假期作业七 空间向量及其运算-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（北师大版）

火受快乐期 假期作业七 空间向量及其运算 学而不厌，诲人不倦。 完成日期： 月 日 《《思维整合室 (5)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式 wel zheng he shi 知识梳理 设a=(x1,y1,21),b=(x2y2,x2),则 lal= 1.空间向量的概念 1b= (1)相等向量 的向量叫相等向量. c0s〈a,b)= (2)共线向量或平行向量 (6)空间两点间的距离公式 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互 设P(x1y1z),Q(x2y2之2)，则 相 ,则这些向量叫做共线向量或平 IPQI= 行向量，记法：如a平行b记作： 自测自查 2.两个向量的夹角 1.(1)方向相同且模相等(2)平行或重合 (1)a,b是两个非零向量，则其夹角记为 a∥b2.(1)(a,b〉[0，π](2)垂直a⊥b ,范围是 3.lallblcos 0 4.lalcos oo a.a5. (2)若〈a,b)=90°，则称a与b ,记作： 要点记忆 3.公式：a·b= 空间向量数量积运算与运算律 4.性质：(1)a·e= (其中e为单位向量)； 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分 (2)a⊥b,则a·b= ,反之也成立： 配律及数乘结合律，不满足： (3)1a12= (1)消去律：即由a·b=b·c不能推出a=c, 5.坐标运算 即向量不能约分； 设a=（x1,y1,之1)，b=(x2y2z2) (2)乘法结合律：即(a·b)c=a(b·c)不一定 (1)a+b= 成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线 a-b= 的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向 λa= 量，但c与a不一定共线. a·b= (2)设A(x1y1,21),B(x2y2,22), 《技能提升台 Ineng ti sheng ta司 则AB 技能提升 (3)向量平行的坐标表示 a∥b(b≠0)台 1.在正方体ABCD一A,B,C1D,中，AB 或当b与三条坐标轴都不平行时，a∥b DA-DD= 台 A.AD B.AC, (4)向量垂直的坐标表示 a⊥b台 =0. C.AB D.AA ·20· 三0022 版高二数学 2.已知在空间四边形OABC中，点M在线段 A.AC=6 OA上，且OM=2MA,点N为线段BC的 B.AC1⊥BD 中点.连接OB,设OA=a,OB=b,OC=c,则 C.向量BC与AA,的夹角是60° MN- D.向量BD,与AC所成角的余弦值为 Aa+b号c B号a+2b+2c 7.设向量a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m十1,3n C0-+日 D. 2 -2),且a∥b,则a·b的值为 3.已知向量m=(1,1,0),n=(-1,0,2),且 8.如图，在△ABC和△AEF中，B km十n与2m一n互相平行，则实数k的 是EF的中点，AB=2,EF=4, 值是 CA=CB=3.若AB·AE+AC· -号 B号 AF=7,则EF与BC的夹角的余弦 c D.-2 值等于 4.向量a=(2,4,x),b=(2,y,2).若|a=6且 9.平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，AB= a⊥b,则x十y的值为 () AD=4,AA1=5,∠BAD=∠BAA1= A.-3 B.1 ∠DAA1=60°，则AC1= C.3或1 D.-3或1 10.已知向量a=(1,2,3),b=（x,x2+y-2,y), 5.我国古代数学名著《九章 并且a,b同向，则x,y的值分别为 算术》中，将底面为矩形 且一侧棱垂直于底面的 11.已知平行四边形 四棱锥称为阳马.如图所 ABCD,从平面ABCD D 示，已知四棱锥PAB 外一点O引向量OE= CD是阳马，PA⊥平面ABCD,且PE= kOA,OF=kOB,O它 =kO元，Oi=kOD. PC,若AB=a,AD=b,AP=c,则BE= (1)求证：E,F,G,H四点共面； A.-5.1 5 (2)平面ABCD∥平面EFGH. ja-1b+4 C.ja-1o 3 4 +b+3。 D.-3 4 6.