精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考（五）数学试题

长郡中学2026届高三月考试卷（五） 数学 本试卷共6页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，然后根据并集运算可求结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以或，所以， 所以， 故选：B. 2. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】在三角形中， 若，所以，即 由正弦定理可得，可得，必要性成立； 若，得，由正弦定理可得，所以，即，充分性成立， 所以“”是“”的充要条件 故选：C 3. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为q, ∵9S3=S6, ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即q=2, ∴an=2n-1, ∴=, ∴数列是首项为1,公比为的等比数列, 故数列的前5项和为=. 故选C. 4. 已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】如图所示， 由题意可得， 而. 故选：C． 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角的基本关系可得，结合角之间的关系，利用倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 整理为，则， 所以. 故选：D 6. 设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知推得函数的周期为4，再应用周期性求函数值. 【详解】由题意，， 所以4是的周期，故 故选：D 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由互斥事件和事件概率公式、条件概率计算公式即可求解；法二：确定事件与事件相互独立，得到即可求解. 【详解】法1：因为，所以， 所以， 所以． 法2：因为，所以， 所以， 所以，所以事件与事件相互独立， 所以事件与事件独立，所以. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用内心的性质得出相应线段比例关系，进而求出，利用斜率推出相应角的余弦值，再利用余弦定理构造方程求出的关系，最后利用离心率公式计算求解． 【详解】 为的内心， 为角平分线交点， 又，故， ， ， 又， ， 直线的斜率为，， 在中，由余弦定理得， 整理得，故D正确． 故选：D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 10. 任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 若或，则 C. D. 当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据棣莫弗定理，结合三角函数知识，及共轭复数，纯虚数的概念逐项验证可得答案. 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 11. 已知正方体的棱长为2，为正方形内一动点（含边界），点分别是棱的中点，下列说法正确的是（　　） A. 平面与正方体各面的交线是正六边形 B. 对任意的点，直线与直线是异面直线 C. 平面将正方体分成体积相等的两部分，将其中一部分内置一球，球的半径最大为 D. 若点到点的距离等于到棱的距离，则点的轨迹是抛物线的一部分 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征及平面的基本性质判断A，找到一个特例判断B，根据球体与相关面相切，结合正方体的结构及截面得到关于球体半径的方程求半径判断C，过作于，作于，连接，构建合适的坐标系，并证得，设，根据列方程并化简判断D. 【详解】A：如图所示，确定各边中点， 根据正方体的结构特征和三角形中位线的关系，可得， 且截面各边长都是相等的，是正六边形，正确； B：由A知，当点在中点处， 此时与直线为相交直线，故共面，错误； C：正方体棱长为2，则线段，则正六边形边长均为， 易知内置球半径最大时，球心在体对角线上， 不妨设球位于截面下方，且与面、面、面、面相切， 将问题平面化（如图）得，其中是平面与的交点， 证明如下：由平面，平面，则， 在正方形中，为中点，则，而， 所以，而，平面， 所以平面，平面，则，同理可证， 由，平面，则平面， 由平面，则，得证， 又（为正方体的中心），其中， 设所求球半径为，则，故，正确； D：如图所示，过作于，作于，连接， 由于， 又平面， 故平面平面，故， 以为原点，以为轴，建立平面直角坐标系， 设，且， 则， 若点到点的距离等于到棱的距离， 即，化简得， 故点的轨迹是抛物线的一部分，正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中的系数等于___________． 【答案】45 【解析】 【分析】利用二项式定理确定展开式的通项，从而可得展开式中的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为． 故答案为：． 13. 已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先由确定出点坐标，将转化为，再根据三点共线确定出的最小值. 【详解】设存在使得恒成立， 因为，所以， 化简可得， 又因为点在圆上运动，所以， 两方程对比可得，，解得， 所以存在使得恒成立，即， 所以，如图所示， 当且仅当三点共线且点在两点之间时，取最小值， 此时， 故答案为：． 14. 在中，内角所对的边分别为，若，则 （1）___________； （2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由两角和差的余弦公式及正弦定理化简即可； （2）令，利用正弦定理与余弦定理可得，，再根据三角形面积公式得到，由正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由得 即， . 又，所以， 由正弦定理得. 又，所以. 因为，所以. （2）令， 则由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得， ， 线段，不可能为钝角， 所以， 所以 （时取等号）， 所以面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，确定为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 在数列中，， 可得，即数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 16. 记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 （1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值） （2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据与公式：回归方程中，相关系数． 【答案】（1），有价值 （2） X 0 1 2 P ． 【解析】 【分析】（1）根据题干中的条件和公式，将数值代入即可求得线性回归方程与相关系数./ （2）由表中第2行的5个数据中任取3个数据，且大于1000，故X的取值可为0，1，2， 根据离散型随机变量求出各个的概率，即可求出分布列和期望. 【小问1详解】 由x的取值依次为1，2，3，4，5，得， 因为经验回归方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 【小问2详解】 X的取值依次为0，1，2， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． （1）证明：平面平面． （2）若点，，，在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 证明：因为平面平面， 所以， 又因为， 所以， 又平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得，又，从而得平面，结合面面垂直判定定理即可得结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，设球心的坐标为，从而可得球心坐标，从而得球的半径，即可得球的表面积；（ii）利用空间向量的坐标运算求解平面的一个法向量，结合线面夹角公式即可得直线与平面所成角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示． 则． 若在同一个球面上，则，设球心的坐标为， 有， 解得， 所以半径， 即球的表面积. （ii）由， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，短轴长为，椭圆上的点满足直线的斜率之积为． （1）求椭圆的方程． （2）若是以为焦点，为顶点的抛物线（在椭圆内部的轴上，且在左边）．交椭圆于两点． （i）过点作斜率为1的直线，交椭圆于，两点，再作斜率为的直线，交椭圆于两点．其中，在轴的同一侧．求的最大值； （ii）若，求的横坐标． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率关系可得，再结合短轴运算求解即可； （2）（i）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，整理可得，代入运算求解即可；（ii）根据椭圆方程以及抛物线的定义可得，根据对称性结合斜率关系运算求解即可. 【小问1详解】 设，，则，可得， 则，可得， 又因为，解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）因为，则， 设，，直线的方程为． 联立直线和椭圆方程，消去得， 则，解得， 可得，， 因为，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （ii）可知抛物线的准线是， 设，，则，可得， 则， 且，可得， 因为，根据对称性可知， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，且，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明： 函数，定义域为， ，解得，解得. 函数在上递减，在上递增， 故. 所要证的不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与. 设两割线与直线交点的横坐标分别为. 解方程可得，， 当时，，； 当时，， 令，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 而，所以，． ， 根据单调性，可得， 所以，不等式左侧证明完毕. 不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线， 由（1）可知，曲线在处的切线方程为， 时，， 曲线在处的切线斜率为1，切点坐标为，切线方程为， 切线和与的交点分别为． 同理可得， 综上可知，． 【解析】 【分析】（1）导数几何意义即可求得曲线在处的切线方程； （2）问题转化为恒成立，令，利用导数求其最小值即可得实数的取值范围； （3）不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与，设两割线与直线交点的横坐标分别为，可证明，，有，根据单调性，可得，有；不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线，同理可证. 【小问1详解】 函数，则， ， 故函数在处的切线斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，恒成立， 则恒成立. 令， 则， 所以，当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以， 所以. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2026届高三月考试卷（五） 数学 本试卷共6页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 4. 已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 6. 设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A. 0 B. C. D. 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A. 函数在处的切线方程为 B. 的极小值点为 C. 当时，方程有三个实根 D. 的图象关于点对称 10. 任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 若或，则 C. D. 当，且为偶数时，复数为纯虚数 11. 已知正方体的棱长为2，为正方形内一动点（含边界），点分别是棱的中点，下列说法正确的是（　　） A. 平面与正方体各面的交线是正六边形 B. 对任意的点，直线与直线是异面直线 C. 平面将正方体分成体积相等的两部分，将其中一部分内置一球，球的半径最大为 D. 若点到点的距离等于到棱的距离，则点的轨迹是抛物线的一部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中的系数等于___________． 13. 已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 14. 在中，内角所对的边分别为，若，则 （1）___________； （2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 16. 记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 （1）根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值） （2）从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据与公式：回归方程中，相关系数． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． （1）证明：平面平面． （2）若点，，，在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，短轴长为，椭圆上的点满足直线的斜率之积为． （1）求椭圆的方程． （2）若是以为焦点，为顶点的抛物线（在椭圆内部的轴上，且在左边）．交椭圆于两点． （i）过点作斜率为1的直线，交椭圆于，两点，再作斜率为的直线，交椭圆于两点．其中，在轴的同一侧．求的最大值； （ii）若，求的横坐标． 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $