假期作业二 圆的方程-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（北师大版）

三0022 假期作业二圆的 〈《思维整合室 we之eng he shi 知识梳理 1.设圆的圆心是C(a,b),半径是r,则圆的标 准方程是 ,当圆的圆心在 坐标原点时，圆的半径为r,则圆的标准方 程是 2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r.若点 P在圆外，则d r.若点P在圆上，则 d r.若点P在圆内，则d r. 3.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)当 时，方程表示一个点， 该点的坐标为 (2)当 时，方程不表示任何 图形 (3)当 时，方程表示的曲线 为圆，它的圆心坐标为 ,半径等于 ,上述方程称为圆的一 般式方程。 4.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx +Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx +Ey十F=0,可以得出如下结论.当二元二 次方程具有条件： (1)x2和y的系数相同，且不等于0，即 (2)没有xy项，即 (3) 时，它才表示圆」 自测自查 1.(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r2 2.> 3.(1)D2+E2-4AF=0 (2)D+E2-4F<0 (3)D2+E2-4F>0 (号-) D+E-4F 4.(1)A=C(2)B=0(3)D+E-4AF>0 二数学恐 学然后知不足，教然后知困。 方程 完成日期： 月 日 要点记忆 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心 坐标和半径，进而写出方程。 (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关， 则设圆的标准方程，依据已知条件列出关 于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D,E,F的方程组，进而求D,E,F的值. 《技能提升台 eng ti sheng ta 技能提升 1.圆心为C(1,1)且过点A(4,一3)的圆的标准 方程是 () A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5 C.(x+1)2+(y+1)2=25 D.(x-1)2+(y-1)2=25 2.以两点A(-3,一1)和B(5,5)为直径端点 的圆的方程是 () A.(x-1)2+(y-2)2=25 B.(x+1)2+(y+2)2=25 C.(x+1)2+(y+2)2=100 D.(x-1)2+(y-2)2=100 3.下列方程表示圆的是 A.x2+y2+xy-1=0 B.x2+y2+2x+2y+2=0 C.x2+y2-3.x+y+4=0 D.2x2+2y2+4x+5y+1=0 飞是快乐假翻 4.如果直线1将圆x2+y2一2x一4y=0平分， 且不通过第四象限，那么1的斜率的取值范 围是 A.[0,2] B.[0,1] c 5.(多选)若坐标原点在圆(x一m)2+(y+m) =4的内部，则实数m的取值可以是() A.-1 B.2 C.-2 D.1 6.(多选)若直线mx+2y一4=0始终平分圆 x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取 值可以是 () A.-1 B.-2 C.1 D.2 7.圆x2+y2-2a.x-3a=0的半径长是 8.已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化 时，圆C上的点到原点的最短距离是 9.若曲线C:x2+y2-2ax+4ay十5a2-16=0 上所有的点均在第二象限内，则实数a的取 值范围是 10.如图，已知圆O:x2十y2= 16,A,B是圆O上的两个动 点，点P(2,0),则矩形 PACB的顶点C的轨迹方 程是 11.已知一圆过P(4,一2)，Q(一1,3)两点，且 在y轴上截得的线段长为4√3，求圆的 方程. --000= 12.已知实数x、y满足方程x2+y2一4x+1 =0. (1)求义的最大值和最小值； (2)求y一x的最大值和最小值； (3)求x2+y2的最大值和最小值. 高考冲浪 1.（2024·北京卷，3)圆x2+y2-2x十6y=0 的圆心到x一y+2=0的距离为（) A.√2 B.2 C.3 D.3√2 2.(2023·上海卷，7)已知圆C:x2+y2一4y- m=0的面积为π，则m==0022 高三数学恐 参考答案 假期作业一 (2)由(1)知，当两直线的斜率都存在时，d=46+3 √+1 技能提升台技能提升 1.D2.C3.A4.C5.BC d=16k+24k+9,(d-16)k2-24k+d-9=0. k2+1 6,ABC[直线1：x-2y一2=0的斜率为子，纵藏距为-1，直 k∈R,.△≥0，即d-25d≤0，d≤25， ..0d5, 线x-2y-1=0的斜率为)，纵藏距为-之，直线x一2y十 ∴de=5,此时k=合 1=0的斛率为2，纵藏距为分，都与直线1的斜奉相等，以 当两直线的斜率都不存在时，d=4,dx=5, 截距不相等，故都与直线L平行，故A,B正确」 此时两直线的方程分别为4x-3y十16=0,4x-3y一9=0. 直线2x十y一2=0的斜率为一2，与直线l的斜率乘积为-1，故 高考冲浪 直线2x十y一2=0与直线1垂直. 1.A[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标为(a, 直线x十2y一1=0的斜率为一合，与直线1的斜率的乘积不 0,所以由2a十0-1=0，解得a=之] 是-1，故直线x十2y-1=0与直线1不垂直.故C正确，D 2.B[由直线y=k(x十1)过定点(-1,0)，要使距离最大，则 错误，故选ABC.] 