41.余弦函数的定义域与值域（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 41.余弦函数的定义域与值域（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】余弦函数的定义域 ￮定义表述：余弦函数中自变量的取值集合，即能使函数解析式有意义的的所有取值。 ￮数学符号/表达式：的定义域为（或） ￮关键特征：无论取任意实数，都有确定的函数值与之对应，定义域无额外限制条件。 ￮跨章节关联：适用于所有余弦型函数定义域的求解，与函数定义域的基本定义一致。 2. 【概念2】余弦函数的值域 ￮定义表述：余弦函数中所有函数值的取值集合。 ￮数学符号/表达式：的值域为 ￮关键特征：函数值的最大值为，最小值为，且能取到内的任意实数；当且仅当时，取最大值；当且仅当时，取最小值。 ￮跨章节关联：是求解复杂余弦型函数值域的基础，与函数的最值、单调性等性质紧密相关。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 定义域的拓展 对于，定义域仍为，不受的影响 错误认为系数会改变余弦型函数的定义域 类比分式函数定义域受分母限制，而余弦函数无此限制 值域的判断 的值域是闭区间，最大值和最小值都能取到 1. 误将值域写成；2. 混淆余弦函数最值对应的取值 类比二次函数的值域是，与余弦函数值域形式区分 给定区间内的值域 求在指定区间上的值域时，需结合函数在该区间的单调性和端点值、极值点判断 直接套用值域，忽略区间对值域的限制 类比在上的值域不是，而是 三、题型分类与例题精析 题型1：余弦函数的定义域求解 题型特征：直接求解或简单余弦型函数的定义域，无额外限制条件。 解题步骤：1. 分析函数解析式是否有定义域限制条件（如分母、偶次根式、对数等）；2. 结合余弦函数的性质判断自变量的取值范围；3. 用集合或区间表示定义域。 例题1 求函数的定义域。 举一反三1-1 求函数的定义域。 举一反三1-2 求函数的定义域。 举一反三1-3 判断“函数的定义域为”这句话的正误，并说明理由。 题型2：余弦函数的值域求解（含最值） 题型特征：求解的整体值域，或给定的取值范围时求对应的值域与最值。 解题步骤：1. 确定的取值范围（无指定则为全体实数）；2. 结合余弦函数的单调性和最值点，判断函数值的取值区间；3. 确定值域和对应的最值。 例题2 求函数的值域，并指出函数的最大值和最小值。 举一反三2-1 求函数在区间上的值域。 举一反三2-2 求函数在区间上的最大值和最小值。 举一反三2-3 已知，求的取值范围，并指出当取最大值时的值。 题型3：含余弦函数的简单复合函数的值域求解 题型特征：求解形如（为常数）的复合函数的值域，需结合的值域进行推导。 解题步骤：1. 设，确定的取值范围；2. 将函数转化为关于的一次函数；3. 根据一次函数的单调性求值域。 例题3 求函数的值域。 举一反三3-1 求函数的值域。 举一反三3-2 求函数在上的值域。 举一反三3-3 已知函数的值域为，求常数的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 关于函数的值域，下列说法正确的有（ ） A．值域是 B．最大值是，最小值是 C．函数值能取到 D．值域是 3. 填空题 函数在区间上的最大值为__________。 4. 解答题 (1) 求函数的值域。 (2) 求函数在区间上的取值范围。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的最小值是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则函数的性质描述正确的有（ ） A．值域为 B．能取到最大值 C．能取到最小值 D．当时， 3. 填空题 若函数（）的最大值为，最小值为，则的值为__________。 4. 解答题 (1) 已知，求函数的值域，并写出取得最值时的值。 (2) 求函数的值域。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 41.余弦函数的定义域与值域（基础）（全国通用）（解析版） 版本1：纯解析版 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】余弦函数的定义域 ￮定义表述：余弦函数中自变量的取值集合，即能使函数解析式有意义的的所有取值。 ￮数学符号/表达式：的定义域为（或） ￮关键特征：无论取任意实数，都有确定的函数值与之对应，定义域无额外限制条件。 ￮跨章节关联：适用于所有余弦型函数定义域的求解，与函数定义域的基本定义一致。 2. 【概念2】余弦函数的值域 ￮定义表述：余弦函数中所有函数值的取值集合。 ￮数学符号/表达式：的值域为 ￮关键特征：函数值的最大值为，最小值为，且能取到内的任意实数；当且仅当时，取最大值；当且仅当时，取最小值。 ￮跨章节关联：是求解复杂余弦型函数值域的基础，与函数的最值、单调性等性质紧密相关。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 定义域的拓展 对于，定义域仍为，不受的影响 错误认为系数会改变余弦型函数的定义域 类比分式函数定义域受分母限制，而余弦函数无此限制 值域的判断 的值域是闭区间，最大值和最小值都能取到 1. 误将值域写成；2. 