假期作业一 空间向量及其运算-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教B版）

=0022 高二数学) 假期作业一 空间向量及其运算 〈《思维整合室 (4)向量垂直的坐标表示 wel zheng he shi 知识梳理 a⊥b台 =0. 1.空间向量的概念 (5)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式 (1)相等向量 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 的向量叫相等向量. lal= (2)共线向量或平行向量 bl= 如果两个非零向量的方向相同或者相反， cos〈a,b〉= 则称这两个向量 两个向量a和 (6)空间两点间的距离公式 b平行，记作 ,两个向量平行也称 设A(z1y1,之1)，B(x2y2,之2)，则 为两个向量 |AB|= 2.两个向量的夹角 (1)a,b是两个非零向量，则其夹角记为 自测自查 ,范围是 1.(1)大小相等、方向相同(2)平行a∥b (2)若(a,b)=90°，则称a与b 共线2.(1)(a,b)[0,π](2)垂直a⊥b ,记作： 3.|alblcos04.(1)|acos0(2)0 3.公式：a·b= (3)a·a5.略 4.性质： 要点记忆 (1)a·e= (其中e为单位向量)； 空间向量数量积运算与运算律 (2)a⊥b,则a·b= ,反之也 成立； 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分 (3)|a|2= 配律及数乘结合律，不满足： 5.坐标运算 (1)消去律：即由a·b=b·c不能推出a=c, 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3） 即向量不能约分； (1)a+b= (2)乘法结合律：即(a·b)c=a(b·c)不一定 a-b= 成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线 Aa= 的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向 a·b= 量，但c与a不一定共线， (2)设A(x1y1),B(x2y2z2), 《技能提升台 I neng ti sheng tai 则AB= 技能提升 (3)向量平行的坐标表示 1.若△ABC中，∠C=90°，A(1,2,-3k), a∥b(b≠0)台 B(-2,1,0),C(4,0,一2k),则k的值为( 或当b与三条坐标轴都不平行时，a∥b A.W10 B.-√10 台 C.25 D.士√10 火堡快乐假翻 00= 2.设O是△ABC的外心，则AO、BO、CO是 8.在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cosx ( +1,2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3), A.相等向量 B.平行向量 其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂 C.模相等的向量 D.起点相同的向量 直，x的值为 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一 9.若A281-1)c(-218)是 点0,0Mi=x0A+号O店+}0元，则x的 平面a内的三点，设平面a的法向量a= 值为 (x,y,2),则x:y:之= A吉 10.如图在正三棱锥P一ABC c D.0 中，AB=PA=2,则(AP, 4.若向量a=(2,2,3),b=(一1,2,1)，c=(0, BC)= ;〈PA, 1,1),则a·(b+c)= AB)= A.5 B.8 C.10 D.12 11.已知平行四边形 5.我国古代数学名著《九章 ABCD,从平面ABCD外一点O引向量 算术》中，将底面为矩形 OE=kOA,OF=kOB,OG=kO元，Oi= 且一侧棱垂直于底面的 四棱锥称为阳马.如图所 kOD. B 示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平 面ABCD,且PE=PC,若AB=a,AD= b,AP=c,则BE= A5bc -4a-4{ (1)求证：四点E,F,G,H共面； 5c B.5a+1b 4 4 41 (2)平面ABCD∥平面EFGH. C.ja-e D-a+b+。 3 6.(多选)以下四个命题中，不正确的是() A.若0币=0+号O店，则卫、AB三点 共线 B.△ABC是直角三角形的充要条件是AB· AC=0 C.设{a,b,c}是空间一个基底，则{a+b,b十 c,c十a}构成空间的另一个基底 D.I(a·b)cl=la·|bl·|c 7.在空间四边形ABCD中，AB·CD十BC· AD+CA.BD= ·2· =0022 富二致学型) 12.在底面是矩形的四棱锥P一ABCD中，PA (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. ⊥底面ABCD,点E,F分别是PB,PD的 中点，PA=AB=1,BC=2. (1)求证：EF∥平面ABCD: 高考冲浪 1.（2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0, 1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= （) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k), a∥b,则k的值为 3.(2023·新课标Ⅱ卷，13)已知向量a,b满足 1a-b|=√3，|a+b|=|2a-b|,则1b ·3…=0022 含二数学 参考答案 假期作业一 F本-（合，10）丽-(-120，F后励，即 技能提升台技能提升 EF∥BD. 1.D2.C3.A 又BDC平面ABCD,EF丈平面ABCD,所以EF 4.C[b+c=(-1,2,1)+(0,1,1)=(-1,3,2), ∥平面ABCD. a=(2,2,3),.a·(b+c)=(2,2,3)·(-1,3,2) =-2+6+6=10.] (2)由(1)可知AP=(0,0,1),AD=(0,2,0), 5.D[根据向量线性运算原则求解即可. DC=(1,0,0), 由题意，PE-P心-c-护)-子AC-是 因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0,AD·DC =(0,2,0)·(1,0,0)=0, -+ai)-a护=a+6-c,P店 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. =AB-AP=a-c, 又AP∩AD=A,所以DC⊥平面PAD. 则B成=p呢-PB-=a+}b-子c-(a-e) 因为DCC平面PDC,所以平面PAD⊥平 面PDC. a+ib+3c.] 3 高考冲浪 6.ABD[只有C正确.] 1.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4 7.08.5或号9.2：3：(-4)10.90°120° 十x2-4x=0,解得x=2.] 2.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 11.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 答案：15 ..AC=AB+AD, :EG=OG-OE=k.O元-k.OA=k(O元-OA) 3.解析：由a+b=2a-b,得a2=2a·b; =kAC=k(AB+AD) 由a-b=√5，得a2-2a·b十b=3,即b=3, =k(OB-OA+0D-OA)=OF-OE+OH-OE |b=√5. =EF+EH, 答案：√3 ∴E,F,G,H共面； 假期作业二 (2):E京=O京-O正=k(OB-OA)=k·AB, 技能提升台技能提升 又：EG=k·AC,.EF∥AB,EG∥AC, 1.A 2.D 3.C 4.D 5.ABC 6.ABD 又AB∩AC=A, 所以，平面ABCD∥平面EFGH. 青 9.√258 1a.号 12.证明：(1)以点A为原，点，AB所 11.解：以D为原点，建立如图所示 在直线为x轴，AD所在直线为y 的空间直角坐标系，则D(0,0, 轴，AP所在直线为之轴，建立如 0),A(1,0,0),B(1,1,0) 图所示的空间直角坐标系A xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0), 1,小N(301 C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).点E,F分别是 (1 PBPD的中点，F01,2)E合0，) i-(日20F元=（合0 ·39