10.3 直线与椭圆的综合问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线与椭圆综合问题，涵盖弦长面积、中点弦、定点定线等7大高考核心题型，按问题类型构建知识网络，通过方法提炼梳理考点，典例精讲指导解题策略，强化训练进行真题演练，形成系统化复习链条。 讲义突出数学思维与创新意识培养，如定点问题采用“特殊到一般法”引导学生先猜后证，中点弦问题通过点差法强化运算推理能力。设置分层练习配合通性通法总结，帮助学生高效掌握解题规律，提升数学语言表达与问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

§10.3 直线与椭圆的综合问题 目录 题型1：弦长与面积问题 2 题型2：中点弦与点差法 14 题型3： 定点定线问题 23  定点问题 23  定线问题 30 题型4：定值问题 37  长度或距离为定值 37  斜率或代数式为定值 46  几何图形的面积为定值 57 题型5：最值、范围问题 62 题型6：证明、探索问题 86  证明问题 86  探索性问题 119 题型7：椭圆中的切线问题 141 【强化训练】 157 题型1：弦长与面积问题 方法提炼 (1) 直线与椭圆相交的弦长问题 ①若直线斜率不存在，可以直接将直线方程(一般方程中带有字母参数)代入椭圆方程,得交点坐标,进而求相交弦问题。直接求解此类问题的情况较少,一般是在求直线方程的有关问题中,分类讨论此种情况,注意在解答时不要漏解,同时注意检验是否符合题意。 ②若直线斜率存在，直线方程为，与椭圆的两个交点为,则相交弦长 （其中为的系数）. (2) 与焦点弦有关的结论 ①直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则. ②椭圆中最短焦点弦为通径长为. (3) 直线与椭圆的三角形面积 1　 通法：，其中弦长和距离待求； 2　 已知三角形的两边及其夹角：； 3　 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型。 （i）点P在x轴上，直线交椭圆于A,B两点，交x轴于点C， A,B是在x轴异侧 A,B是在x轴同侧 不管A,B在x轴同侧还是异侧，成立.类似地，若点P在y轴上可得 （ii）点P在x轴上，倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点，交x轴于点C， A,B是在x轴异侧 A,B是在x轴同侧 不管A,B在x轴同侧还是异侧，成立. ④三角形面积坐标公式：设平面上两个点和的坐标分别为，为坐标原点，则。 【例1.1.】 过椭圆的左焦点F作倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据椭圆与直线的位置关系，和椭圆的基本性质，求出直线解析式，联立方程组根据韦达定理弦长公式求出结果即可. 【详解】解：由，得，左焦点为． 则过左焦点F，倾斜角为直线l的方程为． 代入，得， 设，则， 又， 根据弦长公式得：， 且， ， 故选：C． 【例1.2.】 已知椭圆C：的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点，若点P在C上，且的最小值为 (1)求C的方程； (2)若点Q在直线上，且，，求点P的坐标. 【答案】(1)； (2)或或或 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）设出点P的坐标，根据的最小值为，运用向量数量积的坐标运算法则算出，结合椭圆的离心率为，求出a、b的值，进而可得椭圆C的标准方程； （2）设，，根据直线的斜率公式求出直线BQ的斜率，结合，可得BP的斜率为，然后根据运用弦长公式建立关于的方程，算出，进而求出点P的坐标． 【详解】（1）根据题意，可得，， 设，由，可得， 则， 因为，可得，当时，取得最小值， 所以，即，结合离心率，可得，， 椭圆C方程为； （2）由得，，设，， 根据题意，可知直线BQ的斜率k存在且不为零，且， 因为，所以直线BP的斜率为， 可得，， 因为，所以，代入C的方程，解得或， 当时，代入椭圆C方程解得；同理当时，求得 所以点P的坐标为或或或 【例1.3.】 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的参数及范围、根据弦长求参数 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【详解】（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 （2）由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. （3）由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ，为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 【例1.4.】 已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】(1)利用抛物线方程可求出，再由短轴长可求出，进而求得的值，可写出椭圆的方程； (2)将直线分三种情况讨论：斜率不存在时，斜率为时和斜率存在且不为时，再利用是以为底边的等腰直角三角形进行求解即可. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 椭圆的左焦点为，即， 椭圆的短轴长为，，即，， 椭圆的方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，不合题意；    当直线的斜率为时，：， 此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，满足题意；    当直线的斜率存在且不为时，设：，    由，得， ，， ， 设的垂直平分线方程为， 由，得， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 化简得，，或(舍)，：， 综上，直线的方程为或. 【例1.5.】 已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）短轴长为2得，由椭圆定义可得，，由即可求得，进而写出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程利用韦达定理得到，，从而得到，，求出的中点坐标代入直线方程可得答案. 【详解】（1）因为短轴长为2，所以， 因为， 所以，， 又因为轴，所以， 则，且，解得， 则椭圆的标准方程为. （2）设，则，， 联立，整理得， 则，，则， 直线：， 令，得， 故，，， 则的中点坐标为， 由于与的面积相等，故到直线的距离相等， 因此的中点在上， 可得，， 则，解得，又，所以. 【例1.6.】 已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点． (1)若椭圆C的离心率是，求b的值； (2)设的面积是，的面积是，若，时，求t的值； (3)若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方． 【答案】(1)的值为或 (2)1 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）分，两种情况结合离心率计算式可得答案； （2）联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得.结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案； （3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得大小，又由题意可得大小，即可证明结论. 【详解】（1）因为椭圆的离心率是. 当时，，得； 当时，，得； 所以的值为或； （2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在， ，直线的方程，设． 则. ，直线的方程，设． 则. 由图，， 注意到，则. 又，同理可得 .则 （3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在， ，直线的方程，设． 则 . ，直线的方程，设． 则 . 则 .又在椭圆内部，则，故. 又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方． 题型2：中点弦与点差法 方法提炼 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出，，中点，直线的斜率k，将点A，B代入椭圆的方程，两式相减，整理得. 【例2.1.】 已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为 ． 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据韦达定理求参数 【分析】设直线为，，推出，联立椭圆方程，设，则，并求出的坐标，线段的中点为线段的中点，从而得到方程，求出答案. 【详解】设直线为，， 若，此时均与原点重合，，但，故不合要求， 所以， 与联立得， ，解得， 设，则，故， 中，令得，故，令得，故， 的中点坐标为， 是线段的三等分点，故线段的中点为线段的中点， 故，解得，负值舍去. 故答案为： 【例2.2.】 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 【例2.3.】 已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】椭圆的焦半径与焦点弦问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、椭圆中的定值问题 【分析】设点，，求出和，由条件得，依次求得线段的中点坐标和其中垂线斜率，写出中垂线方程，令，求得点横坐标即得. 【详解】 如图，由题意知，设，， 根据点A，B在C上，则，， 所以， 同理可得，所以， 所以， 因线段的中点为，， 则的垂直平分线的斜率为， 又由，，作差化简得：， 则线段垂直平分线的方程为， 令，得：， 解得，所以. 故选：A. 【例2.4.】 已知椭圆过点分别为椭圆的左右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点（点在第一象限），是椭圆上异于的点，直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； (3)若直线和分别交椭圆于点，且直线的斜率为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3). 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的参数及范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆中直线斜率之积为定值，求出参数之间的等量关系，待定系数法求出椭圆标准方程. （2）根据椭圆与直线的位置关系中的中点弦的用法，和韦达定理相结合，求出直线斜率的范围. （3）根据椭圆与直线的位置关系和韦达定理，求出直线斜率满足条件时的直线的斜率. 【详解】（1）设，，设，则，，且，， 两式相减得：， 可知，即． 设椭圆的方程：，已知椭圆过点则，所以椭圆的标准方程：. （2） 如图所示，椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，设，线段的中点，  则，由题意知  ， 两式作差，变形可得：，即，又， 解得，因为线段的中点在椭圆的内部，所以，解得或， 综上可知，的取值范围为：. （3） 如图所示，已知得，不妨设，所以直线的方程为：（其中）， 与椭圆方程联立，消去得， 由韦达定理，所以， 故； 同理可得：，， 所以，解得. 所以直线的斜率为. 【例2.5.】 已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)，离心率 (2) 【难度】0.15 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由直线方程确定，进而可求解； （2）设方程为，点，联立椭圆方程，结合韦达定理得到的坐标为，再由直线：，直线：．得点．再由线段的中点为，得，化简得到，进而可求解. 【详解】（1）因为直线与坐标轴交点为和， 所以． 由，解得， 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 由题意，直线的斜率存在，故设其方程为， 设点， 由得， 所以． 所以点的横坐标，纵坐标． 结合直线过坐标原点，可得直线的方程为． 令，得点的坐标为． 当时，显然点不在轴上． 则直线：，直线：． 令，得点． 由线段的中点为，得， 整理，得， 即， 化简，得． 由，得． 当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合）， 处为中点，且， 在中，，则直线的方程为， 由的中点为，则，即，故， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，的取值范围为. 【例2.6.】 已知椭圆，为坐标原点，点分别在直线与上，是上一点，四点构成平行四边形． (1)证明是定值，并求该值； (2)求平行四边形面积的最大值； (3)一族直线与交于点，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程． 【答案】(1)证明见解析，定值为 (2) (3)证明见解析， 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据四边形为平行四边形可构造方程组，利用点坐标表示出，结合两点间距离公式化简可得结果； （2）根据正余弦齐次式可求得，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果； （3）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和中点坐标公式可表示出线段中点坐标，由此可求得斜率和中点所在直线方程，化简得到结果. 【详解】（1）设，，，又， 四边形是平行四边形，则，， ， 在椭圆上，，， 是定值，且该定值为. （2）设直线的倾斜角为，则， ，， 或，，， 由（1）知：在中，由余弦定理得：， （当且仅当时取等号）， ，则当时，取得最大值， 平行四边形面积的最大值为. （3）设，，联立得：， 则，， ，中点为， 任取不同于的弦，同理可得：中点为， 直线的斜率， 直线的方程为：，即， 任意弦的中点均在直线上，即每条弦均被定直线平分． 题型3： 定点定线问题 · 定点问题 方法提炼 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1) 引进参数法： 把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数，把常量当作未知数，把方程一端化为零,即化成的形式(这里把常数当作未知数)；既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,即，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 (2) 特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在. 【例3.1.】 已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）（i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 【例3.2.】 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，且过点，过原点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若点在第一象限，过点作直线的垂线，垂足分别为，求证：； (3)若点关于轴的对称点为，点的坐标为（4，0），直线交于点，探究：直线是否过定点，若是，请求出定点，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求椭圆中的弦长、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由题意可得和关系式，求解可得椭圆方程； （2）法一：设，则，由，可得，可求得范围；法二：设，则，求得直线的方程，求得，求得，进而可求得范围； （3）设，设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，利用直线的方程，可求定点坐标. 【详解】（1）由题意得，，解得， 故椭圆C的方程为； （2）法一：设，则， 因为分别为椭圆的左、右焦点，所以， 则， 所以. 因为， 所以，即. 法二：设，则， 易得直线的方程为， 即， 则. 同理可得，直线的方程为，即， 则. 所以. 因为，且在上单调递减， 所以，即. （3）设，则， 由题意得，直线斜率不为0，故设直线的方程为. 联立，消去，整理得， 由，得， 则. 直线的方程为， 由对称性令，得 所以直线过定点，且定点坐标为. 【例3.3.】 已知椭圆的焦距为4，上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且为椭圆上两个不同的动点（均不与重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若为的垂心，求直线的方程； (3)若是的角平分线，问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由； 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由已知可得，进而可求得，可求椭圆方程； （2）由，可求得，设直线方程为：，利用根与系数的关系可求得的值； （3）设，直线，利用点到直线的距离公式可求得点在直线，同理可求得点也在直线上，可得直线的直线方程，进而可求定点. 【详解】（1）由题：，故 又，故，从而 因此椭圆方程为： （2）由（1）知： 由题：为的垂心，所以且， 则必有，设直线方程为： 联立直线与椭圆：得： 令，解得：，由韦达定理： 则，故， 即： 整理得：， 将代入化简得：，解得或 当时，直线过点，不符合题意，舍去 当时，满足，符合题意. 