43.正弦函数的单调性与单调区间求解（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 43.正弦函数的单调性与单调区间求解（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正弦函数的单调性 ￮ 定义表述：对于函数，在定义域内的某些区间上，当自变量增大时函数值随之增大，这样的区间称为单调递增区间；当自变量增大时函数值随之减小，这样的区间称为单调递减区间。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增区间： 单调递减区间： ￮ 关键特征：① 单调区间的长度均为；② 相邻的递增区间与递减区间首尾相连；③ 单调性具有周期性，周期为。 ￮ 跨章节关联：适用于函数的单调性判断、最值求解、不等式证明，可与二次函数、指数函数的单调性综合考查。 2. 【概念2】复合正弦函数的单调区间 ￮ 定义表述：对于形如的复合函数，令，通过内层函数的单调性与外层函数的单调性，利用“同增异减”法则确定复合函数的单调区间。 ￮ 数学符号/表达式： 当时，递增区间满足；递减区间满足。 当时，需先将化为正数，再求解单调区间。 ￮ 关键特征：① 单调区间的长度为；② 需关注的符号对单调性的影响；③ 单调区间的位置由决定。 ￮ 跨章节关联：适用于复合函数的单调性分析，可与一次函数、反比例函数的定义域值域综合考查。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 的单调区间 递增区间；递减区间 1. 遗漏的限制；2. 误将区间写成开区间；3. 混淆递增与递减区间的端点 对比：二次函数的单调递增区间是，为单侧区间；正弦函数是周期性的双侧区间 复合正弦函数单调区间求解 遵循“同增异减”法则，先看符号，再整体代换求解 1. 忽略时的符号转换；2. 求解不等式时计算错误；3. 未结合定义域确定最终区间 对比：复合函数，需先求定义域，再分析内外层单调性；正弦复合函数同理 单调性与最值的关系 正弦函数在单调区间的端点处取得最值 1. 认为开区间内也能取得最值；2. 求解复合函数最值时，未验证端点是否在定义域内 对比：指数函数在上单调递增，无最值；正弦函数在单调区间端点有最值 三、题型分类与例题精析 题型1：基本正弦函数的单调区间判断与求解 题型特征：直接考查或型函数的单调区间，无复合结构，基础易得分。 解题步骤：1. 明确基本正弦函数的单调区间模板；2. 根据函数形式判断是否需要调整区间（如平移、伸缩）；3. 用集合准确表述单调区间，标注。 例题1 求函数的单调递增区间和单调递减区间。 举一反三1-1 求函数的单调递减区间。 举一反三1-2 下列区间中，函数单调递增的是（） A. B. C. D. 举一反三1-3 函数的单调递增区间是______。 题型2：时复合正弦函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需通过整体代换，结合“同增异减”法则求解单调区间，属于中等难度。 解题步骤：1. 令，写出的单调区间；2. 将代入对应区间，解关于的不等式；3. 整理不等式，得到复合函数的单调区间，标注。 例题2 求函数的单调递增区间。 举一反三2-1 求函数的单调递减区间。 举一反三2-2 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 举一反三2-3 求函数在区间上的单调递减区间。 题型3：时复合正弦函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需先将转化为正数，再利用整体代换求解单调区间，易错点在于符号处理。 解题步骤：1. 提取负号，将函数变形为（此时）；2. 分析的单调区间；3. 根据“负号变单调性”的原则，确定原函数的单调区间。 例题3 求函数的单调递增区间。 举一反三3-1 求函数的单调递减区间。 举一反三3-2 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 举一反三3-3 求函数在区间上的单调递减区间。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的单调递减区间是（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 定义域为 B. 值域为 C. 单调递增区间与相同 D. 是奇函数 3. 填空题 函数的单调递增区间是______。 4. 解答题 (1) 求函数的单调递增区间。 (2) 判断函数在区间上的单调性。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数在区间上的单调递减区间是（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的有（） A. B. 可能 C. 单调递增区间可能为 D. 值域为 3. 填空题 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 求函数的单调递增区间。 (2) 已知函数的图象过点，且在区间上单调，求的最大值。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若在区间上的最大值为1，则的最小值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 定义区间的长度为（为区间的端点），则下列关于函数的说法正确的有（） A. 长度为的区间可能是单调递增区间 B. 长度为的区间一定不是单调区间 C. 单调递减区间的长度均为 D. 存在长度为的单调递增区间 3. 填空题 若函数在上有且仅有4个单调递增区间，则的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知函数，，求函数的单调递增区间。 (2) 已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，求的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 43.正弦函数的单调性与单调区间求解（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正弦函数的单调性 ￮ 定义表述：对于函数，在定义域内的某些区间上，当自变量增大时函数值随之增大，这样的区间称为单调递增区间；当自变量增大时函数值随之减小，这样的区间称为单调递减区间。 ￮ 数学符号/表达式： 单调递增区间： 单调递减区间： ￮ 关键特征：① 单调区间的长度均为；② 相邻的递增区间与递减区间首尾相连；③ 单调性具有周期性，周期为。 ￮ 跨章节关联：适用于函数的单调性判断、最值求解、不等式证明，可与二次函数、指数函数的单调性综合考查。 2. 【概念2】复合正弦函数的单调区间 ￮ 定义表述：对于形如的复合函数，令，通过内层函数的单调性与外层函数的单调性，利用“同增异减”法则确定复合函数的单调区间。 ￮ 数学符号/表达式： 当时，递增区间满足；递减区间满足。 当时，需先将化为正数，再求解单调区间。 ￮ 关键特征：① 单调区间的长度为；② 需关注的符号对单调性的影响；③ 单调区间的位置由决定。 ￮ 跨章节关联：适用于复合函数的单调性分析，可与一次函数、反比例函数的定义域值域综合考查。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 的单调区间 递增区间；递减区间 1. 遗漏的限制；2. 误将区间写成开区间；3. 混淆递增与递减区间的端点 对比：二次函数的单调递增区间是，为单侧区间；正弦函数是周期性的双侧区间 复合正弦函数单调区间求解 遵循“同增异减”法则，先看符号，再整体代换求解 1. 忽略时的符号转换；2. 求解不等式时计算错误；3. 未结合定义域确定最终区间 对比：复合函数，需先求定义域，再分析内外层单调性；正弦复合函数同理 单调性与最值的关系 正弦函数在单调区间的端点处取得最值 1. 认为开区间内也能取得最值；2. 求解复合函数最值时，未验证端点是否在定义域内 对比：指数函数在上单调递增，无最值；正弦函数在单调区间端点有最值 三、题型分类与例题精析 题型1：基本正弦函数的单调区间判断与求解 题型特征：直接考查或型函数的单调区间，无复合结构，基础易得分。 解题步骤：1. 明确基本正弦函数的单调区间模板；2. 根据函数形式判断是否需要调整区间（如平移、伸缩）；3. 用集合准确表述单调区间，标注。 例题1 求函数的单调递增区间和单调递减区间。 解析：1. 函数的单调性与完全一致；2. 已知的递增区间为，递减区间为；3. 因此函数的单调区间与相同。 答案：递增区间为；递减区间为 举一反三1-1 求函数的单调递减区间。 解析：函数的单调性与一致，的递减区间为，故该函数的递减区间相同。 答案： 举一反三1-2 下列区间中，函数单调递增的是（） A. B. C. D. 解析：的递增区间为，当时，递增区间为，，故选A。 答案：A 举一反三1-3 函数的单调递增区间是______。 解析：的单调性与相反，的递减区间为，故的递增区间为此区间。 答案： 题型2：时复合正弦函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需通过整体代换，结合“同增异减”法则求解单调区间，属于中等难度。 解题步骤：1. 令，写出的单调区间；2. 将代入对应区间，解关于的不等式；3. 整理不等式，得到复合函数的单调区间，标注。 例题2 求函数的单调递增区间。 解析：1. 令，的递增区间为；2. 代入得；3. 解不等式：，即。 答案： 举一反三2-1 求函数的单调递减区间。 解析：1. 令，的递减区间为；2. 代入得；3. 解不等式：，即。 答案： 举一反三2-2 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 解析：令，递增区间为，代入得，解得，故选A。 答案：A 举一反三2-3 求函数在区间上的单调递减区间。 解析：1. 令，递减区间为；2. 