当y=k(x十1)与(0,1)和（一1,0）的连线垂直时可得最大距 7.{a45°≤a≤135}(-o∞，-1]U[1,+o∞) 离为(0,1)和（一1,0）两点之间的距离d= 8.{a30°<a<907 √(0+1)+(1-0)7=√2，故选B.] 9.x十2y-2=0或2x十3y-6=0 假期作业二 10.(2,2)x+y=0 技能提升台技能提升 11.解：设P(x,y)关于直线1：3x一y十3=0的对称，点 1.D2.A3.D4.A5.AD 为P'(x',y'). 6.ABC[可知直线mx十2ny-4=0过圆心(2,1)， :kpk,=-13=-1,0 x- 有2m十2n-4=0,即n=2-m, 又PP的中点在直线3x一y十3=0上， 则mn=m·(2-m)=-m2十2m=-(m-1)2+1≤1.] 3×12-yy+3=0.② 7.2a8.1 2 2 9.(-o0,-4)10.x2+y2=28. x'= -4x十3y-9,③ 11.解：方法一：设圆的方程为x十y十Dx十Ey十F=0,① 5 联立①②，解得 将P,Q的坐标分别代入①， y-3红+43.④ 5 得4D-2E+F+20=0,@ (1)把x=4,y=5代入③④，得x=-2,y'=7, (D-3E-F-10=0,③ P(4,5)关于直线1的对称点P'的坐标为（一2,7）. 令x=0,由①得y十Ey十F=0,④ (2)用③④分别代换x一y-2=0中的x,y,得关于l对称 由已知y1一y2=4√3，其中y,y是方程④的两根. 的直线方程为二4红+3y二9-3江+4y十3-2=0， .(1-y2)2=(y1十y2)2-4y1y2=E2-4F=48,⑤ 5 5 D=-2,〔D=-10, 即7x十y十22=0. 联立②③⑤解得{E=0,或{E=一8， 12.解：(1)当两直线的斜率都不存在时，方程分别为x=一4，x F=-12,F=4. =0,满足题意； 故所求方程为x2十y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y十 当两直线的斜率都存在时，设方程分别为y=(x十4)与y 4=0. =kx-3,即kx-y十4k=0与kx-y-3=0, 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y一1=0. 由题意得士=4，解得k=所以所浆的直线方程分 √+1 .所求圆的圆心C在直线x一y-1=0上，设其坐标为(a,a 别为7x-24y+28=0,7x-24y-72=0. 1).又圆C的半径长r=CP=√(a-4)+(a+1).① 综上，所求的直线方程为7x-24y十28=0,7x-24y-72= 由已知圆C裁y轴所得的线段长为45，而圆心C到y轴 0或x=-4,x=0. 的距离为a ·43· 快乐限期 000-□ =十()代入0米#两装平方异。-阳 是 0,解得a1=1,a2=5,.r1=√13，r2=√37. 8.解析：由图可得，两圆外切，且均与直线1：x=一1相切.另 4 故所求圆的方程为(x一1)十y2=13或(x-5)2十(y-4)2 过两圆圆心的直线1的方程为y=子，可得1与山交点为 =37. 12.解：原方程化为(x-2)2十y2=3, P(1,一号)由切线定理得，两国另一公切线山进点P, 表示以点C(2,0)为圆心，以√5为 设山：y十号=(x十1)，由点到直线距离公式可得 半径的圆. (1)设义=k,即y=kx, 上1，海释一员斯一京器8尚子两国 √+1 由图可知当直线y=kx与圆相切 外切，因此在公切点处存在公切线l与l垂直，解得1：y= 时，斜率k取最大值和最小值， 35 Rt△A0C中，an∠AOC=B 4x+4: =5, √22-3 Y 故k的最大值为，由对称性知k的最小值为一√. 6引 5 故兰的最大值为，最小值为一尽. (2)设y-x=b,即y=x十b, 由图可知当y=x十b与圆相切时，纵截距b取得最大值和 -21023,4 5678 最小值，此时2一0+b-5,即b=一2士6. √2 故y-x的最大值为一2十√6，最小值为-2一√6 (3)x十y表示圆上点与原点距离的平方，由图知x2十y 答案：4=-1或一或y=一子十（答对其中 之一即可) 的最大值为(OC十√5)2=(2十√)2=7+4√5. 最小值为(0C-√5)2=(2-5)2=7-45. 9,解析：因为=，3，所以AB关于直线y=a的对称直线 2 高考冲浪 为(3-az-2y十2a=0,所以3(a一3)十4士2a≤1，整理可得 1.D[圆x2+y2-2x十6y=0的标准方程为(x-1)2十(y十 √4+(3-a) 3)2=10,圆心坐标为(1，一3)，因此圆心到直线x一y十2=0 12a-2a+6长0，解得号<a≤号 的距离d= 1+3+21 ==3√2.] √T1+(-1) 管案[哈] 2.解析：x2+(y-2)2=m十4，r2=正=1，由题意m十4=1→m 10.(x+1)2+(y+2)2=5 11.解：(1)因为直线1：mx-y十1=0恒过定点N(0,1),且点 =-3. N(0,1)在圆C:z2+(y-2)2=5的内部， 答案：一3 所以直线！与圆C总有两个不同的交点. 假期作业三 (2)由题知C(0,2),设动，点M(x,y), 技能提升台技能提升 当x=0时，M(0,1): 1.B2.B3.C4.C5.AC 当x≠0时，由垂径定理，知MV⊥MC, 6.AD[由圆C:(x-2k十1)十(y-k)2=1,可得圆心 所以2.1=-1， C(2k-1,k),半径为1，故A正确； x 把圆心C4(2k-1,k)的坐标代入2x-y十2=0，得2(2k-1) 整理得十(-2）广=子又0,1D满足此方程， 一k十2=3k=0不恒成立，即直线2x-y十2=0不恒过圆 心，故B错误； 所以孩AB的中点M的轨途方程是x十（一）=子 圆心C(2k-1,k)到直线2z-3y十1=0的距离d不是定 12.解：(1)方法一： 值，而圆的半径为定值，则直线2x-3y十1=0被圆C裁得 (x2+y2=10, 由 的弦长不相等，故C错误； (x2+y2+2x+2y-14=0, 若存在一个圆C与x轴和y轴均相切，则|2k-1=k= 得1 或3， 1,解得=1，故D正确.故选AD.] y=3,{y=-1. ·44·