假期作业六 抛物线-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（北师大版）

三022 假期作业六 《思维整合室 wei zheng he shi 知识梳理 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线(F￠)的 的点的轨迹叫抛物线。 叫做 抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程(p>0) 图形 标准方程焦点坐标准线方程 自测自查 1.距离相等 定点定直线 2. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px 台 x=一 y=-2px (-0 =台 x2=2py = 2 x2=-2py 0,- 富二数学 抛物线 要点记忆 判断焦点位置及开口方向的记忆口诀 焦点要看一次项，符号确定开口方向， 如果y是一次项，负时向下，正向上， 如果x是一次项，负时向左，正向右. 《技能提升台 Tneng ti sheng tal 技能提升 1.若抛物线y2=16x上的点M到焦点的距离 为12，则它到y轴的距离是 () A.6 B.8 C.9 D.10 2.抛物线y一的准线方程是 A.x=16 1 B.y--16 C.x=-4 D.y=-4 3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在 C上，若M到直线x=一3的距离为5，则 MF= A.7 B.6 C.5 D.4 4.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一 个公共点，这样的直线有 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.(多选)在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y2=6x的焦点为F,准线为1，P为抛物线 上一点，PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜 率=一√，则下列结论正确的是() 火快乐期 A.准线方程为x=一3 B.焦点坐标F C.点P的坐标为 D.PF的长为3 6.(多选)已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F, P为直线x=一2上任意一点，过点P作抛 物线C的两条切线，切点分别为A,B,斜率 分别为1，k2,则 A=-号 B.|k1-k2|=2 C.直线AB过定点(2,0) D.IAF·|BF|的最小值为8 7.抛物线x= y2的焦点坐标是 Am 8在平面直角坐标系0中，若双曲线号 y2=1的渐近线与抛物线x2=4√5y的准线 相交于A,B两点，则△OAB的面积为 9.已知倾斜角为不的直线1经过抛物线y= 4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点， 则弦AB的长为 10.在抛物线y=x2上存在两个点M,N关于 直线y=x十号对称，则实数的取值范 围为 ·18 90M-= 11.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦 点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线 上一点，且|AM|=√17，|AF=3,求此抛 物线的标准方程 三0022 12.已知抛物线C:y2=2px(p F,抛物线C与直线l1:y= 的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程； 高二数学恐 >0)的焦点为 (2)不过原点的直线2与11垂直，且与抛 x的一个交点 物线交于不同的两点A,B,若线段AB的 中点为P,且IOP|=|PB|,求△FAB 的面积. 高考冲浪 1.(2025·全国一卷，10)设抛物线C:y2=6x的 焦点为F,过F的直线交C于A、B两点，过A 作直线l:x=一 的重线.垂足为D,过F作垂 直于AB的直线交1于E,则 A.IADI=AFI B.AE=ABI C.|AB|≥6 D.|AE·IBE≥18 2.（2025·全国二卷，6)设抛物线C:y2=2px (p>0)的焦点为F,点A在C上，过点A作 C的准线的垂线，垂足为B,若直线BF的方 程为y=一2x+2,则|AF|= A.3 B.4 C.5 D.6 ·19·三0022 =1,a2=4λ，b=入，c2=5x,e= ,渐远线为y= 1 2 x,由 此判断B错误，C,D正确.故选CD.] 7芳芳=18459四 2 10.x2-=1 4 y 11.解：(1)若所求的双曲线方程为一=1(a>0,6>0), 则将a=代入，将后=1 又点A(1,)在双曲线上， “有品把=-1，由光得<0不合超意，舍去 若所求的双曲线方程为若-手=10>0心0. 同上法解得6=9， ·双曲线的标准方程为亡一之 69=1. 2)藏所求双由线方程为兰票-=1(。>0，b>0。 :点(3，-4)，（号5）在双曲钱上， 点的坐标满足方程， 由此得 25 la 32-9n=1, 令m= 。0=广，则方程组化为 25m m16 解得 1 n=9. ∴。=16,6=9，故所求双南线的标准方程为芳一看=1. x 12.解：a=1,b=√5，c=2, ,直线1过点F2,且倾斜角为45°， .直线l的方程为y=x一2， 代入双曲线方程，得2x2十4x一7=0. 设A(x1y)、B(z2y2)· “=-<0 ,A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上 7 x1十x2=-2,1·x2=-2' |AB=√1+1Fz1-x2 -E√a+)-4知西-E√-2-4(）=6. 高考冲浪 1.D[由题知b=√7a,则c=√7十1a=2√2a,所以离心率e= 合=2E,故选D.] 富二数类) 2.C[设F(0,-4)、F2(0,4)、P(-6,4), 则E1F21=2c=8,PF11=√62+(4+4)F=10,PF21= √62+(4-4)严=6， 期2a=PR,-PR,=10-6=4,则e二=号-2] 3.解析：由题知：AF2=5,AF1=13,FF2=2c= √13-5=12，解得c=6,AF1|-AF2=2a=8,解得a =4,所以=名=号 答案：号 假期作业六 技能提升台 技能提升 1.B2.D 3.D[因为抛物线C:y=8x的焦点F(2,0),准线方程为x= -2,点M在C上， 所以M到准线x=一2的距离为MF, 又M到直线x=-3的距离为5， 所以MF1十1=5，故MF=4.故选D.] 4.B 5.BC 6.AC[由题意可得，F(1,0),抛物线的准线方程为x=一1， 设P(-2,),A(M),B(),则=4z1号=4x2 过点A的切线方程为y一少=k1(x一). 联立心-M=(x-4) y2=4x, 消去x得y-y+y-4红，=0， 由4=0，可得61=2 y1 所以y-y=2(x-4,),0 y 同理过点B的切线方程为y-=2(红一，).② 由①@解得x=兰，由点P的横坐标为一2，得=一2， A 4一 则yy=一8，k1,=y1 ,故A正确」 1 因为k1一k2= 错误. 因为切线PA的方程为yy1一y=2(x-x1),切线PB的方 程为yy2-号=2(x-x2),所以ty-yi=-4-2x1,ty2- =一4-2x2,所以直线AB的方程为ty-y2=-4-2x,即ty =2(x一2)，所以直线AB恒过定点(2,0)，故C正确. 由抛物线的定义得AF|·BF|=(x1十1)·(x2十1)= x1x2十(x1十x2)+1= （yy2)2 2+1+(+)=5 (件+等)）P5+2√高=9，当且仅室=时取 等号，所以AF·BF的最小值为9，故D错误.故 选AC.] 47· 快乐假期 7.(m,0) 8.359.8 1o.(-∞，-子)u(分+） 11.解：设所求抛物线的标准方程为 =2py(p>0),设A(x),由题意知M(0,-是）月 AF=3,y。十=3， :AM=7,+(+）=17, .x=8,代入方程x8=2py%, 得8=2p(3-专），解得=2或p=4 .所求抛物线的标准方程为x=4y或x2=8y. 12.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，一8)， .(-8)2=2p×8. ∴.2p=8,.抛物线方程为y=8x (2)由直线l2与l垂直，可设直线l2:x=y十，A(1y), B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M. 由=8”得y-8y-8m=0. (x=y十， △=64+32m>0, m>-2.y十y2=8,y1y2=-8m, “西西，=正=m 64 由题意可知OA⊥OB,即x1x2十y1y2=m2-8m=0, m=8或m=0(舍)，∴.直线l2:x=y十8，M(8,0). 故SAFAB=S△PB十SAMA=之 ·FM·M-= 3√(y十y2)-4yy=24V5. 高考冲浪 1.ACD[l恰为抛物线的准线，由尬 物线定义可知A选项正确，设 ∠AFx=0,连接AE易知△ADE≌ △AFE,∴.∠DAE=∠FAE= 1 ∠FAD= ，则AE=AF 8 cos 2 0, (1-cos 0)cos 2 2p AB=AF+BF=一6O9十16Os9品g选项B 错误 AB=。≥20=6，送项C正病： AE·|BE= (1-cos 0)cos2 十π (1十cos8)cos2 品)≥18，选 项D正确.故本题正确选项为ACD.] 90M-= 2.C[由直线y=一2x十2知F1,0),所以号=1，p=2,所以 抛物线方程为y=4x,准线为x=一1，所以B(一1,4)，所以 ya=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以AF=号十xA=1 +4=5.] 假期作业七 技能提升台技能提升 1.B2.B3.D4.D 5.D[根据向量线性运算原则求解即可. 由题意，P店=P元=}(AC-A护)=C-A护 子A+AD)-十A求=十a+b-c,P-A店-AP a-c, 则B=P-p=子a+6c-(a-c)=- b 4a+4 Te.] 6.ACD[对于A:AG=AB+BC+CC=AB+AD+AA, .AC2=AB2+AD2+AA2+2AB·AD+2AD·AA1+ 2AB·AA1=36+36+36+2×6X6Xc0s60°+2×6X6X cos60°+2×6×6×c0s60°=216， 所以AC=√216=6√6，选项A错误； 对于B:AC·BD=(AB+AD+AA1)·(AD-AB)=AB· AD+AD+AA·AD-AB-AD.AB-AA·AB= 6×6×cos60°+36+6×6×cos60°-36-6×6×c0s60°-6 X6Xc0s60°=0， 所以AC·BD=0,即AC1⊥BD,选项B正确； 对于C:向量B1C与BB1的夹角是180°-60°=120°，所以向量 B,C与AA1的夹角也是120°，选项C错误； 对于D:BD,=AD+AA1-AB,AC=AB+AD,BD12= (AD+AA-AB)', 所以BD= √35+96+36+2X6X6×号-2Xx6×6X7-2X6×6X2=6厄， 同理可得AC=6√5， 又BD.AC=(AD+AA-AB)·(AB+AD)=18+18- 36+36+18-18=36, 所以os(BD,AC)=BD·AC d·D5后6ES,选 36 项D错误.故选ACD.] 7.1688.合9.Vms10.1,3 48