 5.离散型随机变量分布列的性质 知识梳理 (1)p≥0，i=1,2,…,n 1.条件概率 (2)2p,= (1)条件概率的定义 6.离散型随机变量的均值与方差 事件B发生的条件下，A发生的概率，称 若离散型随机变量X的分布列为 为 的条件概率，记为 (2)公式 . 当P(B)>0时，P(A|B)= P(A∩B)(其 P(B) (1)均值 中，A∩B也可以记成AB). (3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率 称E(X)= 为随机变量X的均 为P(B引A)= 值或 ,它反映了离散型随机变量 2.相互独立事件 取值的 (1)对于事件A、B,如果事件A(或B)是否发 (2)方差 生对事件B(或A)发生的概率没有影响， 则称 称D(X)=(x,-E(X)p,为随机变量X =1 (2)若A与B相互独立，则P(B引A)= 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X) P(AB)=P(BA)·P(A)= 的 ,其算术平方根√D(X)为随 (3)若A与B相互独立，则A与B,A与B, 机变量X的标准差， A与B也都相互独立. 7.均值与方差的性质 (4)若P(AB)=P(A)P(B),则 3.全概率 (1)E(aX+b)= 设B1,B2,…,Bn为样本空间2的一个划 (2)D(aX+b)= (a,b为常数) 分，若P(B)>0(i=1,2,…,n),则对任意一 自测自查 个事件A,有 称上式为全概率公式. 1.(1)B发生时A发生P(A|B) 4.离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X可能取的不同值为 (3)P(AB) P(A) 2.(1)A、B是相互独立事件 x1,x2,…x;,…,xn,X取每一个值x:(i=1, (2)P(B)P(A)·P(B)(4)A与B相互 2,…,n)的概率P(X=x;)=p.则表 X In 独立3.P(A)=P(B,)P(AB,)4.P(X ；=1 Pn =X)=p,i=1,2,…,n5.16.（1)x1p1 称为离散型随机变量X的概率分布列，简 十x2p2十…十xp;十…十xmpm数学期望 称为X的分布列.有时为了表达简单，也用 等式 平均水平(2)平均偏离程度7.(1)aE(X) 表示X的分布列， +b(2)a2D(X) ·32· 三0022 高三数学恐 要点记忆 4.已知随机变量的分布列如下： 1.离散型随机变量的分布列的作用 m 17 (1)对于随机变量X的研究，需要了解随机变 P 量将取哪些值以及取这些值或取某一集合 若Eξ=2，则D5的最小值等于 内的值的概率，对于离散型随机变量，它的 分布列正是指出了随机变量X的取值范 A.0 B.2 C.1 围以及取这些值的概率. 5.(多选)已知随机变量X的分布列如下表 (2)利用离散型随机变量的分布列，可以求其期 (其中a为常数)： 望和方差 2 2由条件概率PBA)=,当P(BA) ◇ 10.10.20.40.2a =P(B),即P(AB)=P(A)P(B)时，事件B 则下列计算结果正确的是 与事件A独立. A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7 《技能提升台 C.P(X≥3)=0.4D.P(X≤1)=0.3 Ji neng ti sheng tai 技能提升 6.(多选)设离散型随机变量X的分布列为 1.设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 1 0.40.10.20.2 P 12 6 6 则力为 ( 若离散型随机变量Y满足Y=2X十1，则下 1 列结果正确的有 A.6 B.3 C.4 D.12 A.q=0.1 2.设随机变量的分布列如表所示，且E()= B.E(X)=2,D(X)=1.4 1.6,则a×b= C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 7.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A 0.1 a 0 ={两个点数互不相同}，B={出现一个5 A.0.2 B.0.1 C.0.15 D.0.4 点}，则P(B引A)= 3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 8.已知离散型随机变量X的分布列如下表所 7 8 9 10 示，若EX=0,DX=1,则a= ,b= P x0.10.3 y 已知的数学期望E()=8.9,则y的值为 X 0 2 ( ) 1 e b A.0.2 B.0.4C.0.6 D.0.8 12 ·33· 飞曼快乐假阴 S00-= 9.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标 (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中， 有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡 然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的 片上的数字和为X,则DX= 这个产品是正品的概率 10.某次考试共有8道单选题，某学生对其中7 道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的 题目每道题做对的概率为0.6，没有思路的题 目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0. 25.若从这8道题中任选2道，则这个学生2 道题全做对的概率为 11.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙 箱的产品中有4个正品和3个次品 (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品 都是次品的概率； 12.2025年是构建人类命运共同体理念提出 12周年，也是共建“一带一路”倡议提出12 周年.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在 两类问题中选择一类并从中随机抽取一个 问题回答，若回答错误则该同学比赛结束； 若回答正确则从另一类问题中再随机抽取 一个问题回答，无论回答正确与否，该同学 比赛结束.A类问题中的每个问题回答正 确得20分，否则得0分；B类问题中的每 个问题回答正确得80分，否则得0分 已知小明能正确回答A类问题的概率为 0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6， 且能正确回答问题的概率与回答次序 无关 ·34· =0022 高三数米 (1)若小明先回答A类问题，记X为小明 (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为 的累计得分，求X的分布列； 做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X 的数学期望 (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择 先回答哪类问题？并说明理由. (3)若甲校同学掌握这个知识点，则有 100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这 高考冲浪 个知识点，则有85%的概率做对该题目，未 1.(2025·全国一卷，14)有5个相同的球，分 掌握该知识点的同学都是从四个选项里面 别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机 随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的 取3次，每次取1个球，记X为这5个球中 概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率 至少被取出1次的球的个数，则X的数学 为p,试比较p1与p2的大小（结论不要求 期望E(X)= 证明) 2.(2025·北京卷，18)有一道选择题考查了一 个知识点.甲、乙两校各随机抽取100人，甲 校有80人答对，乙校有75人答对，用频率 估计概率. (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该 题目的概率. ·35·飞空快乐假期 12.解：由题意得22m-2”=992,解得n=5. 1)(z一子)的晨开式中第6项的二项式系教最大， 10 T,=c2w() =-8064. (2)设第十1项的系数的绝对值最大， 则T=心2)…() =(-1)·C。·210-·x10-张. (C1。·20-≥C。1·20-+1, (Ct。·20-6≥C1·20--1, Co≥2Ci。1, 得 (2Ct≥C。1, 11-k≥2k, 即 2(k+1)≥10-k, g<k≤号，k∈Nb=3 故系数的绝对值最大的项是第4项 T1=(-1)3C。·2·x=-15360x. 高考冲浪 1.解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法 :(2x-1)5展开式的通项T,+1=C5(2x)5-.(-1)=( 1)'C525-r·x5r 令5-r=3, 得r=2 .x3的系数为：C23(-1)2=80 答案：80 2.解析：本题考查了二项式定理.求特定项系数，T,+1=Cx (-1)=(-1)Cxi-',令6-r=3,.r=3. .展开式中含x的系数为（一1）3C=一20. 答案：一20 3解析：因为（侵+号）的展开式的通项为T1=C (侵)（写）=3cr=01…6 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3°C=20. 答案：20 4.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数的和是(1 十1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式的通项公式是 T+1=C·x5-r·1',令5-r=2,得r=3,则x2项的系数为 C=10. 答案：10 00M- 假期作业十一 技能提升台技能提升 1.C 2.C 3.B 4.A 5.ABD 6.ACD[因为g十0.4十0.1十0.2+0.2=1，所以g=0.1,A 正确.由题意，得E(X)=0×0.1十1×0.4十2×0.1十3× 0.2+4×0.2=2, 因为D(X)=(0-2)×0.1十(1-2)2×0.4十(2-2)×0.1 +(3-2)2×0.2十(4-2)2X0.2=1.8,所以B错误，C正 确.因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)十1=2×2+1=5， D(Y)=4D(X)=4X1.8=7.2,D正确.故选ACD.] .号8是子 9.3.36 10.解析：设事件A表示“两道题全做对”， 题月都有忍路，则PX0,6店 若两个题目中一个有思路一个没有思路， 则P,= CC×0.6×0.25=0.0375, 故P(A)=P1十P2=0.3075 答案：0.3075 11.解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C8=28,这2个 产品都是次品的事件数为C=3,所以这2个产品都是次 品的概率为器 (2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B,为“从甲 箱中取出2个产品都是正品”，事件B,为“从甲箱中取出1 个正品，1个次品”，事件B,为“从甲箱中取出2个产品都 是次品”，则事件B1,事件B2,事件B彼此互斥.P(B)= =号，PAB,)=号，PAB,)=专所以PA=PB)P (AB)+P(B)PAB,)+P(B)P(AB)=音×号十 是×号+录×合-高 12.解：(1)随机变量X所有可能取值为：0,20,100. P(X=0)=1-0.8=0.2;P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32: P(X=100)=0.8X0.6=0.48,故随机变量X的分布列如下： X 0 20 100 P 0.2 0.320.48 (2)设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分 故随机变量Y的所有可能取值为：0,80,100. P(Y=0)=1-0.6=0.4:P(Y=80)=0.6×(1-0.8) =0.12:P(Y=100)=0.6×0.8=0.48 故E(Y)=0×0.4十80×0.12十100×0.48=57.6. 由(1)知E(X)=0×0.2+20×0.32十100×0.48 =54.4. 因为E(Y)>E(X),故应先回答B类问题. 三0022 高考冲浪 1解折：PCX=3=5X3-号：PX=2)X3-是 53 5 259 P(X=I)-5= 5251 故E(X)=1+2X12+3X12-6 25 5 注：每个球至少技取出一次的概率为1一（借）=品，所以 X0=8BX)=5x器-器 答案男 2.解：（1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的 极率为品=专 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”， 则P(A)=0.8,则P(A)=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”， 则P(B)=0.75,则P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)十P(AB)= P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35, P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列为： X 0 2 0.050.350.6 故E(X)=1×0.35十2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识点的学生”， 因为甲校掌握这个知识点的学生有100%的概率做对该 题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故PD)十子1-PD)=0.8即A十子×1-A)=0.8, 11 故=1 同里有0.85p:十十×(1-)=0,75，故p:=号， 故p<p2, 假期作业十二 技能提升台技能提升 1.A2.D3.D4.B5.BD 6.AC[根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线 x=!对称，在x=以处取得最大值的连续曲线：当以一定时， σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的 最高点越高且较陡峭，故选AC.] ·53 7是89.2510.12 5 11.解：(1)至少摸到1个红球的概率为1一 1 (2)由题意知，X服从参数N=8,M=3,n=3的超几何分 布，X的可能取值为0,1,2,3，则 pX=k1-cSC(g=0.12.3. C ∴P(X=0) cc-5 C828’ P(X=1)= C_15 C28 P(X=2)=CC=15 C561 P(X=3)= X的分布列为 0 2 15 2 8 .E(X)=0X 1x+2x 28 十3×56 -8 12.解：由B(专）则 P(=k)= (3)(号) ,k=0,1,2,3,4,5. 即P=0=C×(合)×（学）-器： P(=1)=CX ×（侵）=器 P(=2)=CX (付)×()-梁 P(=3)=CX ()×(号)=器 P(=4)=CX P(=5)=C;X ()= 1 故专的分布列为 2 3 力 32 80 80 40 10 243 243 243 243243 243 (2)”的分布列为P(7=k)=P(前k个是绿灯，第k十1个 是红灯)= (号)=0,1234 P(=1= P(0=2) ()×-