专题8.3 实数及其简单运算（知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦实数及其运算核心知识点，系统梳理有理数与无理数的概念区分，实数的分类（按定义及与0的大小关系），大小比较方法（数轴、正负、绝对值）及运算规则（继承有理数法则），构建从概念到应用的完整知识支架。 资料以13个题型讲练为核心，含典例与变式，结合中考真题及分层训练（基础夯实、培优拔高）。通过无理数估算培养抽象能力（数学眼光），混合运算提升运算能力（数学思维），实际应用题型强化应用意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题8.3 实数及其简单运算 （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：有理数与无理数 2 知识点梳理02：实数 2 知识点梳理03：实数大小的比较 2 知识点梳理04：实数的运算 2 题型讲练 3 题型1：无理数 3 题型2：无理数的大小估算 3 题型3：无理数整数部分的有关计算 4 题型4：实数概念理解 5 题型5：实数的分类 6 题型6：实数的性质 7 题型7：实数与数轴 8 题型8：实数的大小比较 9 题型9：实数的混合运算 10 题型10：程序设计与实数运算 11 题型11：新定义下的实数运算 12 题型12：实数运算的实际应用 14 题型13：与实数运算相关的规律题 15 中考真题 16 分层训练 20 基础夯实 20 培优拔高 24 知识点梳理01：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点梳理02：实数 有理数和无理数统称为实数. （1）实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 （2）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点梳理03：实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点梳理04：实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 题型1：无理数 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林白山·期中）在下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查无理数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．无理数是无限不循环小数，据此解答即可． 【规范解答】解：A． 是分数，属于有理数，不符合题意； B． 是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； C． 是有限小数，属于有理数，不符合题意； D． ，是整数，属于有理数，不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·云南普洱·期末）下列四个数：，，，．其中是无理数的是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查无理数的识别，熟记无理数定义是解决问题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断各数即可得到答案． 【规范解答】解：，，，，这四个数中是无理数的是， 故答案为：． 题型2：无理数的大小估算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较，掌握立方根、平方根的取值范围判断方法是解题的关键． 先确定每个数的近似值或取值范围，判断哪个数对应的点位于数轴上3和4之间的区域． 【规范解答】解：A、，对应点在2的位置，不在之间，不符合题意； B、，对应点在之间，不符合题意； C、，且，对应点在之间，不符合题意； D、， 对应点在之间，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西安康·期末）请写出一个比小的整数： ．（写一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查无理数的估算，熟练掌握夹逼法是解题的关键，利用夹逼法进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴； ∴比小的整数可以为4； 故答案为：4（答案不唯一） 题型3：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知的算术平方根是3，的平方根等于它本身，是的整数部分，求的立方根． 【答案】 【思路点拨】本题考查了算术平方根与平方根、立方根的定义和估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键． 先根据平方根以及算术平方根的定义列式求出a和b的值，根据可得c的值；把a、b、c的值代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是 【变式训练】（25-26七年级下·四川广元·期中）已知的平方根为，的立方根为2． (1)求a和b的值； (2)若c是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的意义可得，，即可求，的值； （2）先算出的整数部分，再代入求值即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ，， ，． （2）解：， ， 的整数部分为，即， 由（1）得，， ，而的平方根为， 的平方根． 题型4：实数概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【规范解答】解：的相反数是， 故答案为：． 【变式训练】（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等式的性质，不等式的性质，实数的概念，正确表示出S与a之间的关系是解决本题的关键． 先化简求出b与a的关系，c与a的关系，再根据非负数的性质可表示出a的取值范围，进而表示出S的取值范围，由此可求． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， 即，， ∵，，， 即，， 即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，，，，符合题意； 当时，，，，符合题意； ∴，， ∴． 故答案为：． 题型5：实数的分类 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）下列说法中错误的是（  ） A．是整数 B．是有理数 C．是分数 D．的立方根是无理数 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练地掌握实数的各种分类标准是解题的关键． 根据实数分类，无理数的概念，进行辨别即可． 【规范解答】A、∵，且是整数， ∴A正确； B、∵是两个整数的比，属于有理数， ∴B正确； C、∵中含有无理数，无法表示为两个整数的比，故不是分数， ∴C错误； D、∵=，而的立方根是，是无理数（因为3不是完全立方数）， ∴D正确． 综上，错误选项为C． 故选：C． 【变式训练】（2024·湖北·一模）在实数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据整数和分数统称为有理数进行判断即可． 【规范解答】解：在实数中，有理数是， 故选C． 题型6：实数的性质 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）实数的倒数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数、倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键，根据倒数的定义即可得到答案． 【规范解答】解： 的倒数为． 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·云南文山·月考）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查求一个数的绝对值，熟记绝对值定义是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【规范解答】解：， 故答案为：． 题型7：实数与数轴 【典例精讲】（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【思路点拨】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出的范围，再确定点的位置即可选择． 【规范解答】解：， 数轴上的A，B，C，D四个点中，只有A符合， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得的长，即可得到的长，再用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【规范解答】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵在数轴上点A表示的数为1，点M在点A的左侧，且， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 题型8：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）下列各数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 把化简后根据实数的大小比较方法比较即可． 【规范解答】解：， ∵， ∴， ∵最小的是， 故选C． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【规范解答】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型9：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·广西河池·期末）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组． （1）先计算算术平方根，绝对值，立方根，乘方，再计算加减即可； （2）根据加减消元法计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ，得， 解得， 把代入②，得， 原方程组的解是． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·周测）计算：（结果精确到0.01，参考数据：，，） (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根、平方根的运算规则及绝对值的化简方法是解题的关键． （1）先分别计算立方根、平方根对应的项，再合并常数项与根式项，最后代入近似值计算结果 （2）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类二次根式，最后代入近似值计算结果 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 题型10：程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·广西梧州·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【规范解答】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级下·上海·月考）一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是算术平方根和立方根的概念和性质；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【规范解答】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 题型11：新定义下的实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【思路点拨】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m前两位数字之和为4，后两位数字之和为10，称这样的四位数m为“事实数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“伴随数”，并规定，例如：，∵，，∴1234不是“事实数”；，∵，，3128是“事实数”．则，．已知：，（，，，其中a、b、c均为整数），当为“事实数”时，求出所有的值： ，的最大值： ． 【答案】 1346、1364、1328 【思路点拨】本题考查了新定义运算，整式的加减的应用，先求出，再分两种情况：当时，若为“事实数”，则，且；当时，若为“事实数”，则，且；分别计算即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意得：（，，，其中a、b、c均为整数）． 当时，若为“事实数”，则，且． ∴，． 经分析，此时b、c的值可能存在以下4种情况： ①当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ②当时，则．此时，． ③当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ④当时，则．此时，． 当时，若为“事实数”，则，且． ∴，． 经分析，此时b、c的值可能存在以下三种情况： ⑤当时，则（不合题意，舍去）． ⑥当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ⑦当时，则．此时，． 综上：的值有1346、1364、1328． 当，． 当，． 当，． ∴的最大值为， 故答案为：1346、1364、1328；． 题型12：实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）我们知道数轴上的点与实数是一一对应关系，在一条不完整的数轴上，在从左至右有三个点，，，其中，． (1)如图1，若以点为原点，分别写出点表示的数和点表示的数． (2)如图2，若以点为原点，建立平面直角坐标系，在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A表示的数为，点C表示的数为 (2)点P的坐标为或 【思路点拨】本题考查了实数与数轴，实数的运算，平面直角坐标系中点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）根据为原点，则点A、C分别在数轴的负半轴与正半轴上，再结合的长度即可求出A、C表示的数； （2）根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比得，进而得的长，分点P在点C的右边与在点A的左边两种情况，即可求得点P的坐标． 【规范解答】（1）解：由于为原点，，， 则点A表示的数为，点C表示的数为； （2）解：∵三角形与三角形共高，三角形的面积是三角形面积的2倍， ∴； ∵， ∴； 当点P在点C的右边时，，则点P的坐标为； 当点P在点A的左边时，，则点P的坐标为； 综上，满足条件的点P的坐标为或． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【思路点拨】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【规范解答】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 题型13：与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了实数的运算，数字规律探索，找到规律是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期为3的循环规律，根据2025除以3的余数即可确定的值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴序列每3项循环一次：． ∵，余数为0， ∴． 故选C． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分情况，当是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于；然后把的值代入进行计算即可得解． 【规范解答】解：由题意可得：时， ， ， ， 通过观察前面计算出的项， 可以发现：当 为偶数时，， 当为奇数时，， ∵是奇数， ∴； 故答案为：． 1．（2024·广东揭阳·中考真题）如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键． 先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到x、y的值，然后代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2024·河北石家庄·中考真题）若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，立方根，利用夹逼法可得，即得，进而得到，，即得到，再根据立方根的定义即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ， ∴， ∴， 又∵，且是两个连续的整数， ∴，， ∴， ∵， ∴的立方根是 故选：． 3．（2024·全国·中考真题）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【规范解答】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 4．（2024·江苏泰州·中考真题）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如．给出下列关于的结论： ①；②若，则实数的取值范围是；③； ④；⑤当，为非负整数时，有； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号 ） 【答案】① 【思路点拨】本题考查了新定义，熟练掌握新定义，以及一元一次不等式的运用是解题的关键． 