5.1常量与变量 教案 2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“常量与变量”核心概念，通过神舟飞船发射、热气球上升等生活实例及“一场秋雨一场寒”等俗语诗词导入，衔接小学数量关系认知，搭建从常量数学到变量数学的过渡支架，为后续函数学习奠定基础。 资料以实例驱动教学，通过圆面积计算、钟点工工资等实例引导学生观察归纳概念，培养抽象能力与数学眼光，结合快递收费、书本分配等问题强化应用，渗透模型意识。多样化课堂练习覆盖几何、物理等情境，助力教师高效突破重难点，帮助学生形成用数学眼光观察生活的习惯。

第五章 一次函数 5.1常量与变量   一、教材分析 “常量与变量”是初中数学“一次函数”章节的起始内容，是学生从常量数学学习过渡到变量数学学习的关键节点，为后续函数概念、图象及性质的学习奠定基础.教材通过现实生活中的实例 (如圆的面积、钟点工工资、快递收费等)，引导学生认识变化过程中量的分类，体会数学与实际生活的紧密联系. 教材先以马术比赛、物体运动、商品买卖等生活场景引入，引发学生对“变化的量”的思考；接着通过圆的面积计算、钟点工工资计算两个典型实例，让学生直观感受常量与变量的区别；最后以快递收费的例子深化对概念的理解，整个编排由浅入深，符合学生的认知规律.  二、学情分析 学生在小学阶段已接触过一些简单的数量关系，如路程、速度、时间的关系，以及几何图形的周长、面积计算，对“量”的变化有一定的生活感知，但缺乏对“常量”和“变量”的系统数学定义认知. 八年级学生思维处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对现实生活中的实例较为敏感，能够通过具体例子理解抽象概念，但对概念的本质把握需要借助丰富的实例和及时的归纳总结.  三、教学目标 1.理解常量和变量的定义，能准确识别具体情境中的常量与变量. 2.能结合实例说明两者的区别与联系. 3.通过对圆的面积、工资计算、快递收费等实例的分析，经历观察、归纳、抽象的过程，培养从实际问题中提炼数学概念的能力. 4.感受数学与生活的密切联系，体会数学概念的形成源于实际需求，激发学习数学的兴趣，培养用数学眼光观察生活的意识.   四、教学重难点 重点：理解常量和变量的定义，能准确识别具体情境中的常量与变量. 难点：能结合实例说明两者的区别与联系.   五、教学过程 · 本章引入 函数是刻画客观世界变化的重要数学模型，它的应用十分广泛.例如，神舟飞船发射过程中， 飞船离地面的高度随时间变化的规律；跳远运动员助跑速度与跳远距离之间的关系等，这些量与量的关系常常用函数来描述.函数可以帮助我们了解事物的变化规律. 我们还可以用一次函数来解决下面的问题：一个热气球从海拔5米处出发，以2米/分的速度上升，同时另一个热气球从海拔25米处出发，以1.5米/分的速度上升.在某时刻这两个热气球会位于同一海拔高度吗? 本章将学习常量、变量及函数的初步知识，学习一次函数的图象和性质，掌握函数学习的基本方法，初步学会运用函数解决实际问题. 设计意图：通过生活实例激发兴趣，让学生感受函数在刻画变化中的作用;小组讨论解决热气球问题，培养合作探究能力，自然引出本章学习内容，明确学习目标. · 情境导入 1.一场秋雨一场寒,十场秋雨穿上棉.说明__________随______的变化而变化. 2.会当凌绝顶，一览众山小，说明 ____________随__________的变化而变化. 答：1. 天气温度；时间 2. 人的视野；海拔高度 万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中，如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢? 师生活动：教师呈现情境导入的两个问题，让学生独立思考后回答，随后追问“从数学角度如何刻画这种变化”引发学生思考 设计意图：以生活俗语和诗词为切入点，激发学生兴趣，使其直观感受“量随量变化”的现象，为引出常量与变量、函数等数学概念做铺垫，帮助学生建立数学与生活的联系，培养观察与思考能力. · 探究新知 活动一：探究常量与变量的概念 师生活动：教师呈现圆的面积和钟点工工资两个问题，让学生计算并填写数值，随后追问量的变化情况.学生独立完成计算后，小组交流并回答追问，教师总结常量与变量的定义. 问题1：圆的面积公式为S=πr² , 取r的一些不同的值，算出相应的S的值： r= cm S= cm2 r= cm S= cm2 r= cm S= cm2 ... ... 答：2；4π 3；9π ；5π 追问：在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量在改变，哪些量不变? 答：r，s 在改变，π 不变 问题2：假设钟点工的工资标准为25元/时，设工作时数为 t (时)，应得工资额为m(元)，则 m=25 t. 取t的一些不同的值，求出相应的m的值: t= m= . t= m= . t= m= . ... ... 答：2；50 3；75 3.5；87.5 追问：在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中，哪些量改变?哪些量不变? 答：t，m在改变，工资标准不变 在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量. 如上面两题中，圆周率π和钟点工的工资标准25元/时 半径r和圆面积S，工作时数t和工资额m 注意：在一个过程中，常量与变量是相对存在的. 设计意图：通过具体实例让学生直观感知量的变化，引导其自主归纳概念，培养分析与归纳能力，同时让学生体会数学源于生活，为后续函数学习奠定基础. 做一做： 1.正方形周长l与边长a之间的关系式是l= 4a，对于各种不同大小的正方形，其中常量是______，变量是______ . 答： 4；l， a 2.物体自由下落时，下落距离h(米)与下落时间t(秒)的关系式是h=gt2(g取9.8m/s2)，对于不同的下落时间，其中常量是__________，变量是__________. 答： ，9.8；h，t 总结：常量和变量可以在数学关系式中找. 3.若汽车以50千米/小时的速度行驶，则路程速度、时间三个量中常量、变量分别是什么? 答：常量是50千米/小时；变量是 S，t. 4.若汽车行驶了200千米的路程，则路程、速度、时间三个量中常量、变量分别是什么? 答：常量是200千米；变量是 v，t. 5.若汽车行驶了4小时，则其中常量、变量分别是什么? 答：常量是4小时；变量是S，v 总结：常量和变量是对某一变化过程来说，不是绝对的而是相对的. 6.某种报纸的定价为a元，购买x份此种报纸共需y元，则 y＝ax中的常量是______，变量是______. 答：a ；y，x 7.寄一封平信的邮资为p，寄x封这种平信的总邮资为y，则y=px，其中哪些是常量，哪些是变量? 答：常量是p；变量是x，y 总结：常量一般是具体的数，在特定情况下字母也可以表示常量. 在某一个过程中，常量的个数可以是一个，也可以是多个. 师生活动：教师依次呈现7个例题，学生独立完成后小组互评，教师针对共性问题讲解.对每部分总结，引导学生归纳常量与变量的判断方法. 设计意图：通过多样例题巩固概念，让学生在练习中掌握常量与变量的区分，理解其相对性及字母表示常量的情况，培养举一反三的能力，逐步深化对概念的认知. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师展示快递收费例题，引导学生分析图表并填写表格，随后组织学生讨论常量与变量的判断，教师针对追问进行点拨. 例1 一家快递公司的收费标准如图，用t表示邮件的质量，p表示每件邮件的快递费，n表示 快递邮件的件数. (1)填写下表. (2)在投寄快递的过程中，t，p，n是常量，还是变量?若0<t≤10，投寄n件邮件的快递费记为w元，此时t，p，n，w中，哪些是常量?哪些是变量? 答： (2)分析：要判断一个量是常量还是变量,就是要看在这个过程中量的取值有无改变. 答：在投寄快递邮件的事项中，t，p，n都是变量. 若0＜t≤10，则p为常量，t，n，w为变量. 追问：如果 0<t≤15，那么p还是常量吗?为什么? 答：不是.由图可知，当t在0<t≤15范围内变化时，p的取值是变化的，所以p是变量. 设计意图：通过实际快递收费案例，让学生运用常量与变量的概念解决问题，体会其在实际场景中的应用，同时通过追问深化对概念相对性的理解，提升分析和解决实际问题的能力. 【经典例题】 师生活动：教师讲解例题，引导学生分析书本分配中量的变化情况，学生思考后作答，教师点评并总结常量与变量的判断方法 例2 把 15 本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是( ) A.15 是常量 B.15 是变量 C.x是变量 D.y是变量 分析：把 15 本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则x和y分别是变量，15 是常量. 故选:B. 答：B. 总结：一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量. 设计意图：通过书本分配的实例，让学生巩固常量与变量的概念，学会在具体问题中区分两者， 同时强化对“数值是否变化”这一判断标准的理解，提升知识应用能力. · 课堂练习 教材练习 1.举两个常量和变量的实际例子. 解：①汽车以 60 千米/小时的速度匀速行驶，行驶时间t(小时)和行驶路程s(千米)的关系为s = 60t. 其中 60(速度)是常量，t和s是变量，行驶时间不同，行驶路程也不同. ②小明每天坚持跑5公里，记跑步天数为n，总跑步里程为m公里.其中，5(每天跑步的公里数)是常量；n(跑步天数)和m(总里程)是变量，天数不同，总里程也会不同. 2.某水果店橘子的价格为4.5元/千克，记买k千克橘子的总价为s元.说出其中的常量和变量. 解：常量：4.5(橘子的单价，固定不变) 变量：k(购买橘子的重量，可变化)、s(购买橘子的总价，会随着重量k的变化而变化) 师生活动：教师布置教材练习，学生独立完成后小组交流，教师巡视并对典型答案进行点评，引导学生总结常量与变量的识别方法. 设计意图：通过实际例子的练习，让学生熟练运用常量与变量的概念解决问题，巩固知识;小组交流和教师点评帮助学生查漏补缺，深化对概念的理解，提升知识应用的准确性和灵活性. 课堂练习 3. 直角三角形两个锐角∠A，∠B 的关系为_____________，其中常量是_________,变量是___________. 答：∠A+∠B= 90°；90°；∠A，∠B 4. 下列说法不正确的是( 　　) A．正方形的面积S＝a2中有两个变量S，a B．圆的面积S＝πR2中π是常量 C．在一个关系式中用字母表示的量可能不是变量 D．如果x＝y，则x，y都是常量 分析：选项 D:若x＝y，x和y可以取不同的值(只要相等即可)，所以它们是变量，不是常量，该说法不正确. 答：D. 5. 以21 m/s的速度向上抛一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的时间t(s)之间的关系是h＝21t－4.9t2. 下列说法正确的是(　　 ) A．4.9是常量，21，t，h是变量 B．21，4.9是常量，t，h是变量 C．t，h是常量，21，4.9是变量 D．t，h是常量，4.9是变量 分析：在关系式h＝21t－4.9t2中，21和4.9是固定不变的量,属于常量；t(运动时间)和h(小球高度)会随着运动过程发生变化，属于变量.故选：B. 答：B 6. 如果用总长为60m 的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S(m²)周长为 p(m)，一边长为a(m)，那么S、p、a中，常量是( ) A. a B.P C. S D. p、a 分析：已知篱笆总长为 60m，长方形的周长p等于篱笆总长，所以p = 60，是固定不变的量，属于常量. 一边长a可以取不同的值，面积S = a(30 -a)会随着a的变化而变化，所以a和S是变量.故选：B. 答：B 7.如图是某地某日的气温变化，请判断温度和时间表示的是变量还是常量? 答：答：温度和时间都是变量 师生活动：教师布置课堂练习，学生独立完成后，教师选取典型题目(如第4、5、6题)进行讲解，引导学生分析每个量的变化情况，总结判断方法；对于第7题的图象，组织学生观察后集体作答. 设计意图：通过多样练习巩固常量与变量的概念，涵盖几何、物理、实际场景等不同类型，提升学生知识应用的广度与深度；教师讲解与学生观察作答结合，帮助学生精准把握念本质，强化解题能力. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是常量，什么是变量？ 3.在辨析常量和变量时有哪些注意事项？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． 学科网（北京）股份有限公司 $