混淆余弦函数最值对应的取值 类比二次函数的值域是，与余弦函数值域形式区分 给定区间内的值域 求在指定区间上的值域时，需结合函数在该区间的单调性和端点值、极值点判断 直接套用值域，忽略区间对值域的限制 类比在上的值域不是，而是 三、题型分类与例题精析 题型1：余弦函数的定义域求解 题型特征：直接求解或简单余弦型函数的定义域，无额外限制条件。 解题步骤：1. 分析函数解析式是否有定义域限制条件（如分母、偶次根式、对数等）；2. 结合余弦函数的性质判断自变量的取值范围；3. 用集合或区间表示定义域。 例题1 求函数的定义域。 解析： 第一步，观察函数解析式，无分母、偶次根式、对数等限制自变量取值的结构； 第二步，根据余弦函数的定义，任意实数都能使有意义； 第三步，用区间表示定义域为。 答案：函数的定义域为（或）。 举一反三1-1 求函数的定义域。 解析： 函数解析式为，仅对进行线性运算，无额外限制条件；根据余弦函数性质，可取任意实数。 答案：定义域为（或）。 举一反三1-2 求函数的定义域。 解析： 令，则函数可化为，的定义域为，即可取任意实数；因此可取任意实数，也可取任意实数。 答案：定义域为（或）。 举一反三1-3 判断“函数的定义域为”这句话的正误，并说明理由。 解析： 这句话错误；理由是余弦函数的定义域是全体实数，只是它的一个子区间，不是全部定义域。 答案：错误，理由见解析。 题型2：余弦函数的值域求解（含最值） 题型特征：求解的整体值域，或给定的取值范围时求对应的值域与最值。 解题步骤：1. 确定的取值范围（无指定则为全体实数）；2. 结合余弦函数的单调性和最值点，判断函数值的取值区间；3. 确定值域和对应的最值。 例题2 求函数的值域，并指出函数的最大值和最小值。 解析： 第一步，的定义域为； 第二步，根据余弦函数的性质，无论取何实数，函数值都在到之间，且能取到两端点值； 第三步，得出值域为，最大值为（当时取得），最小值为（当时取得）。 答案：值域为，最大值为，最小值为。 举一反三2-1 求函数在区间上的值域。 解析： 第一步，余弦函数在区间上单调递减； 第二步，计算区间端点的函数值：当时，；当时，； 第三步，确定函数在该区间的值域为。 答案：值域为。 举一反三2-2 求函数在区间上的最大值和最小值。 解析： 第一步，余弦函数在上单调递减，在上单调递增； 第二步，计算关键点函数值：时，；时，；时，； 第三步，得出函数在该区间的最大值为，最小值为。 答案：最大值为，最小值为。 举一反三2-3 已知，求的取值范围，并指出当取最大值时的值。 解析： 第一步，在上单调递增，在上单调递减； 第二步，当时，取得最大值；当时，； 第三步，确定取值范围是，最大值对应的值为。 答案：取值范围为，取最大值时。 题型3：含余弦函数的简单复合函数的值域求解 题型特征：求解形如（为常数）的复合函数的值域，需结合的值域进行推导。 解题步骤：1. 设，确定的取值范围；2. 将函数转化为关于的一次函数；3. 根据一次函数的单调性求值域。 例题3 求函数的值域。 解析： 第一步，设，由的值域可知； 第二步，函数化为，该函数在上单调递增； 第三步，计算端点值：当时，；当时，；因此值域为。 答案：函数的值域为。 举一反三3-1 求函数的值域。 解析： 设，则，函数化为；该函数在上单调递减；当时，；当时，；故值域为。 答案：值域为。 举一反三3-2 求函数在上的值域。 解析： 当时，，设，则；函数化为，在上单调递增；当时，；当时，；因此值域为。 答案：值域为。 举一反三3-3 已知函数的值域为，求常数的值。 解析： 设，则，函数化为； 当时，函数在上单调递增，值域为，则，解得； 当时，函数在上单调递减，值域为，则，解得； 综上。 答案：。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 解析：余弦函数对任意实数都有定义，定义域为，故选C。 答案：C 2. 多选题 关于函数的值域，下列说法正确的有（ ） A．值域是 B．最大值是，最小值是 C．函数值能取到 D．值域是 解析：的值域是闭区间，最大值、最小值，且，因此A、B、C正确，D错误。 答案：ABC 3. 填空题 函数在区间上的最大值为__________。 解析：在上单调递增，最大值在时取得，。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数的值域。 解析： 设，则，函数化为；该函数在上单调递增；当时，；当时，；故值域为。 答案：值域为 (2) 求函数在区间上的取值范围。 解析： 在上单调递增；当时，；当时，；因此取值范围为。 答案：取值范围为 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 函数的最小值是（ ） A． B． C． D． 解析：设，，函数化为，在上单调递减，当时，取得最小值，故选A。 答案：A 2. 多选题 已知，则函数的性质描述正确的有（ ） A．值域为 B．能取到最大值 C．能取到最小值 D．当时， 解析：区间包含余弦函数的完整周期片段，值域为，能取到最值和；当时，，因此A、B、C正确，D错误。 答案：ABC 3. 填空题 若函数（）的最大值为，最小值为，则的值为__________。 解析：由可知，函数最大值为，最小值为，两式相减得，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，求函数的值域，并写出取得最值时的值。 解析： 在上单调递减，在上单调递增；当时，；当时，；因此值域为。 答案：值域为；最大值对应的，最小值对应的 (2) 求函数的值域。 解析： 因为的值域为，所以，即函数的值域为。 答案：值域为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $