假期作业九 两个原理及排列与组合-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（北师大版）

快乐假期 假期作业九 两个原理及 《思维整合室 we1Znei1e与nm 知识梳理 1.两个原理包括：分类加法计数原理和分步乘法 计数原理 2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都 涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们 的区别在于：分类加法计数原理与分类有 关，各种方法相互独立，用其中的任一种方 法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与 分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步 骤都完成了，这件事才算完成. 3.排列 (1)排列的定义：从n个 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的 排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列. (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的 的个数叫 做从个不同元素中取出m个元素的排 列数，用 表示 (3)排列数公式：A”= (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排 列，叫做n个元素的一个全排列，A”=n·（n -1)·(n-2)·…·2·1= .排 列数公式写成阶乘的形式为A”= (n一m,这里规定0！= n! 4.组合 (1)组合的定义：从n个 元素中取出 m(m≤n)个元素 ,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的 的个数，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的组 合数，用 表示 000-= 排列与组合 非学无以广才，非志无以成学。 完成日期： 月 (3)组合数的计算公式：C”= n! A m!(n-m)! n(n-1)(n-2)…(n-m十1) ,由于0！= ml ,所以C0=1. (4)组合数的性质：①C= ;②C%+1= + 自测自查 3.(1)不同顺序(2)所有不同排列A” (3)n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(4)n! 1 4.(1)不同 合成一组 (2)所有不同组合 C (3)1(4)Cm C 要点记忆 1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常 从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要 求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要 求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数， 再减去不合要求的排列或组合数. 2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排； (2)合理分类与准确分步； (3)排列、组合混合问题先选后排： (4)相邻问题捆绑处理； (5)不相邻问题插空处理； (6)定序问题排除法处理； (7)分排问题直排处理； (8)“小集团”排列问题先整体后局部； (9)构造模型； (10)正难则反，等价条件。 26 三0022 《技能提升台 eng ti sheng tal 技能提升 1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则 行车路线共有 () A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 2.A,B,C,D,E五人并排站成一行，如果A,B 必须相邻且B在A的右边，那么不同的排 法种数是 () A.6 B.24 C.48 D.120 3.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命 题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空 题和解答题这3种题型进行改编，则每种题 型至少指派一名教师的不同分派方法种 数为 () A.150 B.180 C.200 D.280 4.甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读 2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种 相同的选法共有 () A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 5.(多选)已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同 学中选出两人分别参加数学、物理兴趣小组； ②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项 活动；③从a,b,c,d中选出3个字母；④从1,2， 3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两 位数.其中是排列问题的是 () A.① B.② C.③ D.④ 6.（多选)甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站 成一排合影留念.要求老师必须站在正中 间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法 种数为 () A.A:-A B.A-C2A C.CIC2A D.A 7.已知Am=2C=272(m,n∈N+),则m十n ·2 富二数学型 8.现有4种不同的颜色，要 A 对如图所示的A,B,C,D B D 四个部分进行着色，要求 有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则 不同的着色方法共有 种 9.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4名运 动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派 方法数为 10.杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆” 的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城 遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代 表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的 吉祥物，其中“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”各2 个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3 个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排 法种数共有 .(用数字作答) 11.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7 幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同 的选法？ 火壁快乐限期 900 (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅 12.有8名男生和5名女生，从中任选6人 布置房间，有几种不同的选法？ (1)有多少种不同的选法？ (2)其中有3名女生，有多少种不同的 (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布 选法？ 置房间，有几种不同的选法？ ·28· 三0022 高二致半空) (3)其中至多有3名女生，有多少种不同的 (5)其中既有男生又有女生，有多少种不同 选法？ 的选法？ (4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6 种不同的工作，共有多少种不同的分工 方法？ 高考冲浪 1.(2025·上海卷，9)4个家长和2个儿童去 爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列 的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种， 2.(2024·上海卷，10)设集合A中的元素皆 为无重复数字的三位正整数，且元素中任意 两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最 大值为 3.(2023·新课标I卷，13)某学校开设了4门 体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需 从这8门课中选修2门或3门课，并且每类 选修课至少选修1门，则不同的选课方案共 有 种（用数字作答）. ·29·飞壁快乐假明 过A,作A,O⊥CC1交CC于 C 6 O,又平面ACC,A,∩平面 A BCC1B,=CC,A1OC平 面ACC1A1, M ∴A1O⊥平面BCCB,:A1到 平面BCCB1的距离为1， A1O=1, 在Rt△A1CC中，AC⊥AC1,CC1=AA1=2, 设CO=x,则C1O=2一x, :△A1OC,△AOC1,△ACC1为直角三角形，且CC1=2, CO+AO=A C2,AO+OC:=CA,AC+ACi =C1C2, .1+x2十1十(2-x)2=4,解得x=1, .AC=AC=AC1=√2，.AC=AC. (2)连接A1B,由(1)易证A1B=AB1,故取BB1的中点F, 连接A1F,A1A与B1B的距离为2， ∴.AF=2, .A1C=AC=√2，AB=A1B1=√5，BC=√3， 建立空间直角坐标系C一xy之如图所示 C B y C(0,0,0),A(√2,0,0)，B(0,√3,0)，B1(-√2,3，√2)，C (-√2,0，√2)， ∴.CB=(0W5,0),CC1=(-√2,0，N2), AB1=(-2√2，W5,W2), 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则 (n·CB=0.W5y=0 即 令x=1, (n·CC=0(-√2x+2x=0 则y=0,x=1 所以，平面BCC1B1的一个法向量为： n=(1,0,1), cos0=cos(n,AB)=n·AB n·AB1 故AB与 平面BCC,B,所成角的正孩值为③ 13 高考冲浪 1.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥BC.又 AD⊥PB,且AP∩BP=P,所以AD⊥平面PAB.在△ABC 中，因为AC=2,BC=1,AB=√3，所以AC=BC+AB,即AB ⊥BC,又AP⊥BC,且AP∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.因此， AD∥BC,又AD吨平面PBC,BCC平面PBC, 所以AD∥平面PBC 5 (2)过D,点作DE∥PA,则DE⊥ E 平面ABCD,以D为坐标原，点，分 别以DA,DC,DE为x轴，y轴，之 轴建立空间直角坐标系 设DA=m,DC=n,其中m2十n =4,则A(,0,0),C(0,n,0), P(,0,2), 所以AP=(0,0,2),CP=(m,-n,2),DC=(0,n,0). 设平面APC的法向量为n=(x,y,之)，则 12x=0, 令x=n,则y=m,所以n=(n,m,0); (mx-ny+2z=0, 设平面DPC的法向量为v=(x,y,z),同理可得v=(2,0,一 m). 因为二面角4PCD为锐二面角，所以共余孩值为号，因北 =cosn,pW1= 2n 7 √m+n√4十m ，解得m=V5,即AD =5. 2.解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AB. 又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,又AB CPAB,故平面PAB⊥平面PAD. (2)易知AB,AD,PA两两垂直，以A为坐标原点，AB方向 为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，AP方向为之轴正方 向建立空间直角坐标系，易得A(0,0,0),B(√2,0,0)，C(√2， 2,0),D(0,3+10),P(0,0,√2). (i)设球心O(x,y,x),由OB=OC=OD=OP可得 「(x-√2)2+y+2=(x-√2)2+(y-2)2+ (x-√2)2+y2+2=x2+(y-√-1)十，解得y=1,x (x-2)+y2+2=x2+y2+(2-√2)2 =之=0，显然点O(0,1,0)为直线AD上的点，ADC平面 ABCD,所以，点O(0,1,0)在平面ABCD上. (i)AC=(√2,2,0)，PO=(0,1,-√2)，直线AC与PO所成 角的余弦值等于cosAC,PO》=AC·P吗= 2=2 |ACIIPO6X√53· 假期作业九 技能提升台技能提升 1.C2.B3.A 4,C[首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里， 选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式，则共有C·A=120(种).故选C.] 5.AD 6.BCD[间接法：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况 为A-C2A. 直接法：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从 两端中任选一个位置，有N1=C·C=2(种)站法，其余三 三0022 名学生任意排列有N2=A=6(种)排法，则不同站法共有 N=N1×N,=2X6=12(种). 或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各占，故 有2A,故选BCD.] 7.198.489.80 10.解析：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮 踪”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选 一个，有CCICIC2A=24种排法； 其次，后排有A号=2种排法，故共有24×2种=48种不同 的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物，有CCCA=48种 排法； 后排有A=6种排法，此时共有48×6种=288种排法；因 此，共有48种十288种=336种排法 答案：336 11.解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画 中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选 法.根据分类加法计数原理，共有5十2十7=14（种）不同的 选法. (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同 的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2X7=70(种)不 同的选法 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分 步乘法计数原理知，有5×2=10（种）不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7=35（种）不 同的选法： 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7= 14(种)不同的选法. 所以共有10十35十14=59（种）不同的选法， 12.解：(1)适合题意的选法有C=1716(种). (2)第1步，选出女生，有C种；第2步，选出男生，有 C种.由分步乘法计数原理知，适合题意的选法有CXC =560(种). (3)至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3 名女生四类情况. 第1类没有女生，有C种；第2类1名女生，有C×C种； 第3类2名女生，有C×C种；第4类3名女生，有CXC种 由分类加法计数原理知，适合题意的选法共有C十C⑧XC +C%×C+C×C=1568(种). (4)第1步，选出适合题意的6人，有CXC%种： 第2步，给这6人安排6种不同的工作，有A种. 由分步乘法计数原理知，适合题意的分工方法共有CXC ×A=504000(种). (5)用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即 是符合题意的选法.而由题意知不可能6人全是女生，所以 只需排除全是男生的情况，所以有C一C=1716-28= 1688(种)选法. ·5 高考冲浪 1.解析：本题考查了排列组合的应用. 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人，共有A· A=288种. 答案：288 2.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最 多有一个奇数，剩余全是偶数 先研究集合中无重复数字的三位偶数： (1)若个位为0，这样的偶数有A=72种： (2)若个位不为0，这样的偶数有C·C·C=256种； 所以集合元素个数最大值为256十72十1=329种. 答案：329 3.解析：当从这8门课中选修2门课时，共有C·C=16种； 当从这8门课中选修3门课时，共有C·C+C?·C=48种； 综上可知，共有64种不同的选课方案. 答案：64 假期作业十 技能提升台技能提升 1.D2.B3.C4.A5.AD 6.AB[A.展开式的二项式系数和为22“，令x=1,则展开式 的各项系数和为(3-1)2026=2202s,故A正确；B.展开式的通 项公式为T+1=C26·322r(-√G)'=C526·（-1)· 3226-x专，r=0,1,…,2026,令r=0,则展开式的常数项为 3,故B正确；C.令乞=1013，则r=2026,所以x10i的系 数为C·(-1)X3°=1，故C错误；D.令乞为整数，则 r=0,2,4,6,8,…,2026,即展开式的奇数项，所以有理项的 二项式系数和为2学=2，故D特说.] 7.C[设f(x)=(2x十1)225=a十a1x十a2x2十…+ a20252025, 一方面注意到S2十S1=(a0十a2十a1十·十a2o21)十(a1十a3 十a5十…十a2025)=f(1), 另一方面注意到S2-S1=(a。十a2十a1十…十a2o21)一(a1十 a3十a5十…十a2o25)=f(-1), 所以S号-S=f(1)·f(-1)=(2×1+1)205×[2×(-1) +1]2025=-32025.故选C.] 8.29.-2010.255 11.解：(1)依题意有C:C=14:3,化简，得(n-2)(n-3)=56, 解得n=10或n=-5(不合题意，舍去)，所以n的值为10. @通项会元为T:=心（一y(行） 10-2k∈Z. 3 （-1'(合)C。·→，由题意得 0k≤10， k∈Z, 解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项，它 m分别为c(-2)x,C(）,c(-)x