假期作业十 二项式定理-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教B版）

三0022 2(种)站法，其余三名学生任意排列有N2=A=6 (种)排法，则不同站法共有N=N×N2=2×6= 12(种)」 或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各 占7，故有A,故选BCD.] 7.解析：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前 排从“踪琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取 两个，另一种选一个，有CCC2CA=24种排法； 其次，后排有A号=2种排法，故共有24×2=48种 不同的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物，有CCCA =48种排法； 后排有A=6种排法，此时共有48×6=288种排法； 因此，共有48+288=336种排法. 答案：336 8.569.140 10.解析：因为7名志愿者分成3组，人数为2,2,3，有 C×CC=105种分法，所以不同安排方法有105 ×A=630种. 答案：630 11.解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选 法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中 选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理， 共有5十2十7=14（种）不同的选法. (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种， 7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5 ×2X7=70(种)不同的选法. (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自 油画，由分步乘法计数原理知，有5×2=10（种） 不同的选法： 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5× 7=35(种)不同的选法： 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2X 7=14(种)不同的选法. 所以共有10+35+14=59（种）不同的选法. ,高二数学少 12.解：(1)适合题意的选法有C=1716(种). (2)第1步，选出女生，有C种；第2步，选出男 生，有C。种.由分步乘法计数原理知，适合题意的 选法有C×C。=560(种). (3)至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2 名女生，3名女生四类情况. 第1类没有女生，有C种；第2类1名女生， 有C×C种；第3类2名女生，有C×C号种；第4 类3名女生，有C8×C种. 由分类加法计数原理知，适合题意的选法共有 C+C×C+C8×C号+C×C=1568(种). (4)第1步，选出适合题意的6人，有C号×C8种； 第2步，给这6人安排6种不同的工作，有A种. 由分步乘法计数原理知，适合题意的分工方法共 有C号×C8×A8=504000(种). (5)用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生 的情况即是符合题意的选法.而由题意知不可能 6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况，所 以有C3-C=1716-28=1688(种)选法. 高考冲浪 1.解析：本题考查了排列组合的应用. 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人，共 有A·A=288种. 答案：288 2.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异，且 元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数 先研究集合中无重复数字的三位偶数； (1)若个位为0，这样的偶数有A=72种； (2)若个位不为0，这样的偶数有C}·Cg·C⑧= 256种； 所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种. 答案：329 假期作业十 技能提升台技能提升 1.D[因为=C(2x)（-=C2 x10-25(-1)x=C625-(-1)x10-35,所以10 3k=1,所以k=3,所以x的系数为C2-3(一1)3 =-40.] 飞是快乐假期 2.B[令x=1,则a十a1十a2十a3十a4=0,令x=-1, 则a-a1十a2-a3十a4=16,故a十a2十a4=8.] 3.C[(+)的第+1项为T,=C2 令10-3k=4,得k=2..x的系数为C×2 =40.] 4.A[(1-)8(1+√)5=(1-)3[(1-√x)(1 十√)]5=(1-√)3(1-x)5,(1-√E)3的通项公 式为C·(-√E)',其中r=0,1,2,3,(1一x)5的 通项公式为C5·(-x)',其中r=0,1,2,3,4,5, .展开式中x2的系数是C(一1)°×C(-1)2+C( 1)2×C(-1)'=10-15=-5,故选A.] 5.AD[由题意，得T,=Csin'r=20sim7=号 imx=2[0,2]=吾或x=g] 6.AB[A.展开式的二项式系数和为225，令x=1, 则展开式的各项系数和为(3一1)225=2225，故A 正确；B.展开式的通项公式为T,+1=C5·3225 (-E)=C55·(-1)y·3205x5,r=0,1,…, 2025,令r=0,则展开式的常数项为3225，故B正 确，C.令乞=1012，则r=2024,所以x0的系数 为C(-1)0.3=6075,放C错误：D.令号 为整数，则r=0,2,4,6,8,…,2024,即展开式的奇 数项，所以有理项的二项式系数和为 2=224 故D错误.] 7.C[不妨设f(x)=(2x十1)225=a。十a1x十a2x2 十…十a20g5x225, 一方面注意到S2十S1=(a,十a2十a4十…十a224) +(a1十a3十a5+…十a22s)=f(1), 另一方面注意到S2一S1=(a。十a2十a4十…十 a224)-(a1十a3十a5+…+a225）=f(-1), 所以S号-S=f(1)·f(-1)=(2×1+1)225×[2 X(-1)+1]2025=-32025.] 8.240 9.60 ·5 0M-= 10.解析：由题a2=1×C(-1)3+2×C·(-1)2 =8. 令x=1,则a。十a1十a2十a3十a4十a5=0 又ao=2,所以a1十a2十a3十a4十a5=-2. 答案：8一2 11.解：(1)依题意有C:C2=14:3,化简，得(n-2) (n-3)=56,解得n=10或n=-5(不合题意，舍 去)，所以n的值为10. (2)通项公式为T+1=C。(五)0-·(-1) (=-(旷c. 10-2k∈7， 3 由题意得 0≤k≤10， k∈Z, 解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有 理项，它们分别为CG(),心（) c() 12.解：由题意得22m-2”=992,解得n=5. 10 (1①(2红一)”的展开式中第6项的二项式系数 最大， 即T6=C。·(2x)5 (2)设第十1项的系数的绝对值最大， 则T=C(2):（)》 =(-1)·C。·210-·x10-2 Ci。·210t≥C。1·210-+1, C。·20-≥C1·210-1, 得/C≥2C, (2C≥C1, 11-k≥2k, 即 2(k+1)≥10-k, 号<k<号A∈N=3 故系数的绝对值最大的项是第4项， T4=(-1)3C。·22·x=-15360x. 三0022 高考冲浪 1.解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法 :(2x-1)°展开式的通项T,+1=C(2x).(- 1)=(-1)'C525-r·x5- 令5-r=3, 得r=2 .x3的系数为：C223(-1)2=80 答案：80 2.解析：本题考查了二项式定理.求特定项系数，T,+1 =C%x6-(-1)=(-1)C6x-',令6-r=3,∴.r =3. .展开式中含x3的系数为（一1）3C8=-20. 答案：一20 3解：为+) 的展开式的通项为T,+1=C 3'（借)=g℃=01,6 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3°C=20. 答案：20 4.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数 的和是(1十1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式 的通项公式是T,+1=Cg·x'·1',令5-r=2,得 r=3,则x2项的系数为C。=10. 答案：10 假期作业十一 技能提升台技能提升 1.C[由2+日+号+日+1，得=] 2.A[P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 1-37 2-16 3.A[每道题精对的概率为0.25=子，则猜错的概 5 高二数学少 由独立事件概率的计算公式得：两道选择题都猜错 的概子×是 所以至少精对一道以上的就奉为1一最一故 选A.] 4.D[知B6,号)P(=)=Cpg, 当=2，n=6,p=号时，有P(=2) =c()1-)=()()器 5.ABD[易得a=0.1,P(X≥3)=0.3，故C错误， 选ABD.] 6BD[由题意知，号C,解得a=2或8.] 1.6 8. 1 2 3 9 1 P 8 1616 11.解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C8 28,这2个产品都是次品的事件数为C=3,所以 这2个产品都是次品的概率为8 3 (2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B 为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为 “从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B为 “从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B, 专件B,事件B,祓光互斥，PB)二=了 P()=餐品PA)是-离所以 PAB)-号PAB)=号，P(AB,)=告所 P(A)=P(B)P(AB)+P(B2)P(A B2 ) PB,)PAB,)-是×号+点×号+0X号 7 -12火曼快乐期 假期作业十二项式 〈《《思维整合室 wei zheng he shi 知识梳理 1.二项式定理 (a+b)=Ca"+Ca"1b+…+Ca"b+… 十Cb”(n∈N*)这个公式所表示的定理叫 二项式定理，右边的多项式叫(a+b)”的 .其中的系数C(k=0,1,…, n)称为第k+1项的 系数.式中的 Cab叫二项展开式的 ,用T6+1 表示，即通项T+1=Ca”b. 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a 与b的指数的和为 (3)字母a按 排列，从第一项开始，次数 由n逐项减1直到零；字母b按 排 列，从第一项起，次数由零逐项增1直到. (4)二项式的系数从 ,C,一直到 C1, 3.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项 式系数 ,即 (2)增减性与最大值： 二项式系数C,当k<”十时，二项式系数 2 逐渐 。 由对称性知它的后半部分 是逐渐减小的： 当n是偶数时，中间一项C取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C号，C取得最 大值 (3)各二项式系数和：C+C十C2十…十C十… +C= ;Cg+C%+C4+…= C+C+C+…= ·2 90M-= 锲而不舍，金石可镂。 定理 完成日期： 月 日 自测自查 1.展开式 二项式通项公式2.(1)n十1 (2)n(3)降幂升幂(4)C° C" 3.(1)相等 C=C”(2)增大(3)2 2m-1 要点记忆 1.二项式的项数与项 (1)二项式的展开式共有n+1项，Ca"-b是 第k十1项.即k+1是项数，Ca"-b 是项 (2)通项是Tk+1=Ca”b(k=0,1,2,…,n). 其中含有Tk+1,a,b,n,k五个元素，只要知 道其中四个即可求第五个元素， 2.二项式系数与展开式项的系数的异同 在T+1=Ca”b中，C就是该项的二项 式系数，它与a,b的值无关；而Tk+1项的系 数是指化简后字母外的数. 3.二项式定理的应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求 指定的项或指定项的系数等， (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二 项式系数有关的等式：②可证明不等式； ③可证明整除问题；④可做近似计算等. 【《技能提升台 iegt sheng ta司 技能提升 1.在2x- 的二项展开式中，x的系数为 A.10 B.-10 C.40 D.-40 =0022 2.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. 则ao十a2十a4的值为 A.9 B.8 C.7 D.6 的展开式中x4的系数为() x A.10 B.20 C.40 D.80 4.(1一√)8(1十√x)5的展开式中x2的系 数是 () A.-5 B.10 C.-15 D.25 5.(多选)(1十sinx)的二项展开式中，二项 式系数最大的一项的值为；，则x在[0,2x] 内的值可能为 A.晋 B等 c号 n晋 6.(多选)已知(3一√x)2025,则下列结论正确 的是 () A.该二项展开式中各项的二项式系数的和 与各项的系数的和相等 B.该二项展开式中的常数项为322 C.该二项展开式中含x112的项的系数 是-6069 D.该二项展开式中的有理项的二项式系数 的和为22022 7.已知(2x十1)2025=a0十a1x十a2x2+…十 a225x2o25,记S1=a1十a3十a5十…十a22s, S2=a,十a2十a4十…十a224,则S号-S的 值为 () A.-32024-1 B.32024 C.-32025 D.32025-1 8.x2+2 的展开式中常数项是 (用数字作答). - 的展开式中，。项的系数为 10.(2022·浙江卷，12)已知多项式(x+2) (x-1)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4十 a5x5,则a2= ,a1十a2十a3+a4+ as 1.已侧在G-2方】 的展开式中，第5项 的二项式系数与第3项的二项式系数的比 是14：3. (1)求n; (2)求展开式中所有的有理项. 飞燮快乐假期 900- 12.已知（石+x2)2m的展开式的系数和比(3x (2)系数的绝对值最大的项. 1)”的展开式的系数和大992，求 的展开式中， (1)二项式系数最大的项； 高考冲浪 1.(2025·上海卷，4)在二项式(2x一1)5的展 开式中，x3的系数为 2.(2025·天津卷，11)在(x一1)6的展开式 中，x3项的系数为 3.(2024·天津卷，11)在 2+) 的展开式 中，常数项为 4.(2024·上海卷，6)在(x十1)”的展开式中， 若各项系数和为32，则展开式中x2的系数 为 ·26·