代入得，解得；3. 结合，取，得单调递减区间为。 答案： 题型3：时复合正弦函数的单调区间求解 题型特征：考查型函数，需先将转化为正数，再利用整体代换求解单调区间，易错点在于符号处理。 解题步骤：1. 提取负号，将函数变形为（此时）；2. 分析的单调区间；3. 根据“负号变单调性”的原则，确定原函数的单调区间。 例题3 求函数的单调递增区间。 解析：1. 变形函数：；2. 求的递减区间，令，则，代入得；3. 原函数的递增区间与的递减区间一致。 答案： 举一反三3-1 求函数的单调递减区间。 解析：1. 变形得；2. 求的递增区间，令，，解得；3. 原函数的递减区间与的递增区间一致。 答案： 举一反三3-2 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 解析：1. 变形得；2. 求的递减区间，令，，解得；3. 原函数的递增区间与此区间一致，故选B。 答案：B 举一反三3-3 求函数在区间上的单调递减区间。 解析：1. 变形得；2. 求的递增区间，令，，解得；3. 原函数的递减区间与此区间一致，结合，取，得。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的单调递减区间是（） A. B. C. D. 解析：根据基本正弦函数的单调性，其递减区间为，故选B。 答案：B 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 定义域为 B. 值域为 C. 单调递增区间与相同 D. 是奇函数 解析：的定义域为，A正确；值域为，B正确；单调性与一致，C正确；满足，是奇函数，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 函数的单调递增区间是______。 解析：，的递增区间为。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的单调递增区间。 解析：令，递增区间为，代入得，解得。 答案： (2) 判断函数在区间上的单调性。 解析：的单调性与相反，在上单调递减，故在此区间上单调递增。 答案：单调递增 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数在区间上的单调递减区间是（） A. B. C. D. 解析：令，递减区间为，代入得，即；结合，取，得，故选B。 答案：B 2. 多选题 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的有（） A. B. 可能 C. 单调递增区间可能为 D. 值域为 解析：由周期，得，A正确；，则，，时，B正确；当时，递增区间为，C正确；值域为，D错误。 答案：ABC 3. 填空题 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是______。 解析：令，递减区间为，代入得；取，则，结合，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的单调递增区间。 解析：变形得，求的递减区间，令，，解得，此即为原函数的递增区间。 答案： (2) 已知函数的图象过点，且在区间上单调，求的最大值。 解析：由得，；，则；又周期，得；结合单调性限制，最终得的最大值为。 答案： （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 已知函数，若在区间上的最大值为1，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析：的最大值为1时，，；，时，故的最小值为，选A。 答案：A 2. 多选题 定义区间的长度为（为区间的端点），则下列关于函数的说法正确的有（） A. 长度为的区间可能是单调递增区间 B. 长度为的区间一定不是单调区间 C. 单调递减区间的长度均为 D. 存在长度为的单调递增区间 解析：的单调递增区间长度为，A正确；长度为的区间包含完整周期，一定不是单调区间，B正确；单调递减区间长度均为，C正确；是长度为的递增区间，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 若函数在上有且仅有4个单调递增区间，则的取值范围是______。 解析：的一个周期内有1个递增区间，长度为；个递增区间的总长度为，且第5个递增区间不能完全包含在内，故，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，，求函数的单调递增区间。 解析：，化简得；令，结合三角函数性质，解得递增区间为。 答案： (2) 已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，求的取值范围。 解析：由对称轴得；的递增区间为；结合递增区间，以及对称轴条件，解得。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $