湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考（五）数学试题

长郡中学2026届高三月考试卷（五）

数学

本试卷共6页．时量120分钟．满分150分．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合，则（　　）

A.  B.

C.  D.

2. 中，“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为

A. 或5 B. 或5 C.  D.

4. 已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

5. 若，则（　　）

A.  B.  C.  D.

6. 设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　）

A. 0 B.  C.  D.

7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则

（　　）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　）

A.  B.  C. 2 D.

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 三次函数的性质，下列说法正确的是（　　）

A. 函数在处的切线方程为

B. 的极小值点为

C. 当时，方程有三个实根

D. 的图象关于点对称

10. 任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）

A. 当时，

B. 若或，则

C.

D. 当，且为偶数时，复数为纯虚数

11. 已知正方体的棱长为2，为正方形内一动点（含边界），点分别

是棱的中点，下列说法正确的是（　　）

A. 平面与正方体各面的交线是正六边形

B. 对任意的点，直线与直线是异面直线

C. 平面将正方体分成体积相等的两部分，将其中一部分内置一球，球的半径最大为

D. 若点到点的距离等于到棱的距离，则点的轨迹是抛物线的一部分

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. 的展开式中的系数等于___________．

13. 已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________．

14. 在中，内角所对的边分别为，若，则

 

（1）___________；

（2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为___________．

四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 已知数列的首项，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和．

16. 记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万