(多选)如图，一个结晶 体的形状为平行六面体 ABCD-AB,C,D1,其 中，以顶点A为端点的 三条棱长均为6，且它们 彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是 () ·21· 飞壁快乐假期 S00-= 12.在底面是矩形的四棱锥P一ABCD中，PA (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. ⊥底面ABCD,点E,F分别是PB,PD的 中点，PA=AB=1,BC=2. E (1)求证：EF∥平面ABCD; 高考冲浪 1.(2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0, 1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6, k),a∥b,则的值为 3.(2023·新课标Ⅱ卷，13)已知向量a,b满足 1a-b|=√3，|a+b|=|2a-b|,则|b1 ·22·快乐假期 7.(m,0) 8.359.8 1o.(-∞，-子)u(分+） 11.解：设所求抛物线的标准方程为 =2py(p>0),设A(x),由题意知M(0,-是）月 AF=3,y。十=3， :AM=7,+(+）=17, .x=8,代入方程x8=2py%, 得8=2p(3-专），解得=2或p=4 .所求抛物线的标准方程为x=4y或x2=8y. 12.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，一8)， .(-8)2=2p×8. ∴.2p=8,.抛物线方程为y=8x (2)由直线l2与l垂直，可设直线l2:x=y十，A(1y), B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M. 由=8”得y-8y-8m=0. (x=y十， △=64+32m>0, m>-2.y十y2=8,y1y2=-8m, “西西，=正=m 64 由题意可知OA⊥OB,即x1x2十y1y2=m2-8m=0, m=8或m=0(舍)，∴.直线l2:x=y十8，M(8,0). 故SAFAB=S△PB十SAMA=之 ·FM·M-= 3√(y十y2)-4yy=24V5. 高考冲浪 1.ACD[l恰为抛物线的准线，由尬 物线定义可知A选项正确，设 ∠AFx=0,连接AE易知△ADE≌ △AFE,∴.∠DAE=∠FAE= 1 ∠FAD= ，则AE=AF 8 cos 2 0, (1-cos 0)cos 2 2p AB=AF+BF=一6O9十16Os9品g选项B 错误 AB=。≥20=6，送项C正病： AE·|BE= (1-cos 0)cos2 十π (1十cos8)cos2 品)≥18，选 项D正确.故本题正确选项为ACD.] 90M-= 2.C[由直线y=一2x十2知F1,0),所以号=1，p=2,所以 抛物线方程为y=4x,准线为x=一1，所以B(一1,4)，所以 ya=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以AF=号十xA=1 +4=5.] 假期作业七 技能提升台技能提升 1.B2.B3.D4.D 5.D[根据向量线性运算原则求解即可. 由题意，P店=P元=}(AC-A护)=C-A护 子A+AD)-十A求=十a+b-c,P-A店-AP a-c, 则B=P-p=子a+6c-(a-c)=- b 4a+4 Te.] 6.ACD[对于A:AG=AB+BC+CC=AB+AD+AA, .AC2=AB2+AD2+AA2+2AB·AD+2AD·AA1+ 2AB·AA1=36+36+36+2×6X6Xc0s60°+2×6X6X cos60°+2×6×6×c0s60°=216， 所以AC=√216=6√6，选项A错误； 对于B:AC·BD=(AB+AD+AA1)·(AD-AB)=AB· AD+AD+AA·AD-AB-AD.AB-AA·AB= 6×6×cos60°+36+6×6×cos60°-36-6×6×c0s60°-6 X6Xc0s60°=0， 所以AC·BD=0,即AC1⊥BD,选项B正确； 对于C:向量B1C与BB1的夹角是180°-60°=120°，所以向量 B,C与AA1的夹角也是120°，选项C错误； 对于D:BD,=AD+AA1-AB,AC=AB+AD,BD12= (AD+AA-AB)', 所以BD= √35+96+36+2X6X6×号-2Xx6×6X7-2X6×6X2=6厄， 同理可得AC=6√5， 又BD.AC=(AD+AA-AB)·(AB+AD)=18+18- 36+36+18-18=36, 所以os(BD,AC)=BD·AC d·D5后6ES,选 36 项D错误.故选ACD.] 7.1688.合9.Vms10.1,3 48 三0022 11.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=AB+AD, :Ei=OG-O市=k.O元-k·OA=k(O元-OA) =kAC=K(AB+AD) =k(Oi-OA+Oi-OA)=O市-O+0i-O元 =EF+EH, E,F,G,H四点共面 (2)EF=OF-OE=(OB-OA)=k.AB, 又EG=k·AC,.EF∥AB,EG∥AC, 所以平面ABCD∥平面EFGH. 12.证明：(1)以点A为原点，AB所在直线 为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在 直线为之轴，建立如图所示的空间直角 坐标系A-xy2,则A(0,0,0),B(1,0, 0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).点 E,F分别是PB,PD的中点，x (01,2） E(合0，)片 F后=（合，-1.0）Bi=(-1,20,F店-B成即EF ∥BD. 又BDC平面ABCD,EF寸平面ABCD,所以EF∥平面 ABCD. (2)证明：由(1)可知AP=(0,0,1),AD=(0,2,0), DC=(1,0,0), 因为AP.DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0,AD·DC=(0,2, 0)·(1,0,0)=0, 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. 又AP∩AD=A,所以DC⊥平面PAD. 因为DCC平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC. 高考冲浪 1.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4十x2-4x =0,解得x=2.] 2.解析：由题意可知，2k=5X6,则k=15. 答案：15 3.解析：由a十b=2a-b,得a2=2a·b: 由a-b=√3，得a2-2a·b+b=3,即b=3, b=3. 答案：√5 假期作业八 技能提升台技能提升 1.B 2.B 3.A 4.C 5.ABC 6.BCD[对于选项A,由题图知AC,C平面ACC,A1,EF∩平 面ACCA1=E,且EEAC.由异面直线的定义可知AC1与 EF异面，故A错误. 对于选项B,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥BC, D,F分别是AC,AB的中点， 富二数学 .FD∥BC,.BC∥FD. 又，BC正平面DEF,FDC平面DEF, B1C∥平面DEF,故B正确. 对于选项C,由题意，建立如图 C 所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),B1(0,2,2),C(0,0, 2),D1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0). 4方 B .EF=(-1,1,-1), F AC1=(-2,0,2), .EF·AC1=2+0-2=0,.EF⊥AC,∴.EF⊥AC1, ,EF与AC1所成角的大小为90°，故C正确. 对于选项D,设向量n=(x,y,之)是平面DEF的法向量. DE=(1,0,1),DF=(0,1,0), (n⊥DE,tn·DE=0, 由 →得{ (n⊥DF,(n·DF=0, 即/十x0, y=0, 取x=1,则之=-1，.n=(1,0,-1). 设点B1到平面DEF的距离为d. 又DB1=(-1,2,2), d=DBn=-1+0-2=3E n √2 2 :点月到平面DEF的距房为3，故D正确，故选CD.] 7.-38.09.√210.2 11.解：先证明平面AMN∥平面EFDB. 以D为原，点，建立如图所示的空间直 角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0), B(1,1,0), M21）N(20,1) (合1）F0,21 i=(合o)E=(合0） NM=FE,即MN∥FE. 同理可证AM∥DF,∴.平面AMN∥平面EFDB. 设平面AMN的法向量为n=(x,y,1), 由n⊥NM,n⊥AM,得n.NM=0,n·AM=0,求得n (2,-2,1).又AB=(0,1,0),.平面AMN与平面EFDB 的距离为d=nAB=2 n -3 12.解：(1)如图，AC⊥底面ABC,BCC平面ABC, .A1C⊥BC,又BC⊥AC,A,C,ACC平面ACC1A1,A1C∩ AC=C, BC⊥平面ACCA,又BCC平面BCCB1, ∴.平面ACC,A1⊥平面BCC1B1,