假期作业八 立体几何中的向量方法-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（北师大版）

三0022 11.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=AB+AD, :Ei=OG-O市=k.O元-k·OA=k(O元-OA) =kAC=K(AB+AD) =k(Oi-OA+Oi-OA)=O市-O+0i-O元 =EF+EH, E,F,G,H四点共面 (2)EF=OF-OE=(OB-OA)=k.AB, 又EG=k·AC,.EF∥AB,EG∥AC, 所以平面ABCD∥平面EFGH. 12.证明：(1)以点A为原点，AB所在直线 为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在 直线为之轴，建立如图所示的空间直角 坐标系A-xy2,则A(0,0,0),B(1,0, 0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).点 E,F分别是PB,PD的中点，x (01,2） E(合0，)片 F后=（合，-1.0）Bi=(-1,20,F店-B成即EF ∥BD. 又BDC平面ABCD,EF寸平面ABCD,所以EF∥平面 ABCD. (2)证明：由(1)可知AP=(0,0,1),AD=(0,2,0), DC=(1,0,0), 因为AP.DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0,AD·DC=(0,2, 0)·(1,0,0)=0, 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. 又AP∩AD=A,所以DC⊥平面PAD. 因为DCC平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC. 高考冲浪 1.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4十x2-4x =0,解得x=2.] 2.解析：由题意可知，2k=5X6,则k=15. 答案：15 3.解析：由a十b=2a-b,得a2=2a·b: 由a-b=√3，得a2-2a·b+b=3,即b=3, b=3. 答案：√5 假期作业八 技能提升台技能提升 1.B 2.B 3.A 4.C 5.ABC 6.BCD[对于选项A,由题图知AC,C平面ACC,A1,EF∩平 面ACCA1=E,且EEAC.由异面直线的定义可知AC1与 EF异面，故A错误. 对于选项B,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥BC, D,F分别是AC,AB的中点， 富二数学 .FD∥BC,.BC∥FD. 又，BC正平面DEF,FDC平面DEF, B1C∥平面DEF,故B正确. 对于选项C,由题意，建立如图 C 所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),B1(0,2,2),C(0,0, 2),D1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0). 4方 B .EF=(-1,1,-1), F AC1=(-2,0,2), .EF·AC1=2+0-2=0,.EF⊥AC,∴.EF⊥AC1, ,EF与AC1所成角的大小为90°，故C正确. 对于选项D,设向量n=(x,y,之)是平面DEF的法向量. DE=(1,0,1),DF=(0,1,0), (n⊥DE,tn·DE=0, 由 →得{ (n⊥DF,(n·DF=0, 即/十x0, y=0, 取x=1,则之=-1，.n=(1,0,-1). 设点B1到平面DEF的距离为d. 又DB1=(-1,2,2), d=DBn=-1+0-2=3E n √2 2 :点月到平面DEF的距房为3，故D正确，故选CD.] 7.-38.09.√210.2 11.解：先证明平面AMN∥平面EFDB. 以D为原，点，建立如图所示的空间直 角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0), B(1,1,0), M21）N(20,1) (合1）F0,21 i=(合o)E=(合0） NM=FE,即MN∥FE. 同理可证AM∥DF,∴.平面AMN∥平面EFDB. 设平面AMN的法向量为n=(x,y,1), 由n⊥NM,n⊥AM,得n.NM=0,n·AM=0,求得n (2,-2,1).又AB=(0,1,0),.平面AMN与平面EFDB 的距离为d=nAB=2 n -3 12.解：(1)如图，AC⊥底面ABC,BCC平面ABC, .A1C⊥BC,又BC⊥AC,A,C,ACC平面ACC1A1,A1C∩ AC=C, BC⊥平面ACCA,又BCC平面BCCB1, ∴.平面ACC,A1⊥平面BCC1B1, 飞壁快乐假明 过A,作A,O⊥CC1交CC于 C 6 O,又平面ACC,A,∩平面 A BCC1B,=CC,A1OC平 面ACC1A1, M ∴A1O⊥平面BCCB,:A1到 平面BCCB1的距离为1， A1O=1, 在Rt△A1CC中，AC⊥AC1,CC1=AA1=2, 设CO=x,则C1O=2一x, :△A1OC,△AOC1,△ACC1为直角三角形，且CC1=2, CO+AO=A C2,AO+OC:=CA,AC+ACi =C1C2, .1+x2十1十(2-x)2=4,解得x=1, .AC=AC=AC1=√2，.AC=AC. (2)连接A1B,由(1)易证A1B=AB1,故取BB1的中点F, 连接A1F,A1A与B1B的距离为2， ∴.AF=2, .A1C=AC=√2，AB=A1B1=√5，BC=√3， 建立空间直角坐标系C一xy之如图所示 C B y C(0,0,0),A(√2,0,0)，B(0,√3,0)，B1(-√2,3，√2)，C (-√2,0，√2)， ∴.CB=(0W5,0),CC1=(-√2,0，N2), AB1=(-2√2，W5,W2), 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则 (n·CB=0.W5y=0 即 令x=1, (n·CC=0(-√2x+2x=0 则y=0,x=1 所以，平面BCC1B1的一个法向量为： n=(1,0,1), cos0=cos(n,AB)=n·AB n·AB1 故AB与 平面BCC,B,所成角的正孩值为③ 13 高考冲浪 1.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥BC.又 AD⊥PB,且AP∩BP=P,所以AD⊥平面PAB.在△ABC 中，因为AC=2,BC=1,AB=√3，所以AC=BC+AB,即AB ⊥BC,又AP⊥BC,且AP∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.因此， AD∥BC,又AD吨平面PBC,BCC平面PBC, 所以AD∥平面PBC 5 (2)过D,点作DE∥PA,则DE⊥ E 平面ABCD,以D为坐标原，点，分 别以DA,DC,DE为x轴，y轴，之 轴建立空间直角坐标系 设DA=m,DC=n,其中m2十n =4,则A(,0,0),C(0,n,0), P(,0,2), 所以AP=(0,0,2),CP=(m,-n,2),DC=(0,n,0). 设平面APC的法向量为n=(x,y,之)，则 12x=0, 令x=n,则y=m,所以n=(n,m,0); (mx-ny+2z=0, 设平面DPC的法向量为v=(x,y,z),同理可得v=(2,0,一 m). 因为二面角4PCD为锐二面角，所以共余孩值为号，因北 =cosn,pW1= 2n 7 √m+n√4十m ，解得m=V5,即AD =5. 2.解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AB. 又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,又AB CPAB,故平面PAB⊥平面PAD. (2)易知AB,AD,PA两两垂直，以A为坐标原点，AB方向 为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，AP方向为之轴正方 向建立空间直角坐标系，易得A(0,0,0),B(√2,0,0)，C(√2， 2,0),D(0,3+10),P(0,0,√2). (i)设球心O(x,y,x),由OB=OC=OD=OP可得 「(x-√2)2+y+2=(x-√2)2+(y-2)2+ (x-√2)2+y2+2=x2+(y-√-1)十，解得y=1,x (x-2)+y2+2=x2+y2+(2-√2)2 =之=0，显然点O(0,1,0)为直线AD上的点，ADC平面 ABCD,所以，点O(0,1,0)在平面ABCD上. (i)AC=(√2,2,0)，PO=(0,1,-√2)，直线AC与PO所成 角的余弦值等于cosAC,PO》=AC·P吗= 2=2 |ACIIPO6X√53· 假期作业九 技能提升台技能提升 1.C2.B3.A 4,C[首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里， 选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式，则共有C·A=120(种).故选C.] 5.AD 6.BCD[间接法：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况 为A-C2A. 直接法：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从 两端中任选一个位置，有N1=C·C=2(种)站法，其余三=三0022 假期作业八立体几何中 《思维整合室 wel zheng he 知识梳理 1.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其 夹角为0，则cos9=|cos= (其 中p为异面直线a,b所成的角) 2.直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e,平面α 的法向量为n,直线l与平面a所成的角为 p,两向量e与n的夹角为0，则有sinp= I cos 1= 3.求二面角的大小 (1)如图①，AB,CD是二面角&-l-3的两个 面内与棱1垂直的直线，则二面角的大小0 B BC九 ① ② ③ (2)如图②③，n1,n2分别是二面角a一l一B的 两个半平面α，3的法向量，则二面角的大 小0= 4.点面距离的求法 设n是平面a的法向量， AB是平面a的一条斜 线，则点B到平面α的距离为 (如图). 业精于勤，荒于嬉。 的向量方法 完成日期： 夕 自测自查 18 2.贤 3.(1)(AB,CD> 4. |BA·n (2)(n1,n2)(或元-〈n1,n2〉) 要点记忆 向量法证明空间几何问题的两种基本思路 思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算 进行判断。 思路二：用向量的坐标表示几何量，共分 三步： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量（或坐标）表示问题中所涉及的量，把 立体几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置 关系。 (3)根据运算结果的几何意义来解释相关 问题， 《技能提升台 e1teta 技能提升 1.若直线11，l2的方向向量分别为a=(1,2,一2)， b=(一2,3,2)，则 ( A.1∥12 B.l1⊥l2 C.L1,l2相交但不垂直 D.不能确定 2.在空间直角坐标系中，a=（1,2,1)为直线l 的一个方向向量，n=(2,t,4)为平面&的一 个法向量，且l∥a,则t= A.3 B.-3 C.1 D.-1 23 飞曼味乐假期 3.已知向量n=（2,0,1)为平面a的法向量， 点A(-1,2,1)在a内，点P(1,2,-2)在a 外，则点P到平面α的距离为 A号 B.①3 13 C.66 D.8⑤ 65 5 4.在正方体ABCD一A,B,C1D1中，平面 A,BD与平面C,BD所成二面角的余弦值 为 () A号 c 5.(多选)如图，在空间直角 坐标系中，ABCD B A1BC1D1为单位正方 0(A) D 体，下列结论中正确的有 A.直线DD,的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B,CD的一个法向量为(1,1,1) 6.（多选)如图，在直三棱柱 ABC-A,B,C1中，AC=A BC=AA1=2,∠ACB= 90°，D,E,F分别为AC, AA1,AB的中点，则下列结论正确的是( A.AC1与EF相交 B.B,C1∥平面DEF C.EF与AC,所成角的大小为90° D.点B到平面DEF的距离为3 2 ·2 S0M-= 7.若平面a的一个法向量为u1=(一3，y,2),平 面B的一个法向量为42=(6，一2，z),且α∥B, 则y十之= 8.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) 分别是平面a,3,Y的一个法向量，则a,3,Y 三个平面中两两垂直的有 对 9.在底面为直角梯形的四棱锥P一ABCD中，侧 棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°， PA=AB=BC=2,AD=1,则点D到平面 PBC的距离是 10.如图，在直三棱柱ABC- ABC中，∠BAC=90°， AB=AC=AA=2,G,E, D分别是棱AB,CC1, AC的中点，F是棱AB上的点.若GD·EF= 一1，则线段DF的长度为 11.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C1D, 中，M,N,E,F分别是棱A1B1,A,D1, B,C1,C1D1的中点.证明平面AMN∥平 面EFDB,并求平面AMN与平面EFDB 的距离. 4· 三0022 12.（2023·全国甲卷， C 18)在三棱柱ABC一 A1B1C1中，AA1=2, A,C⊥底面ABC, ∠ACB=90°，A1到 平面BCC1B,的距离为1. (1)求证：AC=A,C; (2)若直线AA1与BB1距离为2，求AB 与平面BCC,B,所成角的正弦值. 富二致学 高考冲浪 1.(2024·新课标I 卷，17)如图，四棱 锥P-ABCD中，PA ⊥底面ABCD,PA =AC=2,BC=1, AB=√3. (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二面角ACPD的正弦 值为罗求AD 2.(2025·全国一卷，17)如 图，在四棱锥P一ABCD 中，PA⊥底面ABCD,AB ⊥AD,BC∥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=AB=√2，BC=2,AD=1+√3， 且点P,B,C,D均在球O的球面上. (1)证明：点O在平面ABCD内； (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值！ 25·