故直线方程为： （3）设则 因为直线的斜率必存在，所以直线，即： 设到直线与的距离均是，从而 平方得：， 又由于，故， 整理得：即点在直线 同理：点也在直线上 故直线的方程为 将其按照参数进行整理： 令，解得，从而定点坐标为. · 定线问题 方法提炼 圆锥曲线动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型， (1) 设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2) 待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数. (3) 面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”. 【例3.4.】 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据离心率得到，将代入椭圆方程，待定系数法求出椭圆方程； （2）设直线AB的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据点B，P，D共线，得到方程，求出，得到，，而，所以，可得，而，故，又，所以，得到答案. 【详解】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 【例3.5.】 已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是，直线方程为，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线 【分析】（1）由已知得到关于的方程，解得，然后求解，即可得椭圆方程； （2）①由已知可得，根据两点间距离公式可得，代入，由基本不等式即可求解；②设直线：，，与椭圆方程联立由韦达定理可得，由已知可得，的方程，联立可得，将直线的方程与直线联立即可求解. 【详解】（1）由已知，解得， 所以，所以椭圆方程为； （2）①因为切线交轴于点，所以，， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； ②由已知设直线：，， 由消元得， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 所以 ， 即点，所以直线的方程为， 与直线联立，得， 因为，所以，代入上式可得 ， 即，解得， 即点在直线上. 【例3.6.】 平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． (1)求点Q的轨迹E的方程； (2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点H在一条定直线上，直线方程为． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定直线 【分析】（1）由椭圆的定义确定Q的轨迹，得出求解即可； （2）设，，，，解法一，根据向量坐标运算化简可得，设直线的方程为：，联立椭圆方程，根据根与系数的关系结合化简可得；解法二，设直线方程为，同解法一建立纵坐标间关系，化简可得，当直线斜率不存在或斜率为0时，验证即可. 【详解】（1）如图， 由题意知，， 所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆． 设椭圆的方程为， 则，，， 所以椭圆方程为． （2）如图， 解法一： 设，，，， 由可得， 则，即①. 由可得 则，即②， 所以，整理得③. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得， 消去得， ，， 代入③得，又因为，所以． 直线的斜率不存在时，不妨取，， 则，，则，，解得， 综上可得，点在一条定直线上，直线方程为． 解法二：设，，，， 由可得， 则，即①. 由可得， 则，即②， 所以，整理得③. 当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为， 联立，消去得， ，，代入③得. 当直线的斜率为0时，，， 则，恒成立，点H在上也成立， 综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为． 题型4：定值问题 · 长度或距离为定值 方法提炼 常见问题类型及解法： (1) 证明弦长为定值，一般用直接求解法，即先利用弦长公式将待证明的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值. (2) 证明点到直线的距离为定值，先用点到直线的距离公式写出距离的表达式，然后通过其他条件（如该点在某种轨迹上，或直线满足某种条件）来化简，有时需要结合联立后判别式（相切条件）或其他几何关系来消参. (3) 证明距离的乘积或商为定值，先用两点间的距离公式将涉及的线段表示出来，然后利用韦达定理整体化简，最终消去参数.对于弦长可先求其平方，化简得到常数后再开方. 【例4.1.】 已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求C的标准方程； (2)直线与C交于两点，且以为直径的圆过原点O．证明：原点O到直线l的距离为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用椭圆的基本性质，结合已知条件列方程求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，将已知“以为直径的圆过原点O”转化为“”，结合韦达定理、点到直线的距离公式运算即可证得. 【详解】（1）由题意可得解得 所以C的标准方程为． （2） 如图，设点， 由得， 所以， 故， 则， 因为以为直径的圆过原点O，所以， 即，即， ，化简得，即， 又因为原点O到直线l的距离， 所以，即． 故原点O到直线l的距离为定值． 【例4.2.】 已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1) (2)（i）; （ii）. 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由长半轴及离心率可计算得，进而得到椭圆方程； （2）（i）运用点差法可以得到弦所在直线的斜率与弦中点与坐标原点连线所在直线的斜率之积为定值，进而发现弦的中点在定直线上，再运用正弦定理得到两边之比不变； （ii）已知的大小，角的一边的斜率，可运用斜率夹角公式得到另一条边的斜率，再将直线与联立得到点坐标，代入椭圆方程确定参数，再联立弦所在直线与椭圆方程，根据韦达定理，求出点纵坐标，即可得到三角形面积. 【详解】（1）由题可知，,因此,因此椭圆. （2） （i）设,则过点且斜率为1的直线可设为,设,且. 点都在椭圆上，因此有,两式相减，得, 两边同除,得： ,因此, 即点在定直线上，因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知,变形可得 故为定值. （ii） 由利用斜率夹角公式：设的斜率为,的斜率,则 ,因在第三象限，,解得,即,故. 又因为,联立得将其代入椭圆方程,得：,解得, 因为故. 联立直线与椭圆方程,得 由韦达定理可知，,因此. 故的面积为. 【例4.3.】 已知椭圆的焦距为，以椭圆E短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线AB，CD分别交椭圆E于点A，B，C，D，点A始终在第一象限且与点D关于y轴对称，直线AC，BC分别交y轴于点G，M． (1)求椭圆E的方程； (2)求点G的坐标； (3)判断是否为定值，如果是，求出定值，如果不是说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据已知条件列式得出及得出椭圆方程； （2）直线AB方程联立方程组，求出直线AC方程为，令，即可计算求出点； （3）应用弦长公式结合韦达定理计算求值. 【详解】（1）由椭圆E短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，得，则， 所以椭圆E的方程为． （2）设直线AB方程为， 由点A在第一象限且与点D关于y轴对称，得直线CD，AB关于y轴对称，， 由消去y得， 则， 直线AC方程为， 令，得 ， 所以点． （3）由（2）知，， 由，得， 因此， 所以 【例4.4.】 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1. 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据椭圆对称性，用待定系数法求解椭圆方程；（2）（i）设直线方程，根据韦达定理表示三角形面积，进而进行判断；（ii）由可知直线的倾斜角互补，用距离公式表示并作比值求解. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以， 所以，C的方程为. （2）方法一：设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，则或. ， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. 方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，，则且， .点到直线的距离， 所以面积. 令，则， 当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为. 方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，则且， . 点到线的距离，所以面积 . ，即当时，有最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是， ，.所以， 于是，因为， 所以.所以的值1. · 斜率或代数式为定值 方法提炼 (1) 求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值. (2) 在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题中，我们需要先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可.用特殊直线（如平行于坐标轴）猜出定值，可验证化简结果. (3) 斜率乘积为定值的常见模型 ①过原点的弦：； ②过焦点的弦：若直线过焦点，与椭圆交于，则可能为定值（与离心率有关）； ③点差法模型：弦的中点，则； ④对称点模型：若关于某点或某直线对称，则斜率积为定值. 【例4.5.】 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，，的面积为1. (1)求椭圆、抛物线的标准方程； (2)过点的直线分别与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线的斜率分别是，，，.证明：为定值. 【答案】(1)椭圆，抛物线 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、求直线与抛物线的交点坐标、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意，点在椭圆上，得到，再利用的面积为1，解出，即可求解. （2）根据斜率是否存在分类讨论，斜率存在时，设直线，分别联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程，得出的表达式，利用韦达定理进行化简得到定值，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由已知得，又，分别为椭圆的左、右焦点，且， 则，所以点在椭圆上，所以. 又，且，解得，所以. 所以椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为. （2）证明：根据题意作图如下： 当直线斜率不存在，即时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意. 设直线的方程为， 联立，消去得， 所以，，且， 联立，消去得， 所以，，且. 故 ， 又因为，所以， 所以. 综上，为定值. 【例4.6.】 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【详解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 【例4.7.】 已知圆，圆过点且与圆内切，若圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），且曲线与轴交于两点（在点左侧），记直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，该定值为 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）因为内切，故到点和距离之和为，曲线为椭圆. （2）根据题干设出直线方程，再与椭圆联立，结合韦达定理把表示出来化简求值即可. 【详解】（1）设，则，则在圆内部， 则，即为， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆，设曲线的方程为：， 则，解得，故，则的方程为； （2）如图,令，则， 易知直线斜率不为0，设直线， 则化简得，则， ，同理，且， 则， ， 所以是定值，该定值为． 【例4.8.】 在平面直角坐标系中，分别以轴和轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上． (1)求曲线的平面直角坐标系方程； (2)若斜率为的直线与曲线交于、两点（直线斜率为正），直线、（若、重合，直线即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于、两点，为中点． （i）证明：为定值； （ii）最大时，将坐标平面沿轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球的半径最小时，三棱锥的表面积． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、多面体与球体内切外接问题、椭圆中的定值问题、复数的坐标表示 【分析】（1）根据复数的几何意义，根据椭圆的定义以及标准方程，可得答案； （2）（i）设出直线方程联立方程，写出韦达定理，根据直线斜率公式，化简整理，可得答案；（ii）由题意作图，根据外接球的性质，明确三棱锥两个面的外接圆圆心与半径，结合二面角的大小，作函数关系，求得最值，根据三棱锥的表面积公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可得点到与的距离之和为定值， 点在曲线上，该定值为， 而，故曲线为椭圆； 则，所以所求方程为. （2）（ⅰ）设直线，由，消去得， ， 设，，则，， 设直线，的斜率分别为，， 则 . （ⅱ）由（ⅰ）可知，即， 在中，令，则，， ， 当且仅当时取等号，此时最大，是边长为2的等边三角形， 过原点，，， 将沿轴折成三棱锥，将底面补成等腰梯形， 则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球． 过等腰梯形外心即中点作直线平面， 过中心作直线平面，，则即为三棱锥外接球球心， 即为三棱锥外接球半径，显然与重合时三棱锥外接球半径最小， 此时平面，三棱锥为正四面体，与交点即为中心， 平面，而平面，则， 在等腰梯形中，，， 则，，即， 由，，平面，于是平面， 而平面， 因此，因此， ，， 则三棱锥表面积为. 【例4.9.】 已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由椭圆所过的点列出关于的方程组即可求解； （2）分“外切矩形四边所在切线存在斜率不存在”和“外切矩形四边所在切线斜率都存在”，设切线，与椭圆联立方程，利用位置关系结合判别式求出，同理依次得切线满足，切线满足，切线满足，再利用两平行线间距离求出两组切线的距离，从而得面积并结合对称性和基本定理计算化简即可得解； （3）证明：设切线，与椭圆方程联立结合韦达定理依次求得，进而得斜率，同理得即可证明为定值. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当外切矩形四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形面积为； 当外切矩形四边所在切线斜率都存在时， 则可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 由题可设切线， 联立， 则， 由题可设切线，同理可得， 切线和距离为； 所以由对称性可得矩形面积为， 令，当且仅当即等号成立时， 所以， 则， 综上，矩形面积的取值范围为. （3）证明：设切线， 联立， 则 ， 此时，所以斜率， 同理可得，所以为定值. · 几何图形的面积为定值 方法提炼 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可. 【例4.10.】 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点为椭圆的左、右顶点，的周长为，记动点的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)过点作椭圆的切线交曲线于、两点（含情况），记、的面积分别为、，求的值. 【答案】(1); (2)1. 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据离心率、点在椭圆上求得，再由已知得，根据椭圆的定义求动点的轨迹； （2）设直线，，联立并结合，求得，再联立易得，从而为的中点，即可得. 【详解】（1）令，且， 可得， 所以，又的周长为，且不在轴上， 所以，可得， 所以动点的轨迹为长轴长为，焦距为4，则； （2）设直线，，联立， 整理得， 由，可得， 所以，可得，则， 联立，可得，可得， 所以，从而为的中点，则. 【例4.11.】 在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆内接菱形的面积的最小值； (3)是否存点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)8 (3)是定值， 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程、根据韦达定理求参数、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入可得标准方程； （2）联立，可得，同理可得，从而，再由，结合均值不等式求解最值； （3）分直线的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，斜率不存在时取特殊点易得的面积为，斜率存在时联立直线和椭圆方程，得到韦达定理，结合重心的性质可表示出点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简可得，由三角形面积公式表示出的面积并化简，可得的面积为定值，所以. 【详解】（1）设椭圆为， 由题意得，解得，故椭圆C的标准方程为. （2）由椭圆的对称性，菱形中心为原点，设直线 ，联立， 所以，同理， 所以 （“”在时取得）. （3）当直线的斜率不存在时，取符合题意， 故存在点，使为的重心，且此时的面积为， 当直线的斜率存在时，设，联立的方程消去得. 设，则. 由条件得，得， 则， ， 综上，的面积为定值，其值为， 所以. 【例4.12.】 已知椭圆 的焦距为，直线 与交于、两点，为坐标原点，为中点．若. (1)求椭圆的方程； (2)若、的斜率分别为、且始终满足，求直线的斜率的值； (3)、为椭圆上关于原上对称的两点且满足，直线、交于点，问：的面积是否为定值？若是求出此定值，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且定值为 【难度】0.4 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用点差法以及椭圆的焦距可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，利用斜率公式结合化简可得出关于的等式，结合可得出的值； （3）分析可知故点到直线的距离等于两平行线、间的距离的，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据可得出，然后利用三角形的面积可求得结果. 【详解】（1）设点、，则， 上述两个等式作差可得，则， 即， 由题意可得，则， 因此，椭圆的方程为. （2）联立直线与椭圆的方程，可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 所以， ， 因为， 则， 即， 整理可得，解得或（舍），故. （3）因为，且，则， 故点到直线的距离等于两平行线、间的距离的， 设直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程得， ，点到直线的距离为， ， 因为，可得， 解得， 所以，. 因为的面积为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 题型5：最值、范围问题 方法提炼 求解与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题时，有以下两种解法: (1) 代数法:将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，再求这个函数的最值或取值范围,常从以下五个方面考虑: ①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围. ②利用已知参数的范围,求新参数的范围解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系. ③利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. ④利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. ⑤用函数的值域的求法(单调性法、三角函数的有界性、基本不等式等),确定参数的取值范围. (2) 几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线的几何特征,则利用图形的性质和数形结合思想来解决最值或取值范围问题 【例5.1.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得. 【详解】 如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， . 故选：D. 【例5.2.】 已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量的混合运算、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆中的最值问题 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：．    【例5.3.】 已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线与椭圆联立消，设直线、的方程解出纵坐标，结合韦达定理化简计算可知，点在直线上，然后利用“将军饮马”可求出的最小值. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设点、， 直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知、，则直线的方程为， 直线的方程为， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立， 故的最小值为. 【例5.4.】 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及范围 【分析】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线，联立方程组由，求得， 设，得到，再由和的方程，求得和，结合，得到，将和，代入化简得到，求得，进而得到答案. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 可得，解得，椭圆. （2）设直线，联立方程组，整理得， 则且，可得，所以， 设，则， 则直线的方程为，与直线交于点， 直线的方程为，与直线交于点， 当时，且，则， 将， 代入可得，所以，解得， 所以斜率的取值范围为． 【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 【例5.5.】 已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的最值问题 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后分情况讨论直线的斜率情况.设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出和，进而得到四边形的面积表达式，再通过函数求最值的方法求出面积的最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，所以右焦点. 当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，，. 联立，消去可得： 即 由韦达定理可得，. 根据弦长公式，可得： 因为，所以直线的斜率为，同理可得. 则四边形的面积 根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立. 所以. 当直线的斜率为时， 此时，，则四边形的面积. 当直线的斜率不存在时， 此时，，则四边形的面积. 综上所得，则四边形的面积最小值为 故选：B. 【例5.6.】 若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】结合图形特征分类讨论P点位置即可计算得出最小值. 【详解】联立直线与椭圆的方程， 可得，即得，代入， 得，，，， 因为，令则，则， 若，， 又因为，的面积都为定值， 因此， 因此我们只需要求的最小值即可， 设，，， 作差得，时最小为， 因此； 同理，当时，， ，当时最小为0， S最小为，综合比较可的最小值为， 故选：C 【例5.7.】 在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. (1)求点的轨迹的方程； (2)轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据求出，再由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）圆的方程为：的圆心为，半径， 由题可得，点在线段的垂直平分线上，则， 所以， 根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设方程为，则，，所以， 所以点的轨迹的方程为 （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，， 将直线的方程代入椭圆 ，整理得， ， 所以，， 则， ， 由得，又由椭圆方程可知，即 ， 所以，即， 即， 即， 所以，解得或 (舍去，此时过点)， 所以直线过定点， 所以，， 此时，， 所以 ， 因为，则， 所以当时取得最大值，所以的最大值为. 【例5.8.】 已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据椭圆的几何性质以及直角三角形可得，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为0即可求解， （3）根据韦达定理以及向量垂直的坐标关系，可得直线经过定点，即可利用等面积法求解. 【详解】（1）设短轴的端点为，左右焦点为， 由于是直角三角形，所以，结合， 解得，故， （2）由可得椭圆方程为， 与直线联立可得， 由于直线恰好与椭圆相切，故，解得， 所以椭圆方程为 （3）由于在椭圆上，设, 由可得， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程中，消去可得， 则， 由可得 即， 化简得， 由于不在直线上，所以，故，， 故直线的方程为，故过定点， 当直线的斜率不存在时，可得， 代入可得， 结合可得或（舍去）， 此时直线也经过， 综上可得直线恒经过. 因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长， 又直线恒经过，所以, 所以的最大值为. 【例5.9.】 已知椭圆的离心率为，的左顶点为，上、下顶点分别为． (1)求的方程． (2)记为坐标原点，设是上异于顶点的一个动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （Ⅰ）记的面积为，的面积为，证明：． （Ⅱ）若点在外接圆的圆外，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的参数及范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意列出方程组，求即可得解； （2）（Ⅰ）设直线的方程为，联立椭圆方程，消元可得一元二次方程，求出点的坐标，再由三角形面积公式化简得证； （Ⅱ）三角形外接圆圆心为的中点，求出坐标，再由题意可得，解出的范围，即可求解点纵坐标范围. 【详解】（1）由题意可知，解得， 则的方程为. （2）（Ⅰ）由（1）可得，如图， 设直线的方程为，则， 由，可得， 则，则， 则直线的方程为，则， 又， ， 所以. （Ⅱ）设外接圆的圆心为， 因为，所以为线段的中点，则. 因为点在外接圆的圆外，所以， 则， 则， 解得. 因为，由，可得，所以. 故点的纵坐标的取值范围为. 【例5.10.】 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，是椭圆上异于，的点，且直线与直线的斜率之积为1． (1)求点的坐标； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）考虑直线斜率不存在时，求出，直线的斜率存在，设为，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由，得，变形，从而得到方程组，求出即； （2）求出，得到，并由根的判别式得到．换元后得到，结合，求出最值. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆的两个交点分别为椭圆短轴的两个顶点， 不妨设，，， 所以．又，所以． 故直线的斜率存在， 设，，直线的方程为， 与椭圆方程联立得①， 则有，． 由，得， 即， 即． 所以， 即， 整理得， 故 解得即； （2），故， ， 由（1）中①式可得，所以． 又， 设， 所以 ， 当时，. 【例5.11.】 已知椭圆的上顶点为，左焦点为，直线与交于两点（不与椭圆的顶点重合），当经过点且与轴垂直时，. (1)求的方程； (2)若点，被轴平分，当到直线的距离最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据韦达定理求参数、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】（1）由上顶点坐标求，再根据弦长求，即可写出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆的方程，写出，的表达式，由被轴平分，得到，之间的关系，由斜率公式结合，求的值，判断直线所过定点为，由时点到直线的距离最大求的值， 写出直线的方程. 【详解】（1）因为上顶点为，所以， 设，由，得， 所以，解得，所以的方程为. （2）由题可得，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程并整理得， 由，即，解得， 由一元二次方程根与系数的关系得，. 因为被轴平分，所以直线与直线的倾斜角互补，则，即. 又，所以. 而，所以. ①当直线斜率不存在时，直线的方程为， 所以点到直线的距离无最大值，舍去； ②当直线斜率存在时，. 则，所以直线恒过左焦点.当时，点到直线的距离最大. 因为，所以，即，所以. 所以，即，所以直线的方程为. 【例5.12.】 已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． (1)求的最小值； (2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 【答案】(1), (2), (3) 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆的焦半径与焦点弦问题 【详解】（1） 由椭圆方程知，，所以右焦点， 设，则，由代入得： ， 由于，对称轴， 所以， 即的最小值为，此时点为椭圆的右顶点. （2） 由直线的斜率为1且经过，可得直线方程， 与椭圆联立方程组，消元得：， 解得，则代入得：，所以， 则， 设平行于直线的直线方程为，则与椭圆联立方程组，消元得： ，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为， 即，解得， 根据数形结合可得时，满足切点取到面积最大值， 此时方程为， 代入直线得，则， 由点到直线的距离公式得： ， 所以面积的最大值为， 此时点； （3） 设过点直线为：，与椭圆联立方程组，消元得： ， 由， 再由于交点D不在x轴上，即， 设交点，则有， 代入得：， 由于Q关于原点的对称点为点R，所以， 则直线方程为，与直线相交得： 点纵坐标为， 而直线与直线相交得： 点纵坐标为， 所以可得 当且仅当，即时，取到最小值. 即的取值范围是 【例5.13.】 已知椭圆的长轴长为分别为的上､下顶点和右顶点，且． (1)求的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，与轴交于点． ①求面积的最大值（其中为坐标原点）； ②求的最小值， 【答案】(1)； (2)①；②. 【难度】0.4 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）由已知建立关于的方程组，解之可求得椭圆的标准方程； （2）①直线与椭圆联立方程组，根据韦达定理得，再根据列式即可求解；②由，设，根据三角函数性质求解即可. 【详解】（1）根据题意得， ， 则， 故的标准方程为； （2）①设，则，直线的方程与椭圆方程联立， 可得消去得， 由得， ， ， 当时，面积取得最大值为． ②， 所以 ， 设，则， 所以，所以的最小值为． 题型6：证明、探索问题 · 证明问题 方法提炼 圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1)位置关系方面：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明. 【例6.1.】 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【难度】0.15 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【详解】（1）由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. （2）（i）记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 【例6.2.】 如图，点是直线上的动点，以为圆心的圆过点，直线是圆在点处的切线，过作圆的两条切线分别与交于点. (1)求的值； (2)设点的轨迹为曲线，，直线交曲线于两点，且直线与直线交于两点，证明：点在以为直径的圆上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、切线长 【分析】（1）设，根据直线与圆的位置关系可得，结合两点间距离公式即可求得. （2）由（1）可得点的轨迹方程为，根据直线的斜率是否存在，分类进行讨论，结合，可证点在以为直径的圆上. 【详解】（1）设，直线与圆切于点，所以， 则 . （2）由（1）知点的轨迹为椭圆， 设该椭圆方程为，则，， 所以曲线的方程为. 当直线轴时，不妨令，， 则，直线的方程为，，， 同理，所以， 所以点在以为直径的圆上； 当直线不垂直于轴时，设，，直线的方程为， 代入中，整理得， 所以，， 直线的方程为，即， 所以，同理， 又， 所以， 所以，所以点在以为直径的圆上. 综上所述，点在以为直径的圆上. 【例6.3.】 已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：点到直线的距离是定值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）依题设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，根据化简推得，利用点到直线的距离公式即可证明； （3）根据弦长公式求出的表达式，代入韦达定理，并消去，将其化成关于的关系式，通过换元后利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）由，可得 ①， 椭圆经过点，可得，解得，代入①，可得， 故椭圆的方程为. （2）依题意，可设直线的方程为，， 由，消去，整理得， 可得， 设，则， 因，则 ， 去分母得， 化简得. 则点到直线的距离为，为定值. （3）因， 故， 由得，代入上式，整理得， 设，则，且代入上式， 可得， 设，则，且， 所以， 故的取值范围是.    【例6.4.】 矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． (1)求的方程及离心率； (2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得解. （2）法一，在不是矩形顶点时设，表示出直线的方程，与椭圆方程联立，利用及韦达定理推理得证，再验证是矩形顶点的情况即可；法二，在不是矩形顶点时设，求出切线方程，进而求出切点弦所在直线方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理推理得证，再验证是矩形顶点的情况即可. 【详解】（1）依题意，，，则，，半焦距， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）法一：依题意，以为直径的圆的方程为， 当点是矩形的顶点时，均与坐标轴垂直，此时； 当点不是矩形的顶点时，设点的坐标为，直线的方程为， 由消去得：， 由，化简得， 设直线的方程为，同理得：， 于是是关于的一元二次方程的两根， 则，又，因此，，即， 所以是直角三角形. 法二：设，分别为，与的公共点，且， 以为直径的圆的方程为， 当点是矩形的顶点时，，均与坐标轴垂直，此时； 当的斜率都存在时，设，， 由消去得：， 则，化简得． 又，则，即，解得， 同理得：，直线，即，直线， 又直线过点，则，， 于是直线的方程为：，由消去， 得，则， 于是 ，又，则， 因此，， 所以是直角三角形. 【例6.5.】 已知椭圆上的一点向轴作垂线，垂足恰为右焦点．椭圆与轴负半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，且（为坐标原点），． (1)求椭圆的方程； (2)经过点直线与椭圆相交于两点，点到直线的距离为，求的面积； (3)若椭圆上任意三点满足，且点在第四象限，求证：． 【答案】(1) (2)或； (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）依题意写坐标，结合得．结合和关系得到椭圆的方程. （2）设直线为，根据点到直线的距离解得或．设，与椭圆方程联立由根与系数关系可得．弦长公式计算．最后计算即可． （3）由题可知，设，设直线为，与椭圆联立消元化简结合根与系数关系得，．同理得点的坐标，计算即可得证． 【详解】（1）依题意可得，， 由斜率公式得，， 因为，所以，解得． 又因为，所以解得． 故椭圆的方程为． （2）如图，作出符合题意的图形， 由（1）可知，依题可知直线的斜率存在且不为零，设直线为， 则点到直线的距离为，解得或． 设，由，可得， 由根与系数关系可得． ， 当时，， ； 当时，， ． 综上，的面积为或． （3）如图，作出符合题意的图形， 由题可知，设， 设直线为，则， 整理化简可得． 由根与系数关系可得， 则， ． 同理可得点的坐标， ， ． 得到，即命题成立． 【例6.6.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． (1)求椭圆的焦距；若，求点的坐标； (2)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 【答案】(1)4，； (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、由斜率判断两条直线垂直、求椭圆的焦点、焦距、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用椭圆方程直接求出焦距，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，结合椭圆方程求解. （2）法1，设，直线与椭圆方程联立证明即可；法2，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法3，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法4，直线与椭圆方程联立证明即可. 【详解】（1）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为．依题意，，， 所以椭圆焦距为； 设点，而，则， 于是，即，由点在椭圆上，得， 解得，，由点在第一象限，得，则， 所以点的坐标为. （2） 方法1：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 显然直线斜率存在且不为0，设直线， 代入中得，， ， 设，则，， ，即，直线斜率， 由在直线上，得，即， 于是直线的斜率，，即， 又为线段中点，所以． 方法2：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 必有，设，则，， ，即， 直线斜率，而直线斜率， 则，即，又为线段中点，所以． 方法3：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 显然，设，则，， 于是，， 点，， 又，则，即， 因此是直角三角形，又为斜边中点，所以. 方法4：设，与椭圆联立，得，， 而点在第一象限，则，， 点，直线的斜率， 直线，令，则， 与椭圆联立得，显然， 线段中点，有，， 点，于是直线斜率，， 又为中点，所以. 【例6.7.】 已知点、为椭圆上两点. (1)求椭圆的方程； (2)过原点的直线与椭圆交于、两点，记四边形与的面积分别为、，若，求； (3)过点的直线交椭圆于、两点，过且平行于轴的直线与直线交于点，与直线交于点，求证：点为线段的中点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）将点、的坐标代入椭圆的方程，求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设原点为，直线与轴交于点，分析可得，可求出点的坐标，进而可得出点的坐标，可求出直线的坐标，并将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的横坐标，可求出的值，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值； （3）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点、的坐标，计算出，即可证得结论成立. 【详解】（1）已知、是椭圆上两点， 则，解得，故椭圆的方程为. （2）设原点为，直线与轴交于点，由对称性知，为的中点， 所以， 因为，所以，得， 又，则，即.    所以，则直线的方程为， 联立，消去得，由韦达定理得， 则， 点到直线的距离， 所以. （3）证明：若点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，显然直线与椭圆相切， 故点的直线斜率存在，设方程为，与椭圆相交于、， 联立方程组，消去得，   ，解得， 有，， 又直线的方程为， 直线的方程为， 有、， 所以， 由 ， 所以，即点为线段的中点. 【例6.8.】 已知椭圆的离心率为，短轴长为6，过右焦点的直线与交于两点． (1)求的标准方程； (2)已知点， （ⅰ）当时，求面积的取值范围； （ⅱ）当时，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、椭圆中向量点乘问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由题意易得，，再结合解出，，进而求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可； （ⅱ）分直线的斜率不为0和为0两种情况，结合韦达定理，平面向量数量积的坐标表示求证即可. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长，所以． 又离心率，且， 把代入，得， 再结合，即，可得，解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）（ⅰ）当时，右焦点坐标为， 显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，． 联立，消去得． ， 则，． ． 点到直线的距离． ． 令，则，因为（当且仅当即时取等号），所以．    （ⅱ）当直线的斜率为0时，直线的方程为， 此时，， 则， 则； 当直线的斜率不为0时， 设直线的方程为，，， 由（i）知，，， 则，， 则 ， 令，由，则该函数是开口向上的二次函数， 则， 所以恒成立， 又，则. 综上所述，. 【例6.9.】 已知椭圆的短轴长2，离心率为 分别是C的左、右顶点，F是C的右焦点. (1)求C的方程; (2)设P是椭圆C上异于顶点的动点，点B在直线上，且，直线PB与x轴交于点Q.证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用向量垂直求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据短轴长、离心率及椭圆参数关系求参数，即可得方程； （2）设，且，利用向量垂直的坐标表示得，写出直线求得，利用两点距离公式及分别得到、，应用作差比较大小. 【详解】（1）由题设，可得，则椭圆方程为； （2）由（1），设，且， 所以，，则，即， 由，令，则，即， 所以， 又， 结合，， 则， ， 所以，即得证. 【例6.10.】 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的标准方程； （2）要证，只需证，通过直线与椭圆联立方程组，由韦达定理和两点间距离公式证明； （3）由题意有，由韦达定理和距离公式化简得，由题意，所以，可得. 【详解】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有，， 又点在椭圆上，有，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）要证，即证， 设， 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知成立， 当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为， 由得， ， 由得， ， 得，， ，，则有. 所以与等底等高，有. （3）由（2）可知，同理有， 由，可得，则有， 设直线的斜率为，直线方程为，设， 由得， ， ， ， 所以， 即， 化简得，即，由题意，所以， 所以. 【例6.11.】 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若， ①证明：； ②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据椭圆性质和将带入椭圆方程可得关于的方程，求解即可； （2）①设，，联立方程组，根据根于系数的关系和数量积的坐标运算可证； ②设的中点为，因为，所以，不妨设，，又，并由点在椭圆上进一步求范围. 【详解】（1），得， 将带入椭圆方程有，解得，． 所以椭圆方程为． （2）设，， 由，得， ，（*） ①由于， 所以． 将（*）带入得，化简得． ②设的中点为，因为，所以， 不妨设，， 到直的距离为，， ． 由，得点坐标为， 则， 由点为椭圆上点，， 得，即， 所以， 所以． 综上，四边形面积的取值范围为． 【例6.12.】 已知椭圆的离心率为，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆相交于P，Q两点，求线段PQ的中点N的轨迹方程； (3)若A关于原点O的对称点为B，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，轴于点H，直线BC与x轴交于点M.用与分别表示与的面积，证明：. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）利用椭圆的定义及离心率的意义求出，即可得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出弦中点坐标，进而求出轨迹方程. （3）先设点、、坐标，再设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到、表达式，再利用向量垂直的坐标表示解出与的关系，排除直线过原点的情况后，确定时直线方程，求出点坐标，最后根据三角形面积公式得出. 【详解】（1）依题意，，解得，由离心率为，得，则， 所以椭圆的方程为． （2）由消去得，设， ，解得， ， 由是线段的中点，得，因此，， 所以线段PQ的中点N的轨迹方程为. （3）由题意，设点，则点，， 设直线的方程为，点， 由，得， 则，， ，． 由，得， 整理得，解得或， 当时，直线过原点，不符合题意； 当时，直线的方程为，则点坐标为， 因此，． 所以. 【例6.13.】 已知椭圆的焦距为2，点在上，是的右焦点，设过点的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)直线不与轴重合，且平分． ①求的值； ②若点是直线与的交点，证明：． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据焦距得到，再代入点坐标即可得到椭圆方程； （2）①采用设线法，再联立椭圆方程得到韦达定理式，再将角平分线转化为，再韦达定理式整体代入化简即可； ②转化为证明，而，替换其中的化简即可. 【详解】（1）椭圆的焦距为， ∴椭圆的左右焦点分别是， 又点在椭圆上， ， ，椭圆的方程为：． （2）①依题意设直线的方程为：， 联立方程组：，则， 即，且，① 由，的坐标可知轴，平分， 等价于， 即，把代入并化简得： ，把①代入上式得：， 化简得：（经检验，符合，则. ②欲证，只需证：， 由（2）可得， 又， ， 即. 【例6.14.】 已知曲线，（，），当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”.    (1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、（），如图所示，若直线能与椭圆、依次交于，，，四点，证明：； (2)当（）时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设. （i）求证：为等比数列，并求出其通项公式； （ii）令数列，求证. 【答案】(1)证明见解析 (2)（1）证明见解析，；（2）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、根据韦达定理求参数、裂项相消法求和 【分析】（1）根据题意联立方程组，利用韦达定理表示交点横坐标之和，可发现线段的中点与线段中点重合，根据线段长度的减法可证得结论； （2）（i）根据题意联立方程组，求出点和的横坐标，利用两点间距离公式求得，即证得结论并得到通项公式；（ii）由已知条件得到，利用放缩法构造出新数列的不等式，利用裂项相消法求前项和即可证得结论. 【详解】（1）由题意，联立方程可得， 时，由图可知，椭圆与直线的交点为点、， 设，，则， 同理，将与直线联立可得：， 时可得， 则线段的中点与线段中点重合，设为点， 即有，，所以，即. （2）（i）由题意，联立方程可得，即. 因为交点在第一象限内，所以点的横坐标， 同理可得点的横坐标， 则. 由于，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为； （ii）由（i）可知，，则. 设，设，， 由时，，可得， ， 所以，由. ， . 即得证. 【例6.15.】 已知椭圆经过点． (1)求的离心率． (2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明： 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆方程得，进而求得离心率； （2）①由题可知直线的斜率不可能为0，设的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数关系，结合，解得，进而得证；②根据题意可得是等比数列，求得，代入放缩可得，，进而得证. 【详解】（1）因为椭圆C经过点，所以，故， 所以C的离心率； （2）①由（1）知C的方程为，，. 由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，．所以 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过x轴上的定点. ②由①可知，，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， . · 探索性问题 方法提炼 圆锥曲线中的探究性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正确,则不存在.其策略为 (1) 当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立,再推出条件. 【例6.16.】 如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在， 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义，即可求解； （2）（ⅰ）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用根与系数间的关系，得，进而可解得或，即可求解；（ii）根据条件得，，结合条件可得，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 由椭圆定义可得，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且长轴长，焦距， 所以，因此曲线C方程为. （2）（ⅰ）设直线为，设 由，消去得， ，则， 所以， 则，整理得，解得或， 当时，直线方程为，过点，不合题意，舍去， 当时，直线方程为，过定点，命题得证. （ii）设，因为，则， 又，得到， 所以，又， 则，同理可得， 因为，， 又由（i）知，，所以 ， 得到， 所以， 则， 整理得，解得或， 又，则，代入，得到，此时，故存在满足题意. 【例6.17.】 动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长、轨迹问题——椭圆、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，得到，化简整理，即可得到曲线的方程； （2）设，联立方程组，得到，（ⅰ）结合弦长公式，求得，进而求得的取值范围； （ⅱ）由（i）得到的中点坐标为，求得，结合点在线段的中垂线上，可得，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数， 可得，化简整理得，即曲线的方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 设，可得， 且，所以， （ⅰ）由弦长公式，可得， 即， 因为，所以，的取值范围为； （ⅱ）由且， 可得的中点坐标为， 所以的斜率， 因为点在线段的中垂线上，可得，解得， 所以存在，使得点在线段的中垂线上. 【例6.18.】 已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【难度】0.65 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆的焦点、焦距、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由题意得及，即可求解； （2）假设存在点，使得，则，设，则，直线BQ的方程为．由即可求解． 【详解】（1）由题意知，且过点，即，，解得，， 所以椭圆的方程为； （2）假设存在点，使得 ，则 ．       设 ，则 ， ∴ ，直线 的方程为 ． ∵点 在直线上，∴， ∵点是直线上不同于点的一点，∴ ，解得 ∵点在椭圆 上，∴ ，解得 或 ， 当 时，解得 ；当 时，解得 ∴存在点 ，使得 ，点的坐标为 或 ．    【例6.19.】 已知A，B，C是椭圆上三个不同的点，是坐标原点. (1)若，是的左、右顶点，求的取值范围； (2)若点在第一象限，是否存在四边形满足是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、根据椭圆的有界性求范围或最值、数量积的坐标表示、椭圆的对称性 【分析】（1），设，表示出，结合椭圆的范围即可得出答案； （2）假设存在，设，根据对称性得出点坐标，代入坐标整理可得.根据在椭圆上，由点差法化简得出，得出矛盾，即可说明. 【详解】（1）由已知可得，，，设， 则，， 所以. 又，，所以， 所以，，， 所以，的取值范围为. （2）设存在四边形满足是该四边形的对称轴 设，为对角线的交点 因为是四边形的对称轴， 所以为的中点，且， 所以. 因为点在第一象限，所以直线的斜率均存在且不为0. 且， 所以有， 所以有. 又因为在椭圆上， 所以有. 作差整理可得， 这与相矛盾，假设不正确. 所以，不存在四边形满足是该四边形的对称轴. 【例6.20.】 已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求的方程. (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点. （ii）记直线过的定点为，过点作直线的垂线，垂足为，试问是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）利用方程组即可求解椭圆方程； （2）（i）利用直线与椭圆联立方程，先利用对称性猜想定点在轴上，然后计算动直线与轴的交点横坐标，通过韦达定理代入求解即可； （ii）把的长度问题利用弦长公式转化为直线的斜率和这三点的横坐标问题，然后借用韦达定理来代入化简，可求出取值范围，并作出判断. 【详解】（1）由题意得：，解得：， 所以椭圆方程为； （2）（i） 设过点的直线方程为， 与椭圆联立方程组消去得:, 整理得：， 又设 则有， 再由两点式可得直线方程：， 令可得： 代入韦达定理公式得：， 所以直线过定点； （ii） 设直线方程为与椭圆联立方程组消去得:, 整理得：， 由，解得， 又设 则有， 根据，可设直线方程为， 与直线联立方程组消去得:， 再由 因为，所以， 故是不存在最小值. 【例6.21.】 已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为：，其长轴长为； (2)在椭圆上，理由见解析. 【难度】0.65 【知识点】点和椭圆的位置关系、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意，列出满足的方程组，求得，即可求得椭圆方程和长轴长； （2）求出方程，设出点的坐标，进而写出方程，从而求得的坐标；再结合已知条件，求得方程，联立方程组，解得坐标，将其代入椭圆方程，即可检验和判断. 【详解】（1）由题可知，， 的面积为2，且，则，又，解得； 故椭圆的方程为：，其长轴长. （2）由（1）可知，，又， 故直线方程为：，又在直线上，故设点， 当时，直线斜率不存在，此时与重合，也与重合，显然在椭圆上； 当时，直线的斜率为，与轴没有交点，不满足题意； 当，且时，直线斜率为，直线方程为：， 令，可得，故； 直线斜率为：，直线方程为：； 直线斜率为：，直线方程为：； 联立，消去可得，代入可得：，即， 又，即，故点在椭圆上. 综上所述，在椭圆上. 【例6.22.】 已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； (3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，且点 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，则，利用点差法可得出，结合点在直线上，可得出，代入可得出的值； （3）假设在轴上存在点满足题设条件，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合为定值，可得出，求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得，可得，因此椭圆方程为，即. （2）设点、，则， 因为，这两个等式作差可得， 即， 由题意可知，直线的方程为， 线段的中点在直线上，所以，，可得， 所以，故，故直线的斜率为. （3）在轴上存在点，使是与无关的常数. 证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数， 因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为， 由 得. 设、，则，， 因为，， 所以 设常数为，则， 整理得对任意的恒成立， ，解得， 即在轴上存在点，使是与无关的常数. 【例6.23.】 已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且. (1)求椭圆M的标准方程. (2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程. 【答案】(1) (2)四边形为平行四边形，答案见解析 【难度】0.15 【知识点】已知两点求斜率、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）根据离心率及短轴长列式求出，即可得出椭圆方程； （2）联立方程组，结合点的坐标得出斜率，结合斜率关系证明即可. 【详解】（1）由已知，得，，，所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为. 由解得或（舍去）， 所以点的坐标为，从而点的坐标为， 于是直线的斜率，直线的方程为. 又直线的方程为，由得； 由得. 直线的方程为，直线的方程为，由得. 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以，，所以四边形为平行四边形. 【例6.24.】 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； (3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、讨论椭圆与直线的位置关系、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点. （3）先结合（2）的结论，猜测圆的方程.设为圆上动点，写出线段中垂线方程，与椭圆方程联立，利用判断圆存在.再结合韦达定理求点坐标，利用斜率证明、、三点共线. 【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，所以， 又因为椭圆的离心率为，得，∴， 所以椭圆方程为. （2）如图：    由得直线的斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程，得，∵， ∴所以直线与椭圆相切，且， 即线段的垂直平分线与恰有一个公共点. （3）假设符合条件的圆存在，由（2）知在圆上，由对称性知也在圆上，关于右顶点的对称点也在圆上. 因为线段的垂直平分线为， 线段的垂直平分线上的点满足：， 化简即得的垂直平分线方程为. 由，且, 所以过三点的圆的方程为. 如图：    下面证明此圆符合题目条件： 设在圆上，∴， 当时，的垂直平分线方程为或与椭圆相切，符合条件； 当时，的垂直平分线方程为， 设，由得， ∵ ， ∴的垂直平分线与椭圆相切. ∴满足条件的圆存在，其方程为. 又由韦达定理得切点的横坐标， 的纵坐标，∴， ∴， ∴三点共线. 【例6.25.】 如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点.    (1)若直线经过焦点，求此时线段的长度； (2)若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3； (2)最大值为8，直线：； (3)存在，. 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）求出点的坐标及直线的方程，与椭圆方程联立求出弦长. （2）令椭圆左焦点为，利用线段和差大小关系及椭圆定义推理求解. （3）由特殊位置确定点的位置及坐标，再就一般情况推理求解. 【详解】（1）依题意，，直线的斜率为，方程为， 由消去得，解得， 所以线段的长. （2）设椭圆的左焦点为，则， 于是，当且仅当直线过左焦点取等号， 所以周长的最大值为8，此时直线方程为. （3）存在点满足题意， 假设存在满足题意的定点，当直线平行于轴时，则，，两点关于轴对称， 则点在轴上，不妨设， 当直线垂直于轴时，，，， 解得或（舍去，否则点就是点），即点的坐标为； 对于一般的直线：，也满足题意. 因为，由角平分线定理知，轴为的角平分线，则只需. 设，，则，， 则，消去可得，， 则，， 于是，， 两式相加得，， 即从而，假设成立. 即存在与点不同的定点，使得恒成立.    【例6.26.】 如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C．    (1)证明曲线C的方程为； (2)设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点. ①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值. ②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为?若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，2条 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）设，分别表示出直线的方程和直线的方程，两式相乘化简即可得出答案. （2）①先明确曲线顶点、焦点，设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率条件确定直线过定点Z，点W的轨迹是以OZ为直径的圆，进而计算得出面积表达式；②设过焦点的直线方程，联立椭圆方程后用韦达定理，将四边形面积转化为三角形面积作差，通过换元、函数单调性分析，结合面积值判断直线条数. 【详解】（1）显然，设， 因为，，所以，， 当时，则直线的方程为①， 直线的方程为② ①×②得：即. 当时，交点也满足此方程，故曲线方程为，得证. （2）①由，设直线：，，， 直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足， 联立，得. ， ，，， 即， 化简可得：，解得：，则直线过. 得直线PQ过定点，而点W是坐标原点O在直线l上的射影， 所以点W的轨迹是以OZ为直径的圆（除去与x轴的交点）. 因为该圆的圆心为，半径， 所以面积的最大值为． ②满足题意的直线条数有两条，证明如下： 由题意可知直线PQ的斜率不为0，设，，，不妨令，， 联立，可得    因为四边形OFQN的面积为， 所以， 因为，代入①可得，， 代入②可得， 所以，即或， 令，则， 令因为恒成立，所以，即在上单调递增， 因为，由零点存在性定理可知： 所以在上有唯一零点， 综上所述，满足题意的直线l有两条. 题型7：椭圆中的切线问题 方法提炼 (1) 椭圆的切线方程：上一点处的切线方程是； (2) 设椭圆的焦点为F，若过点P的直线PA，PB分别与椭圆C相切于A，B两点，则； 【例7.1.】 已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的切线方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后根据不等式的性质求出三角形面积的最大值. 【详解】因为椭圆方程为，设切点， 则切线的方程为，. 因为切线过点，所以，切线的方程变为： ，因为点都在直线上， 所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点. 联立直线方程和椭圆方程为： ，化简得. 根据韦达定理.而 所以. 因为， 要使得面积取得最大值，则应取最小值，根据不等式， 所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 故选：A. 【例7.2.】 已知两个定点，，动点P满足直线PM与PN斜率之积为定值，其中O是原点． (1)求动点P的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状； (2)当时，过点作与x轴垂直的直线交曲线C于E，F两点，在OA的延长线上存在一点Q，使得，，成等比数列，证明直线EQ是曲线C的切线． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、讨论椭圆与直线的位置关系、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、轨迹问题——圆 【分析】（1）应用斜率公式计算可得即，分类讨论的取值范围，结合椭圆及圆的方程判断即可； （2）先求出，再根据点斜式得出直线方程，最后联立方程应用计算证明即可. 【详解】（1）由题意知，设动点，则，， 所以，即， ①当时，，表示圆心在原点，半径为2的圆（除去与x轴的交点）， ②当时，表示焦点在y轴上的椭圆（除去与x轴的交点）， ③当时，表示焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）， （2）当时，， 由题意知，，所以， 因为椭圆的对称性，不妨设点E在x轴上方，所以， 直线EQ的斜率为， 所以直线EQ的方程， 所以联立，可得， 所以，所以直线EQ是椭圆的切线． 【例7.3.】 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点. （i）求的最小值； （ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切. 【答案】(1)； (2)（i）6；（ii）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）设，根据直线的斜率之积为，列出方程，整理即可得出曲线的轨迹方程. （2）设出直线的方程并与曲线联立，利用韦达定理得，与， 联立得，即得的表达式，然后利用基本不等式求出最值即可；（）利用斜率公式和三角函数和差角公式可得，得，进而得到圆的方程，利用可得直线与定圆相切. 【详解】（1）设，则，所以， 所以， 所以，即， 所以椭圆的方程为； （2）（i）依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，消去得， 设，所以， 所以， 设，由题意知，， ， 由题意知，所以， ，所以，即， 所以，所以，所以，即在直线上， 由题意知，所以， 所以，即，所以， 所以，所以， 即在直线上，因为直线的方程为，直线的方程为，由，得， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6； （ii）证明：因为直线与直线相交于点，又的中点为，所以，， 设，当时，， ， 由题意得，所以，当时，也满足， 故平分，所以，所以为的中垂线， 所以，即在圆上， 又，所以，所以与定圆相切. 【例7.4.】 已知椭圆的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解； （2）①设，，，由，，且，经过点，得到求解；②设实数存在，则，分直线斜率不存在，斜率，斜率，利用弦长公式求解. 【详解】（1）由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）①设，，，由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点. ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 由，解得， 所以，故. 当直线斜率时，不满足题意： 当直线斜率时，设直线的方程为，则， 故， 所以， 联立可得，显然， 所以，， 所以. 综上可知，存在满足条件. 【例7.5.】 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，分别为其左、右焦点，P是椭圆E上与A，B不重合的任意一点，点P到原点O的距离的最小值为1，直线与直线的斜率之积为．已知，以为直径的圆与以为直径的圆在x轴上方的交点为． (1)求椭圆E的方程； (2)（i）证明：直线为椭圆E的切线； （ii）设切线与椭圆E的切点的横坐标为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明过程见解析（ii）证明过程见解析 【难度】0.15 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用导数证明不等式、求椭圆的切线方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】（1）由题意列出关于的方程求解即可； （2）（i）首先求出的坐标，证明过点的椭圆的切线方程是，然后假设直线的方程是，求出，再检验点在椭圆上即可；（ii）只需证明和时，即可，其中时，可通过保留一项并且放缩裂项的方式得证. 【详解】（1）由题意，不妨设，从而，解得， 故所求为； （2）    （i）由题意， 所以以为直径的圆的方程为， 以为直径的圆的方程为， 两式相减得，， 解得，注意到点的纵坐标大于0， 从而，，即点的坐标为， 设是椭圆上一点，当与左右顶点重合时，过点的椭圆的切线方程是， 当与左右顶点不重合时，设在轴上方， 此时，即，求导得， 此时过点的椭圆的切线方程是，即， 同理可证当在轴下方时，过点的椭圆的切线方程是， 综上所述，过点的椭圆的切线方程是， 设直线过点， 则，解得， 点的坐标满足， 所以直线为椭圆E的切线； （ii）由（2）（i）可知， 当时，， 当时， . 【例7.6.】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若是上一动点，的周长. (1)求的离心率. (2)如图，若过原点可向圆作两条切线，设切点分别为、，其中点在第二象限，点在第一象限，直线、的斜率分别记为、，且为定值. （i）求的方程； （ii）建立与之间的恒等关系. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）设椭圆的半焦距为，利用椭圆的定义结合焦点三角形的周长可求出椭圆的离心率的值； （2）（i）根据直线与圆相切，结合圆心到切线的距离等于圆的半径可知、是关于的方程的两根，由韦达定理结合椭圆方程可得出为定值，可求出的值，由此可得出椭圆的方程； （ii）求得，结合两角差的正切公式以及（i）中的结果可得出结论. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为. 因为的周长为， 所以，即，所以的离心率. （2）（i）由题意，直线的方程为，因为与圆相切，所以， 化简可得， 同理可得， 所以、是关于的方程的两根，     所以，且.     由（1）可知，故，则的方程为. 因为点在上，所以，即，     所以，要使为定值，则，解得， 则的方程为； （ii），     因为、与圆均相切，所以，     所以，所以，     又由（i）得，     所以， 故与之间的恒等关系是. 【例7.7.】 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围； (3)过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由条件可得到关于的方程，解方程即可得答案. （2）直线的方程可设为，联立椭圆的方程，利用韦达定理可得到关于点纵坐标的关系式，再由恰好被轴平分，即，可知直线的斜率与直线的斜率存在且，即可得到关于的关系式，再把的面积表示成关于的函数，代入，求函数值域即可得答案. （3）利用导数求出处的切线方程，同构可得到直线的方程，再利用直线过点，可得到点坐标，进而可得到的斜率；再利用点差法可得到的斜率，即可得到答案. 【详解】（1）依题意可得解得，所以的方程为. （2）由题意可知，直线的方程可设为，设， 联立整理得， 因为恰好被轴平分，即， 易知直线的斜率与直线的斜率存在且， 即， 整理得，即，即. 因为，所以时符合题意，即直线经过定点（1，0）， 所以的面积， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以面积的取值范围是. （3）证明：依题意，根据对称性，不妨设在轴上方， 于是可化为，则， 设直线的方程为， 则在两点处的切线分别为， 整理可得在两点处的切线分别为. 设，则， 所以两点均在直线上，即直线的方程为. 又直线的方程为，即，所以，即， 则， 又， 联立两式作差可得， 即，即，即， 所以，所以三点共线. 【例7.8.】 已知椭圆，过作椭圆在第四象限的切线，其中切点为.设是椭圆第一象限上的动点，过作椭圆的另一条切线，交轴于点. (1)求切线的方程； (2)过点垂直于轴的直线与直线交于点，求面积的最大值； (3)直线和切线相交于点，过点作的平行线交切线于点.问：是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）设，联立椭圆方程，利用判别式等于0，即可求得答案； （2）求出A点坐标，即可得，从而表示出面积的表达式，利用三角代换，即可求得答案； （3）假设存在实数，使得成立，只需证明时结论成立即可. 【详解】（1）由题意可知斜率不为0，且斜率为正， 设，联立椭圆， 可得：，令， （负值舍），则 （2）由（1）可知：即， 则，则直线的方程为， 则，则. 设，， 则 ， ，所以，当时取到最大值. （3）假设存在实数，使得成立， 下证：，即证：. 由题可知在的切线方程为：.令，， ，，所以. 联立和，解得交点的横坐标. ，因此，即， 故假设成立，即存在实数，使得成立. 【强化训练】 1. （多选）已知点是椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用，，分别表示直线，，的斜率，，则（    ）． A． B． C． D．面积的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】对于A，联立，与椭圆方程，由韦达定理，，，从而可以用离心率表示，进一步结合可求出，，，以及面积的最大值． 【详解】 设，，设， 联立直线与椭圆方程得， ，，，， ， ，同理， 又， ， 故，又,故，． 于是， 又，所以， 当在短轴端点时， 面积的最大值为． 故选：BCD. 2. （多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ） A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆与反光镜的设计问题、椭圆定义及辨析 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确； 对于C：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故C正确； 对于D：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误. 故选：ABC. 3. （多选）在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（   ） A．若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B．若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C．若直线 经过坐标原点，则 D．若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】基本不等式求和的最小值、求弦中点所在的直线方程或斜率、椭圆的焦半径与焦点弦问题、求椭圆中的最值问题 【分析】对A，过左焦点的弦长最小值为通径长；对B，利用中点弦斜率点差法可求；对C，利用椭圆对称性可得，根据基本不等式即可求解；对D，通过角度关系得到斜率的关系，再与椭圆方程联立可求点，利用可求. 【详解】 对A， 过左焦点的弦长最小值为通径长，此时，代入，解得，，故A正确； 对B，设，在椭圆上， 则，，两式相减得， ∵ 的中点坐标为 ，∴， ∴，故B错误； 对C， 直线 经过坐标原点，椭圆 ，，， 由椭圆对称性，所以， ， 当且仅当，，故C正确； 对D， 设，根据对称性不妨取点在第一象限， ，， ∵， ∴， 即，整理得， 又，代入得，解得， ∴，， ， 故D正确， 故选：ACD 4. 椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及范围 【分析】令，而，应用向量线性关系的坐标表示得，再由在椭圆上得到，且中点在椭圆内得，结合对勾函数的性质求范围. 【详解】令，而， 所以，，， 又，则，所以， 由，作差得，则， 显然的中点在椭圆内，则，可得，即， 所以， 令，且在上单调递增，值域为， 所以. 故答案为： 5. 椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中向量共线比例问题、由椭圆的离心率求参数的取值范围、求点到直线的距离 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解. （2）求出以线段为直径的圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可. （3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解. 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 6. 已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆中的直线过定点问题、利用椭圆定义求方程 【分析】（1）由椭圆定义可得； （2）设，，联立直线与椭圆方程，将代入直线方程，化简得定点；用坐标表示数量积，将代入化简求范围. 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，，解得，， 故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为， 设，，． 联立得得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点； （ⅱ），， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为． 7. 已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N. （i）证明：直线过定点； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）直线过定点；（ii） 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据椭圆的焦距和椭圆上的一个点，待定系数求出椭圆标准方程. （2）根据椭圆与直线的关系，结合韦达定理，和中点弦的性质，证明直线过定点，并求出四边形面积的范围. 【详解】（1）由题意知椭圆过点，则， 因为，所以，联立方程组，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2） （i）当两条直线的斜率都存在时，不妨设：，， 设，，，， 联立直线与椭圆的方程，得，消去整理得， 易知，根据韦达定理可知，， ，， 即.同理， 所以， 所以， 令，得，此时直线恒过. 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知，仍经过， 所以直线过定点. （ii）当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知， 当两条直线的斜率都存在时，不妨设；， 由（i）得：. 同理， 则， 因为， 根据基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上，四边形面积的取值范围为. 8. 已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点. (1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (3)记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)定圆， 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由弦中点求弦方程或斜率、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由，结合三角形的面积公式可得，再由椭圆的方程代入计算，即可得到结果； （2）由点差法代入计算，即可得到结果； （3）联立直线与椭圆方程，即可表示出点的坐标，然后联立直线与椭圆方程，表示出点的坐标，从而表示出直线的方程，即可得到直线过定点， 从而得到结果. 【详解】（1）设，由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得，即点Q的横坐标的取值范围为； （2）设，， 则，两式相减作差可得， 即，即，即， 又，所以， 由直线的点斜式可得， 化简可得， 所以直线的方程为； （3） ，， 设直线的方程为， 直线的方程为，， 联立，消得， 则，所以， 所以，故， 联立，消得， 则， 所以，所以， 故， 当，即时，， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时，此时， 直线过定点， 设，因为，，所以过点A，H，O（为坐标原点）三点的圆即为过点A，，O（为坐标原点）三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点A，H，O（为坐标原点）三点的圆是定圆. 9. 已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)是定值， 【难度】0.15 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）设动圆的半径为R，由题可得，，据此可得轨迹的方程； （2）设，由，，可得F坐标，然后由F在椭圆上，可得，据此可完成判断； （3）由题及（2）可得，然后由可完成判断. 【详解】（1）设动圆的半径为R，动圆与圆外切，则， 又因为动圆与圆内切，结合图象可知：，， 所以， 由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为， 则，，， 又可知圆与圆内切，所以点C不能在切点处，即椭圆应去掉点， 曲线C的方程为. （2）直线OA，OB的斜率乘积不是定值，理由如下：设，则， 因为，所以，进而， 由点F在曲线E上得, 所以, 又因为点A，B均在E上，即，带入上式得, 所以不为定值； （3）因为点A，B均在E上，所以， 两式同向相乘得，整理得：, 由（2）知，带入上式解得：， 又因为 ， 所以. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为． ①若，求椭圆的方程； ②试探究的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量点乘问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）设，由题意可推出，进而可表示出相关线段长，结合解三角形可得到，即可求得答案； （2）①表示出直线的方程，联立椭圆方程，可表示出A点坐标，同理可得B点坐标，结合，即可求得参数的值，可求解答案；②利用数量积的坐标表示，计算的值，即可求解. 【详解】（1）设，由题意知，则， 再根据椭圆的定义可知：，故 从而，连接，则为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一性质，知， 在等腰三角形中，， 则， 即，而， 故有，即，所以． （2）①由（1）得，又，所以，从而椭圆，又直线的方程为， 联立方程，消去得，故或， 即可知，从而可得． 又，故，所以直线的方程为． 联立，消去可得． 根据韦达定理，，得，从而． 所以，则， 所以，从而椭圆的方程为． ②由（2）知，又因为，且， 所以 ， 则， 故，从而是直角三角形． 11. 椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 【答案】(1) (2)①1；②证明见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据离心率和点的坐标可求出的值，进而可得到椭圆方程. （2）①通过相切可求出点到直线的距离，结合方程根据韦达定理即可求出的值；②首先求出点的坐标，然后求出直线的斜率，进而得到直线的方程，从而可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意可得，且， 又，解得，，，故的方程为. （2）①由题可得，设直线，的斜率分别为，， 则直线的方程为， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离， 整理得，同理， 则，为方程的两个根，所以. ②证明：设，，由得， 则，即，所以， 所以， 同理得， 直线的斜率 ， 所以直线的方程为， 令，得， 所以直线与轴交于定点. 12. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. (1)求的方程； (2)已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围； (3)若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 【答案】(1) (2) (3)，. 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、用和、差角的正切公式化简、求值、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）将代入椭圆方程，可得，再利用椭圆的定义可得，即可得椭圆方程； （2）根据两点距离公式，结合二次式的性质即可求解； （3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据正切和差角公式以及斜率公式化简求解. 【详解】（1）由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，则， ， 因为当为的右顶点时，取得最小值， 即时，取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围是. （3）设，（且），，， 将与联立得， 则，， 又分别为直线的倾斜角， 因为， 所以为定值， 又 ， 又为定值，则，所以， 当时，，为定值， ， 所以，. 13. 在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和. (1)求C的标准方程； (2)证明是定值，并求出该定值； (3)设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标. 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)证明见解析，或. 【难度】0.15 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆所过的点及短半轴长、椭圆参数关系求椭圆方程； （2）将椭圆中心作平移为，齐次化法设对应平移后直线方程为，进而有，结合“1”的处理得到和是的两个根，应用韦达定理即可证明结论； （3）由题意，设，并得到、，代入等量关系式，结合（2）结论整理得，联立椭圆求出定点，即证结论. 【详解】（1）由已知得，则的标准方程为. （2）将椭圆向右平移个单位，再向下平移1个单位得， 即， 运用齐次化方法，构造平移后的直线， 设，则过点，则， ， 整理得， 显然和是的两个根， ，， ，得证. （3）根据角平分线性质，可得，设， 直线：，令，得，同理， 代入，则， 两边平方化简得， 即， 即，得，即满足条件的轨迹是一个定圆， 联立其和椭圆，得，解得或（舍）， 综上，椭圆上存在点或使得恒成立. 14. 已知椭圆C：经过点． (1)求C的离心率． (2)设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；②证明见解析 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求等比数列前n项和、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆方程得，进而求得离心率； （2）①由题可知直线的斜率不可能为0，设的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数关系，结合，解得，进而得证；②根据题意，可得是等比数列，求得，得，分n为偶数和奇数分别证明. 【详解】（1）因为椭圆C经过点，所以，故， 所以C的离心率. （2）①由（1）知C的方程为，，. 由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，．所以． 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过x轴上的定点. ②由①可知，，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，. 当n为偶数时，， 所以. 当为奇数时，因为， 所以. 综上可得：. 15. 已知椭圆的右焦点为，点是E上的一点. (1)求E的方程； (2)若E与x轴的两个交点分别为和（点在的左边），M，N是E上异于，的两点. （i）若直线MN过点F，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）已知直线MN不过坐标原点O，且不与坐标轴平行，点M关于原点O的对称点为，若直线与直线相交于点S，直线OS与直线MN相交于点T，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）是定值，定值为；（ii） 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）有题知，把点代入椭圆方程中并结合椭圆中基本量的关系形成方程组，然后解方程求出基本量即可得到E的方程； （2）（i）这直线的方程为，，，联立曲线E的方程，得到，，同时得到，然后计算即可得出是定值； （ii）设直线MN的方程为，联立曲线E的方程，得到，，设，由，，三点共线，得，由S，N，三点共线，得，然后可求直线OS的斜率，得到直线OS的方程，最后求得交点T，再得出故当，T，三点共线时，取得最小值. 【详解】（1）由题意知，解得，，，所以E的方程为. （2）（i）显然直线MN的斜率不为0， 如图，设直线MN的方程为，，， 由，得， 所以，，所以. 易得，，所以，， 所以， ,即为定值. （ii）设，，直线MN的方程为， 由得， 而，且，. 又，，设，由，，三点共线，得； 由S，N，三点共线，得， 所以 . 故直线OS的斜率，则直线OS的方程为， 由，解得，因此点在定直线上. 点O关于直线的对称点， 所以， 当且仅当，T，三点共线时等号成立，所以的最小值为. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与交于，两点，求证：； (3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)在， 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可得到椭圆的标准方程； （2）若直线与轴重合，得到，为椭圆长轴的端点，证得成立；若直线不与轴重合，设直线的方程为，联立方程组，设点，，得到两根之和，两根之积，化简得到，得出轴平分，由正弦定理即可得证； （3）联立方程组，由，得到，且，，得到直线和的方程，设直线和的交点，列出方程，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：由四边形为正方形，点，且的面积为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：证明：由（1）可得，， 若直线与轴重合，则，为椭圆长轴的端点， 不妨设点，则，所以，， 所以成立； ②若直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设点，，所以， 且，， 则 ， 所以轴平分， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又， 所以，两式相除得. （3）解：由（1）可得，， 联立方程组，整理得， 则，可得， 设点，，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 设直线和的交点为， 则， 把，代入上式得，整理得， 所以点在定直线上，定直线的方程为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §10.3 直线与椭圆的综合问题 目录 题型1：弦长与面积问题 2 题型2：中点弦与点差法 4 题型3： 定点定线问题 6  定点问题 6  定线问题 7 题型4：定值问题 9  长度或距离为定值 9  斜率或代数式为定值 10  几何图形的面积为定值 12 题型5：最值、范围问题 14 题型6：证明、探索问题 17  证明问题 17  探索性问题 21 题型7：椭圆中的切线问题 25 【强化训练】 27 题型1：弦长与面积问题 方法提炼 (1) 直线与椭圆相交的弦长问题 ①若直线斜率不存在，可以直接将直线方程(一般方程中带有字母参数)代入椭圆方程,得交点坐标,进而求相交弦问题。直接求解此类问题的情况较少,一般是在求直线方程的有关问题中,分类讨论此种情况,注意在解答时不要漏解,同时注意检验是否符合题意。 ②若直线斜率存在，直线方程为，与椭圆的两个交点为,则相交弦长 （其中为的系数）. (2) 与焦点弦有关的结论 ①直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则. ②椭圆中最短焦点弦为通径长为. (3) 直线与椭圆的三角形面积 1　 通法：，其中弦长和距离待求； 2　 已知三角形的两边及其夹角：； 3　 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型。 （i）点P在x轴上，直线交椭圆于A,B两点，交x轴于点C， A,B是在x轴异侧 A,B是在x轴同侧 不管A,B在x轴同侧还是异侧，成立.类似地，若点P在y轴上可得 （ii）点P在x轴上，倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点，交x轴于点C， A,B是在x轴异侧 A,B是在x轴同侧 不管A,B在x轴同侧还是异侧，成立. ④三角形面积坐标公式：设平面上两个点和的坐标分别为，为坐标原点，则。 【例1.1.】 过椭圆的左焦点F作倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知椭圆C：的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点，若点P在C上，且的最小值为 (1)求C的方程； (2)若点Q在直线上，且，，求点P的坐标. 【例1.3.】 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【例1.4.】 已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 【例1.5.】 已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值. 【例1.6.】 已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点． (1)若椭圆C的离心率是，求b的值； (2)设的面积是，的面积是，若，时，求t的值； (3)若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方． 题型2：中点弦与点差法 方法提炼 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出，，中点，直线的斜率k，将点A，B代入椭圆的方程，两式相减，整理得. 【例2.1.】 已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为 ． 【例2.2.】 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【例2.3.】 已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知椭圆过点分别为椭圆的左右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点（点在第一象限），是椭圆上异于的点，直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； (3)若直线和分别交椭圆于点，且直线的斜率为，求直线的斜率. 【例2.5.】 已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【例2.6.】 已知椭圆，为坐标原点，点分别在直线与上，是上一点，四点构成平行四边形． (1)证明是定值，并求该值； (2)求平行四边形面积的最大值； (3)一族直线与交于点，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程． 题型3： 定点定线问题 · 定点问题 方法提炼 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1) 引进参数法： 把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数，把常量当作未知数，把方程一端化为零,即化成的形式(这里把常数当作未知数)；既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,即，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 (2) 特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在. 【例3.1.】 已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【例3.2.】 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，且过点，过原点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若点在第一象限，过点作直线的垂线，垂足分别为，求证：； (3)若点关于轴的对称点为，点的坐标为（4，0），直线交于点，探究：直线是否过定点，若是，请求出定点，若不是，请说明理由. 【例3.3.】 已知椭圆的焦距为4，上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且为椭圆上两个不同的动点（均不与重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若为的垂心，求直线的方程； (3)若是的角平分线，问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由； · 定线问题 方法提炼 圆锥曲线动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型， (1) 设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2) 待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数. (3) 面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”. 【例3.4.】 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【例3.5.】 已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【例3.6.】 平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． (1)求点Q的轨迹E的方程； (2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由． 题型4：定值问题 · 长度或距离为定值 方法提炼 常见问题类型及解法： (1) 证明弦长为定值，一般用直接求解法，即先利用弦长公式将待证明的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值. (2) 证明点到直线的距离为定值，先用点到直线的距离公式写出距离的表达式，然后通过其他条件（如该点在某种轨迹上，或直线满足某种条件）来化简，有时需要结合联立后判别式（相切条件）或其他几何关系来消参. (3) 证明距离的乘积或商为定值，先用两点间的距离公式将涉及的线段表示出来，然后利用韦达定理整体化简，最终消去参数.对于弦长可先求其平方，化简得到常数后再开方. 【例4.1.】 已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求C的标准方程； (2)直线与C交于两点，且以为直径的圆过原点O．证明：原点O到直线l的距离为定值． 【例4.2.】 已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 【例4.3.】 已知椭圆的焦距为，以椭圆E短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线AB，CD分别交椭圆E于点A，B，C，D，点A始终在第一象限且与点D关于y轴对称，直线AC，BC分别交y轴于点G，M． (1)求椭圆E的方程； (2)求点G的坐标； (3)判断是否为定值，如果是，求出定值，如果不是说明理由． 【例4.4.】 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. · 斜率或代数式为定值 方法提炼 (1) 求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值. (2) 在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题中，我们需要先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可.用特殊直线（如平行于坐标轴）猜出定值，可验证化简结果. (3) 斜率乘积为定值的常见模型 ①过原点的弦：； ②过焦点的弦：若直线过焦点，与椭圆交于，则可能为定值（与离心率有关）； ③点差法模型：弦的中点，则； ④对称点模型：若关于某点或某直线对称，则斜率积为定值. 【例4.5.】 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，，的面积为1. (1)求椭圆、抛物线的标准方程； (2)过点的直线分别与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线的斜率分别是，，，.证明：为定值. 【例4.6.】 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【例4.7.】 已知圆，圆过点且与圆内切，若圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），且曲线与轴交于两点（在点左侧），记直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是请求出定值；如果不是，请说明理由． 【例4.8.】 在平面直角坐标系中，分别以轴和轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上． (1)求曲线的平面直角坐标系方程； (2)若斜率为的直线与曲线交于、两点（直线斜率为正），直线、（若、重合，直线即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于、两点，为中点． （i）证明：为定值； （ii）最大时，将坐标平面沿轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球的半径最小时，三棱锥的表面积． 【例4.9.】 已知椭圆过两点，椭圆的所有外切矩形的顶点在一个定圆上，称此圆为椭圆的蒙日圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)矩形为椭圆的外切矩形，求矩形面积的取值范围； (3)过椭圆的蒙日圆上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，且直线的斜率都存在，证明：为定值． · 几何图形的面积为定值 方法提炼 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可. 【例4.10.】 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点为椭圆的左、右顶点，的周长为，记动点的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)过点作椭圆的切线交曲线于、两点（含情况），记、的面积分别为、，求的值. 【例4.11.】 在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆内接菱形的面积的最小值； (3)是否存点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 【例4.12.】 已知椭圆 的焦距为，直线 与交于、两点，为坐标原点，为中点．若. (1)求椭圆的方程； (2)若、的斜率分别为、且始终满足，求直线的斜率的值； (3)、为椭圆上关于原上对称的两点且满足，直线、交于点，问：的面积是否为定值？若是求出此定值，若不是请说明理由． 题型5：最值、范围问题 方法提炼 求解与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题时，有以下两种解法: (1) 代数法:将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，再求这个函数的最值或取值范围,常从以下五个方面考虑: ①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围. ②利用已知参数的范围,求新参数的范围解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系. ③利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. ④利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. ⑤用函数的值域的求法(单调性法、三角函数的有界性、基本不等式等),确定参数的取值范围. (2) 几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线的几何特征,则利用图形的性质和数形结合思想来解决最值或取值范围问题 【例5.1.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例5.2.】 已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ． 【例5.3.】 已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【例5.4.】 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点，过点且斜率为的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线交于点M、N，当时，求斜率k的取值范围． 【例5.5.】 已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例5.6.】 若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5.7.】 在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. (1)求点的轨迹的方程； (2)轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 【例5.8.】 已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 【例5.9.】 已知椭圆的离心率为，的左顶点为，上、下顶点分别为． (1)求的方程． (2)记为坐标原点，设是上异于顶点的一个动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （Ⅰ）记的面积为，的面积为，证明：． （Ⅱ）若点在外接圆的圆外，求点的纵坐标的取值范围． 【例5.10.】 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，是椭圆上异于，的点，且直线与直线的斜率之积为1． (1)求点的坐标； (2)求面积的最大值． 【例5.11.】 已知椭圆的上顶点为，左焦点为，直线与交于两点（不与椭圆的顶点重合），当经过点且与轴垂直时，. (1)求的方程； (2)若点，被轴平分，当到直线的距离最大时，求直线的方程. 【例5.12.】 已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． (1)求的最小值； (2)当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； (3)若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 【例5.13.】 已知椭圆的长轴长为分别为的上､下顶点和右顶点，且． (1)求的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，与轴交于点． ①求面积的最大值（其中为坐标原点）； ②求的最小值， 题型6：证明、探索问题 · 证明问题 方法提炼 圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1)位置关系方面：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明. 【例6.1.】 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【例6.2.】 如图，点是直线上的动点，以为圆心的圆过点，直线是圆在点处的切线，过作圆的两条切线分别与交于点. (1)求的值； (2)设点的轨迹为曲线，，直线交曲线于两点，且直线与直线交于两点，证明：点在以为直径的圆上. 【例6.3.】 已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：点到直线的距离是定值； (3)求的取值范围． 【例6.4.】 矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． (1)求的方程及离心率； (2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 【例6.5.】 已知椭圆上的一点向轴作垂线，垂足恰为右焦点．椭圆与轴负半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，且（为坐标原点），． (1)求椭圆的方程； (2)经过点直线与椭圆相交于两点，点到直线的距离为，求的面积； (3)若椭圆上任意三点满足，且点在第四象限，求证：． 【例6.6.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． (1)求椭圆的焦距；若，求点的坐标； (2)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 【例6.7.】 已知点、为椭圆上两点. (1)求椭圆的方程； (2)过原点的直线与椭圆交于、两点，记四边形与的面积分别为、，若，求； (3)过点的直线交椭圆于、两点，过且平行于轴的直线与直线交于点，与直线交于点，求证：点为线段的中点. 【例6.8.】 已知椭圆的离心率为，短轴长为6，过右焦点的直线与交于两点． (1)求的标准方程； (2)已知点， （ⅰ）当时，求面积的取值范围； （ⅱ）当时，证明：． 【例6.9.】 已知椭圆的短轴长2，离心率为 分别是C的左、右顶点，F是C的右焦点. (1)求C的方程; (2)设P是椭圆C上异于顶点的动点，点B在直线上，且，直线PB与x轴交于点Q.证明： 【例6.10.】 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：； (3)若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【例6.11.】 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若， ①证明：； ②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 【例6.12.】 已知椭圆的离心率为，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆相交于P，Q两点，求线段PQ的中点N的轨迹方程； (3)若A关于原点O的对称点为B，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，轴于点H，直线BC与x轴交于点M.用与分别表示与的面积，证明：. 【例6.13.】 已知椭圆的焦距为2，点在上，是的右焦点，设过点的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)直线不与轴重合，且平分． ①求的值； ②若点是直线与的交点，证明：． 【例6.14.】 已知曲线，（，），当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”.    (1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、（），如图所示，若直线能与椭圆、依次交于，，，四点，证明：； (2)当（）时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设. （i）求证：为等比数列，并求出其通项公式； （ii）令数列，求证. 【例6.15.】 已知椭圆经过点． (1)求的离心率． (2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明： · 探索性问题 方法提炼 圆锥曲线中的探究性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正确,则不存在.其策略为 (1) 当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立,再推出条件. 【例6.16.】 如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【例6.17.】 动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【例6.18.】 已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【例6.19.】 已知A，B，C是椭圆上三个不同的点，是坐标原点. (1)若，是的左、右顶点，求的取值范围； (2)若点在第一象限，是否存在四边形满足是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由. 【例6.20.】 已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求的方程. (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点. （ii）记直线过的定点为，过点作直线的垂线，垂足为，试问是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，请说明理由. 【例6.21.】 已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【例6.22.】 已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； (3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例6.23.】 已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且. (1)求椭圆M的标准方程. (2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程. 【例6.24.】 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点； (3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由. 【例6.25.】 如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点.    (1)若直线经过焦点，求此时线段的长度； (2)若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【例6.26.】 如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C．    (1)证明曲线C的方程为； (2)设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点. ①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值. ②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为?若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 题型7：椭圆中的切线问题 方法提炼 (1) 椭圆的切线方程：上一点处的切线方程是； (2) 设椭圆的焦点为F，若过点P的直线PA，PB分别与椭圆C相切于A，B两点，则； 【例7.1.】 已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【例7.2.】 已知两个定点，，动点P满足直线PM与PN斜率之积为定值，其中O是原点． (1)求动点P的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状； (2)当时，过点作与x轴垂直的直线交曲线C于E，F两点，在OA的延长线上存在一点Q，使得，，成等比数列，证明直线EQ是曲线C的切线． 【例7.3.】 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点. （i）求的最小值； （ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切. 【例7.4.】 已知椭圆的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【例7.5.】 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，分别为其左、右焦点，P是椭圆E上与A，B不重合的任意一点，点P到原点O的距离的最小值为1，直线与直线的斜率之积为．已知，以为直径的圆与以为直径的圆在x轴上方的交点为． (1)求椭圆E的方程； (2)（i）证明：直线为椭圆E的切线； （ii）设切线与椭圆E的切点的横坐标为，证明：． 【例7.6.】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若是上一动点，的周长. (1)求的离心率. (2)如图，若过原点可向圆作两条切线，设切点分别为、，其中点在第二象限，点在第一象限，直线、的斜率分别记为、，且为定值. （i）求的方程； （ii）建立与之间的恒等关系. 【例7.7.】 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围； (3)过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线. 【例7.8.】 已知椭圆，过作椭圆在第四象限的切线，其中切点为.设是椭圆第一象限上的动点，过作椭圆的另一条切线，交轴于点. (1)求切线的方程； (2)过点垂直于轴的直线与直线交于点，求面积的最大值； (3)直线和切线相交于点，过点作的平行线交切线于点.问：是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【强化训练】 1. （多选）已知点是椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用，，分别表示直线，，的斜率，，则（    ）． A． B． C． D．面积的最大值为 2. （多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ） A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 3. （多选）在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 的左焦点， 分别是 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，则（   ） A．若直线 经过点 ，则 的最小值为 1 B．若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 C．若直线 经过坐标原点，则 D．若点 在椭圆 上(点 与 不重合)，且 ，则 4. 椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是 ． 5. 椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 6. 已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 7. 已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N. （i）证明：直线过定点； （ii）求四边形面积的取值范围. 8. 已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点. (1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (3)记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 9. 已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，且满足． (1)求椭圆的离心率； (2)过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为． ①若，求椭圆的方程； ②试探究的形状，并说明理由． 11. 椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 12. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. (1)求的方程； (2)已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围； (3)若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 13. 在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和. (1)求C的标准方程； (2)证明是定值，并求出该定值； (3)设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标. 14. 已知椭圆C：经过点． (1)求C的离心率． (2)设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：． 15. 已知椭圆的右焦点为，点是E上的一点. (1)求E的方程； (2)若E与x轴的两个交点分别为和（点在的左边），M，N是E上异于，的两点. （i）若直线MN过点F，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）已知直线MN不过坐标原点O，且不与坐标轴平行，点M关于原点O的对称点为，若直线与直线相交于点S，直线OS与直线MN相交于点T，求的最小值. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与交于，两点，求证：； (3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $