河北省NT20名校联合体2026届高三上学期1月质检考试数学试题

NT20名校联合体高三年级1月质检考试 数学（一）参考答案 1.【答案】B 【行】哥告侣昌子，情以夫家复数库部为是微运B 2.【答案】C 【解析】数据1,3,4,5,6,8,9,27共8个，则8×75%=6， 因此第75百分位数为8+9 8.5,故选C 2 3.【答案】D 【解析】+b=（-2+m,6),因为a∥(a+b),则(-2)×6=4(-2+n),解得n=-1.故选D. 4.【答案】C 【解析】由等比数列的性质得a·a=a2,解得a=±2.故选C. 5.【答案】C 【解析】因为椭圆二+x=1a>1)的离心率为a三 23 所议d-即a9，c三.所以该的焦距为放选0 a 2 3 3 6.【答案】A 【解析】1，/l2→3a(a-1)-2×3=0,且3×(-7)≠51-a),解得a=-1或a=2 由a=-1可得1/l2;而11∥12还可能得a=2, 由此可知：“α=-1”是“1l2的充分不必要条件，故选A 7.【答案】D 【解析】取x=0,得fy)+f(-y)=0,即f(x)为奇函数； 取y-受得fc+受+x受=0，所以fx+)=-f, 所以f(x+2m)=-f(x+T)=f(x),所以f(x)的周期为2π. 又写+)为奇函数所以()的图象的一个对称中心为号)，放)图象的对称箱为直线x=子，结合 上面结论可得直线x=亚也是f)图象的对称轴， 又方程f(x)=m(m>0)在区间[0,3π]上恰有四个不同的实数根，x2,,x4,则x+x2+x,+x4=6元. 第1页共7页 8.【答案】D 【解析】因为E,F分别为AB,AC的中点， 所以EF∥B,C1,延长BB至点K,使得BB=BK=4,连接CK, 所以BK=CC=8,且B,K∥CC,所以四边形B,KCC为平行四边形， F 所以KC∥BC,所以KC∥EF: 连接EK,交AB于点M,过点E作AB的垂线，垂足为Q, 则EQ∥B,K,又E为AB的中点， 所以Q为AB的中点，所以EQ=AA+BB=6, 2 又AB=8,OB=4. BM BK 由△EQM△BM易知， o0,即，aM=4 4-BM 6 解得BM= 5 所以 &8 ⊙5=4.故选D MB 8 5 9.【答案】ABC 【解析】选项A,斜二测画法可能会改变边长比例，A选项错误： 选项B,当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面， 故选项B错误： 选项C,过圆锥项点的所有截面中，轴截面的面积是否最大，取决于轴截面三角形的顶角是否不大于90°， 故C错误； 选项D,用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确：故选ABC 10.【答案】AB 【解析】函数f(x)=2x3-x2,f'(x)=6x2-2x=2x(3x-1), 由F(>0得心号或x<0,所以f)的单调增区间为(-m.0店切A选项正确： 1 当x=0时，有极大值0=0，B选项正确：当x时，有极小值兮=克又2)-12>0， 所以f(x)的图象与x轴有两个交点，C选项错误："(1)=4，f(1)=1,所以切线方程为y-1=4(x-1), 即4x-y-3=0,D选项错误.故选AB. 第2页共7页 11.【答案】ABD 【解析】对于A选项：由题知a=2,b=√5，c=3, 所以双曲线C的离心率为二A选项正确： 对于B选项：如图1所示， 设圆O与△AFF,的三边分别相切于点P,M,N, 延长F,D交AF于点E,连接OD, 图1 OD I4FI-4F,HAFI-1AEHERE2a,IODFIERFa=2, 因此B选项正确； 对于C选项：如图1所示， AF-AFAN+NF-(AM+MF =NF-MF =PFI-PF=(x+3)-3-x)=4 解得x。=2,故圆心O,的横坐标为2，故C选项错误： 对于D选项，如图2，设双曲线C在点A处的切线为GH,作AT⊥GH, 由光学性质可以知道∠F,AT=∠SAT,∠GAS=∠F,AH, G 又∠F,AH=∠GAF,∠GAS=∠FAH, 所以∠F,AH=∠FAH,所以AH为∠FAF,的平分线， 故A,H,O三点共线.故D选项正确.故选ABD. 图2 12.【答案】-3√3 【解折】由题意可得直线x+3y-2-0的斜率为号所以m弩5=-号解得a=-35 3 13.【答案】6 【解析】由题意知F(0,2)是抛物线x2=8y的焦点， 过点M作准线的垂线，垂足为M',记点M到抛物线x2=8y的准线的距离为d, 所以MA+MB≥MA+MF-1=MA+d-1≥5+2-1=6， 当且仅当直线AM与抛物线的准线垂直，点B在线段MF上时，等号成立， 所以MA+MB的最小值为6. 第3页共7页 4【答案】 3 【解析】因为BC⊥SC,所以S在过C点且与BC垂直的平面内， 设x∩平面ABC=l,过A作1的垂线，垂足为A,则A4⊥a,且 S 4-子，因为4-多，所以8点在以A为底面圆心的圆周上， B 如图平面SCA⊥平面ABC,且平面SCA∩平面ABC=1,由 图可知S到底面ABC的最大距离为√SA-A4=2,所以三棱 锥体积的最大值为台双×292=写 32 3 15.【解析】 (1)因为sin2c-sinAsinB=sin2A+sin2B, 所以由正弦定理得C2--b2=☑b,3分 1 c2-a2-b2 =-2abcosC,..cosC = Ce(0,m,C=2π 6分 (2)因为4C10,所以∠AcD-号∠DcB=君 因为SA4Bc=SA4cD+SACD, .9分 所以咖a管-吃n-a0r吗 3=2 即时x3×5x9-3cD5CD号解得cD-156 13分 2 221 2 2 11 16.【解析】 (1)因为BC为直径，则B(5,2),C1,0)的中点为D(3,1),所以圆心为D(3,1),3分 半径，=5-1+2-0=5，所以圆D的标准方程为(c-到2+-1)2=56分 2 (2)设M(x,y),A(:,%), 因为C1,0),M是线段AC的中点， 庙中点坐标公式得x之y生六0，所以2-，W=2少一9分 由(1)知，点A的轨迹方程为（心-3）2+(y-)2=5, 第4页共7页 将6=2-1%=2y代入得2x-到+(2v-0=5,即(x-2y+0- 13分 所以动点M的轨迹方程为(c-2少+0-°-0除0.，0.(6)两点)15分 17.【解析】 (1)因为焦距为2，所以2C=2,即c=1,… .2分 又椭圆上顶点到点F的距离与到直线：y=4的距离之比为2 上顶点P(0,a),则 a-11 4-a2 .4分 解得a=2,即a2=4,b2=3, 所以椭圆C的标准方程为之+3=1…………… 4 6分 (2)由题知F(0,1),设直线AB:y=x+4,A(,y),B(x2,), 「y=k+4 联立 2十=1’得（3k+4）X+24k+36=0，…8分 4+3 则△=(24)-432+4)×36>0，解得k>2或k<-2, 36 由韦达定理可得X十上232…10分 所以 e+k。=当1+_+3)5++到5 12 xx2 2k. 36 -24） 2x2+3(x+x） 2k3+4+33+4 72k-72k0 Ix 36 36 3k2+4 所以k4r十kgr为定值0.… .15分 18.【解析】 (1)证明：连接AC交AC,于点O, 在斜三棱柱中，四边形ACCA为平行四边形， .O为AC的中点，连接OD, ,AB∥平面ADC, ABc平面ABC,平面ABC∩平面ADC=OD, 第5页共7页 .AB∥OD,又在△4BC中，O为AC的中点，3分 ∴.D为BC中点，又AB=AC, ∴.AD⊥BC,又，AD⊥DC,且BC∩DC1=D,BC,DC1C平BCCB,, .ADL平面BCG月6分 (2):SMe=,BCAD=×2x1=1,所以斜三棱柱ABC-ABG的高为1. 又AD1平面BCGR,ADC平面ABC,.平面ABC1平面BCGB8分 过B,作B,H⊥BC于H,则B,H⊥平面ABC,即B,H为斜三棱柱的高， .BH=1, BB=2,.BH=√510分 以D为原点，DA,DB所在直线分别为x轴，y轴， 在平面B,BCC,内过D作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则A1,0,0),B(01,0),C(0,-1,0),B(0,1-3,1),则AB=(-11,0),BB=(0,-V3,1) 设平面AABB的法向量为1=(，y,z),则 n·AB=0「-x+y=0 m1BB1=0-V3y+2=0’ 所以=（么，1，V3),13分 取平面BCCB的一个法向量为2=(1,0,0)， 所以cos<,,> h12上 1 |h小-月h2f√5’15分 所以二面角4-B,B-C的正弦值为25 ……17分 19.【解析】 (1)取曲线C,上任一点P(x,),则点P由双曲线C上一点B(,,)绕坐标原点O逆时针旋转严得到， 则 2、 26 y≈ 2+ 2% 第6页共7页 X)2-%2=2,.√2.√2y=2,即Xy=14分 2》@设4，y-子过4的切线的方程为y-考=-上-5） 即y-1、1 天花-以令x=0,得y=花：令少=0.得x=25:…7分 可设1与x轴的交点M(2,0),与y轴的交点V0,召， X 12￥小2卡2 2 .SAoM= .10分 .1 (由C的方程得y=忘，设4，片B()C(x,⅓》 11 ·过A的切线I的斜率k=-1, x出业一-了 3-x1x3-1xx3 同理k、1 … xx x2X3 14分 由已知k6质o=-1=1具x,=-1 xx2 xX3 .kok1)21一工，所以1BC17分 x,x2xx 第7页共7页NT20名校联合体高三年级1月质检考试等乐$ 、笔 数学（一】 年…)A材落二海、 -:AA。) 考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 家打 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、述择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 2-i3 1复数1一 的共轭复数的虚部为 6 A.2 c. D.2 2.样本数据3,8,4,6,27,9,1,5的第75百分位数为 A.7.5 B.8 C.8.5 D.9 3.已知向量a=(-2,4)与b=(n,2),若a(a十b),则n= A.4 B.-4 C.1 D.士骤A本) 4:已知数列{a}是等比数列，若a2=一1，a8=一4，则a5三当璃平燕 面A1 BT C.±2 D.2 1 5.,若椭圆》。+x=1a>1)的离心率为2，则该椭圆的焦距为 妾篇楼樱出1总器， A号 &号 c. 23 043域· 3 D3来 6.已知直线l1:3x-3a+5=0,i2:但-a)x年2y-7=0,则“a=1"是“11 ∥l2”的A； 1子学兴手心 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件，法声： C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 货 7.已知函数f(x)及其导函数g()的定义域均为R,g(受十x)为奇函数， f(x十y)十f(x-y)=2f(x)cosy,f(0)=0,若方程f(x)=m(m>0)在区间 [0,3π]上恰有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,则x1十x2十x3十x4= A.2π B.4π C.8π D.6π 、8.如图，几何体ABC零A1B,C,中，△ABC是正三角形，AA1=CC1=AB=8, BB:=4,AA1∥BB1∥CC1,AA:⊥平面ABC,E,F分别 为A:B1,A,C1的中点，直线AB与平面EFC相交于点M. 则AM MB 的值为 A.2 B.3 c D.4 高三数学（一）第1页$共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 :餐就哥等等： 9.下列命题不正确的有菜·点'是心、.：上的感荐 A.斜二测画法不会改变边长比例 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大 D.用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面 10.已知函数f(x)=2x3-x2,则 A.f(x)在(-o,0)上单调递增 B.f(x)的极大值为0 C.f(x)有三个零点 D.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x一y十3=0 已知双曲线C-1的左、右焦点分别为F,F2”点A在C的右支上 △AF1F2的内切圆圆心为O1,过F2作F2D⊥AO1,垂足为D,O为坐标原 点，则 A双曲线C的离心率为 食方深 B.OD=2 C。圆心0，的横坐标为1款1 D.O1A为双曲线C的切线 彩记 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。好”「概点 12.已知直线ax+3)一2亡0的倾斜角为3，则a三 13.已知点A(六5)，点M是抛物线=8y土的一点，点B是圆F:x2+ (y一2)2=1上的一点，则MA+|MB|的最小值为 翻 14.在Rt△ABC中，AB⊥AC,AB=1,BC=2,S为空间中的一个点，BC⊥ SC,SA=号，则三棱锥S一ABC体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin2C-sinAsinB=sin2A+sin2B. (1)求C; (2)若a=5,b=3,D为AB边上一点，且AC⊥CD,求CD. 高三数学()第2页共4页 16:(本小题满分15分) 已知B(5,2),C(1,0)两点 (1)求以线段BC为直径的圆的标准方程； (2)若动点A满足AB⊥AC,M为AC的中点，求点M的轨迹方程 ，·不家不 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C:+若=1a>6>0)的上焦点为F,焦距为2，椭圆C的上顶 、x2 点到F的距离与它到直线1：y-4的距离之比为2 :1 有学清 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点(0,4)且斜率存在的直线与椭圆C交于A,B两点，求kA十kBF 的值 高三数学〔一)“第3页“共4页 18.(本小题满分17分)：嘉年车绿 如图，斜三棱柱ABC一A,B,C1的体积为1，D为BC上一点，A1B∥平面 ADC1,AD⊥DC1,AA1=BC=2AB=2AC=2,∠B1BC为锐角. (1)求证：AD⊥平面BCC,B1: (2)求二面角A一BB一C的正弦值. 19.(本小题满分17分) 将平面内任意向量OP=(x,y)绕坐标原点O逆时针方向旋转角。得到向量 0P=(rcosa二ysina,rsina+ycosa).己知双曲线C:7-=1,将双曲 线C,绕点O逆时针旋转后得到曲线C,. (1)求C2的方程； (2)点A在曲线C2上，曲线C,在点A处的切线为直线L. (1)若l与两坐标轴分别交于M,N两点，求△OMN的面积； (i)若B,C两点都在曲线C2上（异于点A),且满足ABAC=0,求 证：⊥BC.1 采要市 高三数学（一）第4页共4页NT20名校联合体高三年级1月质检考试 数学（一）评分细则 12.【答案】-3√5 【解折】由思意可得直线m+3y-2-0的斜率为-号，所以m子5=-号，解得a=5, 13.【答案】6 【解析】由题意知F(0,2)是抛物线x2=8y的焦点， 过点M作准线的垂线，垂足为M',记点M到抛物线x2=8y的准线的距离为d, 所以MA+MB≥MA+MF-1=MA+d-1≥5+2-1=6， 当且仅当直线AM与抛物线的准线垂直，点B在线段MF上时，等号成立， 所以MA+MB的最小值为6. 14【答案)区 【解析】因为BC⊥SC,所以S在过C点且与BC垂直的平面内， 设a∩平面ABC=l,过A作1的垂线，垂足为A,则A4⊥a,且 4-子，因为4-，所以S点在以4为底面圆心的圆周上， 如图平面SCA⊥平面ABC,且平面SCA∩平面ABC=I,由 图可知S到底面ABC的最大距离为√SA2-A4=2,所以三棱 锥体积的最大值为官×2}52= 32 3 15.【解析】 (1)因为sin2c-sinAsinB=sin2A+sim2B, 所以由正弦定理得C2-心-乃2=b,3分 1 c2-a2-b2 =-2abcosC,..cosC=- Ce(0,m,C=2π 3.6分 (2)因为4C1cD,所以∠ACD=分∠DcB=君 6 因为SABc=SMCD+SAcD, .9分 第1页共5页 所以an冬-片.cDac0m号 3=2 即时×3x5x5-=3CDk5CD号解得cD-156 13分 2 、22 2 11 16.【解析】 （1)因为BC为直径，则B(5,2,C1,0)的中点为D(3,1),所以圆心为D(3,1),3分 半径，=5-1+2-0=5，所以圆D的标准方程为(x-3)2+-1)°=56分 2 (2)设M(xy),A(x,%), 因为CL,0),M是线段AC的中点， 庙中点坐标公式得x之，y生义0所航议龙=2-，y2y,m一9分 由(1)知，点A的轨迹方程为(x-3)2+(y-1)2=5, 将=2x-1%=2y代入得2x-0+2-02-5,即(-29+0-分2-系 ..13分 所以动点M的轨迹方程为(c-2+-”=除0,0,8.)两点) …15分 17.【解析】 （1)因为焦距为2，所以2C=2,即C=1,2分 又椭圆上顶点到点F的距离与到直线上：y=4的距离之比为； 上顶点P(0,a),则 a-11 4-a-2 .4分 解得a=2,即a2=4,b2=3, 所以肠国C的标准方程为子+兮-上。6分 (2)由题知F(0,1),设直线AB:y=+4,A(x,y),B(x2,), y=kx+4 yx2-1，得（3k2+4X2+24k+36=0,… .8分 4+3 则△=(24)-432+4)×36>0，解得k>2或k<-2, 36 西韦有达定理可得十大4次10为 所以 +k=当+业1_+3)x+(+3)5 XX2 第2页共5页 7-24h） 2,+3(x+x) 2k.36+3 3k2+4气3k2+4 72k-72k0 rr 36 36 32+4 所以kAB十kgF为定值0 15分 18.【解析】 (1)证明：连接AC交AC,于点O, 在斜三棱柱中，四边形ACC,A为平行四边形， ∴.O为AC的中点，连接OD, ,AB∥平面ADC, ABC平面ABC,平面ABC∩平面ADC=OD, .AB∥OD,又在△4BC中，O为AC的中点，… 3分 ∴.D为BC中点，又AB=AC, ∴.AD⊥BC,又AD⊥DC,且BC∩DC1=D,BC,DC1C平面BCCB,, .ADL平面BCG月6分 (2):Sc-)BCAD=号x2x1-1,所以斜三棱柱ABC-4BC的高为1， 又ADL平面BCGB,ADC平面ABC,∴.平面ABC⊥平面BCCB .8分 过B,作B,H⊥BC于H,则BH⊥平面ABC,即B,H为斜三棱柱的高， .BH=1, B1B=2,.BH=√310分 以D为原点，DA,DB所在直线分别为x轴，y轴， 在平面B,BCC,内过D作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则A1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),B(0,1-√3,1)，则AB=(-11,0),BB,=(0,-V3,1), 设平面AABB的法向量为1=(，y,z),则 n1AB=0「-x+y=0 n1BB1=0-V3y+z=0 第3页共5页 所以1=，l,√5)，13分 取平面BCCB,的一个法向量为n2=(1,0,0), 所以|cos<乃，，H,乃，上 1 '1m小2√5 .15分 所以二面角4-BB-C的正弦值为25 17分 19.【解析】 (1)取曲线C,上任一点P(x,),则点P由双曲线C上一点B,(x,)绕坐标原点O逆时针旋转元得到， [x=E,- -0- 则 2 2 √2， y=2+2% x2-%2=2V2.xV2y=2,即y=1. 4分 2》0设4(，-一过A的切线7的方程为y-5- -) 1 即y- 专-x令x=0,得y=:令y=0,得x=2x:…7分 11 可设1与x轴的交点M(2x,0),与y轴的交点N0,召)， 10分 ⑩血C的方程得y是=是设A,B0s.C(,y 11 ÷过A的切线I的斜率k=-1, k=当专互 1 3-1X3-X1xX 1 同理kAB=一 ,kC=- x2x3 14分 已知o=-1=x,=1 Xx XX3 第4页共5页 第5页共5页