假期作业十 二项式定理-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（北师大版）

受快乐假期 假期作业十二项 《思维整合室 wel zheng he shi 知识梳理 1.二项式定理 (a+b)"=Ca"+Ca"-1b+…+Ca"-b+ …十Cb”(n∈N*)这个公式所表示的定理 叫二项式定理，右边的多项式叫(a十b)”的 .其中的系数C(k=0,1,…, n)叫 系数.式中的Ca”b叫二项 展开式的 ,用T6+1表示，即通项 Ts+1=Ca”b. 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a 与b的指数的和为 (3)字母a按 排列，从第一项开始， 次数由n逐项减1直到零；字母b按 排列，从第一项起，次数由零逐 项增1直到n. (4)二项式的系数从 ,C,一直到 C, 3.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项 式系数 ,即 (2)增减性与最大值： 项式系数，当”生时，二项式系数透 渐 .由对称性知它的后半部分是逐渐 减小的； 当n是偶数时，中间一项C取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C宁，C宁取得最 大值. (3)各二项式系数和：C”十C,十C%十…十C十 …十C”= ;C+C%+C+ =C十C十C+…= 0M= 式定理 锲而不舍，金石可镂。 完成日期： 月 日 自测自查 1.二项展开式 二项式通项2.(1)n+1 (2)n(3)降幂升幂 (4)C%C% 3.(1)相等C=C”/ (2)增大(3)2”21 要点记忆 1.二项式的项数与项 (1)二项式的展开式共有n+1项，Ca"-b是 第k十1项.即k十1是项数，Ca”-b 是项 (2)通项是T+1=Ca”b(k=0,1,2,…,n) 其中含有T+1,a,b,n,k五个元素，只要知 道其中四个即可求第五个元素 2.二项式系数与展开式项的系数的异同 在T+1=Ca”b中，C就是该项的二项 式系数，它与a,b的值无关；而T+1项的系 数是指化简后字母外的数， 3.二项式定理的应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求 指定的项或指定项的系数等， (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二 项式系数有关的等式：②可证明不等式； ③可证明整除问题；④可做近似计算等. 《技能提升台 ng tr sheng tai 技能提升 1.在2x2-1 的二项展开式中，x的系数为 A.10 B.-10 C.40 D.-40 2.若(x-1)4=a0十a1x十a2x2十a3x3十a4x. 则ao十a2十a4的值为 A.9 B.8 C.7 D.6 30 三0022 3.x2+2 的展开式中x4的系数为( A.10 B.20 C.40 D.80 4.(1一√)8(1+√x)5的展开式中x2的系数 是 () A.-5 B.10 C.-15D.25 5.(多选)(1十sinx)的二项展开式中，二项 式系数最大的一项的值为号，则x在[0,2x] 内的值可能为 A. B号 C.2x 3 D. 6.(多选)已知(3一√)2026，则下列结论正确 的是 ( A.该二项展开式中各项的二项式系数的和 与各项的系数的和相等 B.该二项展开式中的常数项为32026 C.该二项展开式中含x113的项的系数是 -1 D.该二项展开式中的有理项的二项式系数 的和为22022 7.已知(2x十1)225=a十a1x十a2x2十…十 a202sx025,记S1=a1十a3十a5+…十a2o25,S =a,十a2十a4+…十a2o24,则S号-S的值为 () A.-32024-1 B.32024 C.-32025 D.32025-1 8.已知二项式(x十a)5展开式中，x2项的系数 为80，求a= 9(+ 的展开式中常数项为 10.已知-月 的展开式中含x的项为第6 项，设(1-x十2x2)”=a,十a1x十a2x2+…十 a2mx2m,则a1十a2十…十a2n= 3 高二数学恐 11.已知在 -2 玩 的展开式中，第5项 的二项式系数与第3项的二项式系数的比 是14：3， (1)求n; (2)求展开式中所有的有理项. 12.已知(+x2)2"的展开式的系数和比(3x 1)”的展开式的系数和大992，求 2x- 2n 的展开式中； (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项. 高考冲浪 1.(2025·上海卷，4)在二项式(2x一1)5的展 开式中，x3的系数为 2.(2025·天津卷，11)在(x一1)6的展开式 中，x3项的系数为 3.(2024·天津卷，11)在 3+写 的展开式 中，常数项为 4.(2024·上海卷，6)在(x+1)”的展开式中， 若各项系数和为32，则展开式中x2的系数 为三0022 名学生任意排列有N2=A=6(种)排法，则不同站法共有 N=N1×N,=2X6=12(种). 或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各占，故 有2A,故选BCD.] 7.198.489.80 10.解析：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮 踪”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选 一个，有CCICIC2A=24种排法； 其次，后排有A号=2种排法，故共有24×2种=48种不同 的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物，有CCCA=48种 排法； 后排有A=6种排法，此时共有48×6种=288种排法；因 此，共有48种十288种=336种排法 答案：336 11.解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画 中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选 法.根据分类加法计数原理，共有5十2十7=14（种）不同的 选法. (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同 的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2X7=70(种)不 同的选法 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分 步乘法计数原理知，有5×2=10（种）不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7=35（种）不 同的选法： 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7= 14(种)不同的选法. 所以共有10十35十14=59（种）不同的选法， 12.解：(1)适合题意的选法有C=1716(种). (2)第1步，选出女生，有C种；第2步，选出男生，有 C种.由分步乘法计数原理知，适合题意的选法有CXC =560(种). (3)至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3 名女生四类情况. 第1类没有女生，有C种；第2类1名女生，有C×C种； 第3类2名女生，有C×C种；第4类3名女生，有CXC种 由分类加法计数原理知，适合题意的选法共有C十C⑧XC +C%×C+C×C=1568(种). (4)第1步，选出适合题意的6人，有CXC%种： 第2步，给这6人安排6种不同的工作，有A种. 由分步乘法计数原理知，适合题意的分工方法共有CXC ×A=504000(种). (5)用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即 是符合题意的选法.而由题意知不可能6人全是女生，所以 只需排除全是男生的情况，所以有C一C=1716-28= 1688(种)选法. ·5 高考冲浪 1.解析：本题考查了排列组合的应用. 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人，共有A· A=288种. 答案：288 2.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最 多有一个奇数，剩余全是偶数 先研究集合中无重复数字的三位偶数： (1)若个位为0，这样的偶数有A=72种： (2)若个位不为0，这样的偶数有C·C·C=256种； 所以集合元素个数最大值为256十72十1=329种. 答案：329 3.解析：当从这8门课中选修2门课时，共有C·C=16种； 当从这8门课中选修3门课时，共有C·C+C?·C=48种； 综上可知，共有64种不同的选课方案. 答案：64 假期作业十 技能提升台技能提升 1.D2.B3.C4.A5.AD 6.AB[A.展开式的二项式系数和为22“，令x=1,则展开式 的各项系数和为(3-1)2026=2202s,故A正确；B.展开式的通 项公式为T+1=C26·322r(-√G)'=C526·（-1)· 3226-x专，r=0,1,…,2026,令r=0,则展开式的常数项为 3,故B正确；C.令乞=1013，则r=2026,所以x10i的系 数为C·(-1)X3°=1，故C错误；D.令乞为整数，则 r=0,2,4,6,8,…,2026,即展开式的奇数项，所以有理项的 二项式系数和为2学=2，故D特说.] 7.C[设f(x)=(2x十1)225=a十a1x十a2x2十…+ a20252025, 一方面注意到S2十S1=(a0十a2十a1十·十a2o21)十(a1十a3 十a5十…十a2025)=f(1), 另一方面注意到S2-S1=(a。十a2十a1十…十a2o21)一(a1十 a3十a5十…十a2o25)=f(-1), 所以S号-S=f(1)·f(-1)=(2×1+1)205×[2×(-1) +1]2025=-32025.故选C.] 8.29.-2010.255 11.解：(1)依题意有C:C=14:3,化简，得(n-2)(n-3)=56, 解得n=10或n=-5(不合题意，舍去)，所以n的值为10. @通项会元为T:=心（一y(行） 10-2k∈Z. 3 （-1'(合)C。·→，由题意得 0k≤10， k∈Z, 解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项，它 m分别为c(-2)x,C(）,c(-)x 飞空快乐假期 12.解：由题意得22m-2”=992,解得n=5. 1)(z一子)的晨开式中第6项的二项式系教最大， 10 T,=c2w() =-8064. (2)设第十1项的系数的绝对值最大， 则T=心2)…() =(-1)·C。·210-·x10-张. (C1。·20-≥C。1·20-+1, (Ct。·20-6≥C1·20--1, Co≥2Ci。1, 得 (2Ct≥C。1, 11-k≥2k, 即 2(k+1)≥10-k, g<k≤号，k∈Nb=3 故系数的绝对值最大的项是第4项 T1=(-1)3C。·2·x=-15360x. 高考冲浪 1.解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法 :(2x-1)5展开式的通项T,+1=C5(2x)5-.(-1)=( 1)'C525-r·x5r 令5-r=3, 得r=2 .x3的系数为：C23(-1)2=80 答案：80 2.解析：本题考查了二项式定理.求特定项系数，T,+1=Cx (-1)=(-1)Cxi-',令6-r=3,.r=3. .展开式中含x的系数为（一1）3C=一20. 答案：一20 3解析：因为（侵+号）的展开式的通项为T1=C (侵)（写）=3cr=01…6 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3°C=20. 答案：20 4.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数的和是(1 十1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式的通项公式是 T+1=C·x5-r·1',令5-r=2,得r=3,则x2项的系数为 C=10. 答案：10 00M- 假期作业十一 技能提升台技能提升 1.C 2.C 3.B 4.A 5.ABD 6.ACD[因为g十0.4十0.1十0.2+0.2=1，所以g=0.1,A 正确.由题意，得E(X)=0×0.1十1×0.4十2×0.1十3× 0.2+4×0.2=2, 因为D(X)=(0-2)×0.1十(1-2)2×0.4十(2-2)×0.1 +(3-2)2×0.2十(4-2)2X0.2=1.8,所以B错误，C正 确.因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)十1=2×2+1=5， D(Y)=4D(X)=4X1.8=7.2,D正确.故选ACD.] .号8是子 9.3.36 10.解析：设事件A表示“两道题全做对”， 题月都有忍路，则PX0,6店 若两个题目中一个有思路一个没有思路， 则P,= CC×0.6×0.25=0.0375, 故P(A)=P1十P2=0.3075 答案：0.3075 11.解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C8=28,这2个 产品都是次品的事件数为C=3,所以这2个产品都是次 品的概率为器 (2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B,为“从甲 箱中取出2个产品都是正品”，事件B,为“从甲箱中取出1 个正品，1个次品”，事件B,为“从甲箱中取出2个产品都 是次品”，则事件B1,事件B2,事件B彼此互斥.P(B)= =号，PAB,)=号，PAB,)=专所以PA=PB)P (AB)+P(B)PAB,)+P(B)P(AB)=音×号十 是×号+录×合-高 12.解：(1)随机变量X所有可能取值为：0,20,100. P(X=0)=1-0.8=0.2;P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32: P(X=100)=0.8X0.6=0.48,故随机变量X的分布列如下： X 0 20 100 P 0.2 0.320.48 (2)设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分 故随机变量Y的所有可能取值为：0,80,100. P(Y=0)=1-0.6=0.4:P(Y=80)=0.6×(1-0.8) =0.12:P(Y=100)=0.6×0.8=0.48 故E(Y)=0×0.4十80×0.12十100×0.48=57.6. 由(1)知E(X)=0×0.2+20×0.32十100×0.48 =54.4. 因为E(Y)>E(X),故应先回答B类问题.