42.正切函数的定义域与值域（含渐近线分析）（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 42.正切函数的定义域与值域（含渐近线分析）（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正切函数的定义 ￮ 定义表述：在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标为（），则角的正切值为该点的纵坐标与横坐标的比值，记作；函数称为正切函数。 ￮ 数学符号/表达式：；，￮ 关键特征：① 自变量的取值不能使；② 函数值可正可负可零；③ 是周期为的周期函数。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的图象与性质、任意角的三角函数定义、函数的定义域与值域求解。 2. 【概念2】正切函数的渐近线 ￮ 定义表述：当正切函数的自变量趋近于时，函数值的绝对值趋近于正无穷，直线称为正切函数的垂直渐近线。 ￮ 数学符号/表达式：渐近线方程为 ￮ 关键特征：① 渐近线均为垂直于轴的直线；② 渐近线之间的间距为，与函数周期一致；③ 函数图象无限趋近于渐近线但永不相交。 ￮ 跨章节关联：适用于函数的渐近线判断、三角函数的图象绘制、极限的初步理解。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 正切函数的定义域 的定义域为 1. 忽略的限制；2. 误将定义域写为；3. 求解复合正切函数定义域时，未对整体自变量进行限制 对比：反比例函数定义域为，是单点限制；正切函数是无穷多点限制 正切函数的值域 的值域为（全体实数） 1. 误将值域认为是（与正弦、余弦函数混淆）；2. 求解复合正切函数值域时，忽略内层函数的取值范围对整体的影响 对比：余弦函数值域为，有界；正切函数无界，值域为全体实数 渐近线与定义域的关系 正切函数的渐近线方程对应的值，恰好是其定义域中排除的取值 1. 混淆渐近线与定义域的因果关系；2. 绘制复合正切函数图象时，遗漏渐近线 对比：对数函数有水平渐近线（当），正切函数是垂直渐近线 三、题型分类与例题精析 题型1：简单正切函数的定义域与值域求解 题型特征：直接考查或型函数的定义域、值域，无复合结构，基础易得分。 解题步骤：1. 根据正切函数定义域限制条件，列出不等式求解定义域；2. 根据正切函数的值域为，结合常数项判断值域；3. 用集合准确表述结果。 例题1 求函数的定义域和值域。 举一反三1-1 求函数的定义域和值域。 解析：1. 由正切函数定义域要求，，故定义域为；2. 由于，则，即值域为。 举一反三1-2 求函数的定义域和值域。 2. 因为可取全体实数，所以也可取全体实数，值域为。 举一反三1-3 函数的定义域是______，值域是______。 题型2：复合正切函数的定义域与渐近线分析 题型特征：考查型函数，需通过整体代换求定义域，同时分析渐近线方程，属于中等难度。 解题步骤：1. 令，根据列出不等式；2. 解不等式得到的取值范围，即为定义域；3. 令，解出的表达式，即为渐近线方程。 例题2 求函数的定义域和渐近线方程。 举一反三2-1 求函数的定义域和渐近线方程。 举一反三2-2 函数的定义域为______。 举一反三2-3 求函数的渐近线方程。 题型3：含定义域限制的正切函数值域求解 题型特征：给定的取值范围，求的值域，需结合正切函数单调性分析，易错点在于忽略区间内是否跨越渐近线。 解题步骤：1. 根据的范围，求出的取值范围；2. 判断区间内是否包含正切函数的渐近线对应的自变量值；3. 若不包含，利用单调性求值域；若包含，值域为。 例题3 已知，求函数的值域。 举一反三3-1 已知，求函数的值域。 举一反三3-2 若，求的值域。 举一反三3-3 已知，求的值域。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的定义域是（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 定义域为 B. 值域为 C. 渐近线方程为 D. 周期为 3. 填空题 函数的值域为______。 4. 解答题 (1) 求函数的定义域和渐近线方程。 (2) 已知，求函数的值域。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的定义域为（） A B. C. D. 2. 多选题 已知函数的渐近线方程为，则下列说法正确的有（） A. B. 函数的周期为 C. 定义域为 D. 值域为 3. 填空题 若函数的定义域为，则______。 4. 解答题 (1) 求函数的定义域和周期。 (2) 已知函数，的值域为，求实数的取值范围。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 已知函数在区间内有且仅有一条渐近线，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 多选题 定义在区间上的函数，若值域为，则区间可以是（） A. B. C. D. 3. 填空题 若函数的图象关于点中心对称，且，则______。 4. 解答题 (1) 已知函数，求在区间上的值域。 (2) 设函数，其中，，已知的周期为，且，求的定义域和渐近线方程。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 42.正切函数的定义域与值域（含渐近线分析）（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正切函数的定义 ￮ 定义表述：在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标为（），则角的正切值为该点的纵坐标与横坐标的比值，记作；函数称为正切函数。 ￮ 数学符号/表达式：；，￮ 关键特征：① 自变量的取值不能使；② 函数值可正可负可零；③ 是周期为的周期函数。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的图象与性质、任意角的三角函数定义、函数的定义域与值域求解。 2. 【概念2】正切函数的渐近线 ￮ 定义表述：当正切函数的自变量趋近于时，函数值的绝对值趋近于正无穷，直线称为正切函数的垂直渐近线。 ￮ 数学符号/表达式：渐近线方程为 ￮ 关键特征：① 渐近线均为垂直于轴的直线；② 渐近线之间的间距为，与函数周期一致；③ 函数图象无限趋近于渐近线但永不相交。 ￮ 跨章节关联：适用于函数的渐近线判断、三角函数的图象绘制、极限的初步理解。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 正切函数的定义域 的定义域为 1. 忽略的限制；2. 误将定义域写为；3. 求解复合正切函数定义域时，未对整体自变量进行限制 对比：反比例函数定义域为，是单点限制；正切函数是无穷多点限制 正切函数的值域 的值域为（全体实数） 1. 误将值域认为是（与正弦、余弦函数混淆）；2. 求解复合正切函数值域时，忽略内层函数的取值范围对整体的影响 对比：余弦函数值域为，有界；正切函数无界，值域为全体实数 渐近线与定义域的关系 正切函数的渐近线方程对应的值，恰好是其定义域中排除的取值 1. 混淆渐近线与定义域的因果关系；2. 绘制复合正切函数图象时，遗漏渐近线 对比：对数函数有水平渐近线（当），正切函数是垂直渐近线 三、题型分类与例题精析 题型1：简单正切函数的定义域与值域求解 题型特征：直接考查或型函数的定义域、值域，无复合结构，基础易得分。 解题步骤：1. 根据正切函数定义域限制条件，列出不等式求解定义域；2. 根据正切函数的值域为，结合常数项判断值域；3. 用集合准确表述结果。 例题1 求函数的定义域和值域。 解析：1. 正切函数的定义域为，因此函数的定义域与一致；2. 因为的值域为，所以的值域也为。 答案：定义域为，值域为。 举一反三1-1 求函数的定义域和值域。 解析：1. 由正切函数定义域要求，，故定义域为；2. 由于，则，即值域为。 答案：定义域为，值域为。 举一反三1-2 求函数的定义域和值域。 解析：定义域满足，即定义域为 2. 因为可取全体实数，所以也可取全体实数，值域为。 答案：定义域为，值域为。 举一反三1-3 函数的定义域是______，值域是______。 解析：1. 定义域与相同，为；2. 的取值范围与一致，为。 答案：定义域为； 题型2：复合正切函数的定义域与渐近线分析 题型特征：考查型函数，需通过整体代换求定义域，同时分析渐近线方程，属于中等难度。 解题步骤：1. 令，根据列出不等式；2. 解不等式得到的取值范围，即为定义域；3. 令，解出的表达式，即为渐近线方程。 例题2 求函数的定义域和渐近线方程。 解析：1. 令，由正切函数定义域要求，即；2. 解不等式得，，故定义域为；3. 渐近线方程为。 答案：定义域为；渐近线方程为 举一反三2-1 求函数的定义域和渐近线方程。 解析：1. 令，则，即；2. 解不等式得，，定义域为；3. 渐近线方程为。 答案：定义域为；渐近线方程为 举一反三2-2 函数的定义域为______。 解析：1. 化简函数得（因为）；2. 令，则，即；3. 解得，定义域。 答案：定义域 举一反三2-3 求函数的渐近线方程。 解析：1. 函数变形为，其定义域与一致；2. 令；3. 解得，即渐近线方程。 答案： 题型3：含定义域限制的正切函数值域求解 题型特征：给定的取值范围，求的值域，需结合正切函数单调性分析，易错点在于忽略区间内是否跨越渐近线。 解题步骤：1. 根据的范围，求出的取值范围；2. 判断区间内是否包含正切函数的渐近线对应的自变量值；3. 若不包含，利用单调性求值域；若包含，值域为。 例题3 已知，求函数的值域。 解析：1. 正切函数在上单调递增；2. 区间，且不包含渐近线对应的值；3. 当时，；当时，，故值域为。 答案：值域为 举一反三3-1 已知，求函数的值域。 解析：1. 由，得；2. 正切函数在上单调递增，值域为，在上单调递增，值域为；3. 因为时函数无意义，且该值在内，故值域为。 答案： 举一反三3-2 若，求的值域。 解析：1. 由，得；2. 正切函数在上单调递增，且时，；3. 当时，，故值域为。 答案： 举一反三3-3 已知，求的值域。 解析：1. 由，得；2. 正切函数在上单调递增；3. 当时，；当时，，故值域为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的定义域是（） A. B. C. D. 解析：函数化简为，其定义域 ，故选A。 答案：A 2. 多选题 下列关于函数的说法正确的有（） A. 定义域为 B. 值域为 C. 渐近线方程为 D. 周期为 解析：令，得，故A、C正确；正切函数值域均为，B正确；周期，D错误。 答案：ABC 3. 填空题 函数的值域为______。 解析：因为的值域为，所以的值域也为。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的定义域和渐近线方程。 解析：1. 令，解得，定义域为；2. 渐近线方程为。 答案：定义域为；渐近线方程为 (2) 已知，求函数的值域。 解析：1. 由，得；2. 当时，；当时，；3. 区间包含，故值域为。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的定义域为（） A B. C. D. 解析：化简得，定义域要求，即，故选A。 答案：A 2. 多选题 已知函数的渐近线方程为，则下列说法正确的有（） A. B. 函数的周期为 C. 定义域为 D. 值域为 解析：渐近线方程，对应，解得，对比得，A正确；周期，B正确；定义域为渐近线排除的值，C正确；正切函数值域均为，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 若函数的定义域为，则______。 解析：令，得，对比已知定义域，得，。 答案：3 4. 解答题 (1) 求函数的定义域和周期。 解析：1. 令，解得，定义域为；2. 周期。 答案：定义域为；周期为1 (2) 已知函数，的值域为，求实数的取值范围。 解析：1. 正切函数的渐近线对应的值满足，即；2. 要使值域为，区间必须包含渐近线（时），故；3. 又因为时函数无意义，区间左端点已排除，因此的取值范围是。 答案： （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 已知函数在区间内有且仅有一条渐近线，则的取值范围是（） A. B. C. D. 解析：渐近线满足，即；，则，化简得；当时，（无选项）；当时，；结合有且仅有一条渐近线，得，选A。 答案：A 2. 多选题 定义在区间上的函数，若值域为，则区间可以是（） A. B. C. D. 解析：正切函数在上单调递增，，故值域为时，区间需包含；A符合；C中等价于（周期），C符合；B值域为，D值域为，均不符合。 答案：AC 3. 填空题 若函数的图象关于点中心对称，且，则______。 解析：正切函数对称中心为，则，；，取，得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，求在区间上的值域。 解析：1. 由，得；2. 正切函数在上单调递增；3. ，当时，，故值域为。 答案： (2) 设函数，其中，，已知的周期为，且，求的定义域和渐近线方程。 解析：1. 由周期，得；2. ，即；3. ，结合，得；4. 函数为，令，解得，定义域为，渐近线方程为。 答案：定义域为；渐近线方程为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $