假期作业十一 离散型随机变量的分布列和二项分布-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教B版）

=0022 假期作业十一 离散型随机变量的 天行健，君子以自强不息。 分布列和二项分布 完成日期： 月 日 《思维整合室 wel zheng he shi 0 1 … m 知识梳理 CRCNM CMCN M CMCNM CN CN CN 1.离散型随机变量的分布列 其中m=min{M,n},且n≤V,M≤N,n,M, 若离散型随机变量X可能取的不同值为 N∈N.称上面的分布列为超几何分布列. x1,x2,…x,…,xn,X取每一个值x6(k=1, 如果随机变量X的分布列为超几何分布 2,…,n)的概率P(X=x)=p.则表 列，则称随机变量X服从超几何分布. 4.相互独立事件 I2 Tk In (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互 不影响，则称 (2)若A与B相互独立，则P(BA)= 称为离散型随机变量X的概率分布列，简 P(AB)=P(BA)·P(A)= 称为X的分布列.有时为了表达简单，也用 (3)若A与B相互独立，则A与B,A与B,A 等式 与B也都相互独立. 表示X的分布列， (4)若P(AB)=P(A)P(B),则 2.离散型随机变量分布列的性质 5.二项分布 (1)p6≥0，k=1,2,…,n; (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进 (2)2p4= 行的，各次之间相互独立的一种试验，在这 k=1 种试验中每一次试验只有 种结 3.常见离散型随机变量的分布列 果，即要么发生，要么不发生，且任何一次 (1)两点分布 试验中发生的概率都是一样的， 象下面这样的分布列叫做两点分布列. (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发 生的次数，设每次试验中事件A发生的概率 为p,则P(X=k)= ,此 1一 时称随机变量X服从 ,记为 ,并称p为成功概率. 如果随机变量X的分布列为两点分布列， 自测自查 就称X服从 分布，而称= 1.P(X=x)=pk,k=1,2,…,n 为成功概率， 2.(2)13.(1)两点P(X=1) (2)超几何分布列 4.(1)A、B是相互独立事件(2)P(B) 一般地，在含有M件次品的V件产品中， 任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k) P(A)·P(B)(4)A与B相互独立 CC丛，k=01,2,m,即 5.(1)两(2)Cp(1-p)”(k=0,1,2,…,n) CN 二项分布X~B(n,p) ·27 要点记忆 1 4.已知随机变量服从二项分布B6,3),即 1.离散型随机变量的分布列的作用 P(=2)等于 (1)对于随机变量X的研究，需要了解随机变 A.16 c鼎 80 量将取哪些值以及取这些值或取某一集合 B.243 D.243 内的值的概率，对于离散型随机变量，它的 5.(多选)已知随机变量X的分布列如下表 分布列正是指出了随机变量X的取值范 (其中a为常数)： 围以及取这些值的概率. X (2)利用离散型随机变量的分布列，可以求其 0 3 4 期望和方差. 0.10.2 0.40.2 2.由条件概率P(BA)= P(AB) P(A) 当P(BA) 则下列计算结果正确的是 =P(B),即P(AB)=P(A)P(B)时，事件B A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7 与事件A独立. C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3 3.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生 6.（多选)10名同学中有a名女生，若从中抽 次的概率为P(X=)=Cp(1一)”，k= 取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的 0,1,2…n,其中p是一次试验中该事件发生 概率为则a可能等于 ( 的概率，实际上Cp(1一p)”正好是二项 式[(1一p)+p]”的展开式中的第k+1项. A.1 B.2 C.4 D.8 《技能提升台 7.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取 n tr sheng ta 4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球 技能提升 得1分，设得分为随机变量5，则≥8的概 1.设随机变量X的分布列如下： 率P(≥8)= X 2 3 4 8.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一 1 1 y 个杯子中球的最多个数记为X,则X的分 12 6 3 6 布列是 则力为 9.先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别是 A. 1 c 1 D.12 1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面 2已随机变量X的分布列为：PX=)-次 朝上的点数分别为x,y,记事件A为“x+y 为偶数”，事件B为“x,y中有偶数且x≠ =1,2,…,则P(2<X≤4)等于 y”,则概率P(BA)= A.16 B C.16 5 D. 10.在等差数列{an}中，a4=2,a,=一4，现从 {an}的前10项中随机取数，每次取出一个 3.随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率 数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取 为0.25，则两道选择题至少猜对一道以上的概 数互不影响，那么在这三次取数中，取出的 率约为 数恰好为两个正数和一个负数的概率为 A c号 D.3 ·28· =0022 盒二数学) 11.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙 (2)若从甲箱中任取2个产品放人乙箱中，然 箱的产品中有4个正品和3个次品！ 后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个 (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品 产品是正品的概率 都是次品的概率； ·29· 飞堡快乐假阴 900-= 12.第33届夏季奥林匹克运动会于2024年8 (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大， 月2日至8月18日在法国巴黎举行.为举 “梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明 行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥 理由。 林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队 伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中 预赛规则如下： ①每组队伍先从A,B两类问题中选择一 类，并由两位选手从中各随机抽取一个问 题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的 选手再从另一类问题中随机抽取一个问题 进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合 计答对问题的个数不少于3个，则可进入 高老冲浪 决赛 1.(2024·上海卷，8)某校举办科学竞技比赛， 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛， 有A,B,C3种题库，A题库有5000道题， 已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7， B题库有4000道题，C题库有3000道题. 答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答 小申已完成所有题，他A题库的正确率是 对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B 0.92,B题库的正确率是0.86，C题库的正 类中每个问题的概率均为0.8. 确率是0.72.现他从所有的题中随机选一 (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为 题，正确率是 “梦幻”队答对问题的个数，求X的分 2.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷，12)在信道内传 布列； 输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0 时，收到1的概率为α(0<a<1),收到0的 概率为1一α；发送1时，收到0的概率为 (0<β<1)，收到1的概率为1一3.考虑两 种传输方案：单次传输和三次传输.单次传 输是指每个信号只发送1次；三次传输是指 每个信号重复发送3次.收到的信号需要译 码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即 为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数 多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译 码为1)： () A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1， 则依次收到1,0,1的概率为(1一α)(1一3) B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收 到1,0,1的概率为(1一3)1 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为β(1一3)2+(1一3) D.当0<a<0.5时，若发送0，则采用三次 传输方案译码为0的概率大于采用单次 传输方案译码为0的概率 ·30·三0022 高考冲浪 1.解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法 :(2x-1)°展开式的通项T,+1=C(2x).(- 1)=(-1)'C525-r·x5- 令5-r=3, 得r=2 .x3的系数为：C223(-1)2=80 答案：80 2.解析：本题考查了二项式定理.求特定项系数，T,+1 =C%x6-(-1)=(-1)C6x-',令6-r=3,∴.r =3. .展开式中含x3的系数为（一1）3C8=-20. 答案：一20 3解：为+) 的展开式的通项为T,+1=C 3'（借)=g℃=01,6 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3°C=20. 答案：20 4.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数 的和是(1十1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式 的通项公式是T,+1=Cg·x'·1',令5-r=2,得 r=3,则x2项的系数为C。=10. 答案：10 假期作业十一 技能提升台技能提升 1.C[由2+日+号+日+1，得=] 2.A[P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 1-37 2-16 3.A[每道题精对的概率为0.25=子，则猜错的概 5 高二数学少 由独立事件概率的计算公式得：两道选择题都猜错 的概子×是 所以至少精对一道以上的就奉为1一最一故 选A.] 4.D[知B6,号)P(=)=Cpg, 当=2，n=6,p=号时，有P(=2) =c()1-)=()()器 5.ABD[易得a=0.1,P(X≥3)=0.3，故C错误， 选ABD.] 6BD[由题意知，号C,解得a=2或8.] 1.6 8. 1 2 3 9 1 P 8 1616 11.解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C8 28,这2个产品都是次品的事件数为C=3,所以 这2个产品都是次品的概率为8 3 (2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B 为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为 “从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B为 “从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B, 专件B,事件B,祓光互斥，PB)二=了 P()=餐品PA)是-离所以 PAB)-号PAB)=号，P(AB,)=告所 P(A)=P(B)P(AB)+P(B2)P(A B2 ) PB,)PAB,)-是×号+点×号+0X号 7 -12 飞壁快乐假阴 12.解：(1)根据题意得X的可能取值为0,1,2,3,4， 则P(X=0)=(1-0.7)×(1-0.4)=0.180, P(X=1)=0.7×(1-0.5)×(1-0.4)+(1-0.7)× 0.4×(1-0.8)=0.234, P(X=2)=0.7×0.5×(1-0.4)+(1-0.7)×0.4× 0.8+0.7×0.4×(1-0.5)×(1-0.8)=0.334, P(X=3)=0.7×0.4×0.5×(1-0.8)+0.7× 0.4×(1-0.5)×0.8=0.140, P(X=4)=0.7×0.4×0.5×0.8=0.112, 所以X的分布列为 X 0 2 4 0.180 0.2340.334 0.1400.112 (2)由(1)可知，若先回答A类问题，则“梦幻”队 能进入决赛的概率为：P,=P(X=3)十P(X=4) =0.140+0.112=0.252; 若先回答B类问题，记“梦幻”队答对问题的个数为Y, 则P(Y=3)=0.5×0.8×0.7×(1-0.4)+0.5× 0.8×(1-0.7)×0.4=0.216,P(Y=4)=0.5× 0.8×0.7×0.4=0.112, 则“梦幻”队能进入决赛的概率为P2=P(Y=3) +P(Y=4)=0.216+0.112=0.328, 所以P2>P,所以为使“梦幻”队进入决赛的概率 最大，“梦幻”队应选择先回答B类问题 高考冲浪 1,解析：由题可知，A题库占比为是，B题库占比为 号C题年占比为子，P=最×0.92+号×0.86+ 子×0.72-品 17 答案品 2.ABD[对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法 公式可知AB正确；对于C,三次传输译码为1，则 可能是三次全部译为1，或者有两次译为1，则概率 为CB(1-3)2+(1一3)3，故C错误；对于D,可以 采用特值法或者作差法计算.三次传输方案译为0 的概率为Ca(1一a)2十(1一a)3,单次传输译为0 的概率为1-a,而C号a(1-a)2十(1一a)3-(1-a) =(1-a)a(1-2a)>0,所以D正确.] ·5 000-= 假期作业十二 技能提升台技能提升 1.B[E()=np=6,D(5)=np1-p)=3Pp=2, n=12,P(5=1)=C2 1)12 2 =3·21".] 2.C[由分布列的性质得0.1十a+b+0.1=1, ∴.a十b=0.8, ① 又由E()=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6, 得a+2b=1.3, ② 由①②解得a=0.3,b=0.5, .a×b=0.3×0.5=0.15.] 3.D[该曲线符合正态分布，两个概率值相等，说明 m十m-4=2,解得m=4,故选D.] 2 x+0.1+0.3+y=1, 4.B[由题意可知{ 7x+0.8+2.7+10y=8.9, 解得∫=0.2， 故选B.] y=0.4, 5.AC[根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关 于直线x=以对称，在x=以处取得最大值的连续曲 线：当以一定时，0越大，曲线的最高点越低且较平稳， 反过来，。越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故 选AC.] 6.ACD[因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q =0.1,A正确.由题意，得E(X)=0×0.1+1× 0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2, 所以D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2 2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8, 因此B错误，C正确.因为Y=2X+1,所以E(Y)= 2E(X)+1=2×2+1=5,D(Y)=4D(X)=4×1.8 =7.2,D正确.故选ACD.] 7.0.58.0.369.3.3610.②④ 11.解：由题意知，~B(n,p), P(5=k)=Cp(1-p)”*,k=0,1,…,n, (1)由E(E)=np=3, D()=n1-》=是，