根据当为非负整数时，若，则，结合一元一次不等式的运用，以及举反例法，逐个分析判断，即可解题． 【规范解答】解：当为非负整数时，若，则， ， 故①正确； ， ， 解得， 即实数的取值范围是 故②错误； ， ， ，， 不一定成立， 故③错误； ，， ， ，， 则不一定成立； 故④错误； 当，为非负整数时， 假设， 则， 则不一定成立， 故⑤错误； 综上所述，正确的结论有①； 故答案为：①． 5．（2024·陕西汉中·中考真题）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，包括算术平方根，立方根，化简绝对值等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分别计算算术平方根，化简绝对值，立方根，然后进行加减运算即可． 【规范解答】解： 基础夯实 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数：，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数的定义，立方根，算术平方根．根据无理数是无限不循环小数，进行判断每个数是否为无限不循环小数，即可作答． 【规范解答】解：和都是可分化分数的小数，是有理数， ，4是有理数， 是分数，是有理数， （每相邻两个1之间依次多1个0），，都是无限不循环小数， ∴无理数的个数是3个， 故选：C 2．（24-25七年级下·全国·周测）是（    ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．有限小数 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数和有理数，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．根据无理数和有理数的定义分析，判断 为无理数． 【规范解答】解：∵ 是无理数，且 4 是有理数，无理数除以非零有理数的结果仍为无理数， ∴ 是无理数． 故选：C． 3．（24-25七年级下·吉林白山·期末）在实数、、0、、、中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实数的分类，以及有理数的概念． 根据有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，判断每个数是否满足定义，并统计符合定义的个数，即可解题． 【规范解答】解：∵是无理数（5不是完全平方数）， （分数）是有理数， 0（整数）是有理数， 是无理数， （整数）是有理数， （有限小数）是有理数， ∴有理数有4个， 故选：D． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较．由，得，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， 故答案为：<． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，其中，则b的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的运算（利用加法各部分的关系：加数和另一个加数），解题关键是通过移项将b表示为和与的差，再代入计算． 根据已知条件 和 ，通过等式变形求解 的值． 【规范解答】解：由 ，得 ，代入 ，得 ． 故答案为 ：． 6．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【思路点拨】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【规范解答】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了算术平方根、乘方、绝对值的运算，掌握先分别计算各部分运算结果，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、乘方绝对值，再进行有理数加减运算． 【规范解答】解：，，， 则原式 ． 故答案为 ． 8．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，涉及幂运算、立方根、绝对值以及有理数的加减运算．需要分别计算各项：负一的幂、立方根、绝对值，然后按照运算顺序进行合并．解题关键是掌握各项的计算方法：注意，，以及由于，所以． 【规范解答】解：原式． 9．（23-24七年级下·广西北海·期末）（1）计算：； （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组，属于基础题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键． （1）先进行乘方、开方、去绝对值等运算，再进行加减运算； （2）利用加减消元法求解． 【规范解答】（1）解：原式     ．      （2）    解：得：， 解得：， 把代入得： 解得：， 所以此方程组的解为：． 10．（23-24七年级下·重庆永川·期中）计算： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)3 (2) 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根、算术平方根． （1）分别计算绝对值、算术平方根，有理数的乘法，再计算加减； （2）分别计算有理数的乘方、立方根、算术平方根，绝对值，再进行加减计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 培优拔高 11．（24-25七年级下·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【规范解答】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 12．（24-25七年级下·全国·周测）已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【规范解答】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 13．（24-25七年级下·全国·周测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【规范解答】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）点A，B在数轴上相距个单位长度，且线段AB的中点在数轴上表示的数是2，则点A表示的数是 ． 【答案】或 【思路点拨】设点表示的数为，利用中点坐标公式和两点间距离公式建立方程，解绝对值方程即可求解． 本题考查了数轴上的中点公式与两点间距离，掌握数轴上的中点公式与两点间距离是解题的关键． 【规范解答】解：设点表示的数为， ∵线段的中点在数轴上表示的数是2， ∴点表示的数为． ∵点和点相距个单位长度， ∴，即． 解方程得 或 ， 解得 或 ． 故点表示的数为 或 ． 故答案为：或． 15．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）比较大小：① ；② ；③ ． 【答案】 < > < 【思路点拨】本题考查了实数的运算与大小比较． ①比较两个负数的大小，绝对值大的反而小； ②先化简表达式，再比较数值； ③注意运算顺序，指数运算优先于负号． 【规范解答】解：①∵，∴； ②∵，，且，∴； ③∵，，且，∴； 故答案为：①<；②>；③<． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数比较大小，通过比较与4的大小关系，利用平方根的性质进行判断． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故； 故答案为： 17．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，数轴上点为线段的中点，，两点表示的数分别为和，则点所表示的数为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了实数与数轴，正确表示出的长是解题关键． 直接利用已知得出，进而求出的长，进而得出答案． 【规范解答】解：，两点表示的数分别为和， ． 点为线段的中点， ． ． 点在原点的左边， 点所表示的数为． 故答案为：． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)5 (2) (3) 【思路点拨】（1）先计算绝对值、算术平方根、乘法，再将结果进行加减运算； （2）先去掉括号，再化简即可； （3）先分别计算立方根、算术平方根，再依次进行加减运算． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【思路点拨】（1）先分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再对结果进行加减运算； （2）先计算立方根、判断绝对值内式子的正负并化简绝对值、计算算术平方根，再依次进行加减运算； （3）先计算乘方、立方根、算术平方根、判断绝对值内式子的正负并化简绝对值，再按顺序进行加减运算． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【规范解答】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 实数及其简单运算 （知识荟萃+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：有理数与无理数 2 知识点梳理02：实数 2 知识点梳理03：实数大小的比较 2 知识点梳理04：实数的运算 2 题型讲练 3 题型1：无理数 3 题型2：无理数的大小估算 3 题型3：无理数整数部分的有关计算 3 题型4：实数概念理解 3 题型5：实数的分类 4 题型6：实数的性质 4 题型7：实数与数轴 4 题型8：实数的大小比较 5 题型9：实数的混合运算 5 题型10：程序设计与实数运算 5 题型11：新定义下的实数运算 6 题型12：实数运算的实际应用 6 题型13：与实数运算相关的规律题 7 中考真题 7 分层训练 8 基础夯实 8 培优拔高 9 知识点梳理01：有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 【易错点拨】 （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点梳理02：实数 有理数和无理数统称为实数. （1）实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 （2）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点梳理03：实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点梳理04：实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 题型1：无理数 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林白山·期中）在下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·云南普洱·期末）下列四个数：，，，．其中是无理数的是 ． 题型2：无理数的大小估算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西安康·期末）请写出一个比小的整数： ．（写一个即可） 题型3：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知的算术平方根是3，的平方根等于它本身，是的整数部分，求的立方根． 【变式训练】（25-26七年级下·四川广元·期中）已知的平方根为，的立方根为2． (1)求a和b的值； (2)若c是的整数部分，求的平方根． 题型4：实数概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）的相反数是 ． 【变式训练】（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 题型5：实数的分类 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）下列说法中错误的是（  ） A．是整数 B．是有理数 C．是分数 D．的立方根是无理数 【变式训练】（2024·湖北·一模）在实数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 题型6：实数的性质 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）实数的倒数是 ． 【变式训练】（23-24七年级下·云南文山·月考）计算： ． 题型7：实数与数轴 【典例精讲】（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式训练】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 题型8：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）下列各数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 题型9：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·广西河池·期末）（1）计算： （2）解方程组： 【变式训练】（24-25七年级下·全国·周测）计算：（结果精确到0.01，参考数据：，，） (1)． (2)． 题型10：程序设计与实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·广西梧州·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是 ． 【变式训练】（25-26七年级下·上海·月考）一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 题型11：新定义下的实数运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m前两位数字之和为4，后两位数字之和为10，称这样的四位数m为“事实数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“伴随数”，并规定，例如：，∵，，∴1234不是“事实数”；，∵，，3128是“事实数”．则，．已知：，（，，，其中a、b、c均为整数），当为“事实数”时，求出所有的值： ，的最大值： ． 题型12：实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）我们知道数轴上的点与实数是一一对应关系，在一条不完整的数轴上，在从左至右有三个点，，，其中，． (1)如图1，若以点为原点，分别写出点表示的数和点表示的数． (2)如图2，若以点为原点，建立平面直角坐标系，在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 题型13：与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 1．（2024·广东揭阳·中考真题）如果x、y分别是的整数部分和小数部分，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·中考真题）若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·中考真题）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 4．（2024·江苏泰州·中考真题）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如．给出下列关于的结论： ①；②若，则实数的取值范围是；③； ④；⑤当，为非负整数时，有； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号 ） 5．（2024·陕西汉中·中考真题）计算：． 基础夯实 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数：，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·全国·周测）是（    ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．有限小数 3．（24-25七年级下·吉林白山·期末）在实数、、0、、、中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，其中，则b的值为 ． 6．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 8．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算：． 9．（23-24七年级下·广西北海·期末）（1）计算：； （2）解方程组 10．（23-24七年级下·重庆永川·期中）计算： (1)计算：； (2)计算：． 培优拔高 11．（24-25七年级下·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·全国·周测）已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·全国·周测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）点A，B在数轴上相距个单位长度，且线段AB的中点在数轴上表示的数是2，则点A表示的数是 ． 15．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）比较大小：① ；② ；③ ． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 17．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，数轴上点为线段的中点，，两点表示的数分别为和，则点所表示的数为 ． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $