假期作业九 两个原理及排列与组台-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教B版）

=0022 但高二数学的 非学无以广才，非志无以成学。 假期作业九两个原理及排列与组合 完成日期： 月 日 《《思维整合室 (2)组合数的定义：从n个不同对象中取出m (m≤n)个对象的 的个数，称 知识梳理 为从n个不同对象中取出m个对象的组 1.两个原理包括：分类加法计数原理和分步乘法 合数，用 表示。 计数原理 2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都 (3)组合数的计算公式：C”= A n！ m(n-m)川 涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们 n(m-1)(m-2)(n-m+D,由于0！= 的区别在于：分类加法计数原理与分类有 ml 关，各种方法相互独立，用其中的任一种方 ,所以C°=1. 法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与 (4)组合数的性质：①C”= 分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步 ②C%+1= 骤都完成了，这件事才算完成 自测自查 3.排列 3.(1)不同顺序(2)所有排列A”(3)n(n (1)排列的定义：从n个 对象中，任取 -1)(n-2).(n-m+1)(4)n!14.(1)不 m(m≤n)个对象，按照一定的 排 同并成一组 (2)所有组合C 成一列，称为从n个不同对象中取出m个 (3)1 (4)CCC 对象的一个排列. 要点记忆 (2)排列数的定义：从n个不同对象中取出m 1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常 (m≤n)个对象的 的个数，称 从三个途径考虑： 为从n个不同对象中取出m个对象的排 (1)以对象为主考虑，即先满足特殊对象的要 列数，用 表示 求，再考虑其他对象； (3)排列数公式：A”= (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要 (4)全排列：n个不同对象全部取出的一个排 求，再考虑其他位置； 列，叫做n个对象的一个全排列，A”=n·(n (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数， -1)·（n-2)·…·2·1= .排 再减去不合要求的排列或组合数， 列数公式写成阶乘的形式为A”= 2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (n-m)川，这里规定0！= n (1)特殊元素优先安排； (2)合理分类与准确分步； 4.组合 (3)排列、组合混合问题先选后排； (1)组合的定义：从n个 对象中取出 (4)相邻问题捆绑处理； m(m≤n)个对象 ,称为从n个不 (5)不相邻问题插空处理； 同对象中取出m个对象的一个组合. (6)定序问题排除法处理； ·21 火堡快乐假期 00= (7)分排问题直排处理； 6.（多选)甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站 (8)“小集团”排列问题先整体后局部； 成一排合影留念.要求老师必须站在正中 (9)构造模型； 间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法 (10)正难则反，等价条件. 《技能提升台 种数为 ( Ji neng ti sheng tai 技能提升 A.A:-A B.A-CA 1.为庆祝中华人民共和国成立76周年，某校计 C.CIC2A3 D.ZA: 划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目 不排在第一个，则节目安排的方法数为( 7.杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆” A.9 B.18 的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗 C.24 D.27 址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表 2.为落实立德树人的根本任务，践行五育并 世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥 举，某学校开设A,B,C三门德育校本课程， 现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课 物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将 程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有 这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且 一位同学参加，则不同的报名方法有( 每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数 A.54种 B.240种 共有 (用数字作答). C.150种 D.60种 3.5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中 8.若在如图1的电路中，只合上一个开关可以 间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法 接通电路，有 种不同的方法；在如 的种数为 图2的电路中，合上两个开关可以接通电 A.24 B.36 路，有 种不同的方法。 C.60 D.72 4.(2023·全国乙卷，7)甲、乙两位同学从6种 课外读物中各自选读2种，则这两人选读的 课外读物中恰有1种相同的选法共有 图1 图2 A.30种 B.60种 9.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天 C.120种 D.240种 5.(多选)已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同 参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同 学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组； 的安排方案共有 种（用数字作答） ②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项 10.某高校选派7名志愿者去参加2023年杭 活动；③从a,b,c,d中选出3个字母；④从1,2， 州亚运会志愿者服务活动，已知这7名志 3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两 位数.其中是排列问题的是 愿者将去三个不同场馆服务，每个场馆至 A.① B.② 少2名志愿者，每名志愿者只到一个场馆 C.③ D.④ 服务，则不同安排方案有 种. ·22· =0022 高二数类) 11.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7 12.有8名男生和5名女生，从中任选6人. 幅不同的水彩画， (1)有多少种不同的选法？ (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同 (2)其中有3名女生，有多少种不同的 的选法？ 选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅 (3)其中至多有3名女生，有多少种不同的 布置房间，有几种不同的选法？ 选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布 (4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6 置房间，有几种不同的选法？ 种不同的工作，共有多少种不同的分工 方法？ (5)其中既有男生又有女生，有多少种不同 的选法？ 高考冲浪 1.(2025·上海卷，9)4个家长和2个儿童去 爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列 的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 2.(2024·上海卷，10)设集合A中的元素皆 为无重复数字的三位正整数，且元素中任意 两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最 大值为 ·23·飞壁快乐假阴 12.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，一8)， .(-8)2=2pX8. .2p=8,.抛物线方程为y2=8x. (2)由直线l2与11垂直，可设直线l2:x=y十m, A(y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点 为M. y=8, 由 得y2-8y-8m=0, (x=y+m, △=64+32m>0,∴.m>-2.y1十y2=8, y1y2=-8m, ,==m. 64 由题意可知OA⊥OB, 即2x1x2十y1y2=m2-8m=0, .m=8或m=0(舍)，.直线l2:x=y十8，M(8,0). 故SaB=SAnB十SaRn=号·FM·y一为|= 3√(y+2)-4y2=245. 高考冲浪 1.ACD[l恰为抛物线的准线， y 由抛物线定义可知A选项正 D 确.设∠AFx=0,连接AE易 知△ADE≌△AFE,. 0 ∠DAE=∠FAE-Z∠FAD =AE=AF cos 2 (1-cos 0)cos2 IAB=|AF|+|BF|=1-6o99+1+c0s0 品。选预B结定 1AB1=2≥2力=6，选项C正确； sin0 |AE·|BE|= 18 (1-cos 0)cos2 (1+cos 0)cos 0+元 2 sin0 ≥18，选项D正确.故本题正确选项为ACD.] 90M= 2.C[由直线y=-2x十2知F(1,0),所以=1，p 4) =2,所以抛物线方程为y=4x,准线为x=一1，所以 B(-1,4),所以yA=4,代入抛物线方程得A(4, 40,所以AF=台+xA=1十4=5.] 假期作业九 技能提升台技能提升 1.B[由题意，先从后面3个节目中选择一个安排A 节目，然后其它3个节目任意排在剩下的3个位 置，共有C3A=18种方法，故选B.] 2.C[根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后 分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解」 根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A,B,C三 门德育校本课程， 每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需 要分三组，有两类情况， ①三组人敦为1,13，此时有CCC.A=60种， A @三组人数为221，此时有SC9·心=90种。 所以共有60十90=150种.] 3.C[由题意可知，有的5个座位，如图所示 12345 先安排甲：①甲坐1或5，有2种坐法，则乙有3种 坐法，剩下的3名同学有A=6种坐法，共有2×3 ×6=36种坐法；②甲坐2或4，有2种坐法，则乙 有2种坐法，剩下的3名同学有A=6种坐法，共 有2×2×6=24种坐法.所以这5名同学坐成一排 的不同坐法共有36十24=60（种）.故选C.] 4.C[首先确定相同的读物，共有C。种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5 种读物里，选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式，则共有C·A=120(种).故 选C.] 5.AD[由排列的定义知①④是排列问题.] 6.BCD[间接法：四名同学全排再去掉甲与老师相 邻的情况为A一CA。 直接法：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间， 甲同学从两端中任选一个位置，有N,=C·C= 三0022 2(种)站法，其余三名学生任意排列有N2=A=6 (种)排法，则不同站法共有N=N×N2=2×6= 12(种)」 或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各 占7，故有A,故选BCD.] 7.解析：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前 排从“踪琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取 两个，另一种选一个，有CCC2CA=24种排法； 其次，后排有A号=2种排法，故共有24×2=48种 不同的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物，有CCCA =48种排法； 后排有A=6种排法，此时共有48×6=288种排法； 因此，共有48+288=336种排法. 答案：336 8.569.140 10.解析：因为7名志愿者分成3组，人数为2,2,3，有 C×CC=105种分法，所以不同安排方法有105 ×A=630种. 答案：630 11.解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选 法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中 选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理， 共有5十2十7=14（种）不同的选法. (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种， 7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5 ×2X7=70(种)不同的选法. (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自 油画，由分步乘法计数原理知，有5×2=10（种） 不同的选法： 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5× 7=35(种)不同的选法： 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2X 7=14(种)不同的选法. 所以共有10+35+14=59（种）不同的选法. ,高二数学少 12.解：(1)适合题意的选法有C=1716(种). (2)第1步，选出女生，有C种；第2步，选出男 生，有C。种.由分步乘法计数原理知，适合题意的 选法有C×C。=560(种). (3)至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2 名女生，3名女生四类情况. 第1类没有女生，有C种；第2类1名女生， 有C×C种；第3类2名女生，有C×C号种；第4 类3名女生，有C8×C种. 由分类加法计数原理知，适合题意的选法共有 C+C×C+C8×C号+C×C=1568(种). (4)第1步，选出适合题意的6人，有C号×C8种； 第2步，给这6人安排6种不同的工作，有A种. 由分步乘法计数原理知，适合题意的分工方法共 有C号×C8×A8=504000(种). (5)用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生 的情况即是符合题意的选法.而由题意知不可能 6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况，所 以有C3-C=1716-28=1688(种)选法. 高考冲浪 1.解析：本题考查了排列组合的应用. 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人，共 有A·A=288种. 答案：288 2.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异，且 元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数 先研究集合中无重复数字的三位偶数； (1)若个位为0，这样的偶数有A=72种； (2)若个位不为0，这样的偶数有C}·Cg·C⑧= 256种； 所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种. 答案：329 假期作业十 技能提升台技能提升 1.D[因为=C(2x)（-=C2 x10-25(-1)x=C625-(-1)x10-35,所以10 3k=1,所以k=3,所以x的系数为C2-3(一1)3 =-40.]